最新-2021学年高中数学北师大版必修1课件：2.2.3 映射 精品

对含有附加条件的映射问题，须按映射的定义一一列举或进行分类讨论.
[再练一题]
3．集合 A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从 A 到 B 的映射 f 满足 f(3)＝3，则这样的
映射共有( )
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【解析】 由于要求 f(3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的像的问题，总 共有如图所示的 4 种可能．
映射．
根据下列所给的对应关系，回答问题． ①A＝N＋，B＝Z，f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B； ②A＝{x|x 为高一(2)班的同学}，B＝{x|x 为身高}，f：每个同学对应自己的 身高； ③A＝Z，B＝Q，对应关系 f：x→y＝3x. 上述三个对应中，是映射的是__________，是函数的是________．(只填序 号)
【解析】 在选项 A、B、C 中，集合 A 中的有些元素在对应关系作用下， 在集合 B 中找不到像．选项 D 表示无论 x 取何值 y 都等于 0.所以选 D.
【答案】 D
3．设集合 A、B 都是坐标平面上的点集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射 f：A→B 使集合 A 中的元素(x，y)映射成集合 B 中的元素(x＋y，x－y)，则在 f 下，像(2,1) 的原像是________. 【导学号：04100022】
【答案】 B
1．下列集合 A 到集合 B 的对应中，构成映射的是( )
【解析】 选项 A 与 B 中，集合 A 中有剩余元素，不符合映射中的“任意 性”，选项 C 中“一对多”，不符合映射中的“唯一性”．
【答案】 D
2．下列对应关系 f 为 A 到 B 的函数的是( ) A．A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→f＝|x| B．A＝Z，B＝N＋，f：x→y＝x2 C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ x D．A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0
(3)是映射，也是函数，但不是一一映射．因为数集 A 中的元素 x 按照对应 关系 f 和数集 B 中的唯一一个元素对应，这个对应是集合 A 到集合 B 的映射和 函数．显然原像 0,4 在对应关系下的像都是 4，故是映射不是一一映射．
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
【解析】 f：A→B 表示 A 中的任一元素在 B 中都有唯一元素与之对应，而 B 中的部分元素可以不参与对应．
【答案】 A
教材整理 2 一一映射的概念 阅读教材 P33 的有关内容，完成下列问题． 一一映射 一一映射是一种特殊的映射，它满足： (1)A 中每一个元素在 B 中都有 唯一的像 与之对应； (2)A 中的 不同 元素的像也不同； (3)B 中的每一个元素都有 原像 ．
对于集合 A 中的元素 x＝0 和 x＝2，都对应于集合 B 中的同一个元素14，所 以不是一一映射．
1．映射应满足存在性：集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有对应元素； 唯一性：集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有唯一的元素与之对应．
2．一一映射，在对应是映射的基础上，若 B 中没有剩余元素，且对应关系 是“一对一”，则为一一映射．
[再练一题] 2．已知(x，y)在映射 f 作用下的像为(x＋y，xy)． ①求(－2,3)在 f 作用下的像； ②若在 f 作用下的像是(2，－3)，求它的原像．
【解】 ①∵x＝－2，y＝3，∴x＋y＝1，xy＝－6， ∴(－2,3)在 f 作用下的像为(1，－6)． ②由题意得xxy＋＝y－＝32，， 解得yx＝＝－3，1， 或xy＝ ＝－ 3. 1， ∴在 f 作用下的像是(2，－3)，原像是(3，－1)或(－1,3)．
已知 A＝{a，b，c}，B＝{－2,0,2}，映射 f：A→B 满足 f(a)＋f(b) ＝f(c)，求满足条件的映射的个数．
【导学号：04100021】 【精彩点拨】 利用分类讨论思想求解．
【尝试解答】 (1)当 A 中三个元素都对应 0 时，则 f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c) 有一个映射；
【尝试解答】 把 x＝ 2代入对应关系，可求出其在 B 中的像为( 2＋1,3)．
由xx2＋＋11＝＝3254，，
得 x＝12.
所以 2在 B 中的对应元素为( 2＋1,3)，32，54在 A 中的原像为12.
在求像和原像时要分清原像和像，特别注意原像到像的对应关系.对 A 中元 素求像，只需将原像代入对应关系即可.对 B 中元素求原像，可先设出它的原像， 然后利用对应关系列出方程组求解.
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[探究共研型] 求映射个数问题 探究 1 从集合 A＝{a，b}到集合 B＝{c，d}的映射共有多少个？ 【提示】 如图所示，由于映射的对应形式只有“一对一”、“多对一” 两种情况，故从集合 A 到集合 B 的映射共 4 个．
探究 2 从集合 A＝{a，b}到集合 B＝{c，d，e}的映射共有多少个？ 【提示】 如图所示，从集合 A 到集合 B 的映射共 9 个．
阶
阶
段
段
一
三
2．3 映射
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．了解映射、一一映射的概念．(重点) 2．初步了解映射与函数间的联系与区别．(易混点) 3．感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用．(难点)
[基础·初探] 教材整理 1 映射的概念 阅读教材 P32 的有关内容，完成下列问题． 1．映射的概念 两个 非空 集合 A 与 B 间存在着对应关系 f，而且对于 A 中的 每一个 元 素 x，B 中总有 唯一 的一个元素 y 与它对应，就称这种对应为从 A 到 B 的映 射，记作 f：A→B .
【解析】
由xx－＋yy＝＝12，， 解得yx＝＝3212， .
【答案】 32，12
4．a，b 为实数，集合 M＝ba，1，N＝{a,0}，f：x→x 表示把集合 M 中的 元素 x 映射到集合 N 中仍为 x，则 a＋b 的值等于________．
【解析】 ∵f：x→x，∴M＝N， ∴ba＝0，b＝0，a＝1，∴a＋b＝1.
【答案】 ②⑤
求像与原像
已知集合 A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B 是从 A 到 B 的映 射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求 A 中元素 2在 B 中的像和 B 中元素32，54在 A 中的 原像．
【精彩点拨】 把 x＝ 2代入对应关系中可求得在 B 中对应的元素，32，54 在 A 与原像的概念 在映射 f：A→B 中，A中的元素x 称为原像， B中的对应元素y 称为 x 的像， 记作 f：x→y .
设 f：A→B，则下列命题中，正确的是( ) A．A 中每个元素在 B 中必有唯一元素与其对应 B．B 中每个元素在 A 中必有元素与其对应 C．B 中每个元素在 A 中对应的元素唯一 D．A 中不同的元素在 B 中对应的元素必不同
(1)f：x→y＝13x； (2)f：x→y＝(x－2)2； (3)f：x→y＝14(x－1)2.
【精彩点拨】 根据映射、一一映射的定义判断． 【尝试解答】 (1)因为 0≤x≤3，所以 0≤13x≤1，所以对集合 A 中的每一 个元素 x，在集合 B 中都有唯一的像，所以对应 f：A→B 是集合 A 到集合 B 的 映射． 对于集合 B 中的每一个元素 y，由 x＝3y 及 0≤y≤1，有 0≤3y≤3,0≤x≤3. 即集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原像，且这样的原像只有一个，所以 对应 f：A→B 是一一映射；
(2)因为 0≤x≤3，所以－2≤x－2≤1，所以 0≤(x－2)2≤4，所以集合 A 中 的某些元素，如 x＝0，在集合 B 中没有像，因此对应 f：A→B 不是映射，更不 是一一映射；
(3)因为 0≤x≤3，所以－1≤x－1≤2,0≤14(x－1)2≤1，所以集合 A 中的每一 个元素 x，在集合 B 中都有唯一的像，所以对应 f：A→B 是映射．
【解析】 ①是映射，也是函数； ②是映射，但不是函数； ③中元素 0 无像与之对应，不是映射，更不是函数． 【答案】 ①② ①
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3：
解惑：
[小组合作型] 映射、一一映射的判断
已知集合 A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|0≤y≤1}．判断下列对应是否是 集合 A 到集合 B 的映射，是否是一一映射，并说明理由．
【解】 (1)不是映射，更不是函数或一一映射．因为一个圆有无数个内接 矩形，即集合 A 中任何一个元素在集合 B 中有无数个元素与之对应，故不是映 射．
(2)不是映射，更不是函数或一一映射，因为 x＝2 时，y＝3，但 3∉B，即集 合 A 中元素 2 在 B 中没有元素和它对应，所以这个对应不是集合 A 到集合 B 的 映射．
【答案】 1
5．判断下列对应是否为从集合 A 到集合 B 的映射，其中哪些是一一映射？ 哪些是函数？
(1)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系 f：“作圆的内接矩 形”；
(2)A＝B＝{0,1,2}，对应关系 f：x→y，y＝x＋1； (3)A＝B＝N，对应关系 f：x→y，y＝(x－2)2.
下列映射是不是 A 到 B 上的一一映射？为什么？ 图 2-2-7
【解】 (1)是 A 到 B 上的一一映射，因为(1)满足一一映射的定义；(2)不是 A 到 B 上的一一映射，因为集合 B 中元素 1 在集合 A 中没有原像．
教材整理 3 函数与映射的关系
阅读教材 P33 的有关内容，完成下列问题． 设 A、B 是两个非空数集，f 是 A 到 B 的一个 映射 ，那么映射 f：A→B 就 叫作 A 到 B 的函数．即函数是一种特殊的映射，是从非空数集 到 非空数集 的
[再练一题] 1．下列集合 A 到集合 B 的对应中是一一映射的为________． ①A＝N，B＝Z，f：x→y＝－x. ②A＝R＋，B＝R＋，f：x→y＝1x. ③A＝N＋，B＝{0,1}，f：除以 2 所得的余数． ④A＝{－4，－1,1,4}，B＝{－2，－1,1,2}，f：x→y＝± |x|. ⑤A＝{平面内边长不同的等边三角形}，B＝{平面内半径不同的圆}，f：作 等边三角形的内切圆．
【解析】 ①是映射，不是一一映射，因为集合 B 中有些元素(正整数)没有 原像．②是映射，是一一映射．不同的正实数有不同的唯一的倒数且仍是正实 数，任何一个正实数都存在倒数．③是映射，不是一一映射，因为集合 A 中有 不同元素对应集合 B 中的同一个元素．④不是映射，因为集合 A 中的元素(如 4) 对应集合 B 中的两个元素(2 和－2)．⑤是一一映射．
(2)当 A 中三个元素对应 B 中两个时，满足 f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有 4 个，分 别为 2＋0＝2,0＋2＝2，(－2)＋0＝－2,0＋(－2)＝－2.
(3)当 A 中的三个元素对应 B 中三个元素时，有两个映射，分别为(－2)＋2 ＝0,2＋(－2)＝0.
因此满足条件的映射共有 7 个．