基于Landau's变换的求解美式期权的有限差分法

基于Landau's变换的求解美式期权的有限差分法
赵文雯;张琪;吕显瑞
【摘要】We proposed a finite difference method based on Landau's transformation for the standard American put option pricing problem.Firstly,the Landau's transformation and truncation technique was used to transform the American option problem into a parabolic problem on a regular bounded domain,and then we used the finite difference method to solve the option price and used the Newton iteration method to solve the optimal exercise boundary at the same time.The numerical results show that the algorithm can effectively solve the optimal exercise boundary more smoothly than traditional binomial tree method,and can accurately simulate the American put option price.%针对标准美式看跌期权定价问题给出一种基于Landau's变换的有限差分法.先利用Landau's变换及截断技巧将美式期权问题转化为一个有界规则区域上的抛物问题,再利用有限差分法求解期权价格,并利用Newton迭代法同时求解出最佳实施边界.数值实验结果表明,该算法能快速有效地求解出较传统二叉树法更光滑的最佳实施边界,并能准确地模拟美式看跌期权价格.
【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》
【年(卷),期】2017(055)004
【总页数】5页(P898-902)
【关键词】美式看跌期权;Landau's变换;有限差分法
【作者】赵文雯;张琪;吕显瑞
【作者单位】吉林大学数学学院,长春 130012;天津机电职业技术学院,天津300350;吉林大学数学学院,长春 130012;吉林大学数学学院,长春 130012
【正文语种】中文
【中图分类】O241.8
目前, 基于偏微分方程及变分不等式模型求解美式期权的研究已有很多成果, 例如: Cox等[1]给出了求解美式期权的二叉树法; Wang等[2]提出了迎风有限体积格式; Holmes等[3]提出了利用Front-Fixing变换处理求解区域的不规则边界; Zhang 等[4]在Lantos等[5]研究的基础上提出了一种基于完美匹配层求解美式期权的方法; Song等[6]在He[7]研究的基础上提出了预估校正方法. 本文针对美式期权边界不易处理的难点, 利用Landau’s变换给出解决方案, 并利用嵌套Newton迭代的有限差分法同时对期权价格V(S,t)及最佳实施边界B(t)进行求解.
美式期权是一种具有提前实施权力的期权, 因此其价格在最佳实施边界一侧符合Black-Scholes(B-S)方程, 而最佳实施边界未知为问题的求解带来很多困难. 以美式看跌期权为例, 假设原生资产价格为S, 时间为t, 期权价格为V(S,t), σ,r,q,T,K分别表示原生资产波动率、无风险利率、原生资产红利率、期权到期时间及看跌期权敲定价格, 则美式看跌期权满足偏微分方程:
其中： (K-S)+=max{K-S,0}; B(t)为看跌期权最佳实施边界. 因此, 美式看跌期权当B(t)≤S<+∞时满足B-S方程, 即问题求解区域一侧为未知的不规则边界, 而另一侧无界. 此外, 在求解期权价格过程中, 最佳实施边界未知, 因此还需对最佳实施边界值进行修正.
首先, 对式(1)做变换:
其中α,β为待定系数. 此时, 原问题将变成如下常系数的扩散问题:
其中:
利用Landau’s变换
将原问题不规则的一侧变成规则边界:
对于无界的一侧区域考虑如下引理:
引理1[4] 任意给定0∈(0,1), 期权价格满足: V(S,t)≤0, ∀S≥KeL1, 0≤t<T, 其中引理2[8] 最佳实施边界B(t)满足B(T)≥B(t)≥KX. 其中: B(T)=Kmin{r/q,1}; KX为永久美式看跌期权的最佳实施边界,
根据引理1和引理2做截断: L=1-L1/ln(X), 则截断后原问题变为
此时已将原问题转化为规则区域的问题, 在此基础上可以进行数值求解.
下面对式(3)采用θ格式的差分法进行离散, 引入时间剖分Jτ和空间剖分Ih:
对式(3)中第一式的各部分做如下差分离散:
从而式(3)的θ格式差分离散结果为
其中.
为了与上述离散方法精度匹配, 对式(3)中第四式采用二阶公式
离散, 经过整理可将离散问题写成如下矩阵形式:
其中A为N-1阶三对角矩阵, 系数如下:
同时满足:
定理1 当和足够小时, 系数矩阵A为M-矩阵, 且右端fm非负.
证明: 考虑θ=0的情形, 当和足够小时, 易验证系数矩阵A当j=1,2,…,N-2时, 满足当j=N-1时, 满足
当j=0时, 满足
已知u0≥0, 若um-1≥0, 则可证明当h足够小时有
综上, 可以证明系数矩阵A为M-矩阵, 且右端fm非负, 此时能保证数值解的非负
性.
下面考虑利用式(3)中第三式, 通过Newton迭代法对bm进行求解. 利用定义可知, bm满足方程
为了利用Newton迭代法求解, 还需要对式(6)关于bm求导:
在利用Q(bm)和Q′(bm)进行Newton迭代时,可以通过求解式(5)得到, 而对于Q′(bm)中的还需要对式(5)关于bm求导, 得
其中gm为对Aum=fm求导后得到的右端. 对式(7)求解即可得.
综上, 可得求解美式看跌期权的算法如下:
算法1 基于Landau’s变换嵌套Newton迭代的差分法.
For m=1∶M
当j=0时, b(j)=bm-1-km
对于j>0,
通过式(5),(7)求解um和
计算
若重复上述运算, 否则bm=b(j), 终止循环;
利用bm求解式(5), 得到最佳的um\%;
end\%.
考虑对一支敲定价格K=10的1年期美式看跌期权进行数值模拟, 其中模型(1)中参数分别为r=0.08, q=0.05, σ=0.2, 数值结果如图1所示. 图1(A)为本文基于Land au’s变换的有限差分法与二叉树法在求解最佳实施边界时的对比结果. 其中本文算法取M=256, N=256, 二叉树法中选取剖分数为M=2 048. 由图1(A)可见, 本文算法能较精确地给出最佳实施边界, 并且运算结果比二叉树法光滑. 图1(B)为通过本文算法得到的期权价格的三维图像. 由图1(B)可见, 本文算法在描述期权价格方面可行、有效.
综上, 本文提出了一种基于Landau’s变换求解美式期权定价问题的有限差分法, 并通过数值实验验证了该算法的准确性, 在与二叉树方法对比中, 本文方法能得到更光滑的最佳实施边界曲线, 同时在表述期权价格方面也具有可行性.
【相关文献】
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