【高考数学培优专题】第15讲 排列组合与二项式定理
排列组合与二项式定理
排列组合与二项式定理排列组合与二项式定理是概率论和组合数学中重要的概念和定理。
它们在数学、统计学、计算机科学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍排列组合和二项式定理的概念、性质和应用，并探讨它们之间的关系。
一、排列组合的概念和性质排列和组合是组合数学中的基本概念，用于计算事物的不同排列和组合方式。
1. 排列：排列是指从若干个元素中选择一部分元素按照一定的顺序进行排列。
设有n个元素，要从中选择r个元素进行排列，有P(n,r)种排列方式。
排列的计算公式为P(n,r) = n! / (n-r)!2. 组合：组合是指从若干个元素中选择一部分元素进行组合，不考虑元素的顺序。
设有n个元素，要从中选择r个元素进行组合，有C(n,r)种组合方式。
组合的计算公式为C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)排列和组合的计算公式是基于阶乘的，阶乘表示从1到某个正整数的连乘积。
排列和组合的性质包括交换律、结合律和分配律等。
二、二项式定理的概念和性质二项式定理是代数中的一个重要定理，用于展开二项式的幂。
二项式是两个项的和，形式为 (a + b)^n，其中a和b为实数或变量，n为非负整数。
二项式定理的表达式为：(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n其中C(n,r)为组合数，表示从n个元素中选择r个元素进行组合的方式数。
二项式定理的性质包括二项式系数的对称性、二项式系数的递推性和二项式系数与排列组合的关系等。
三、排列组合与二项式定理的应用排列组合和二项式定理在许多领域中有广泛的应用。
1. 概率论：排列组合和二项式定理用于计算事件的可能性和概率。
通过组合数可以计算从一组元素中选择特定数量的元素的概率。
2. 统计学：排列组合和二项式定理用于计算事件的组合和排列数量，从而分析数据的分布和规律。
排列组合二项式定理
排列组合与二项式定理一、排列与组合简介在概率论和组合数学中，排列和组合是两个重要的概念。
排列和组合通常被用来描述从给定的有限集合中选择若干元素的方式。
排列指的是从一组元素中选择若干不同的元素并按照一定的顺序排列的方式。
对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行排列的方式数目记作P(n, r)。
排列主要有两种情况：1.重复元素情况下的排列，即元素可重复使用。
此时，P(n, r) = n^r.2.不重复元素情况下的排列，即元素不可重复使用。
此时，P(n, r) = n(n-1)(n-2)…(n-r+1) = n!/(n-r)!.组合指的是从一组元素中选择若干不同的元素，而不考虑元素的顺序的方式。
对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行组合的方式数目记作C(n, r)。
组合的计算公式为：C(n, r) = n!/[(n-r)!*r!].二、二项式定理的概念与展开二项式定理是高中数学中非常重要的一个定理，也是排列组合理论的重要应用。
它用于展开一个二项式的幂。
二项式定理的公式为：(x+y)^n = C(n,0)x ny^0 + C(n,1)x(n-1)y^1 + C(n,2)x(n-2)y^2 + … + C(n,n-1)x1y^(n-1) +C(n,n)x^0y^n.其中，C(n,r)表示从n个元素中选择r个元素进行组合的方式数目。
三、二项式定理的解读与应用二项式定理可以用来求解(x+y)^n的展开式中的各项系数。
在展开式中，每一项的系数就是对应的组合数。
举例说明，当n=3时，展开式为：(x+y)^3 = C(3,0)x3y^0 + C(3,1)x2y^1 + C(3,2)x1y^2 + C(3,3)x0y^3.展开后，得到：(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3x y^2 + y^3.可以看出，展开式中的每一项系数正好是对应的组合数。
二项式定理在概率论、组合数学、代数等领域具有广泛的应用。
排列组合、二项式定理与概率统计
排列组合、二项式定理与概率统计
概率统计与排列组合和二项式定理是数学中的重要知识。
它们主要用来解释和计算物理实验的概率，以及理解事件出现的概率统计规律。
排列组合是概率统计的基础，是指在一组数中，每个数字的位置不同的可能的组合数。
它的公式有:A(n,m)=n(n-1)...(n-m+1)。
这里的A表示从n个中取出m个的排列数。
二项式定理（亦称二项分布定理）是研究一个随机变量满足二项分布的定理。
它是推导概率统计解决一些问题的重要方法，它通过如下公式来计算事件发生的概率：
C(n,k)=An,m/k!，其中n表示试验次数，m表示成功的次数，k表示重复的次数。
概率统计用来研究不同事件出现的可能性和规律。
这些规律会告诉我们正发生的事件的可能性有多大，并帮助我们更好地解释现象。
概率统计的计算和分析是一个复杂的过程，需要全面的、简易的的方法。
排列组合、二项式定理等工具是进行概率统计分析的有力帮助，它们可以帮助我们了解不同事件出现的概率，并对现象加以解释和推断。
排列组合与二项式定理
二项式定理的展开式和应用
应用 1. 整数幂运算：利用二项式定理可以将整数幂进行展开，从而简化复杂幂运算。
2. 组合数学：二项式定理与组合数学紧密相连，可用于解决一系列组合计数问题。
二项式定理的展开式和应用
3. 近似计算
在求解近似值时，可以利用二项式定 理对函数进行近似展开，如泰勒公式 就是利用二项式定理进行的展开。
质可用于化简复杂的组合表达式；
递归计算：在某些情况下，可以使用递 归的方法来计算组合数，即$C_n^m = C_{n-1}^{m-1} + C_{n-1}^m$。递归 的方法虽然效率较低，但在某些特定问
题中较为方便。
通过掌握这些组合的定义和计算方法， 我们能够更好地解决与组合相关的问题 ，并为进一步学习排列、二项式定理等
章节概述
本章将首先介绍排列组合的基本 概念，包括排列和组合的定义、
性质和计算方法。
接着，将介绍二项式定理的定义 和性质，包括二项式展开公式及
其应用。
最后，பைடு நூலகம்通过一些实际问题的例 子，展示如何运用排列组合和二
项式定理来解决这些问题。
CHAPTER 02
排列
排列的定义
有序选取
排列是指从n个不同元素中取出m （m≤n，m和n都是自然数,下同 ）个不同元素，按照一定的顺序 排成一列。
关。
误区2
在应用二项式定理时，忽视了定 理的使用条件。解答：二项式定 理适用于$(a+b)$的整数次方，
且$n$需要为非负整数。
01
03
02 04
疑难1
如何快速计算组合数？解答：可 以使用帕斯卡三角形，每个数都 是上面两数之和，这样可以快速 得到组合数。
疑难2
高中数学公式大全排列组合与二项式定理
高中数学公式大全排列组合与二项式定理高中数学公式大全：排列组合与二项式定理排列组合与二项式定理是高中数学中重要的概念和公式，它们在概率论、组合数学、代数等领域都有广泛应用。
本文将为您详细介绍排列组合与二项式定理的相关内容。
一、排列组合排列和组合是排列组合问题中最基础的概念。
排列表示从一组元素中选取若干元素按照一定顺序排列的方式，而组合则表示从一组元素中选取若干元素，顺序不考虑。
下面是排列组合中常见的公式：1. 排列公式：排列公式用于求解从 n 个元素中取出 m 个元素，按照一定顺序排列的方式。
排列的数量表示为 P(n,m)，计算公式如下：P(n,m) = n! / (n-m)!其中，n! 表示 n 的阶乘。
2. 组合公式：组合公式用于求解从 n 个元素中取出 m 个元素，顺序不考虑的方式。
组合的数量表示为 C(n,m)，计算公式如下：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)二、二项式定理二项式定理是高中数学中另一个重要的公式，它表示了任意实数a、b 和正整数 n 的 n 次幂展开后，各项的系数。
二项式定理为：(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2+ ... + C(n,n-1)*a^1*b^(n-1) + C(n,n)*a^0*b^n其中，C(n,m) 表示组合数，表示从 n 个元素中选取 m 个元素的方式数。
三、应用举例1. 排列组合的应用：在一群人中选出特定的几个人组成小组，或者在一串数字中找出满足某种条件的特定数字。
排列组合在组合数学、概率论等领域有广泛的应用。
2. 二项式定理的应用：在数学展开、概率计算、代数运算等方面常常用到二项式定理。
它在概率论中常用于计算二项分布的概率，也可以用于计算方程式的展开。
总结：排列组合与二项式定理是高中数学中重要的概念和公式。
它们在概率论、组合数学、代数等领域都有广泛应用。
高三数学排列,组合和二项式定理
精品学案：排列，组合和二项式定理高考大纲对排列，组合和二项式定理这一章的考试内容及考试要求为： 1．分类计数和分步计数原理； 2．排列组合公式3．组合组合数公式和组合数的两个性质 4．二项式定理和二项式展开式 考试要求掌握分类计数和分步计数原理，并能用他们解决一些简单的应用问题。
理解排列的意义，掌握排列的计数公式，并能用他解决一些简单的应用问题。
理解组合的意义，掌握组合的计数公式，并能用他解决一些简单的应用问题。
掌握二项式定理和他的展开式的性质，并能用他计算和证明一些简单的应用问题。
要点一计数原理1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法 要点二排列1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示3．排列数公式：(1)(2)(1)mn A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）和m n A =!()!n n m -4阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=．要点三组合1组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． 3．组合数公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C mn -=,,(n m N m n ≤∈*且4组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10=n C ；2：m n C 1+＝m n C +1-m n C要点四二项式定理1．正确理解二项式展开式中的第r ＋1项，第r ＋1项的二项式系数，第r ＋1项的系数之间的差别．2．二项系数的性质问题求二项式系数最大的项，可直接根据二项式系数的增减性与最大值性质，当为n 奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大，若求系数最大的项，则要根据各项系数的正、负变化情况并采用列不等式组、比较系数法求解．3．二项式的某项系数问题该问题解法多样，既可化归为二项式问题求解，又可从组合角度求解，一般地，三项式（a ＋b＋c）n的展开式中，a p b q c r的系数为4．赋值法在二项展开式中的运用赋值法的模式是：对任意的x∈A，某式子恒成立，那么对A中的特殊值，该式子一定成立．特殊值如何选取？视具体问题而定，没有一成不变的规律，它的灵活性较强，一般x0＝0， 1，－1取较多．一般地，多项式f(x)的各项系数和为f(1)，奇次项系数和为1[(1)(1)]2f f--，偶次项系数和为1[(1)(1)]2f f+-．如二项式系数性质。
高中数学知识点归纳排列组合与二项式定理
高中数学知识点归纳排列组合与二项式定理在高中数学中，排列组合是一种重要的概念与工具，它涉及到对对象的选取和排列的方式。
而在排列组合的基础上，我们还能引出二项式定理，进一步探讨多项式的展开与计算。
本文将对这些数学知识点进行归纳总结和讨论。
一、排列组合的基本概念1.1 排列排列是从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择若干个对象进行排列。
假设有n个不同的对象，要从中选择r个对象进行排列，可以得到的排列数记为P(n,r)。
P(n,r) = n!/(n-r)!1.2 组合组合是指从给定的一组对象中，无视其顺序，选择若干个对象。
同样假设有n个不同的对象，要从中选择r个对象进行组合，可以得到的组合数记为C(n,r)。
C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)1.3 重复排列与重复组合当给定的一组对象中存在重复的元素时，我们可以计算可能的重复排列与重复组合。
计算公式如下：重复排列：P(n1,n2,...,nk) = n!/(n1!n2!...nk!)重复组合：C(n+r-1,r) = (n+r-1)!/(r!(n-1)!)二、排列组合的应用2.1 生日问题生日问题是指在一个房间里，至少有两个人生日相同的概率有多大。
利用排列组合的思想可以很方便地解决这个问题。
在一个房间里，有n 个人，假设有365天可以选作生日。
我们可以计算至少有两个人生日相同的概率，即为1减去没有人生日相同的概率。
P(at least two people have the same birthday) = 1 - P(no two people have the same birthday)= 1 - C(365,n)/365^n2.2 二项式定理与展开二项式定理是代数中的重要定理之一，它描述了两个数之和的幂展开后的表达式。
假设有实数a和b以及正整数n，根据二项式定理可以将(a+b)^n展开为：(a+b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)*b^1 + C(n,2)a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)a^1*b^(n-1) + C(n,n)a^0*b^n2.3 二项式系数与组合恒等式二项式系数指的是二项式展开中各项的系数。
高中数学排列组合与二项式定理
高中数学排列组合与二项式定理第一篇：高中数学排列组合与二项式定理排列组合与二项式定理1．（西城区）在(2x2-A．－5 1x)的展开式常数项是 6 D．60（）B．15 C．－602．（东城区）8名运动员参加男子100米的决赛.已知运动场有从内到外编号依次为1，2，3，4，5，6，7，8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字（如：4，5，6），则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有（）A．360种 B．4320种 C．720种 D．2160种3．（海淀区）从3名男生和3名女生中，选出2名女生1名男生分别担任语文、数学、英语的课代表，则选派方案共有（）A．18种B．36种C．54种D．72种4．(崇文区)某运动队从5名男运动员和6名女运动员中选出两名男运动员和两名女运动员举行乒乓球混合双打比赛，对阵双方各有一名男运动员和一名女运动员，则不同的选法共有A．50种B．150种C．300种 D．600种（）5．（丰台区）把编号为1、2、3、4的4位运动员排在编号为1、2、3、4的4条跑道中，要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同，共有不同的排法种数是()A． 3B．6C．12D．246．（朝阳区）从4位男教师和3位女教师中选出3位教师，派往郊区3所学校支教，每校1人.要求这3位教师中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）A．210种x6B．186种 7C．180种 D．90种 7．（东城区）已知(x-)展开式的第4项的值等于5，则x= 48．（海淀区）在(ax-1)的展开式中x的系数是240，则正实数a9．（宣武区）设二项式(33x+1x)的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，n若P+S=272，则n=,其展开式中的常数项为.210．(崇文区)若(x+1x2)展开式中只有第四项的系数最大，则，展开式中的第五n项为11．（丰台区）.在(x+1a)的展开式中，含x与x项的系数相等，则a的值是 75412．（朝阳区）若(1－ax)6的展开式中x4的系数是240，则实数a的值是13．（宣武区）现有A、B、C、D、E、F、共6位同学站成一排照像，要求同学A、B相邻，C、D不相邻，这样的排队照像方式有DBCCBC7.-1715x411.53;12.±213.144第二篇：高中数学排列组合与二项式定理知识点总结排列组合与二项式定理知识点１．计数原理知识点①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM(分步)②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM(分类)２．排列（有序）与组合（无序）Anm=n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)=n!/(n-m)!Ann =n!Cnm = n!/(n-m)!m!Cnm= Cnn－mCnm＋Cnm＋1= Cn+1m+1 k•k!=(k+1)!－k!３．排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑）插空法（解决相间问题）间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；(4)列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想.４．二项式定理知识点：①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an－1b1+ Cn2an－2b2+ Cn3an－3b3+…+ Cnran－rbr+-…+ Cn n－1abn－1+ Cnnbn特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn－m最大二项式系数在中间。
高中数学排列组合及二项式定理知识点
高中数学排列组合及二项式定理知识点高中数学之排列组合二项式定理一、分类计数原理和分步计数原理：分类计数原理：完成某事有多种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。
分步计数原理：完成某事必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而每个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。
区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。
二、排列与组合：1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n个元素的问题；区别：前者有顺序，后者无顺序。
2）排列数、组合数：排列数的公式：Ann(n-1)(n-2)。
(n-m+1)=n。
注意：①全排列：Ann。
②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；排列数的性质：①AnnAn-1将从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，分两步完成：第一步从n个元素中选出1个排在指定的一个位置上；第二步从余下n-1个元素中选出m-1个排在余下的m-1个位置上）②AnmAn-1An-1将从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，分两类完成：第一类：m个元素中含有a，分两步完成：第一步将a排在某一位置上，有m不同的方法。
第二步从余下n-1个元素中选出m-1个排在余下的m-1个位置上）即有mAn-1种不同的方法。
第二类：m个元素中不含有a，从n-1个元素中取出m个元素排在m个位置上，有An-1种方法。
组合数的公式：Cmnmm!(n-m)!/m!组合数的性质：CnCn从n个不同的元素中取出m个元素后，剩下n-m个元素，也就是说。
高中数学专题讲解排列组合及二项式定理
排列组合及二项式定理【基本知识点】1．二项式系数的性质：(a b)n展开式的二项式系数是C n0， C n1， C n2，,， C n n． C n r可以看成以r为自变量的函数 f ( r ) ，定义域是{0,1, 2, , n} ，（ 1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵C n m C n n m）．（ 2）增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间一项n n 1n1C n2取得最大值；当n是奇数时，中间两项C n2， C n2取得最大值．（ 3）各二项式系数和：∵(1x)n 1 C n1 x C n r x r x n，令 x 1，则2n C n0C n1C n2C n r C n n【常见考点】一、可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店” ，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数。
（1）有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有 4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）34（ 2）43（3）43二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.（ 4）A, B, C, D, E五人并排站成一排，如果A, B 必须相邻且B 在 A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把 A, B 视为一人，且 B 固定在 A 的右边，则本题相当于 4 人的全排列，A4424 种（ 5） 3 位男生和3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A.360B. 188C.216D.96【解析】：间接法 6 位同学站成一排， 3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，C32A 22A 24 A 22 =432 种高☆考♂资♀源 ?网☆其中男生甲站两端的有 A 12C32 A 22A 23 A 22 =144 ，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端 .（ 6）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余 5 个排列数为A5种，再用甲乙去插 6 个空位有A2种，不同的排法种数是A5 A23600 种5656（ 7）书架上某层有 6 本书，新买 3 本插进去，要保持原有 6 本书的顺序，有种不同的插法（具体数字作答）【解析】： A 17A 18A 19 =504（8）马路上有编号为 1， 2，3, ， 9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析】：把此问题当作一个排对模型，在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯C53种方法 , 所以满足条件的关灯方案有10 种.四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
高中数学排列组合及二项式定理知识点
高中数学之排列组合二项式定理一、分类计数原理和分步计数原理：分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。
分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。
区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n 个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。
二、排列与组合：（1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题； 区别：前者有顺序，后者无顺序。
（2）排列数、组合数：排列数的公式：)()!(!)1()2)(1(n m m n n m n n n n A m n ≤-=+---= 注意：①全排列：!n A n n =； ②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；排列数的性质：①11--=m n m n nA A （将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两步完成：第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上；第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）②m n m n m n A mA A 111---+=（将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两类完成：第一类：m 个元素中含有a ，分两步完成：第一步将a 排在某一位置上，有m 不同的方法。
第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）即有11--m n mA 种不同的方法。
第二类：m 个元素中不含有a ，从1-n 个元素中取出m 个元素排在m 个位置上，有m n A 1-种方法。
二项式定理与排列组合的知识点总结
二项式定理与排列组合的知识点总结二项式定理是高中数学中的一个重要定理，它与排列组合有着密切的联系。
本文将对二项式定理和排列组合的知识点进行总结，希望能够为读者提供清晰明了的概念和理解。
一、排列组合的基本概念排列组合是数学中研究对象的一种组织方式。
排列是指将一组元素按照一定顺序进行布置，而组合是指从一组元素中取出若干元素组成一个集合。
1. 排列排列是指从一组元素中有序地选取若干个元素进行布置。
主要分为两种类型：有放回排列和无放回排列。
有放回排列是指在选择完元素后将其放回原处，元素可以被多次选取。
而无放回排列是指在选择完元素后不放回，下次选择时不能再选取。
2. 组合组合是指从一组元素中无序地选择若干个元素进行组合。
同样地，组合也可以分为有放回组合和无放回组合两种类型。
二、二项式定理的概念和公式二项式定理是代数学中的一个重要定理，用于展开二项式的幂。
它表述了如下公式：(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n其中，a，b是实数或者变量，n为非负整数。
C(n, k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数，也称为二项系数。
具体计算公式如下：C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)三、二项式定理与排列组合的关系二项式定理中的二项系数C(n, k)正是组合数的计算公式，说明了二项式展开式中各项系数的求解方法。
1. 二项式系数的性质二项系数具有一些重要的性质，包括对称性、加法原理和乘法原理等。
这些性质在解决排列组合问题时具有重要的指导作用。
2. 应用举例利用二项式定理和排列组合的知识，可以解决一些实际问题。
比如，求解一组数的幂展开式中某一项的系数、计算某些特殊排列组合的总数等等。
四、应用示例在实际应用中，二项式定理与排列组合经常被用于解决一些概率、统计和计算问题。
排列组合与二项式定理
B． 24种 D． 36种
解析：因为恰有2人选修课程甲，共有C2 4 6 种结果，所以余下的两个人各有两种选法， 共有2 2 4种结果，根据分步计数原理知共 有6 4 24种结果．
2.(2011 重庆卷) 1 2x 的展开式中x 4的系数是
6
_________ .
r r 解析：展开式的通项为Tr 1 2r C6 x. 4 令r 4得展开式中x 4的系数是24 C6 240.
4 得常数1 1 C8 70； 4
当第一个括号中取2x 2时，则第二个括号必取
5
1 x2
5 项，由通项易知当r 5时，取得常数2 1 C8
112，所以展开式中常数项为 112 70 42.
【思维启迪】本题主要考查二项式定理的通项 公式及分类讨论的思想方法．解答两个因式 积的展开式问题主要有两种途径：
究；
6 近似计算：构造二项式，展开后根据精确度的要
求分析应取前几项，从哪项开始去掉后面的所有项．
拍卖预展 龙威
1.(2 011 全国大纲卷)4位同学每人从甲、乙、丙3 门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同 选法共有 A． 12种 C． 30种
专题三
排列、组合、二项式 定理、概率与统计
1．计数原理 分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办 法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同 的方法， ，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么 完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法． 分步计数原理：完成一件事，需要n个步骤，做 第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N m1 m2 mn种不同的方法．
数学中的排列组合与二项式定理
数学中的排列组合与二项式定理在数学中，排列组合和二项式定理是重要的概念和原理。
它们在解决问题、计算概率等方面起着重要的作用。
一、排列组合排列组合是数学中用来描述和计算对象排列和选择方式的概念。
排列是从一组对象中选取若干个进行有序排列，而组合是从一组对象中选取若干个进行无序组合。
1.1 排列排列是从一组对象中选取若干个进行有序排列的方式。
假设我们有n个不同的对象，要从中选取r个进行排列，则排列的方式数用P(n,r)表示。
计算排列的方式数的公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
排列的应用非常广泛，比如在数学竞赛中，求解一道题目需要按照一定的规则对给定的元素进行排列。
1.2 组合组合是从一组对象中选取若干个进行无序组合的方式。
与排列不同，组合不考虑对象的顺序。
假设我们有n个不同的对象，要从中选取r个进行组合，则组合的方式数用C(n,r)表示。
计算组合的方式数的公式为：C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)组合通常用于解决计算概率、统计样本等问题。
比如在概率问题中，我们需要计算从一组给定的元素中选取若干个元素的所有可能组合的概率。
二、二项式定理二项式定理是数学中一个非常重要的定理，它描述了如何展开一个二项式的幂。
一个二项式表示如下：(a + b)^n其中，a和b是实数或者变量，n是非负整数。
二项式定理给出了展开(a + b)^n所得的多项式的各项系数。
二项式定理的表达式如下：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n,r)表示从n个元素中选取r个元素的组合数量。
排列组合与二项式定理
排列组合和二项式定理是数学中的重要概念，它们在很多领域都有应用，包括统计学、概率论和计算物理等。
排列组合主要研究的是从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的排列和组合问题。
排列是指按照一定的顺序将元素进行排列，而组合则是指不考虑顺序地将元素进行组合。
排列和组合都有各自的数量表示方法，即排列数和组合数。
二项式定理则是用来展开二项式的定理，它的一般形式是(a+b)的n次方的展开式。
这个定理的证明可以通过归纳法和乘法原理进行。
二项式定理的各项系数，即合并同类项后的系数，可以用排列数来表示。
二项式定理的证明有很多种，其中一种基于其组合意义的证明方法是通过选择第i 个元素或者不选择第i个元素来进行证明。
此外，排列组合和二项式定理都涉及到可重元素的问题。
对于可重元素的情况，需要考虑到元素的重复次数和排列的顺序等因素。
对于含有相同元素的排列问题，可以通过设重集S的方法来求解排列个数。
总的来说，排列组合和二项式定理是密切相关的数学概念，它们在很多数学问题和实际问题中都有应用。
高中高三数学《排列组合与二项式定理》教案、教学设计
（二）教学设想
针对以上重难点，我设想以下教学策略：
1.创设情境，激发兴趣：
2.分层次教学，注重个体差异：
针对学生的不同水平，设计不同难度的题目，使学生在解决问题的过程中逐步提高。对于基础薄弱的学生，重点讲解排列组合的基本概念和计算方法；对于基础较好的学生，引导他们探索二项式定理的推导过程，提高解决问题的能力。
1.讲解排列组合的基本概念，如排列、组合的定义，以及它们之间的区别。
2.通过实例，引导学生掌握排列数、组合数的计算方法，并强调在实际问题中的应用。
3.介绍二项式定理的推导过程，让学生理解定理的含义，并学会运用定理进行计算。
4.结合典型例题，讲解排列组合与二项式定理在解决问题时的应用方法。
（三）学生小组讨论
2.在解决实际问题时，学生可能难以把握问题的实质，不能将问题转化为排列组合问题进行求解；
3.对于二项式定理，学生可能对其推导过程理解不深，难以灵活运用定趣和积极性有所差异，影响学习效果。
针对以上情况，教师在教学过程中应关注学生的个体差异，设计有针对性的教学活动，引导学生积极参与，激发学生的学习兴趣，帮助他们克服困难，提高解决问题的能力。同时，注重培养学生的数学思维，提高他们对数学学科的认识，为高考数学复习打下坚实基础。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.教学重点：
（1）排列组合的基本概念及其在实际问题中的应用；
（2）排列数、组合数的计算方法；
（3）二项式定理的推导过程及其应用。
2.教学难点：
（1）学生对于排列组合概念的混淆，难以区分排列与组合的计算方法；
（2）学生在解决实际问题时，难以将问题转化为排列组合问题；
高中数学知识点总结及公式大全排列组合与二项式定理
高中数学知识点总结及公式大全排列组合与二项式定理高中数学知识点总结及公式大全：排列组合与二项式定理一. 排列组合排列组合是高中数学中重要的知识点之一，用于解决计数问题。
排列组合分为排列和组合两种情况。
1. 排列排列是指从一组对象中按照一定的顺序选择若干个对象进行排列。
高中数学中常用的排列公式为：An= n!/(n-r)!，其中n表示总数，r表示选取的个数。
排列的特点是考虑顺序，即不同的顺序被视为不同的排列。
2. 组合组合是指从一组对象中选择若干个对象进行组合，不考虑顺序。
高中数学中常用的组合公式为：Cn= n!/[(n-r)!*r!]，其中n表示总数，r表示选取的个数。
组合的特点是不考虑顺序，即不同的顺序被视为相同的组合。
二. 二项式定理二项式定理是高中数学中的重要定理之一，用于展开一个任意次数的二项式表达式。
二项式定理的公式为：(a+b)^n = Cn0 * a^n * b^0 + Cn1 * a^(n-1) * b^1 + Cn2 * a^(n-2) * b^2 + ... + Cnr * a^(n-r) * b^r + ... + Cnn * a^0 * b^n 其中Cnr代表组合数，表示从n中选取r个的组合数。
三. 相关数学公式除了排列组合和二项式定理，高中数学还有许多重要的公式需要掌握。
1. 三角函数相关公式：- 三角恒等式：sin^2x + cos^2x = 1；tanx = sinx/cosx- 三角和差公式：sin(x ± y) = sinx*cosy ± cosx*siny；cos(x ± y) = cosx*cosy - sinx*siny- 三角倍角公式：sin2x = 2sinxcosx；cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x2. 数列与数列求和公式：- 等差数列通项公式：an = a1 + (n-1)d；等差数列前n项和公式：Sn = n/2(a1 + an) = n/2(2a1 + (n-1)d)- 等比数列通项公式：an = a1 * r^(n-1)；等比数列前n项和公式：Sn = (a1(1-r^n))/(1-r)3. 平面几何相关公式：- 点到直线的距离公式：d = | Ax0 + By0 + C | / √(A^2 + B^2)- 两点间距离公式：d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]- 矩形面积公式：S = a * b- 三角形面积公式：S = 1/2 * a * b * sinγ以上只是数学知识点的一部分，针对不同的题目和问题，可能还需要运用其他公式和方法进行解题。
排列组合二项式定理
排列组合与二项式定理1. 排列组合排列组合是概率论与组合数学中非常重要的概念。
它们在各种数学和统计问题中起着关键作用。
在本文档中，我们将介绍排列组合的基本概念，以及它们在计算二项式定理中的应用。
1.1 排列排列是指从一组元素中选取一部分，按一定的顺序进行排列。
在数学符号中，排列表示为 nPm，其中 n 表示可选元素的数量， m 表示选取的元素的数量。
排列的计算公式如下：nPm = n! / (n-m)!其中，! 表示阶乘操作，即将一个正整数 n 与所有小于它的正整数相乘。
1.2 组合组合是指从一组元素中选取一部分，不考虑顺序的情况。
在数学符号中，组合表示为 nCm，其中 n 表示可选元素的数量， m 表示选取的元素的数量。
组合的计算公式如下：nCm = n! / (m! * (n-m)!)1.3 例子假设有一个由 A、B、C 三个元素组成的集合。
我们希望从中选取两个元素进行排列和组合，那么可以使用排列和组合的计算公式进行计算：•排列：3P2 = 3! / (3-2)! = 3•组合：3C2 = 3! / (2! * (3-2)!) = 3可以看到，排列结果为 3，即从集合中选取两个元素并进行排列的结果有 3 种。
而组合结果也为 3，即从集合中选取两个元素并进行组合的结果有 3 种。
2. 二项式定理二项式定理是指一个二项式的任意幂展开式的结果。
在数学中，一个二项式的一般形式为 (a + b)^n，其中 a 和 b 是实数，n 是正整数。
二项式定理通过展开这个二项式，给出了展开式中各项的系数。
二项式定理的公式如下：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + …+ C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素进行组合的数量。
2.1 例子假设我们希望展开 (a + b)^3 这个二项式。
高考数学易错点第15讲：计数原理与排列组合、二项式定理
高考数学易错点第15讲：计数原理与排列组合、二项式定理易错分析【正解】一、混淆二项式系数与项的系数致错1．523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（）A ．10B ．20C ．90D ．80【错解】A ，由题可得()5210315533rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⋅⋅⎪⎝⎭⋅⋅令103r 4-=,则r 2=,所以523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为2510C =，故选A.【错因】【正解】2、()11a b -的展开式中,系数最大的项是第项【错解】6或7，()11a b -的展开式中共12项,第6项的系数为511C,第7项的系数为611C ,又511C=611C ，所以数最大的项是第6或7项.【错因】【正解】二、忽略二项展开式的通项是第r+1项不是第r 项致错3、二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第二项是（）A ．260x B ．260x -C ．412x D ．412x -【错解】展开式的通项为()662C rrrx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭,令2r =,可得展开式的第二项为22462C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=260x .故选A.【错因】【正解】三、混淆均匀分组与部分均匀分组致错4、某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为（）A ．2264A CB ．22642A C C ．2264A A D ．262A 【错解】选A ，先将4名学生均分成两组方法数为24C ,再分配给6个年级中的2个分配方法数为26A ,根据分步计数原理合要求的安排方法数为2246C A ．【错因】【正解】5．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（）A ．72B ．108C ．216D ．432【错解】A ，根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有2113421333C C C A A ⋅种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有23A 种分法，所以共有211324213333C C C A A 72A ⋅⋅=种不同的分配方案.【错因】【正解】四、计数时混淆有序与定序6方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．【错解】1010A ，原先有七个节目，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，则不同的排列方法有1010A 种．【错因】【正解】7、身高互不相同的七名学生排成一排,从中间往两边越来越矮,不同的排法有（）A ．5040种B ．720种C ．240种D ．20种【错解】最高个子站在中间,只需排好左右两边,第一步：先排左边,有36A 120=种排法,第二步：排右边,有33A 种排法,根据分步乘法计数原理,共有1206720⨯=种,故选B ．【错因】【正解】五、混淆排列与组合导致计数错误8．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是()A ．1260B ．2025C ．2520D ．5040【错解】先从10人中选出2人承担甲任务；再从余下8人中选出2人分别承担乙任务、丙任务．根据分步乘法计数原理，不同的选法共有21110875040A A A =种．故选A.【错因】。
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【高考数学培优专题】第十五讲排列组合与二项式定理A 组一、选择题1．(2017全国2卷理)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种【答案】D【解析】22234236C C A =,故选D。
2．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种答案B【解析】先放1、2的卡片有C 13种，再将3、4、5、6的卡片平均分成两组再放置，有224222C A A ⋅种，故共有123418C C ⋅=种．3．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1名至第5名（没有重名次）.已知甲、乙均未得到第1名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况可能有（）A ．27种B ．48种C ．54种D ．72种【答案】C[【解析】由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有33A 种排法．故共有543333=⋅⋅A 种不同的情况,故选C.4．(2017年全国3卷理)(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为（）A．-80B．-40C．40D．80【答案】C【解析】由()52x y -展开式的通项公式：()()5152rrrr T C x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()33252140C ⨯⨯-=-当2r =时，()52y x y -展开式中33x y的系数为()22352180C ⨯⨯-=，则33x y的系数为804040-=.本题选择C 选项.4．已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（）B. C.6D-6【答案】D.【解析】r rr rr xa C T -+-=2551)1(，令1=r ，可得6305-=⇒=-a a ，故选D.5．某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A ．30B ．600C ．720D ．840【答案】C【解析】4475720A A -=．二、填空题6．（2017天津卷理）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】1080【解析】413454541080A C C A +=6．371()x x+的展开式中5x 的系数是.（用数字填写答案）【答案】35【解析】由题意，二项式371()x x+展开的通项372141771()()r rr r r r T C x C x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =.7．若21(n x x-展开式的二项式系数之和为128，则展开式中2x 的系数为______.【答案】35【解析】由题意2128n=，7n =，展开式通项为271431771()()(1)rrr r r r r T C x C x x--+=-=-，令1432r -=，4r =，故2x 的系数为447(1)35C -=．三、解答题8．给图中A 、B 、C 、D 、E 、F 六个区域进行染色,每个区域只染一种颜色,且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择,则共有多少不同的染色方案.A BCD E F （第7题图）【解析】先染ABC 有34A 种,若A,F 不相同,则F,E,D 唯一;若AF 相同,讨论EC,若EC 相同,D 有2种,则3412A ⨯⨯,若EC 不相同,D 有1种,则3411A ⨯⨯.所以一共有34A +3412A ⨯⨯+3411A ⨯⨯=96种.9．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲,分别按下列要求,各有多少种不同选法?(用数字作答)(1)男、女同学各2名.(2)男、女同学分别至少有1名.(3)在(2)的前提下,男同学甲与女同学乙不能同时选出.【解析】(1)224544()1440C C A =所以男、女同学各2名共有1440种选法.(2)13223145454544()2880C C C C C C A ++=所以男、女同学分别至少有1名共有2880种选法,(3)2112434344[120()]2376C C C C A -++=所以在(2)的前提下,男同学甲与女同学乙不能同时选出共有2376种选法.10．在二项式412nx x ⋅的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，求有理数都互不相邻的概率【解析】展开式通项为14()2rn rrr nT C x x-+=⋅2342n r r rnC x--=⋅⋅（0r n ≤≤），由题意1100222222n n n C C C --⋅=⋅+⋅，8n =．所以当0,4,8r =时1634r-为整数，相应的项为有理数，因此题二项式展开式中共有9项，其中有3项是有理数，6项是无理数，所求概率为636799512A A P A ==．11．设20sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，求()622x x x ⎛⋅+ ⎝的展开式中常数项。
【解析】()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰，6()x x =6-的展开式的通项为663166((1)2r r r r r r r r T C C x ---+==-⋅⋅，所以所求常数项为3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-．B 组二、选择题1、二项式(1)()nx n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r r r n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ．2、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）（A ）144个（B ）120个（C ）96个（D ）72个【答案】B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个.选B.3、已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.122B ．112C ．102D ．92【答案】D【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73n n C C =，解得10=n ，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯.4、若n⎛⎫的展开式中的二项式系数之和为64，则该展开式中3y 的系数是（）A ．15B ．15-C ．20D ．20-【答案】A【解析】由题意得264,6n n ==，因此3363622166r r rr r r r T C C x y---+==，从而333,42r r -==，因此展开式中3y 的系数是426615.C C ==选A.二、填空题5、53x ⎛ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).【答案】52【解析】二项展开式通项为7153521551()()2k k kkk k k T C x C x --+==，令71582k-=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =.6、已知55104)1()1()1)(2(++⋅⋅⋅+++=-+x a x a a x x ，则=++531a a a ____.[来源:]【答案】1【解析】在已知式中，令0x =得40123452(1)2a a a a a a +++++=⨯-=①，令2x =-得0123450a a a a a a -+-+-=②，①－②得1352()2a a a ++=，所以1351a a a ++=．三、解答题7、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数有多少种。
【解析】四棱锥为P ABCD -.下面分两种情况，即①C 与B 同色.各个点的不同的染色方法：点p 有15C 种；点A 有14C ；点B 有13C 种.点D 有13C 种.共有11115433180C C C C =种不同的方法.②C 与B 不同色讨论.点p 有15C 种；点A 有14C ；点B 有13C 种.C 与B 不同色有12C 种；点D 有12C 种.共有1111154322240C C C C C =种不同的方法.综上，共有180240420+=种不同的染色方法.8、在二项式n 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中各项的系数和.【解析】（1）写出二项式的展开式的特征项，当x 的指数是1,2,3时，把1,2,3代入整理出这些项的系数的值即：00122111()(()222n n nC C C -,,.（2）根据上一问得出的结论令1x =即可.解题的关键是写出展开式的特征项，利用特征项的特点解决问题，注意代数式的整理，特别是当分母上带有变量时注意整理.解：展开式的通项为2311((0,1,22n rr r r n T C x r -+=-=,…,)n 由已知：00122111()()()222nn n C C C -,,成等差数列，∴121121824nn C C n ⨯=+∴=, （1）5358T =（2）令1x =，各项系数和为12569、在二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-213的展开式中，恰好第五项的二项式系数最大．（1）求展开式中各项的系数和；（2）求展开式中的有理项．【解析】在展开式中，恰好第五项的二项式系数最大，则展开式有9项，∴8=n ．∴二项式8321⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 中，令1=x ，展开式中各项的系数和为25612118=⎪⎭⎫⎝⎛-．（2）通项公式为3488838121()21()(rr r r rr r x C x x C T --+-=-=，r=0，1，2， (8)当348r -为整数，即8,5,2=r 时，展开式是有理项，有理项为第3、6、9项，即72102823=⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x C T ；4458564721---=⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x C T ；888889264121---=⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x C T ．10、已知()(23)nf x x =-展开式的二项式系数和为512，且2012(23)(1)(1)n x a a x a x -=+-+-(1)n n a x ++- .（1）求2a 的值；（2）求123n a a a a ++++ 的值.【解析】（1）根据二项式的系数和即为2n，可得25129nn =⇒=，因此可将()f x 变形为99()(23)[2(1)1]f x x x =-=--，其二项展开式的第1r +为9919(1)2(1)(09)r r r r r T C x r --+=--≤≤，故令7r =，可得727292(1)144a C =-=-；（2）首先令令901,(213)1x a ==⨯-=-，再令令2x =，得901239(223)1a a a a a +++++=⨯-= ，从而1239012390()2a a a a a a a a a a ++++=+++++-= .（1）由二项式系数和为512知，9251229nn ==⇒=2分，99(23)[2(1)1]x x -=--，∴727292(1)144a C =-=-6分；（2）令901,(213)1x a ==⨯-=-，令2x =，得901239(223)1a a a a a +++++=⨯-= ，∴1239012390()2a a a a a a a a a a ++++=+++++-= 12分．C 组三、选择题1、25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为()（A ）10（B ）20（C ）30（D ）60【答案】C【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y的系数为212532C C C =30，故选C.2、某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A.72B.120C.144D.3解：先排歌舞，有33A 种不同排法，再插入小品和相声，若小品插入两边，则不合题意；若两个小品插入中间的两个空，×^×^×，则1个相声可以插入中间和两边6个位置的任意一个，有2126A A 种；若两个小品插入2个中间位置中的1个和两边中任意一个位置，则1个相声只能插入2个中间位置中的另一个，有224A ，由加法原理和乘法原理得，共有32123262(4)120A A A A +=。