高中数学 第三章 变化率与导数 3.4.1 导数的加法与减法法则 3.4.2 导数的乘法与除法法则学

3.4.1 导数的加法与减法法则
3.4.2 导数的乘法与除法法则
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数f (x )＝x 3
＋3x ＋cos x ，则f ′(x )等于( )
A ．3x 2
＋x -2
3－sin x
B ．x 2
＋13
x -2
3－sin x
C ．3x 2
＋13
x -2
3＋sin x
D ．3x 2
＋13x -2
3－sin x
【解析】 f ′(x )＝3x 2
＋13
x -2
3－sin x .
【答案】 D 2．函数y ＝
x 2
x ＋3
的导数是( )
A.x 2＋6x x ＋2
B ．x 2＋6x x ＋3
C.
－2x x ＋
2
D ．3x 2
＋6x x ＋2
【解析】 y ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2x ＋3′＝x 2x ＋
－x 2x ＋
x ＋
2
＝2x
x ＋－x
2
x ＋
2
＝x 2＋6x x ＋2
.
【答案】 A
3．已知f (x )＝ax 3
＋3x 2
＋2，若f ′(－1)＝4，则a 等于( ) A.193 B ．163
C.133
D ．103
【解析】 f ′(x )＝3ax 2
＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4， ∴a ＝103.
【答案】 D
4．已知f (x )＝x 2
＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( )
A ．0
B ．－4
C ．－2
D ．2
【解析】 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)．∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)． 即f ′(1)＝－2.∴f ′(0)＝2(－2)＝－4. 【答案】 B
5．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－1
2
B ．12
C ．－
22
D ．
22
【解析】 y ′＝
cos x
x ＋cos x －x －sin x
x
x ＋cos x 2
＝
1
x ＋cos x
2
，
故k ＝12.即曲线在点M 处切线的斜率为12.
【答案】 B 二、填空题
6．(2014·广东高考)曲线y ＝－5e x
＋3在点(0，－2)处的切线方程为________. 【解析】 ∵y ′＝－5e x ，∴所求切线斜率是k ＝－5e 0
＝－5，∴切线方程是：y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.
【答案】 5x ＋y ＋2＝0
7．函数f (x )＝e x
cos x ，x ∈[0,2π]，且f ′(x )＝0则x ＝________. 【解析】 f ′(x )＝(e x cos x )′＝(e x )′cos x ＋e x
(cos x )′ ＝e x cos x －e x sin x ＝e x
(cos x －sin x )， 由f ′(x )＝0，得e x
(cos x －sin x )＝0. ∵e x
>0，∴c os x －sin x ＝0.
∴cos x ＝sin x ，x ∈[0,2π]．∴x ＝π4或54π.
【答案】
π4或54
π 8．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3
－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．
【解析】 y ′＝3x 2
－10，由3x 2
－10＝2，得x ＝±2. 又∵P 点在第二象限内，∴x ＝－2，y ＝－8＋20＋3＝15.
∴P (－2,15)． 【答案】 (－2,15) 三、解答题
9．求下列函数的导数． (1)f (x )＝x ·tan x ； (2)f (x )＝
x 4
2＋log a x
.
【解】 (1)法一：y ′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x sin x cos x ′
＝
x sin x ′cos x －x sin x cos x ′
cos 2
x
＝sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2
x cos 2 x ＝sin x cos x ＋x cos 2
x . 法二：y ′＝(x ·tan x )′＝x ′·tan x ＋x ·(tan x )′
＝tan x ＋x cos 2 x ＝sin x cos x ＋x
cos 2
x
. (2)y ′＝
4x
3
2＋log a x －x 4
x ln a
2＋log a x
2
＝8x 3
＋4x 3log a x －
x 3
ln a
＋log a x
2
＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫8－1ln a x 3＋4x 3·log a x ＋log a x
2
.
10．已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b
x
，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，求a ，b 的值．
【解】 (1)f ′(x )＝
a ⎝
⎛⎭⎪
⎫
x ＋1x －ln x x ＋
2
－b
x
2.
由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－1
2，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧
f (1)＝1，f ′()＝－1
2，即
⎩⎪⎨⎪
⎧
b ＝1，a 2
－b ＝－12.解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝1.
所以a ＝1，b ＝1.
[能力提升]
1．设曲线y ＝x ＋1
x －1
在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．2 B ．12 C ．－12
D ．－2
【解析】 ∵y ＝x ＋1x －1＝x －1＋2x －1＝1＋2
x －1
， ∴y ′＝－2x －
2
.
∴曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线斜率为k ＝－1
2
，由题意知，ax ＋y ＋1＝0斜率为k ′＝2，
∴a ＝－2. 【答案】 D
2．若f (x )＝x 2
－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)
D ．(－1,0)
【解析】 函数的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －2－4
x
＝
x －
x ＋
x
>0，
解得x >2，故选C. 【答案】 C
3．若点P 是曲线f (x )＝x 2
－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的距离最小时点
P 的坐标为________．
【解析】 过点P 作y ＝x －2的平行直线l ，且与曲线f (x )＝x 2
－ln x 相切．设P (x 0，
x 20－ln
x 0)，则直线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝2x 0－1x 0，∴2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－1
2
(舍去)，∴点P 的坐标为(1,1)．
【答案】 (1,1)
4．已知曲线C 1：y ＝x 2
与曲线C 2：y ＝－(x －2)2
，直线l 与C 1和C 2都相切，求直线l 的方程．
【解】 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 2
1)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2
)． 对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为：
y －x 21＝2x 1(x －x 1)，
即y ＝2x 1x －x 2
1.
①
对于C 2：y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为：y ＋(x 2－2)2
＝－2(x 2－2)(x －x 2)，
即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 2
2－4. ②
因为两切线重合， 所以由①②，得⎩⎪⎨
⎪⎧
2x 1＝－
x 2－，
－x 2
1＝x 22－4，
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 1＝0，x 2＝2，
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x 1＝2，x 2＝0.
所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.。