面面垂直的判定定理12

多少个面面垂直？
P
A
D
O
B C




上述变化过程中图形在变化，形 成的“角度”的大小如何来确定 ？
情境引入
在铁路、公路旁，为防止山体滑坡，常用石块修筑护 坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的角度；修筑水 坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成 适当的角度. 如何从数学的观点认识这种现象？
公路
1．半平面的定义 平面内的一条直线把平面分为两部
分，其中的每一部分都叫做半平面．
半 平 面
半 平 面
情景引入 建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线 来检查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有 铅锤的线和墙面紧贴，那么所砌的墙与地面垂 直.这是为什么呢？
ι
观 察 生 活
注意观察：
1.门轴与地 面的关系 2.门轴与门 面的关系
3.门面与地 面的关系 你发现了什么？
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
思考： ∠APB与∠A1P1B1是否相等? 你能得出一个什么结论？ 二面角的大小可用其平面角 来度量，与点P的位置无关。

P l P1 A A1 B
B1

二面角范围： 0≤α≤1800 0
直二面角：平面角是直角的二面角
记作：
例1：判断
错 1、两个相交平面组成的图形叫做二面角。
2、二面角的平面角是从棱上一点出发， 错 分别在两个面内作射线所称角的最小角。 3、二面角的大小与其平面角的顶点在棱 对 上的位置无关。 4、异面直线a,b分别和一个二面角的两 对 个面垂直，则a,b所成的角与这个二面角 相等或互补。
2、二面角： 从一条直线引出的两个半平面所组成 的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角 的棱，这两个半平面叫做二面角的面.

面 面 棱
面 面
棱



3、二面角的记法与表示
⑴ 平卧式：

l
F E B D



A
l
二面角－ l－
A
C

l
⑵ 直立式：
二面角－AB－

B


4、角与二面角的比较

A l O
B

l
O γ A B
3.垂线法
A

D
O

二、填空题：
无数 1.过平面α的一条垂线可作_____个平面 与平面α垂直. 无数 2.过一点可作____个平面与已知平面垂直 3.过平面α的一条平行线可作____个平 一 面与α垂直.
变式:直线PA垂直正方形ABCD所在的平面 求证:平面PBD⊥平面PAC
S—EFG中必有(
).
S
(A)SG⊥△EFG所在平面 (B)SD⊥△EFG所在平面 (C)GF⊥△SEF所在平面 (D)GD⊥△SEF所在平面
G3 F D
G1
E
G2
S
G3 F
D
G1 E G2
SG⊥△EFG所在平面.故选A.
例2、如图,AB是⊙O的直径, ⊙O所在的 平面为α,PA⊥α于A,C为⊙O上一点,求证： 平面PAC平面PBC。
如果两个平面垂直，那么经过第一个平面的一点 垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．
α β lβ l α Aα A l
为判定直线在平面 内提供了理论依据
二 面 角 的 平 面 角 的 作 法
12
1.定义法 根据定义作出来
2.垂面法 作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到
P
判定定理： 要证两个平面垂直， 只要在其中一个平面内找到
C
A B
O
另一个平面的一条垂线。
α
例3、 A是ΔBCD所在平面外一点， AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°， E是BD的中点， 求证：平面AEC⊥平面ABD
A
B E D
C
练习2
已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面， A为垂足。求证：平面PAC平面PBD。
∪
例3、如图, AB垂直平面BCD,BC垂直CD
1、多少个直角三角形？
RtABD RtABC RtACD RtBCD
A
2、多少个面面垂直？
面ABC⊥面BCD 面ABD⊥面BCD
B C
D
面ABC⊥面ACD
1.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D
是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面 体，使G1，G2，G3三点重合，重合后记为G- SEF，则四面体
l 符号表示： l
A C B

线线垂直
线面垂直
l 面面垂直
证明两个平面垂直有那些方法？ 1.定义法 2.两平面垂直的判定定理
证明： AB ⊥
CD
AB ⊥ CD 在平面 内作BE⊥CD
则∠ABE是二面角 CD 的平面角
又 AB⊥BE ∴∠ABE是直角
角 二面角
A
图形 顶点 O
边
边 B
A 棱 a B
面
面

定义
从一点出发的两条射线 所组成的图形叫做角。 边—点—边 （顶点） ∠AOB
从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫 做二面角。 面—直线—面 （棱） 二面角—l— 或二面角—AB—
构成
表示法
情境2：
数学实验:笔记本电脑打开时,两个面所成 的二面角给我们怎样的感觉?(变大?变小?） 如何刻画二成角呢？ 观察发现： 随着张口增大,角MAN也增大,当 二面角确定时,角MAN也确定。 二面角可用平面角来度量。
-CD- 是直二面角
A

D
⊥

C
B
E
例2判断： 1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β 内的一条直线，则α⊥β.（ ） × 2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β 内的两条直线，则α⊥β.（ ） ×
3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内 √ 的两条相交直线, 则α⊥β.（ ） 4.若m⊥α，m β，则α⊥β.( ) √
归纳猜想：
N A
F
B
M
E
5、平面角定义
以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面 内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所 成的角叫做二面角的平面角 二面角的大小用它的平 B P 面角的大小来度量 A
l P1
B1 二面角的平面角必须满足： A1 注意: 1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的两边都要垂直于二面角的棱 思考： ∠APB与∠A1P1B1是否相等?你能得出 一个什么结论？
P
A
D
O
B C
• 面面相交
画图
a
面面垂直
α

β 一个平面和两个平行平面相交
l
三个平面两两垂直
α

a b
β l
γ
三、两个平面垂直的性质定理:
如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它 们的交线的直线垂直于另一个平面.
αβ α β m lβ lα lm
为