【高考数学培优专题】第15讲 排列组合与二项式定理

【高考数学培优专题】

第十五讲排列组合与二项式定理

A 组

一、选择题

1．(2017全国2卷理)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种【答案】D

【解析】222

34236C C A =,故选D。

2．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有(

)A ．12种B ．18种

C ．36种

D ．54种

答案

B

【解析】先放1、2的卡片有C 13种，再将3、4、5、6的卡片平均分成两组再放置，有2

2

422

2C A A ⋅种，故共有123418C C ⋅=种．

3．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1名至第5名（没有重名次）.已知甲、乙均未得到第1名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况可能有（）

A ．27种

B ．48种

C ．54种

D ．72种

【答案】C[

【解析】由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有33A 种排法．故共有54333

3=⋅⋅A 种不同的情况,故选C.4．(2017年全国3卷理)(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为（）

A．-80B．-40C．40D．80

【答案】C

【解析】由()

5

2x y -展开式的通项公式：()()

5152r

r

r

r T C x y -+=-可得：

当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()332

52140

C ⨯⨯-=-当2r =时，()5

2y x y -展开式中33

x y

的系数为()2

2

3

52180C ⨯⨯-=，

则3

3

x y

的系数为804040-=.

本题选择C 选项.

4．已知5

的展开式中含3

2

x 的项的系数为30，则a =（

）

B. C.6D-6

【答案】D.【解析】

r r

r r

r x

a C T -+-=2

55

1)1(，令1=r ，可得6305-=⇒=-a a ，故选D.

5．某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（

）

A ．30

B ．600

C ．720

D ．840

【答案】C

【解析】4475720A A -=．

二、填空题

6．（2017天津卷理）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】1080

【解析】4134

54541080

A C C A +=6．3

7

1()x x

+的展开式中5

x 的系数是

.（用数字填写答案）

【答案】35

【解析】由题意，二项式3

71()x x

+展开的通项372141771

()

()r r

r r r r T C x C x x

--+==，令2145r -=，得4r =，则5

x 的系数是4

735C =.

7．若2

1(n x x

-展开式的二项式系数之和为128，则展开式中2

x 的系数为______.【答案】35

【解析】由题意2128n

=，7n =，展开式通项为271431771

()

()(1)r

r

r r r r r T C x C x x

--+=-=-，令1432r -=，4r =，故2x 的系数为447(1)35C -=．

三、解答题

8．给图中A 、B 、C 、D 、E 、F 六个区域进行染色,每个区域只染一种颜色,且相邻的区域不同色.若有4种

颜色可供选择,则共有多少不同的染色方案.

A B

C

D E F （第7题图）

【解析】先染ABC 有34A 种,若A,F 不相同,则F,E,D 唯一;若AF 相同,讨论EC,若EC 相同,D 有2种,则3

412A ⨯⨯,若EC 不相同,D 有1种,则3411A ⨯⨯.所以一共有34A +3412A ⨯⨯+3411A ⨯⨯=96种.

9．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲,分别按下列要求,各有多少种不同选法?(用数字作答)

(1)男、女同学各2名.

(2)男、女同学分别至少有1名.

(3)在(2)的前提下,男同学甲与女同学乙不能同时选出.【解析】(1)2

2

4

544()1440C C A =所以男、女同学各2名共有1440种选法.(2)1

3

2

2

3

1

4

5454544()2880

C C C C C C A ++=所以男、女同学分别至少有1名共有2880种选法,(3)2

1

1

2

4

34344[120()]2376

C C C C A -++=所以在(2)的前提下,男同学甲与女同学乙不能同时选出共有2376种选法.

10．在二项式4

12n

x x ⋅的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，求有理数都互不相邻的概率

【解析】展开式通项为14

()2r

n r

r

r n

T C x x

-+=⋅234

2n r r r

n

C x

--=⋅⋅（0r n ≤≤），由题意

11002

22222n n n C C C --⋅=⋅+⋅，8n =．所以当0,4,8r =时

1634

r

-为整数，相应的项为有理数，因此题二项式展开式中共有9项，其中有3项是有理数，6项是无理数，所求概率为63679

95

12

A A P A ==．11．设20

sin 12cos 2x a x dx π

⎛⎫=

-+ ⎪⎝⎭⎰

，求()6

2

2x x x ⎛⋅+ ⎝

的展开式中常数项。【解析】()20

0sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x π

ππ⎛⎫=

-+=+=-+= ⎪⎝

⎭⎰

⎰，6()x x =