吉林省辽源市17学年高二数学下学期期末考试试题文

2016-2017学年度下学期高二期末考试（文数）
一.选择题(每小题5分,共60分)
1.已知集合2{|22},{|log (1)},M x x N x y x M N =-≤<==- 则= （ ） A ．{|20}x x -≤< B ．{|10}x x -<< C ．{|12}x x <<D ．{—2，0}
2．已知复数43i z =+，i 为虚数
A.1
B ．1-
C.
i 5
354+．
D ．i 5354-=⎪⎩
⎪⎨⎧≤+>⎪⎭
⎫ ⎝⎛=)21(log ,0
),1(0
,31)(3f x x f x x f x
求 ( ) A.2 B.23-
C.32
D.2
3 4.“直线y x b =+与圆2
2
1x y +=相交”是“01b <<”的( )条件 A.充分不必要 B. 必要而不充分C ．充要D ．既不充分也不必要
5.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为 （ ） A.
51B.52 C.53D.5
4
6．执行下面的程序框图，输出的结果为
( )
A ．9
B ．27
C ．18
D ．36
7.已知实数,x y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≤-≥+02201y x y m x y x ，若3z x y =-的最大值为1，则实数m 的值为
（ ） A.
23 B.1 C. 8
3
D. 3 8.已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间()0,∞-上单调递增。

若实数
a 满足
)2()2
(1
->-f f a ，则a 的取值范围是 （ ）
A.)2
1,(-∞ B.⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
∞-,2
321, C.⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,2
3 D.⎪⎭
⎫
⎝⎛23,21 9.若函数bx x b
x x f 2)2
1(31)(23++-=
在区间[]1,3-上不是单调函数，则函数)(x f 在R 上的极小值为（ ）
A.342-
b B.3223-b C.0 D.32
6
1b b - 10.如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6
π
θ=.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概
率是 （ ） A.
232- B.2
3 C.41 D.21
11.已知二次函数c bx ax x f ++=2
)(的导函数为)(x f '，0)0(>'f ，对于任意实数
x ，有
0)(≥x f ，则
)
0()
1(f f '的最小值为 （ ） A.1 B.2 C.-1 D.-2
12.奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ- ，其导函数是()'f x .当0x π<<时，有
()()'sin cos 0f x x f x x -<，则关于x 的不等式(
)sin 4f x x π⎛⎫
< ⎪⎝⎭
的解集为（ ）
A.,4ππ⎛⎫
⎪⎝⎭B.,,44ππππ⎛
⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
C.,00,44ππ⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D.,0,44πππ⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
二.填空题(每小题5分,共20分)
13.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量)(吨x 与相应生 产能耗)(吨y 的几组对照数据：
根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程35.07.0+=x y ，则表中的t 的 值为___________
14.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为9,11,10,,y x .已知这组数据的平均数为
10，方差为2，则y x -的值为. 15.若数列{}n a 是等差数列，则数列)(*
21N n n a a a n ∈⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧+++ 也是等差数列；类比上述性质,
相应地，{}n b 是正项等比数列，则也是等比数列. 16.已知)(x f 满足,)
1(1
1)(+=
+x f x f 当[]1,0∈x 时，.)(x x f =若函数m
mx x f x g --=)()(在(]1,1-内有2个零点，则实数m 的取值范围是. 三.解答题(17题10分,18-22题每题12分)
17．已知|12||2|)(--+=x x x f ，M 为不等式0)(>x f 的解集. （1）求M ；
（2）求证：当M y x ∈,时， 15||<++xy y x .
18．在直角坐标系xOy 中，过点(2,1)P -的直线l 的倾斜角为45︒，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
sin
4cos ρθθ=，直线l 与曲线C 的交点为A ，
B ．
（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）求PB PA ⋅及AB 的值.
19.在长方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别是1,AD DD 的中点，
2AB BC ==，过11A C B 、、
三点的的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体111ABCD AC D ，且这个几何体的体积为
40
3
．
（1）求证：//EF 平面11A BC ； （2）求1A A 的长；
（3）在线段1BC 上是否存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直，如果存在，求线段1A P 的长，如果不存在，请说明理由．
20．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B 的考生有10人．
（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数；
（2）已知参加本考场测试的考生中，恰有2人的两科成绩等级均为A ．在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩等级均为A 的概率． 21.设函数2ln )(bx x a x f -= (1)若函数)(x f 在1=x 处与直线21-
=y 相切,求函数)(x f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡e e ,1上的最大值。

(2)当0=b 时,若不等式x m x f +≥)(对所有的(]
2,1,23,0e x a ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈都成立，求实数m 的取值范
围。

22.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点为)0,2(-F ,离心率2
2
,N M ,是椭圆上的动点。

(1)求椭圆标准方程；
(2)设动点P 满足：,2+=直线OM 与ON 的斜率之积为2
1
-
,问：是否存在定点2121,,PF PF F F +使得为定值?若存在,求出21,F F
的坐标，若不存在，说明理由。

(3)若M 在第一象限，且点N M ,关于原点对称，点M 在x 轴上的射影为A ，连接NA 并延长交椭圆于点B ，证明：MB MN ⊥.
期末试题答案
一．选择题
13. 3 14. 4 15.{}()*
∈N n a a a n
n
2
1 16.⎥⎦
⎤
⎝⎛21,0
三.解答题
17．（1）解：⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
>+-≤≤-+-<-=21,3212,132,3)(x x x x x x x f
当2-<x 时，由03>-x 得3>x ，舍去； 当212≤≤-x 时，由013>+x 得31->x ，即2
1
31≤<-x ； 当21>
x 时，由03>+-x 得3<x ，即32
1
<<x ； 综上，)3,3
1
(-=M .
（2）证明：∵M y x ∈
,，∴3||<x
，3||<y ，
||||||||||||xy y x xy y x xy y x ++≤++≤++∴153
333||||||||=⨯++<⋅++=y x y x
18．（1）∵2sin 4cos ρθθ=，∴22sin 4cos ρθρθ=， ∵cos x ρθ=，sin y ρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程为2
4y x =．
（2）∵直线l 过点(2,1)P -，且倾斜角为45︒，
∴l 的参数方程为2,2
1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），
代入2
4y x =，得2140t --=，
设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， ∴1214t t =-， ∴||||14PA PB ⋅= ∴||||14PA PB ⋅=,
21221214)(||t t t t t t AB -+=-=28)14(4)26(2=-⨯-=
19.（1）在长方体1111ABCD A BC D -中，可知1111//,AB DC AB DC =，由四边形11ABC D 是平行四边形，所以11//AD BC .因为,E F 分别是1,AD DD 的中点，所以1//AD EF ， 则1//EF BC ，
又EF ⊄面111,A BC BC ⊂面11A
BC ，则//EF 平面11A BC （2）1111111111111111040
22223233
ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V AA AA AA ---=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯==∴14AA =
（3）
，于交中作在平面Q CC D C Q D D D CC 11111⊥.//111D C P A P BC CB QP Q ⊥，则于点交作过
,,1111111D D CC D C D D CC D A 平面平面⊂⊥
,//,//,11111D A CB CB QP D A D C 而⊥∴ ，11//D A QP ∴
又
,1111D Q D D A =⋂
D
C P A PQC A P A PQC A
D C 11111111,,⊥∴⊂⊥∴平面且平面 相似，与CD C Q C D 111∆∆
1,111
11=∴=∴
Q C C
C C
D CD Q C .2141,//==
∴BC PQ BC PQ 又
2
29
,51111=
∴=P A Q D PQD A 为直角梯形，且高四边形
20.
（1）∵“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， ∴该考场有10÷0.25=40（人）．
∴该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为 40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=40×0.075=3．
（2）∵两科考试中，共有6个A ，又恰有2人的两科成绩等级均为A ， ∴还有2人只有一个科目成绩等级为A ．
设这4人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两科成绩等级都是A 的同学， 则在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取2人进行访谈，
基本事件空间为Ω={（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙）， （乙，丁），（丙，丁）}，一共有6个基本事件．
设“随机抽取2人进行访谈，这2人的两科成绩等级均为A ”为事件M ， ∴事件M 中包含的基本事件有1个，为（甲，乙），则P(M)=
6
1. （2）故这2人的两科成绩等级均为A 的概率为6
1. 21.由题设,2)(bx x
a
x f -=
' 函数)(x f 在1=x 处与直线2
1
-=y 相切，
⎪⎩⎪⎨⎧-=-==-='∴21)1(02)1(b f b a f ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==211b a ，
x
x x x x f x x x f 2211)(,21ln )(-=-='-=∴，
当e x e ≤≤1时，令;11
,0)(<<>'x e
x f 得；；令;1,0)(e x x f <<<'得
∴[],,11,1)(上单调递减上单调递增，在
在e e x f ⎥⎦⎤
⎝⎛ ;2
1
)1()(max -==∴f x f
（2）当0=b 时，x a x f ln )(=，
若不等式x m x f +≥)(对所有的(]
都成立，2,1,23,0e x a ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈
即对所有的x x a m -≤ln (]
都成立，2,1,2
3,0e x a ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈
,)(ln )(为一次函数，则令a h x x a a h -=
.)(min a h m ≤∴
(]
上单调递增，
在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈∴>∴∈23,0)(,0ln ,,12a a h x e x (
]
都成立。

，对所有的2
min 1)0()(e x m x
h a h ∈-≤∴-==∴
,)(2min e x m -=-≤∴
则实数m 的取值范围为(]
2,e -∞-。

22.(1)由题设可知：
.
22222222=-=∴=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=
=c a b a a
c c ∴椭圆的标准方程为：12
42
2=+
y x （1）设()2211,),,(),,(y x N y x M y x P 由2+=可得：⎩⎨
⎧+=+=2
12
122y y y x x x
由直线ON OM 与的斜率之积为2
1
-
可得： 2
1
2121-=x x y y ，即022121=+y y x x 由 可得：)2(4)2(22
22
22
12
122y x y x y x +++=+ 因为M 和N 是椭圆上的点，
1
10
20,2024
2,42222
2
2
2222121=+=+=+=+y x y x y x y x 即所以 由椭圆定义可知存在两个定点)0,10(),0,10(21F F -,使得动点
P 到两定点距离和为定值54。

（2）证明：设),(),,(2211y x B y x M ，则
),(),0,(,,0,0,0,021*******y x N x A x x y x y x --≠>>>>
由题设可知AB l 斜率存在且满足
1
212112,x x y
y x y k k NB NA ++=∴
=
12121122x x y y x y k k MB MN --⋅
=
⋅=1
21
211x x y y x y --⋅ ④ 将 代入④得，21
222
1222x x y
y k k MB
MN --⋅=⋅，
又B M ,在20222=+y x 上，所以21
2
1
222
12
2-=--x x y y ， 所以1-=⋅MB MN k k ，即MB MN ⊥。