高中数学 第一章 空间几何体随堂检测(含解析)新人教A

【优化方案】2013-2014学年高中数学 第一章 空间几何体随堂
检测（含解析）新人教A 版必修2
1．(2012·高考湖北卷)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的
体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ 3169V .人们还用过一些类似的近似公式．根据π＝3.14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )
A ．d ≈ 3169
V B ．d ≈32V C ．d ≈ 3300157V D ．d ≈ 32111V 解析：选D.∵V ＝43πR 3，∴2R ＝d ＝ 36V π，考虑到2R 与标准值最接近，通过计算得6π
－169≈0.132 08，6π－2≈－0.090 1，6π－300157≈－0.001 0，6π－2111
≈0.000 8，因此最接近的为D 选项．
2．(2012·陕西高考卷)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )
解析：选B.还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．
3．给出下列命题：
①直线绕直线旋转形成柱面；
②曲线平移一定形成曲面；
③直角梯形绕一边旋转形成圆台；
④半圆绕直径旋转一周形成球．
其中正确的有________．
解析：①错．当两直线相交时，形不成柱面；②错．也可能形成平面；③错．若绕底边旋转，则形成组合体；④对．据球的定义知，正确．
答案：④
4. 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上．若圆锥
底面面积是这个球面面积的3
16，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比
值为________．
解析：设圆锥底面圆半径为r，球的半径为R，则由πr2＝3
16×4πR
2，知r2＝34R2.
根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O，且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交
点是球的大圆上的点，因此PB ⊥QB .设PO ′＝x ，QO ′＝y ，则x ＋y ＝2R . ①
又△PO ′B ∽△BO ′Q ，知r 2＝O ′B 2＝xy .
即xy ＝r 2＝34R 2. ② 由①②及x >y 可得x ＝32R ，y ＝R 2
. 则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为13
. 答案：13
5．圆柱有一个内接长方体AC 1，长方体对角线长是10 2 cm ，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100π cm 2，求圆柱的体积．
解：设圆柱底面半径为r cm ，高为h cm.
如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则
⎩⎪⎨⎪⎧ (2r )2＋h 2＝(102)22πrh ＝100π，∴⎩⎪⎨⎪⎧
r ＝5h ＝10. ∴V 圆柱＝Sh ＝πr 2h ＝π×52×10
＝250π(cm 3)．
6．(2013·淄博高一检测)直三棱柱的高为6 cm ，底面三角形的边长分别为3 cm ，4 cm ，5 cm ，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值．
解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为R，圆柱的高即为直三棱柱的高6 cm.
∵在△ABC中，AB＝3 cm，
BC＝4 cm，AC＝5 cm，
∴△ABC为直角三角形．
根据直角三角形内切圆的性质可得7－2R＝5，
∴R＝1 cm，∴V圆柱＝πR2·h＝6π cm3.
而三棱柱的体积为V三棱柱＝1
3)，
2×3×4×6＝36(cm
∴削去部分的体积为36－6π＝6(6－π)(cm3)．。