高考数学 考点一遍过 专题03 逻辑联结词、全称量词与

考点03 逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．简单的逻辑联结词
了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 2．全称量词与存在量词
①理解全称量词与存在量词的意义. ②能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
一、逻辑联结词
1．常见的逻辑联结词：或、且、非
一般地，用联结词“且”把命题p 和q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧，读作“p 且q ”； 用联结词“或”把命题p 和q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨，读作“p 或q ”； 对一个命题p 的结论进行否定，得到一个新命题，记作p ⌝，读作“非p ”． 2．复合命题的真假判断
“p 且q ”“p 或q ”“非p ”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定：
p
q
p ⌝ q ⌝
p q ∨
p q ∧
()p q ⌝∨
()p q ⌝∧
()()p q ⌝∨⌝
()()p q ⌝∧⌝
真 真 假 假 真 真 假 假 假 假 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 真 假 假 真 真 假 假
假
真
真
假
假
真
真
真
真
3．必记结论
含有逻辑联结词的命题的真假判断： （1）p q ∧中一假则假，全真才真． （2）p q ∨中一真则真，全假才假． （3）p 与p ⌝真假性相反．
注意：命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.不能混淆这两者的概念. 二、全称命题与特称命题 1．全称量词和存在量词 量词名称 常见量词
符号表示
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀
存在量词
存在一个、至少一个、有些、某些等
2．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择.
全称命题“()x A p x ∀∈，” 特称命题“()00x A q x ∃∈， ”
表述方法
对所有的()x A p x ∈，成立 存在()00x A q x ∈，成立 对一切()x A p x ∈，成立
至少有一个()00x A q x ∈，成立 对每一个()x A p x ∈，成立 对有些()00x A q x ∈，成立 任选一个()x A p x ∈，成立 对某个()00x A q x ∈，成立 凡x A ∈，都有()p x 成立
有一个0x A ∈，使()0q x 成立
3．含有一个量词的命题的否定
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：
命题
命题的否定
,()x M p x ∀∈ 00,()x M p x ∃∈⌝
00,()x M p x ∃∈
,()x M p x ∀∈⌝
考向一 判断复合命题的真假
1．判断“p q ∧”、“p q ∨”形式复合命题真假的步骤： 第一步，确定复合命题的构成形式； 第二步，判断简单命题p 、q 的真假；
第三步，根据真值表作出判断．
注意：一真“或”为真，一假“且”为假．
2．不含逻辑联结词的复合命题，通过辨析命题中词语的含义和实际背景，弄清其构成形式． 3．当p q ∨为真，p 与q 一真一假；p q ∧为假时，p 与q 至少有一个为假.
典例1 已知命题p ：若函数2
()||f x x x a =+-是偶函数，则0a =；命题q ：(0,)m ∀∈+∞，关于
x 的方程2210mx x -+=有解．在①p q ∨；②p q ∧；③()p q ⌝∧；④()()p q ⌝∨⌝中，为真命题
的是
A ．②③
B ．②④
C ．③④
D ．①④ 【答案】D
【解题技巧】1．辨别复合命题的构成形式时，应根据组成复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式．
2．准确理解语义应注意抓住一些关键词．如“是…也是…”，“兼”，“不但…而且…”，“既…又…”，“要么…，要么…”，“不仅…还…”等．
3．要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式．
如：a ≥3是a >3或a ＝3；xy ＝0是x ＝0或y ＝0；x 2
＋y 2
＝0是x ＝0且y ＝0.
1．已知命题021x
p x ∀≥≥：，；命题q ：若x y >，则22
x y >．则下列命题为真命题的是
A ． p q ∧
B ．()p q ∧⌝
C ．()()p q ⌝∧⌝
D ．()p q ⌝∨
考向二 判断全称命题与特称命题的真假
要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.
要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.
典例2 下列命题中是假命题的是
A ．,,αβ∃∈R 使sin()sin sin αβαβ+=+
B ．ϕ∀∈R ，函数()sin(2)f x x ϕ=+都不是偶函数
C ．m ∃∈R,使243
()(1)m m f x m x
-+=-是幂函数，且在(0,)+∞上单调递减
D ．0a ∀>，函数2
()ln ln f x x x a =+-有零点 【答案】B
对于选项C ，如当2m =时，11
()=
f x x x
-=，()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以选项C 中的命题为真命题；对于选项D ，当()0f x =时，2ln ln 0x x a +-=，
则22111
ln ln (ln )244
a x x x =+=+-≥-，所以0a ∀>，函数2
()ln ln f x x x a =+-有零点，所以选项D 中的命题为真命题.
【名师点睛】全称命题与特称命题的真假判断在高考中出现时，常与数学中的其他知识点相结合，题型以选择题为主，难度一般不大.
2．已知集合{}|2A x x =>，集合{}|3B x x =>，则以下命题正确的个数是
①00,x A x B ∃∈∉；②00,x B x A ∃∈∉；③x A x B ∀∈∈都有；④x B x A ∀∈∈都有． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
考向三 含有一个量词的命题的否定
一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量
词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论.
典例3 已知命题()3
1,,168p x x x ∀∈+∞+>：，则命题p 的否定为
A ．()3
1,,168p x x x ⌝∀∈+∞+≤： B ．()3
1,,168p x x x ⌝∀∈+∞+<：
C ．()3
0001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+≤： D ．()3
0001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+<：
【答案】C
【解析】全称命题的否定为特称命题，故其否定为()3
0001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+≤：.故选C.
3．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:p x A ∀∈，2x B ∈，则
A ．:,2p x A x
B ⌝∃∈∈ B ．:,2p x A x B ⌝∃∉∈
C ．:,2p x A x B ⌝∃∈∉
D ．:,2p x A x B ⌝∀∉∉
1．下列命题中既是p q ∧形式的命题，又是真命题的是
A ．10或15是5的倍数
B ．方程234=0x x --的两根是4-和1
C ．方程21=0x +没有实数根
D ．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形 2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是
A ．0x x ∀∈>R ，
B ．000x x ∃∈>R ，
C ．0x x ∀∈≤R ，
D ．000x x ∃∈≤R ，
3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为
A ．()()p q ⌝∨⌝
B ． ()p q ∨⌝
C ．()()p q ⌝∧⌝
D ．p q ∨
4．设a 、b 、c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥
c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是
A ．p q ∨
B ．p q ∧
C ．p q ⌝∧⌝（）（）
D ．p q ∨⌝（）
5．若命题2
2
:421p x ax x a x ∀∈++≥-+R ，是真命题，则实数a 的取值范围是 A ．(]2-∞，
B ．[2+)∞，
C ．(2,)-+∞
D ．(2,2)- 6．已知命题21
04
p x x x <-∀∈+
R ：，，
命题000sin +c s =o 2q x x x ∃∈R ：，，则,,p q p q p ∨∧⌝中，是真命题的有__________________．
7．设函数(),0,0.x x x
f x a b c c a c b =+->>>>其中
（1）记集合{}(,,),,M a b c a b c a b =不能构成一个三角形的三条边长，且=，则(,,)a b c M ∈所对应的()f x 的零点的取值集合为__________________．
（2）若,,a b c ABC 是△的三条边长，则下列结论正确的是__________________．（写出所有正确结论的序号） ①()(),1,0;x f x ∀∈-∞>
②,,,x
x
x
x a b c ∃∈R 使不能构成一个三角形的三条边长； ③若()()1,2,0.ABC x f x ∃∈=△为钝角三角形，则使
1．（2016浙江理科）命题“*
x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x ≥”的否定形式是 A ．*
x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <
C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <
D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <
2．（2015山东理科）若“
[0,]tan 4
x x m
π∀∈≤，”是真命题，则实数m 的最小值为__________________．
1．【答案】B
【解析】显然命题021x
p x ∀≥≥：，是真命题；命题q ：若x y >，则22
x y >是假命题，所以q ⌝是
真命题，故()p q ∧⌝为真命题. 2．【答案】C
3．【答案】C
【解析】注意到“任意”的否定是“存在”，“属于”的否定是“不属于”，将∀改为，将2x B ∈改为2x B ∉，于是有p ⌝：x A ∃∈，2x B ∉，故选C.
1．【答案】D
【解析】A 中的命题是p q ∨型命题，B 中的命题是假命题，C 中的命题是p ⌝的形式，D 中的命题为p q ∧型，且为真命题． 2．【答案】C
【解析】由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C. 3．【答案】A
【解析】 “至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”.故选
考点冲关
变式拓展
A. 4．【答案】A
【解析】取a ＝c ＝（1,0），b ＝（0,1）知，a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ≠0，∴命题p 为假命题； ∵a ∥b ，b ∥c ，∴存在λ，μ∈R ，使a ＝λb ，b ＝μc ， ∴a ＝λμc ，∴a ∥c ，∴命题q 是真命题．∴p ∨q 为真命题．
5．【答案】B
6．【答案】,p q p ∨⌝
【解析】∵2
2(1)1=042x x x +
-≥-，∴p 是假命题.∵存在0=4
x π
，使00sin c 2os =x x +q 是真命题，因此p q ∨是真命题，¬p 是真命题．
7．【答案】（1）{|01}x x <≤；（2）①②③
【解析】（1）由题设知()=0f x ，a b =，则2x x a c =，即1()2x a
c =.又1,,,2
a a
b
c a b c +≤=∴≤从而1()()2
x x a
c ≤，0x >，∴
11
()22
x ≤，解得01x <≤.故所求取值集合为{|01}x x <≤； （2）由题设知,0,(,1),(),x a a a b c c x c c +>>∴∀∈-∞> (),()()1,x x x b b a b
c c c c >∴+> 即
()0,f x > 则①正确；
令1x =-，2,4,5a b c ===，则111
,,245
x x x a b c ===，不能构成一个三角形的三条边长，则②正确；
由ABC △为钝角三角形，知2
2
2
,a b c +<∴(2)0.f < 又a b c +>，∴1,a b
c c
+> ∴(1)0,f > 由零点存在性定理可知③正确.故填①②③.
1．【答案】D
【解析】∀的否定是，的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ． 2．【答案】1
直通高考
【解析】若“[0,]tan 4x x m π∀∈≤，”是真命题，则max ()m f x ≥，其中()tan f x x ＝，[0,].4
x π∈ ∵函数()tan f x x ＝，[0,]4
x π∈的最大值为1，∴1m ≥，即m 的最小值为1.。