2018届高考数学一轮复习平面向量的数量积2课件人教A版
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高中数学课件 平面向量的数量积(2)
解： ab = (3, 1) (1, 2)=3+2=5.
|a|= |b|=
a a 32 (1) 2 10
2 2
b b 1 (2) 5 a b 5 2 cos <a, b>= | a ||b | 2 10 5
所以 <a, b>=45°
例2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)， 求证：△ABC是直角三角形
4 x 2 y 0 2 2 x y 1
5 2 5 5 2 5 所求向量为 ( , )或( , ) 5 5 5 5
例6. 已知a=(1, 0)，b=(2, 1)，当k为何实数时，
向量ka－b与a+3b （1）平行；（2）垂直。 解：ka－b=(k－2, －1), a+3b=(7, 3), （1）由向量平行条件得3(k－2)+7=0, 1 所以k= 3 （2）由向量垂直条件得7(k－2) －3=0,
o
2
2
练习2：已知|a|=1，|b|= 2 ，
(1)若a∥b，求a· b；
2
2
(2)若a、b的夹角为60°，求|a+b|； 3
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角. 45°
练习2：设i，j为正交单位向量，则 ① i· 1 i=_______ ② j· 1 j=________ ③ i· 0 j=________
所以 | a b | 37
(2) |2a－3b|2=4|a|2－12a· b+9|b|2=108,
所以 | 2a 3b | 6 3
练习1： 已知|a|=3，|b|=4，<a, b>=60° ,求
（1）|a+b|；（2）|2a－3b|.
向量的数量积【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件2
投影向量
1.如图,设a,b是两个非零向量, =a, =b,考虑如下的变换:过 的起点A和
终点B,分别作 所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到
,则称上述变换为向
量a向向量b⑤ 投影 ,
叫做向量⑥ a 在向量⑦ b 上的投影向量.
2.设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向 量是⑧ |a|cos θ e .
由题意得 ⊥ ,| |=| |=1,
设非零向量a与b的夹角为θ,则cos θ>0⇔a·b>0.
用 , 表示 , ,然后利用平面向量的运算律及数量积的定义求解.
∴(a+b)2=(c+d)2,即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.
两向量的数量积仍是一个向量.
理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.
,得(
+
)· =0,
对数于量任 积意的向定即量义2中a,b要,总注有意·(两a·b向)2=量=0a的,2故起·b2点A. 重M合⊥时所BC对.应的角才是两个向量的夹
角,两向量夹角的范围是[0,π].
2. 由 - - =2 · ,得( + )2= ,
示),则② ∠AOB=θ (0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
3.数量积的定义中要注意两向量的起点重合时所对应的角才是两个向量的夹 角,两向量夹角的范围是[0,π].
4.向量数量积的性质: 设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,则 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2; (2)(a±b)2=|a±b|2=|a|2±2a·b+|b|2=a2±2a·b+b2;
2018届高考数学第五章5.3平面向量的数量积与平面向量的应用课件
,F
,于是������������ =
1 5 ,8 8
3 2
,B - ,0 ,
1 2
3 , ������������=(1,0),
故������������
-16考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
(2)如图,建立平面直角坐标系, 设 D(0,a),由△ABD 的面积为 1,可得 B
2 ,0 ������
=
3 , 2
所以∠ABC=30°,故选 A.
-9知识梳理
考点自测
4.(2017全国Ⅰ,文13)已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b与a垂 7 直,则m= . 解析:因为a=(-1,2),b=(m,1), 所以a+b=(m-1,3). 因为a+b与a垂直,所以(a+b)· a=0,即-(m-1)+2×3=0,解得m=7. 5.(2017全国Ⅲ,文13)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则 2 m= .
1 3 , 2 2
, ������������ =
3 1 , 2 2
1
,则∠ABC=( A ) D.120°
3 3 1
B.45°
C.60°
解析:由题意,得
������������· ������������ 2× 2 + 2 × 2 cos∠ABC= = 1×1 |������������||������������|
1 2
1 2
-12考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
思考求向量数量积的运算有几种形式? 解题心得1.求两个向量的数量积有三种方法: (1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即a· b=|a||b|cos θ(其 中θ是向量a与b的夹角). (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1), b=(x2,y2),则a· b=x1x2+y1y2. (3)利用数量积的几何意义.数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方 向上的投影|b|cos θ的乘积. 2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的加 减运算或数量积的运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平 面角的关系是相等还是互补.
高考数学一轮复习 4.2 平面向量的基本定理及坐标表示课件 理 新人教A版
第三十三页，共59页。
解得 x＝4＋
5 5
或 x＝4－
5 5
.
y＝1＋2 5 5
y＝1－2
5 5
∴d＝20＋5 5，5＋52 5或 d＝20－5 5，5－52 5.
第三十四页，共59页。
(2013·北京西城期末)已知向量 a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝ (3,2)．若向量 c 与向量 ka＋b 共线，则实数 k＝________.
第九页，共59页。
问题探究 1：平面内任一向量用两已知不共线向量 e1、e2 表 示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量 a、b 都能作一组基底 吗？
提示：表示结果唯一．平面内只有不共线的两个向量才能作 基底．
问题探究 2：向量的坐标与点的坐标有何不同？ 提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是 相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点 O 为起点的向 量O→A的坐标与点 A 的坐标相同．
第三页，共59页。
考情分析
平面向量的坐标表示是通过坐标运算将几何问题转化为代 数问题来解决．特别地，用坐标表示的平面向量共线的条件 是高考考查的重点，属中低档题目，如 2013 年辽宁卷 3、 重庆卷 10，常与向量的数量积、运算等交汇命题．注重对 转化与化归、函数与方程思想的考查，如 2013 年江苏卷 15、 天津卷 12 等．
则x<0 y>0
且(x，y)＝(1,2)＋t(3,3)，
∴xy＝＝12＋＋33tt ，∴12＋＋33tt<>00 ，∴－23<t<－13.
第二十八页，共59页。
(2)因为O→A＝(1,2)，P→B＝O→B－O→P＝(3－3t,3－3t)， 若四边形 OABP 为平行四边形，则O→A＝P→B. ∵33－－33tt＝＝12 ，无解， ∴四边形 OABP 不可能为平行四边形.
解得 x＝4＋
5 5
或 x＝4－
5 5
.
y＝1＋2 5 5
y＝1－2
5 5
∴d＝20＋5 5，5＋52 5或 d＝20－5 5，5－52 5.
第三十四页，共59页。
(2013·北京西城期末)已知向量 a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝ (3,2)．若向量 c 与向量 ka＋b 共线，则实数 k＝________.
第九页，共59页。
问题探究 1：平面内任一向量用两已知不共线向量 e1、e2 表 示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量 a、b 都能作一组基底 吗？
提示：表示结果唯一．平面内只有不共线的两个向量才能作 基底．
问题探究 2：向量的坐标与点的坐标有何不同？ 提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是 相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点 O 为起点的向 量O→A的坐标与点 A 的坐标相同．
第三页，共59页。
考情分析
平面向量的坐标表示是通过坐标运算将几何问题转化为代 数问题来解决．特别地，用坐标表示的平面向量共线的条件 是高考考查的重点，属中低档题目，如 2013 年辽宁卷 3、 重庆卷 10，常与向量的数量积、运算等交汇命题．注重对 转化与化归、函数与方程思想的考查，如 2013 年江苏卷 15、 天津卷 12 等．
则x<0 y>0
且(x，y)＝(1,2)＋t(3,3)，
∴xy＝＝12＋＋33tt ，∴12＋＋33tt<>00 ，∴－23<t<－13.
第二十八页，共59页。
(2)因为O→A＝(1,2)，P→B＝O→B－O→P＝(3－3t,3－3t)， 若四边形 OABP 为平行四边形，则O→A＝P→B. ∵33－－33tt＝＝12 ，无解， ∴四边形 OABP 不可能为平行四边形.
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(2)课件新人教A版必修4
第六页，共3式是数量积的坐标表示 a·b＝x1x2＋y1y2 的一种特例，当 a＝b 时， 则可得|a|2＝x2＋y2；
(2) 若 点
A(x1
，
y1)
，
B(x2
，
y2)
，
则
→ AB
＝
(x2
－
x1
，
y2
－
y1)
，
所
以
|
→ AB
|
＝
（x2－x1）2＋（y2－y1）2，即|A→B|的实质是 A，B 两点间的距离或线段 AB 的长
(2)坐标表示下的运算，若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
第二十一页，共37页。
2．(1)已知向量 a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________；
(2)设平面向量 a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则|2a－b|等于( )
A．4
第二十六页，共37页。
[归纳升华] 用坐标求两个向量夹角与垂直问题的步骤
(1)用坐标求两个向量夹角的四个步骤： ①求 a·b 的值； ②求|a||b|的值； ③根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦； ④由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．
第二十七页，共37页。
(2)利用向量解决垂直问题的四个步骤： ①建立平面直角坐标系，将相关的向量用坐标表示出来； ②找到解决问题所需的垂直关系的向量； ③利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式，解出参数值； ④还原到所要解决的几何问题中.
答案：
(1)－15
3 (2)2
第三十页，共37页。
[变式练]☆ 2．已知平面向量 a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a∥b，a⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小．
(2) 若 点
A(x1
，
y1)
，
B(x2
，
y2)
，
则
→ AB
＝
(x2
－
x1
，
y2
－
y1)
，
所
以
|
→ AB
|
＝
（x2－x1）2＋（y2－y1）2，即|A→B|的实质是 A，B 两点间的距离或线段 AB 的长
(2)坐标表示下的运算，若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
第二十一页，共37页。
2．(1)已知向量 a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________；
(2)设平面向量 a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则|2a－b|等于( )
A．4
第二十六页，共37页。
[归纳升华] 用坐标求两个向量夹角与垂直问题的步骤
(1)用坐标求两个向量夹角的四个步骤： ①求 a·b 的值； ②求|a||b|的值； ③根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦； ④由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．
第二十七页，共37页。
(2)利用向量解决垂直问题的四个步骤： ①建立平面直角坐标系，将相关的向量用坐标表示出来； ②找到解决问题所需的垂直关系的向量； ③利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式，解出参数值； ④还原到所要解决的几何问题中.
答案：
(1)－15
3 (2)2
第三十页，共37页。
[变式练]☆ 2．已知平面向量 a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a∥b，a⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小．
2018届高考数学(理)一轮复习人教版课件：第26讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例
[答案] 3 2
[解析] ∵a，b 的夹角为 45°，|a|＝1， 2 ∴a· b＝|a||b|cos 45°＝ 2 |b|，∴|2a－ 2 2 b| ＝4－4× |b|＋|b| ＝10，∴|b|＝ 2
2
3 2(负值舍去)．
课堂考点探究
考点一 平面向量数量积的运算
例 1 (1)[2016· 天津卷] 已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形， 点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使 → ·BC → 的值为( 得 DE＝2EF，则AF ) 5 1 A．－8 B.8 1 11 C.4 D. 8 (2)[2016· 济宁期末]在△ABC 中， G 是△ABC 的重心， 边 AB， AC → ·BG → ＝( 的长分别为 2，1，∠BAC＝60°，则AG ) 8 10 A．－9 B．－ 9 5－ 3 5－ 3 C. 9 D．－ 9
例 2 (1)[2017· 衡阳质检]已知 a ＝2， b ＝3， a＋b ＝ 19，则 a－b 等于(
[思路点拨] (1)欲求向量差的 模，需先求出 a· b 的值；(2) 1 由题意得 λ，μ 都等于 ，将 2 向量的模转化为向量的数量 2 →2 → 积，即 AD ＝AD ，计算后
0 (2)a⊥b⇔a· b＝________ ．
2 | a || b | － | a || b | (3)当 a 与 b 同向时，a· b＝________；当 a 与 b 反向时，a· b＝________．特别地，a· a＝|a|
或|a|＝ a· a. (4)cos θ＝________． (5)|a· b|≤|a|· |b|.
G 3 2 3 1 3 1 2 → ＝ ，－ ，BG → ＝－ → ·BG →＝ ，所以AG ，所以AG ， ， 3 3 3 3 3 3
平面向量的数量积-高三新高考一轮复习(人教A版)
(3)向量的夹角
已知两个_非_零__向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB
＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量 a 与 b 的夹角．如果向量 a 与
b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直，记作_a_⊥__b_．
2．平面向量数量积的运算律 已知向量 a，b，c 和实数 λ.
①交换律：__a·_b_＝__b_·a__； ②数乘结合律：(λa)·b＝_λ_(_a_·b_)_＝_a_·_(λ_b_)_(λ∈R)； ③分配律：(a＋b)·c＝_a_·c_＋__b_·_c ．
解析 (1)因为|a|＝|b|＝1，向量 a 与 b 的夹角为 45°， 所以(a＋2b)·a＝a2＋2a·b＝|a|2＋2|a|·|b|cos 45°＝1＋ 2. (2)如图，由 AD∥BC，AE＝BE，得∠BAD＝∠ABE＝ ∠EAB＝30°.又 AB＝2 3，
所以 AE＝BE＝2.因为B→D＝A→D－A→B， 所以A→E·B→D＝A→E·(A→D－A→B)＝A→E·A→D－A→E·A→B ＝2×5×cos 60°－2×2 3×cos 30°＝－1.
解析 根据物理中力的平衡原理有 F3＋F1＋F2＝0， ∴|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2F1·F2 ＝12＋( 2)2＋2×1× 2×cos 45°＝5. ∴|F3|＝ 5 N.
◇考题再现
4．已知向量 a，b 满足|a|＝1，a·b＝－1，则 a·(2a－b)
＝( B )
A．4
B．3
C．2
a·b
④cos θ＝_|_a_||b_|_． ⑤|a·b|_≤__|a||b|.
4．平面向量数量积的有关结论
已知两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
向量表示
已知两个_非_零__向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB
＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量 a 与 b 的夹角．如果向量 a 与
b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直，记作_a_⊥__b_．
2．平面向量数量积的运算律 已知向量 a，b，c 和实数 λ.
①交换律：__a·_b_＝__b_·a__； ②数乘结合律：(λa)·b＝_λ_(_a_·b_)_＝_a_·_(λ_b_)_(λ∈R)； ③分配律：(a＋b)·c＝_a_·c_＋__b_·_c ．
解析 (1)因为|a|＝|b|＝1，向量 a 与 b 的夹角为 45°， 所以(a＋2b)·a＝a2＋2a·b＝|a|2＋2|a|·|b|cos 45°＝1＋ 2. (2)如图，由 AD∥BC，AE＝BE，得∠BAD＝∠ABE＝ ∠EAB＝30°.又 AB＝2 3，
所以 AE＝BE＝2.因为B→D＝A→D－A→B， 所以A→E·B→D＝A→E·(A→D－A→B)＝A→E·A→D－A→E·A→B ＝2×5×cos 60°－2×2 3×cos 30°＝－1.
解析 根据物理中力的平衡原理有 F3＋F1＋F2＝0， ∴|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2F1·F2 ＝12＋( 2)2＋2×1× 2×cos 45°＝5. ∴|F3|＝ 5 N.
◇考题再现
4．已知向量 a，b 满足|a|＝1，a·b＝－1，则 a·(2a－b)
＝( B )
A．4
B．3
C．2
a·b
④cos θ＝_|_a_||b_|_． ⑤|a·b|_≤__|a||b|.
4．平面向量数量积的有关结论
已知两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
向量表示
2018_2019学年高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2课件新人教A版必修4
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解(1)方法一:∵a=(-1,2),b=(3,2), ∴a-b=(-4,0). ∴a· (a-b)=(-1,2)· (-4,0)=(-1)×(-4)+2×0=4. 方法二:a· (a-b)=a2-a· b =(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4. (2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4), 2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2), ∴(a+b)· (2a-b)=(2,4)· (-5,2)=2×(-5)+4×2=-2. (3)(a· b)c=[(-1,2)· (3,2)](2,1) =(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1). a (b · c)=(-1,2)[(3,2)· (2,1)] =(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析(方法 1)������������ ·������������ = ������������ + ������������ · ������������ + ������������ =0+2· 22+3· 32+3· 0=5.
1 1 1
1 3
1 2
(方法 2)以 A 为原点,AB,AD 分别为 x,y 轴建立直角坐标系, 则 A(0,0),M(1,2),N(3,1), 于是������������=(1,2),������������=(3,1),故������������ ·������������=5.
一
二
思维辨析
一、平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示 问题思考 1.若i,j是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,则i2,j2,i· j如何计算? 如果向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么a· b的结果能否用其坐标表示? 提示i2=1,j2=1,i· j=0;a· b=(x1i+y1j)· (x2i+y2j) =x1x2i2+x1y2i· j+x2y1j· i+y1y2j2=x1x2+y1y2. 2.填空:(1)平面向量数量积的坐标表示 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a· b=x1x2+y1y2,即两个向量的数量积等于 它们对应坐标的乘积的和. (2)两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.
高三数学总复习平面向量的数量积张(人教A版)课件
综合习题解答
综合习题1
已知向量$overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$的夹角为$theta$，且 $|overset{longrightarrow}{a}| = 2,|overset{longrightarrow}{b}| = 3$，若 $overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = |overset{longrightarrow}{a}| cdot |overset{longrightarrow}{b}| cdot costheta$，求 $theta$的值。
提高习题解答
提高习题1
已知向量$overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$的夹角为$theta$，且 $|overset{longrightarrow}{a}| = 2,|overset{longrightarrow}{b}| = 3$，若 $overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = |overset{longrightarrow}{a}| cdot |overset{longrightarrow}{b}| cdot costheta$，求 $theta$的值必须在一个特定的范围内才有意义，忽视这个范 围限制会导致错误。
详细描述
数量积的定义中，夹角必须是非钝角，即$0^circ$到$180^circ$之间。如果两 个向量的夹角超过这个范围，数量积将无意义。学生常常忽视这一点，导致解题 错误。
06
平面向量数量积的习题解答
高考数学理一轮复习 5-2平面向量的数量积 精品课件
[规律总结] (1)求平面向量数量积的步骤是： ①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；
②分别求|a|和|b|；
③求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ，若知道向量的坐标a＝ (x1 ， y1) ， b ＝ (x2 ， y2) ，则求数量积时用公式 a·b ＝ x1x2 ＋ y1y2 计算． (2)非零向量a和b，a⊥b⇔a·b＝0.
(2)(λa)·b＝ λ(a· b) ＝ c＋b· c (3)(a＋b)·c＝ a·
a· λb .
(λ为实数)；
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ x1x2＋y1y2 由此得到 (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2 或|a|＝ . (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离 ，
(2)解法一：a－2b＝(3，－4)－2×(2,1)＝(－1，－6),2a ＋3b＝2×(3，－4)＋3×(2,1)＝(12，－5)，
(a－2b)·(2a＋3b)＝(－1)×12＋(－6)×(－5)＝18.
解法二：(a－2b)·(2a＋3b)＝3a2－a·b－6b2 ＝2[32＋(－4)2]－[3×2＋(－4)×1]－6(22＋12)＝18.
1.平面向量的数量积 → ＝a，OB → ＝b，则∠AOB (1)已知两个非零向量 a 和 b 作OA ＝θ(0° ≤θ≤180° )，叫做向量 a 与 b 的 夹角 如果 a 与 b 的夹角是 90° ， 就称 a 与 b垂直 ． ， 记作 a⊥b .
量
(2) 已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 θ ，则数 |a|·|b|cosθ 叫a与b的数量积(或内积)，记作a·b
(3)已知实数a、b、c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c，对于向量
最新-2018届高考数学一轮复习 第26讲 平面向量的数量
2018年普通高考数学科一轮复习精品学案 第26讲 平面向量的数量积及应用一．课标要求：1．平面向量的数量积①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义； ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2．向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。
二．命题走向本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。
重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。
平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。
预测2018年高考：（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。
（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质； 三．要点精讲1．向量的数量积（1）两个非零向量的夹角已知非零向量a 与a ，作＝a ，OB ＝b ，则∠A ＯA ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b 的夹角；说明：（1）当θ＝０时，与同向； （2）当θ＝π时，与反向； （3）当θ＝2π时，与垂直，记⊥； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0︒≤θ≤180︒。
（2）数量积的概念已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ²b =︱a ︱²︱b ︱cos θ叫做a与Cb 的数量积（或内积）。
规定00a ⋅=；向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅ ∈R，称为向量b 在a 方向上的投影。
投影的绝对值称为射影；（3）数量积的几何意义： a ²b 等于a的长度与b 在a 方向上的投影的乘积。
高中数学第二章平面向量2-4平面向量的数量积第2课时教学课件新人教A版必修4
(1)字母表示下的运算． 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与 向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算．
若 a＝(x，y)，则 a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ x2＋y2.
【互动探究】 本例中将“a∥b”改为“a·b＝10”，求a的坐 标．解：设 a 的坐标为(x，y)，由题意得x＋x22＋y＝y2＝101，0，
1．已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10， 求：
(1)向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
解：(1)∵a与b同向，且b＝(1,2)， ∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)． 又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10.∴λ＝2.∴a＝ (2,4)． (2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，
与向量模有关的问题
已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a∥b，求a 的坐标．
思路点拨：
解：设 a 的坐标为(x，y)，由题意得2xx－2＋y＝y2＝0，10， 解得
x＝2 y＝4
5， 5
或xy＝ ＝－ －24
5， 5，
所以 a＝(2 5，4 5)或 a＝(－2 5，－4 5)．
求向量的模的两种基本策略
思路点拨：(1)按求向量夹角的步骤求解； (2)利用两向量垂直数量积为零来证明．
(1)解：由题意知，|a|＝1，|b|＝1，a·b＝－12cos
α＋
3 2 sin
α.
则
cos
θ
＝ |aa|·|bb|
＝
－12cos α＋ 1×1
3 2＋
3 2 sin
α＝
cos(120°－α)． ∵0°≤α≤90°，∴30°≤120°－α≤120°.
(3)(a·b)·c. 思路点拨：首先求解相关向量的坐标，再代入 坐标运算表达式求解．
(2)坐标表示下的运算．
若 a＝(x，y)，则 a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ x2＋y2.
【互动探究】 本例中将“a∥b”改为“a·b＝10”，求a的坐 标．解：设 a 的坐标为(x，y)，由题意得x＋x22＋y＝y2＝101，0，
1．已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10， 求：
(1)向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
解：(1)∵a与b同向，且b＝(1,2)， ∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)． 又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10.∴λ＝2.∴a＝ (2,4)． (2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，
与向量模有关的问题
已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a∥b，求a 的坐标．
思路点拨：
解：设 a 的坐标为(x，y)，由题意得2xx－2＋y＝y2＝0，10， 解得
x＝2 y＝4
5， 5
或xy＝ ＝－ －24
5， 5，
所以 a＝(2 5，4 5)或 a＝(－2 5，－4 5)．
求向量的模的两种基本策略
思路点拨：(1)按求向量夹角的步骤求解； (2)利用两向量垂直数量积为零来证明．
(1)解：由题意知，|a|＝1，|b|＝1，a·b＝－12cos
α＋
3 2 sin
α.
则
cos
θ
＝ |aa|·|bb|
＝
－12cos α＋ 1×1
3 2＋
3 2 sin
α＝
cos(120°－α)． ∵0°≤α≤90°，∴30°≤120°－α≤120°.
(3)(a·b)·c. 思路点拨：首先求解相关向量的坐标，再代入 坐标运算表达式求解．
最新2018版高考数学(人教A版理)一轮复习课件：第4章-第3节-平面向量的数量积与平面向量应用举例
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高三一轮总复习
平面向量数量积的运算
(1)(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分
别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE＝2EF，则A→F·B→C的值为
A．－58
1 B.8
1
11
C.4
D. 8
()
(2)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则D→E·C→B的值为
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝ a·a
|a|＝ x21＋y21
数量积 夹角 a⊥b
a·b＝|a||b|cos θ
a·b＝x1x2＋y1y2
cos θ＝|aa|·|bb|
cos θ＝
x1x2＋y1y2 x21＋y12· x22＋y22
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ x12＋y21· x22＋y22
所以∠ABC＝30°.故选 A.]
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高三一轮总复习
3．(2015·全国卷Ⅱ)向量 a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1
B.0
C.1
D.2
C [法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，
从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.
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高三一轮总复习 又B→C＝A→C－A→B， 则A→F·B→C＝12A→B＋34A→C·(A→C－A→B) ＝12A→B·A→C－12A→B2＋34A→C2－34A→C·A→B ＝34A→C2－12A→B2－14A→C·A→B. 又|A→B|＝|A→C|＝1，∠BAC＝60°， 故A→F·B→C＝34－12－14×1×1×12＝18.故选 B.
高考数学 4.3平面向量的数量积配套课件 文 新人教A版
对于（c+a）∥b，则有-3（1+m）=2（2+n），
又c⊥（a+b），则有3m-n=0，
则有 m 7 , n 7 .
9
3
5．已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上 的投影是________． 【解析】b在a上的投影是|b|cos〈a，b〉＝2cos60°＝1. 答案：1
若 BQ CP 2，则λ=（ ）
（A）1（ B）2（ C）4（ D）2
3
3
3
（3）（2012·北京高考）已知正方形ABCD的边长为1，点E是 AB边上的动点.则 DE CB 的值为_____，DE DC 的最大值为____. 【思路点拨】
【规范解答】（1）选A.由|a·b|＝|a||b|知，a∥b. 所以sin 2x＝2sin2x， 即2sin xcos x＝2sin2x，而x∈(0，π)， 所以sin x＝cos x， 即 x＝，故tan x＝1.
1．若a，b，c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是 （）
（A）(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) （B）(a＋b)·c＝a·c＋b·c （C）m(a＋b)＝ma＋mb （D）(a·b)c＝a(b·c) 【解析】选D.(a·b)c表示与c共线的向量，a(b·c)表示与a共 线的向量，而a,c不一定共线，因此D选项不一定成立.
6．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹
角为_______．
【解析】由|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2， 得a·b＝2，cos〈a，b〉＝ a b 2 ＝1，
| a || b | 2 2 2
又〈a，b〉∈［0，π］， 所以〈a，b〉＝ .
人教A版高中数学选修高考一轮复习理科第八章平面向量的数量积新人教课件
(m－2)(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)＝0.
∴m＝－43或 2.∴实数 m 的值为－43或 2. (2)若向量 a 与 b 的夹角为钝角，则 a·b<0，且 a 与 b 不共线．
则(m－2)(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)<0，且(m－2)(m－2)－(m＋
3)(2m＋1)≠0.
解得－43<m<5
解析：(1)由题意设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，由题
意得：ac＝12，4a＝8，∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3. ∴椭圆的标准方程为x42＋y32＝1.
(2)由(1)知 F1(－1,0)，F2(1,0)．设 M(4，t1)，N(4，t2)，
uuuur
uuuur
uuuur
考点1 向量的数量积运算
例 1：已知 a＝13x2，x，b＝(x，x－3)，x∈[－4,4]．
(1)求 f(x)＝a·b 的表达式； (2)求 f(x)的最小值，并求此时 a 与 b 的夹角．
解析：(1)f(x)＝a·b＝13x2·x＋x·(x－3)＝13x3＋x2－3x，x∈[－4,4]．
第2讲 平面向量的数量积
考纲要求
考纲研读
平面向量数量积的运算结果是
1.理解平面向量数量积的含义及 其物理意义．
数量，要熟悉数量积的性质和运 算律，会用定义求平面向量的数
2．了解平面向量的数量积与向 量投影的关系．
量积，会利用数量积的几何意义 解决向量的投影及夹角问题，熟
3．掌握数量积的坐标表达式， 会进行平面向量数量积的运算．
1．平面向量的数量积及其几何意义是本节的重点，用数量积 可以处理向量垂直问题，向量的长度、角度问题．
最新-2018高三数学 5-3第三讲进平面向量的数量积教师讲义手册课件全国版 文 新人教A版 精品
【 例 2 】 已 知 |a| ＝ 5 ， |b| ＝ 4 ， 且 a 与 b 的 夹 角 为 60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？
[思路点拨] 由(ka－b)⊥(a＋2b)⇒(ka－b)·(a＋2b)＝ 0，展开求解即可．
[解析] ∵(ka－b)⊥(a＋2b)， ∴(ka－b)·(a＋2b)＝0， ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， k×52＋(2k－1)×5×4×cos60°－2×42＝0，
[答案] A [总结评述] 向量数量积的运算是以向量数量积的概 念为基础的，理解和掌握向量数量积的概念对有关用向量 求夹角和距离起着决定性的作用．
已知|a|＝2，|b|＝5，若： (1)a∥b； (2)a⊥b； (3)a与b的夹角为30°，分别求a·b. 思路点拨：根据非零向量数量积的定义直接求解即 可，只需确定其夹角θ.
1 ． 零 向 量 ： (1)0 与 实 数 0 的 区 别 ， 不 可 写 错 ： 0a ＝ 0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的， 并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向 量的垂直关系．
2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0⇔a⊥b. 3．a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立． 4．向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，
又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.
[反思归纳] 解这类题关键是理顺思路，用对公式，
避免出现一些不必要的错误．例如，计算|a＋b|时，利用
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2得到的a·b是数量积|a||b|cosθ，而不
是|a||b|.在△ABC中求角时，还应注意向量
的夹角
并非三角形内角∠ABC.
2018数学文一轮课件：5-2-1 平面向量的数量积 精品
撬题·对点题 必刷题
2．(1)已知 a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量 λa＋b 与 a－2b 垂直，则实数 λ 的值为( )
A．－17
1 B.7
C．－16
1 D.6
(2)如图，在△ABC 中，AD⊥AB，B→C＝ 3 B→D，|A→D|＝1，则A→C·A→D＝( )
A．2 3 3
C. 3
3 B. 2 D. 3
8
4
1
2
A.9
B.9
C.3
D.3
(2)设向量 a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量 a＋2b 与 2a－b 平行，那么 a 与 b 的数量积等于( )
A．－72
B．－12
C.23
D.52
(3)已知平面向量 α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是____1_0___．
解析 (1)由条件得 λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)， 因为 λa＋b 与 a－2b 垂直，所以(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，即 3λ＋1＋4λ＝0，解得 λ＝－17. (2)A→C·A→D＝(A→B＋B→C)·A→D ＝A→B·A→D＋B→C·A→D＝B→C·A→D ＝ 3 B→D·A→D＝ 3(B→A＋A→D)·A→D ＝ 3 B→A·A→D＋ 3 A→D2＝ 3，选 D.
(3)由题意可知 α·(α－2β)＝0，结合|α|2＝1， 解得 α·β＝21， 所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10， ∴|2α＋β|＝ 10.
【解题法】 向量的夹角与模的求法 (1)两向量的夹角的范围是[0，π] 当 a 与 b 的夹角是锐角时⇔a·b>0 且 a 与 b 不共线； 当 a 与 b 的夹角是钝角时⇔a·b<0 且 a 与 b 不共线； 当 a 与 b 的夹角是直角时⇔a·b＝0. (2)向量的模的求法 ①|a|2＝a2＝a·a. ②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. ③若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
6.2.4 平面向量的数量积 课件 高中数学人教A版必修第二册
6.2.4 平面向量的数量积（1）
我们将功的运算类比到两个向量的一种 运算，得到向量“数量积”的概念.
平面向量数量积的定义
向量的数量积
注意： (1) 两个向量的数量积是一个实数，不是向量． (2) 两个向量的数量积称为内积，写成
注意：
(3) 向量的数量积和实数与向量的积(数乘)不是一回事．
平面向量数量积几何意义
平面向量数量积的几何意义
平面向量数量积的运算律
(1)交换律： (2)数乘结合律：(3来自分配律：数量积的运算律
注意: 数量积不满足结合律和消去律.
数量积 是一个数量(实数)；
的结果
实数与向量的积(数乘)还是一个向量．
向量的数量积是一个数量，那么它 何时为正，何时为负，何时为零？
向量的数量积是一个数量，那么它 何时为正，何时为负，何时为零？
向量数量积的性质
向量数量积的性质
向量数量积的性质
向量数量积的性质
当且仅当两向量共线时等号成立.
我们将功的运算类比到两个向量的一种 运算，得到向量“数量积”的概念.
平面向量数量积的定义
向量的数量积
注意： (1) 两个向量的数量积是一个实数，不是向量． (2) 两个向量的数量积称为内积，写成
注意：
(3) 向量的数量积和实数与向量的积(数乘)不是一回事．
平面向量数量积几何意义
平面向量数量积的几何意义
平面向量数量积的运算律
(1)交换律： (2)数乘结合律：(3来自分配律：数量积的运算律
注意: 数量积不满足结合律和消去律.
数量积 是一个数量(实数)；
的结果
实数与向量的积(数乘)还是一个向量．
向量的数量积是一个数量，那么它 何时为正，何时为负，何时为零？
向量的数量积是一个数量，那么它 何时为正，何时为负，何时为零？
向量数量积的性质
向量数量积的性质
向量数量积的性质
向量数量积的性质
当且仅当两向量共线时等号成立.
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课堂小结
本节课你学到了什么积的定义 2.平面向量数量积的几何意义 3.平面向量数量积的性质
2.主要思想方法：
分类讨论
问题：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。 这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量 的一种运算结果呢？
新知探究
请同学们阅读课本103页回答下列问题
（1）数量积的定义________________________
a b a b cos 公式_______________
a b a b cos
新知探究
阅读课本回答问题
“投影”的概念：__________________
思考1
1.根据投影的概念得出投影是数量还是向量，如果是 数量一定为正数吗？
2. 由向量投影的定义，说出向量数量积的几何意义？
课堂练习
学案练习题
a b a b cos
小组讨论
思考2
由向量数量积的定义，讨论课本104页的“探究”，总结 数量积的性质
设a和b 都是非零向量，则 1.a b a b 0 2.当a与b 同向时，a b a b ; 当a与b 反向时，a b a b 2 特别地，a a a 或 a a a 可用来求向量的模 3. a b a b a b 用于求两向量的夹角 4. cos . (为非零向量 a与b 的夹角) ab
平面向量的数量积
1、理解平面向量数量积的含义及物理意义
.
2、掌握平面向量数量积公式及数量积的几何意义
3、掌握平面向量数量积的性质，并能用这些性质解 决相关问题
F
θ
s
一个物体在力F的作用下产生位移s，如图． （1）力F所做的功W=________________ （2）请同学们分析这个公式的特点： W（功）是______量，F（力）是______量， S（位移）是_____量， 是____________
（2）规定:零向量与任一向量的数量积为_______
注意：书写时， a与b 只能用“ ”连接，不能用“ ”，也不能省略
注意两个向量的夹角，必须是同起点。
思考1
a b 1、
的运算结果是向量还是数量？
2、对于两个非零向量 a 和 b ，影响它们数量积的大小
因素有哪些？并完成学案表格。