2021届江苏省徐州市市区部分学校高三上学期9月学情调研考试数学试题(解析版)

2021届江苏省徐州市市区部分学校高三上学期9月学情调研
考试数学试题
一、单选题
1．已知集合{}1,2,3A =，{
2
20B x x x =--<且}x Z ∈，则A
B =（ ）
A ．{}1
B ．{}1,2
C ．{}0,1,2,3,
D ．{}1,0,1,2,3-
【答案】A
【解析】先求解出一元二次不等式的解集为集合B ，然后根据交集运算直接求解出
A B 的结果.
【详解】
由题意{}
{}12,0,1B x x x Z =-<<∈=，所以{}1A B ⋂=， 故选：A. 【点睛】
本题考查集合的交集运算，其中涉及到一元二次不等式的解法，难度较易.
2．某大学4名大学生利用假期到3个山村参加基层扶贫工作，每名大学生只去1个山村，每个山村至少有1人去，则不同的分配方案共有（ ） A ．6种 B ．24种 C ．36种 D ．72种
【答案】C
【解析】由题意可知先从4名大学生中选出两名作伴，再分配到每个山村，得到结果. 【详解】
根据题意有两个人是分到同一个地方的， 先选出两人作伴，之后再进行全排，
则由分步计数原理有23
4336C A ⋅=（种），
故选：C. 【点睛】
该题考查的是有关排列组合的问题，涉及到的知识点有分步乘法计数原理，属于基础题目.
3．甲、乙、丙、丁四位同学被问到谁去过长城时，甲说：“我没去过”，乙说：“丁去过”，丙说：“乙去过”，丁说：“我没去过”，假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一
定去过长城的是（ ） A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】B
【解析】由题设可得乙和丁说的话矛盾，从而可得二人中必有一个人的话为假话，从而可判断其余的人为真话，故可得正确的选项. 【详解】
由题意可知乙与丁说的话矛盾，故说假话的人必然在他们二人之中，再由题意只有一个人说的话为假话，则丙必定说了真话，则可判断一定去过长城的是乙， 故选：B. 【点睛】
本题考查推理与论证，注意利用矛盾律来帮助推理，本题属于容易题.
4．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()1221 2.5lg lg m m E E -=-.其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是(当x 较小时，
2101 2.3 2.7x x x ≈++)
A ．1.24
B ．1.25
C ．1.26
D ．1.27
【答案】C
【解析】根据题意，代值计算，即可得r ，再结合参考公式，即可估算出结果. 【详解】 根据题意可得：
()211 1.25 2.5lgE lgE -=-
可得12110E lg
E =，解得1
1
102
10E r E ==， 根据参考公式可得11
1 2.3 2.7 1.25710100
r ≈+⨯+⨯=， 故与r 最接近的是1.26.
故选：C. 【点睛】
本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.
5．设,,a b c 为单位向量，且0a b ⋅=，则()()
a c
b
c -⋅-的最小值为（ ） A ．－2 B
2
C ．－1
D ．1
【答案】D
【解析】先根据条件计算出a b +的值，然后将()()
a c
b
c -⋅-展开计算，根据余弦函数的取值范围求解出()()
a c
b
c -⋅-的最小值. 【详解】
由题意可知0a b ⋅=，所以22
22a b a a b b +=
+⋅+=，
所以()()()
2
1cos ,a c b c a b a b c c a b c a b c -⋅-=⋅-+⋅+=-+⋅⋅<+
>，
所以()()12cos ,12a c b c a b c -⋅-=-⋅<+>≥-,a c b +同向，
所以()()a c b c -⋅-的最小值为1
故选：D. 【点睛】
本题考查根据向量的数量积运算求解最小值，难度一般.求解和向量有关的最值问题时，可以借助向量夹角的余弦值的 “有界性”去分析问题.
6．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为n π，那么用圆的内接正2n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值加2n π可表示成（ ）
A ．
360sin
n
n
π︒
B ．
360cos
n
n
π︒ C ．
180cos
n
n
π︒ D ．
90cos
n
n
π︒ 【答案】C
【解析】设圆的半径为r ，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：
180180
sin
cos
n n n n
π⨯=⨯，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：
2180
sin
n n n
π⨯=，问题得解. 【详解】
设圆的半径为r ，将内接正n 边形分成n 个小三角形， 由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：
221360sin
2r n r n π≈⨯⨯，整理得：1360
sin 2n n
π≈⨯⨯， 此时1360sin 2n n n π⨯
⨯=，即：180180
sin cos
n n n n
π⨯=⨯ 同理，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：
2213602sin
22r n r n π≈⨯⨯，整理得：1360180
2sin sin 22n n n n
π≈⨯⨯=⨯ 此时2180sin
n n n
π⨯= 所以
2180
sin
180
cos
n
n n n
n
ππ==⨯ 故选C 【点睛】
本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．
7．用一平面截正方体，所得截面的面积最大时，截面的几何形状为（ ） A ．正六边形 B ．五边形
C ．矩形
D ．三角形
【答案】C 【解析】1 【详解】
由题意用一平面截正方体，所得截面可以为正六边形、五边形、矩形、三角形，而当截面为矩形时，为体对角线为长、正方体棱长为宽的矩形，可知该截面为最大面积. 故答案选C.
8．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若∀x ∈R ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围是（ ） A ．{x |x ≠±1}
B ．(－1，0)∪(0，1)
C ．(－1，1)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【答案】D
【解析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出0x <的取值范围． 【详解】
解：当0x >时，由2()()20f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得：
22()()20xf x x f x x +'-< 设：22()()g x x f x x =-
则2()2()()20g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：
()g x ∴在(0,)+∞单调递减，
由()()2
1x f x f -21x <-
()()2211x f x x f ∴-<-
即()()1g x g < 即1x >；
当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-
综上可知：实数x 的取值范围为(-∞，1)(1-⋃，)+∞， 故选：D ． 【点睛】
主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题．
二、多选题
9．若01,1c a b <<>>，则（ ） A ．log log a b c c > B ．c c ab ba >
C ．log log b a a c b c
>
D ．()()a b c b a c ->-
【答案】AB
【解析】由对数函数的知识可判断A 、C ，由幂函数的知识可判断B ，根据不等式的性质可判断D. 【详解】
因为01,1c a b <<>>，所以由对数函数得单调性得log log 0c c a b <<， 则由换底公式有11
0log log c c a b
>
>，即0log log a b c c >>，则选项A 正确；
由题意1
c y x
-=为减函数，所以11c c b a -->，且0ab >，则由不等式的基本性质得
c c ab ba >，则选项B 正确；
由题意0log log a b c c >>，又a ＞b ＞1，则log log b a a c b c <，则选项C 错误； 由题意,ac bc ac bc >-<-，所以ab ac ab bc -<-，即()()a b c b a c -<-，则选项D 错误； 故选：AB 【点睛】
本题考查的是对数函数、幂函数和不等式的性质，考查了学生的基础知识水平，较综合. 10．下列四个命题中，真命题为（ ） A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足
1
R z
∈，则z R ∈ C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈
D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则
12z z =
【答案】AB
【解析】利用特值法依次判断选项即可得到答案. 【详解】
对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确； 对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1
a z
=，其中a R ∈，且0a ≠， 则1
z R a
=
∈，则选项B 正确； 对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，
但z i R =∉，则选项C 错误；
对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ， 而21z i z =-≠，则选项D 错误； 故答案选：AB 【点睛】
本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，
属于简单题.
11．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则（ ） A ．C 的准线方程为y ＝1 B ．线段PQ 长度的最小值为4 C ．M 的坐标可能为(3，2) D ．OP OQ ＝－3
【答案】BCD
【解析】根据条件可得出2p =，易得A 、B 的正误，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x =my +1，联立x =my +1，y 2＝2px ，算出12121212,,,x x x x y y y y ++即可得出C 、D 的正误. 【详解】
焦点F 到准线的距离为p =2，所以抛物线C 的焦点为(1，0)，准线方程为x=－1，则选项A 错误；
当PQ 垂直于x 轴时长度最小，此时P (1，2)，Q (1，－2)，所以|PQ|=4，则选项B 正确； 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x =my +1，联立x =my +1，y 2＝2px ， 消去y 可得x 2－(4m 2+2)x+1=0，消去x 可得y 2－4my －4=0，所以x 1+x 2=4m 2+2，y 1+y 2=4m ， 当m =1时，可得M (3，2)，则选项C 正确；
又x 1x 2=1，y 1y 2=－4，所以OP OQ ＝x 1x 2+y 1y 2=－3，则选项D 正确； 故选：BCD 【点睛】
本题考查的是直线与抛物线的位置关系，考查了学生的分析能力，属于中档题. 12．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N)，则（ ）
A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·
a 2021 B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1 C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021 D ．
a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0
【答案】ABD
【解析】对于A ，由题意得b n ＝
4
πa n 2
，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】 由题意得b n ＝
4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4
π
a 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·
a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；
数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误； 由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·
a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】
此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题
三、填空题
13．某公司的广告费支出x (单位：万元)与营业额y (单位：万元)之间呈线性相关关系，收集到的数据如下表：
由最小二乘法求得回归直线方程为0.67y x a =+，则a 的值为__________． 【答案】54.9
【解析】算出x 、y 后可求a 的值. 【详解】
由线性回归方程的定义及表数据可得x =30，y =75，所以a =54.9． 故答案为：54.9 【点睛】
本题考查线性回归方程的性质，注意回归直线必定经过样本中心()
,x y ，本题属于基础题.
14．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m n ⊥；②αβ⊥；③n β⊥；④m α⊥.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______. 【答案】①③④⇒②（或②③④⇒①）
【解析】m α⊥，n β⊥，αβ⊥，由面面垂直的性质定理得m n ⊥；m n ⊥，m α⊥，
n β⊥，由面面垂直的判定定理得αβ⊥．
【详解】
∵α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同的直线， 若①m n ⊥，③n β⊥，则m β. 又∵④m α⊥， ∴②αβ⊥. 即①③④⇒②.
若②αβ⊥，③n β⊥，则n α.
又∵④m α⊥， ∴①m n ⊥. 即②③④⇒①.
故答案为：①③④⇒②（或②③④⇒①） 【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，属于中档题．
15．已知P 是直线3x ＋4y －10＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为________． 【答案】22
【解析】圆的标准方程为()()2
2
121x y -++=，则圆心为()1
2C -，，半径为1，则直线与圆相离，如图：
PACB PAC
PBC
S S
S
=+四边形，而
11
22PAC
S
PA CA PA =
⋅=，11
22
PBC
S PB CB PB =
⋅=，又2
1PA PC =
-2
1PB PC =
-PC 取最小值时，PA PB =取最小值，
即PAC
PBC S
S
=取最小值，此时CP l ⊥，22
3241015
35
34CP -⨯-=
=
=+，则23122PA =-=1
22122
PAC
PBC
S
S
==⨯=PACB 面积的最小值是22故答案为22
四、双空题
16．在ABC 中，()sin sin sin A B C B -=-，则cos A =__________；点D 是BC 上
靠近点B 的一个三等分点，记
sin sin ABD
BAD
λ∠=∠，则当λ取最大值时，
tan ACD ∠=__________．
【答案】
1
2
2+ 【解析】根据题意，由三角恒等变换将原式化简，即可求出1
cos 2
A =
；设BD x =，BAD θ∠=，πθ0,
3
，则2DC x =，sin sin B t =θ，根据正弦定理，得到AD x =λ，sin sin
2
3
C
π
λ
θ，求出cos cos 3B ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
πλθ，得到222222sin cos sin cos 13B B ⎛⎫
+=++= ⎪⎝⎭
πλθλθ，表示出
2221
sin cos 3=
⎛⎫++ ⎪
⎝⎭
λπθθ，求出最值，即可得出结果.
【详解】
因为()sin sin sin A B C B -=-，所以()sin sin sin B C A B =--， 即()()sin sin sin 2cos sin B A B A B A B =+--=， 又因为sin 0B ≠，所以1
cos 2
A =； 设BD x =，BAD θ∠=，π
θ
0,
3
， 则2DC x =，sin sin B =λθ， 由正弦定理可得AD x =λ，sin sin sin
2
3
AD DAC
C
DC
π
θλ
，
又3
1
3
sin sin
cos sin cos sin 222
22
3
C B B B
B λ
θπ，
由
sin sin 2223B ⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
λλπθθ，得cos cos 3B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πλθ．
因为2
2
2
2
2
2
sin cos sin cos 13B B ⎛⎫
+=++=
⎪⎝⎭
πλθλθ， 所以
2221
2
2sin cos 1cos 21cos 233=
=
⎛⎫
⎛⎫++-+++ ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
λππθθθθ
2
22
6
=
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
π
θ，
因为
π
θ0,
3
，所以2,
662
πππ
θ
⎛⎫
-∈-
⎪
⎝⎭
，
所以当20
6
π
θ-=时，
λ1，
此时
)
sin1
42
B⨯=
=，
所以
4
B
π
=
，tan tan2
34
ACD
⎛⎫
∠=--=+
⎪
⎝⎭
ππ
π
答案为：
1
2
；2.
【点睛】
本题主要考查由三角恒等变换求函数值，考查三角函数的性质，考查正弦定理的应用，属于常考题型.
五、解答题
17．记S n为等比数列{}n a的前n项和，已知S2=2，S3=-6.
（1）求{}n a的通项公式；
（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．
【答案】（1）(2)n
n
a=-；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）由等比数列通项公式解得2
q=-，
1
2
a=-即可求解；（2）利用等差中项证明S n+1，S n，S n+2成等差数列．
试题解析：（1）设{}n a的公比为q.由题设可得
()
()
1
2
1
12
16
a q
a q q
⎧+=
⎪
⎨
++=-
⎪⎩
，解得2
q=-，
1
2
a=-.
故{}n a的通项公式为()2n
n
a=-.
（2）由（1）可得
()
()1
1
122
1
133
n n
n
n
a q
S
q
+
-
==-+-
-
.
由于()()321
2142222
1212333
3n n n n n n n n S S S +++++⎡⎤-+=-+-=-+-=⎢⎥⎣⎦，
故1n S +，n S ，2n S +成等差数列.
点睛:等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．
18
，且经过点(3，4)；②一条准线方程为x ＝4，且焦距为2．这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线l 存在，求出l 的方程；若问题中的直线l 不存在，说明理由．
问题：已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1(m ，n ≠0)的焦点在x 轴上，____________，是否存在过点P (－1，1)的直线l ，与曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点？ 注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案见解析
【解析】先根据所选的条件求解出曲线C 的方程，根据直线的斜率是否存在作分类讨论；当直线的斜率不存在时直接进行求解并判断，当直线的斜率存在时，联立直线方程与曲线方程，并利用根的判别式以及坐标特点判断出结果. 【详解】
选条件①：由题设得曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线，
设21m a =，21n b =-(a ＞0，b ＞0)，所以C 的方程为22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)，
由题设得22
9161
a b =⎪-=⎪⎩，解得a 2＝1，b 2
＝2，所以C 的方程为2212y x -=，
1° 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，与曲线C 有且仅有一个交点(－1，0)，不符合题意；
2° 当直线l 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，
即y ＝k (x ＋1)＋1，代入2
2
12
y x -=得(2－k 2)x 2－2k (k ＋1)x －(k 2＋2k ＋3)＝0 ()，
若220k -=，即k =
±时，方程()有且仅有一解，不符合题意；
若22k -≠0，即k ≠
±时，其判别式Δ＝[2k (k ＋1)]2－4(k 2－2)(k 2＋2k ＋3)＝8(2k
＋3)＞0，则32
k >-
， 所以方程()有两个不同实数解时，3
2
k >-
且k
≠ 于是1222(1)
2(1)22k k x x k -++=-
=⋅-=--，解得k ＝－2，与32
k >-
且k ±
≠
所以不存在直线l ，与曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点． 选条件②：由题设得曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，
设21m a =，21n b =(a ＞b ＞0)，所以C 的方程为22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)，
由题设得2
42
==⎩，解得a 2＝4，b 2
＝3，所以C 的方程为22143x y +=，
1° 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，代入22
143
x y +=得32y =±，
P (－1，1)不是线段AB 的中点，不符合题意；
2° 当直线l 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，
即y ＝k (x ＋1)＋1，代入22
143
x y +=得(3＋4k 2)x 2＋8k (k ＋1)x ＋4(k 2＋2k －2)＝0，
其判别式Δ＝[8k (k ＋1)]2－4·
(3＋4k 2)·4(k 2＋2k －2)＝16(5k 2－6k ＋6)＞0， 于是122
8(1)2(1)234k k x x k ++=-
=⋅-=-+，解得3
4k =，
故337
(1)1444
y x x =++=+，即3x －4y ＋7＝0，
所以存在直线l ：3x －4y ＋7＝0，与曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点． 【点睛】
本题考查圆锥曲线的综合应用，其中涉及到圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，难度一般.
19．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量m =(2sin (x －A )，sin A )，n =(cos x ，1)，f (x )＝m n ⋅，且对任意x ∈R ，都有f (x )≤512f π⎛⎫
⎪⎝⎭
． （1）求f (x )的单调递增区间； （2）若a
＝sin B ＋sin C
＝
2
△ABC 的面积．
【答案】（1）π5ππ,π1212⎡
⎤
''-
+⎢⎥⎣
⎦
k k (k ′∈Z)；（2
【解析】（1）根据向量的数量积并借助三角恒等变换的知识化简()f x ，再根据条件求解出()f x 的具体表达式，最后利用整体代换法求解出()f x 的单调递增区间； （2）先根据正弦定理求解出b c +的值，然后再根据余弦定理求解出bc 的值，最后利用三角形的面积公式求解出三角形面积. 【详解】
（1）由题意得f (x )＝m n ⋅＝2sin (x －A )·cos x ＋sin A ＝2(sin x ·
cos A －cos x ·sin A )·cos x ＋sin A ＝2sin x ·
cos x ·cos A －2cos 2x ·sin A ＋sin A ＝2sin x ·
cos x ·cos A －(2cos 2x －1)·sin A ＝sin 2x ·
cos A －cos 2x ·sin A ＝sin (2x －A )， 由题意知5π5π(
)sin()1126f A =-=，所以5ππ
2π62
A k -=+(k ∈Z)， 因为A ∈ (0，π)，所以
5ππ5π(,)666A -∈-，所以5ππ62
A -=，即π3A =， 所以π()sin(2)3f x x =-，令πππ
2π22π232
k x k ''--+≤≤(k ′∈Z)，
解得π5π
ππ1212
k x k ''-
≤≤+(k ′∈Z)， 所以f (x )的单调递增区间为π5ππ,π1212⎡
⎤
''-
+⎢⎥⎣
⎦
k k (k ′∈Z)． （2）在△ABC 中由正弦定理得sin sin sin a b c A B C
==
sin sin sin 3
b c
B C
+==+
解得b c +=22224b c bc ++=，
在△ABC 中由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=，于是2212b c bc +-=，
解得bc ＝4，所以△ABC
的面积为11sin 422bc C =⋅=
【点睛】
本题考查三角函数的图象与性质、解三角形基本应用，要求学生能熟练的掌握的公式以及利用三角恒等变换进行化简，难度较易.
20．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是圆内接四边形，1CB CD CE ===
，
AB AD AE ===，EC BD ⊥.
(1)求证：平面BED ⊥平面ABCD ；
(2)若点P 在平面ABE 内运动，且//DP 平面BEC ，求直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
42
7
【解析】（1）连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，先通过证明OE BD ⊥，EO AC ⊥得出EO ⊥平面ABCD ，再根据面面垂直的判定定理由EO ⊂平面BED 证明平面BED ⊥平面ABCD 即可；（2）取AE 的中点M ，AB 的中点N ，先通过平面DMN //平面EBC 得出点P 在线段MN 上，然后建立空间直角坐标系并设
()01MP MN λλ=≤≤，从而求出平面ABE 的法向量n 及DP 的坐标，设直线DP 与
平面ABE 所成的角为θ，则sin n DP n DP
θ⋅=
，最后根据01λ≤≤即可求出sin θ的最
大值. 【详解】
(1)证明：如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，
因为AD AB =，CD CB =，AC AC =， 所以ADC ABC ∆≅∆，易得ADO ABO ∆≅∆， 所以90AOD AOB ∠=∠=︒， 所以AC BD ⊥.
又EC BD ⊥，EC AC C ⋂=，所以BD ⊥平面AEC ， 又EO ⊂平面AEC ，所以OE BD ⊥.
又底面ABCD 是圆内接四边形， 因为90ADC ABC ∠=∠=︒， 在Rt ADC ∆中，由3AD =，1CD =，可得2AC =，32
AO =
， 所以90AEC ∠=︒，
3
2
AE AO AC AF ==
， 易得AEO ∆与ACE ∆相似，所以90AOE AEC ∠=∠=︒， 即EO AC ⊥.
又AC 、BD ⊂平面ABCD ，AC BD O =，
所以EO ⊥平面ABCD ，
又EO ⊂平面BED ，所以平面BED ⊥平面ABCD .
(2)解：如图，取AE 的中点M ，AB 的中点N ，连接MN ，ND ，DM ， 则//MN BE ，由(1)知，30DAC BAC ∠=∠=︒，即60DAB ∠=︒，
所以ABD ∆为正三角形，所以DN AB ⊥，又BC AB ⊥， 所以平面DMN //平面EBC ， 所以点P 在线段MN 上.
以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则3,0,02A ⎛⎫
⎪⎝⎭，32B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,0,2E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，33,0,44M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，33,44N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
， 所以33,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，332⎛=- ⎝⎭AE ， 3334DM ⎛= ⎝⎭，33MN ⎛= ⎝
⎭， 设平面ABE 的法向量(),,n x y z =，
则00AB n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，即0
y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，
令1x =
，则(1,3,n =， 设()01MP MN λλ=≤≤，可得
3,,42444DP DM MP λ⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭
， 设直线DP 与平面ABE 所成的角为θ，
则sin 42n DP n DP
θ⋅=
=
，
因为01λ≤≤，所以当0λ=时，sin θ
取得最大值
7
. 故直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值为7
. 【点睛】
本题第一问主要考查由线线垂直证明线面垂直，再由面面垂直的判定定理证明面面垂直，第二问先确定点P 在线段MN 上，然后建立空间直角坐标系并求出平面的法向量及直线的方向向量的坐标即可研究线面角的正弦值的最值问题，本题综合性强、计算量大，属中等难度题. 21．已知()ln a
f x x x x x
=-+
，其中a ∈R ． （1）讨论f (x )的极值点的个数；
（2）当n ∈N 时，证明：22
22341ln 2ln
ln ln 2324
n n n n ++++⋅⋅⋅++＞． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】（1）f (x )的定义域为(0，＋∞)，求导得到22
()ln 11ln a a
f x x x x x '=+--=-，再令2()ln a
g x x x =-，x ＞0，用导数法研究其不等零点，求导233
122()a x a
g x x x x +'=+=，
然后分0a =、0a >和0a <三种情况讨论求解.
（2）根据（1）a ＝0时，f (x )≥f (1)＝－1，即1ln 1x x -
≥，进而有2
21ln (1)x x
-
≥，然后令1n x n
+=得到22111111ln ()11212n n n n n n n +⋅=-+++++
≥＞求解.
【详解】
（1）f (x )的定义域为(0，＋∞)，则22
()ln 11ln a a f x x x x x '=+--
=-， 令2()ln a g x x x =-，x ＞0，则233
122()a x a
g x x x x
+'=+=， ①当0a =时，()ln f x x '=，令()0f x '=，则1x =， 当0＜x ＜1时，()0f x '<，f (x )单调递减， 当x ＞1时，()0f x '>，f (x )单调递增， 所以f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个极值点．
②当0a >时，()0g x '>，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，
又(1)0g a =-<，221(e )(1)0e e
a
a a a g a a =-
=-> 所以g (x )在(1，e a )上存在唯一零点，记为x 0，列表：
所以
f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个极值点． ③当0a <时，令()0
g x '=，得x =
当0＜x
时，()0g x '<，g (x )单调递减，当x ()0g x '>，g (x )单调递增，
所以g (x )min ＝g )＝1
2
， 当a ≤1
2e
-
时，
g (x )min ≥0，故f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，
所以f (x )在(0，＋∞)上无极值点， 当12e
-
＜a ＜0时，g (x )min ＝g ＝1
2＜0，又(1)0g a =->，
021a <-<，下面证1
(2)ln(2)04g a a a
-=--
>， 令1()ln(2)4a a a ϕ=--(12e -＜a ＜0)，222
2
12141e ()02444a a a a a a ϕ-
-+'=+=>>-， 所以()a ϕ在(12e
-
，0)上单调递增，所以11e e
(2)()()ln 102e e 22g a a ϕϕ-=>-=+=->，
所以g (x )在(0，＋∞)上有且仅有两个零点，记为,()αβαβ<，列表：
所以f (x )在(0，＋∞)上有且仅有两个极值点． 综上所述，当a ≤1
2e
-时，f (x )无极值点； 当1
2e
-
＜a ＜0时，f (x )有两个极值点； 当a ≥0时，f (x )有一个极值点．
（2）由（1）知，当a ＝0时，f (x )≥f (1)＝－1， 所以ln 1x x x -
≥，即1ln 1x x
-
≥， 所以22
1ln (1)x x
-
≥，
令1
n x n
+=
得 故22111111ln ()11212
n n n n n n n +⋅=-+++++
≥＞，
所以2222341ln 2ln ln ln 23n n ++++⋅⋅⋅+＞111111233412
n n -+-+⋅⋅⋅+-++，
112224
n
n n =
-=++． 【点睛】
本题主要考查函数的极值点与导数、构造不等式放缩证明，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于较难题.
22．某中学开展劳动实习，学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子元件．已知学生加工出的每个电子元件正常工作的概率都是p (0＜p ＜1)，且各个电子元件正常工作的事件相互独立．现要检测k (k ∈N)个这样的电子元件，并将它们串联成元件组进行筛选检测，若检测出元件组正常工作，则认为这k 个电子元件均正常工作；若检测出元件组不能正常工作，则认为这k 个电子元件中必有一个或多个电子元件不能正常工作，须再对这k 个电子元件进行逐一检测．
（1）记对电子元件总的检测次数为X ，求X 的概率分布和数学期望；
（2）若p ＝0.99，利用(1－α)β (0＜α <<1，β∈N)的二项展开式的特点，估算当k 为何值时，每个电子元件的检测次数最小，并估算此时总的检测次数；
（3）若不对生产出的电子元件进行筛选检测，将它们随机组装入电子系统中，不考虑
组装时带来的影响．已知该系统配置有2n －1(n ∈N)个电子元件，如果系统中有多于一半的电子元件正常工作，该系统就能正常工作．将系统正常工作的概率称为系统的可靠性，现为了改善该系统的性能，拟向系统中增加两个电子元件．试分析当p 满足什么条件时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性？
【答案】（1）答案见解析；（2）k ＝10；2；（3）p ＞12
. 【解析】（1）根据题意，分析出X 可能的取值为1，k ＋1，求得其概率，得到分布列，进而求得其期望；
（2）根据题意，列出式子，结合基本不等式求得最值；
（3）列出式子，利用作差比较法，求得结果.
【详解】
（1）X 可能的取值为1，k ＋1，
P (X ＝1)＝p k ，P (X ＝k ＋1)＝1－p k ，X 的概率分布为：
所以X 的数学期望E (X )＝1·
p k ＋(k ＋1)(1－p k )＝k ＋1－kp k ． （2）根据(1－α)β (0＜α <<1，β∈N)的二项展开式的特点，可知(1)1βααβ--
≈， 记每个电子元件的检测次数为Y ，p ＝0.99＝1－0.01，
所以()111111(10.01)110.01k k k E X k kp Y p k k k k k k +-===+-=+--+-+
≈
10.010.2k k =+
≥，当且仅当10.01k k =，即k ＝10时取等， 故当k ＝10时每个电子元件的检测次数最小，此时总的检测次数kY ＝10×
0.2＝2． （3）记当系统配置有2n －1(n ∈N)个电子元件时，系统正常工作的概率为21n P -， 当系统配置有2n ＋1(n ∈N)个电子元件时，系统正常工作的概率为21n P +，
若前2n －1个电子元件中恰有n －1个正常工作，此时后两个元件必须同时正常工作； 若前2n －1个电子元件中恰有n 个正常工作，此时后两个元件至少须有1个正常工作； 若前2n －1个电子元件中恰有n ＋1个正常工作，此时系统必定正常工作；
可以求得：
112121121212122121[C ][C ][C (1)][C ](1)(1)(1)
n n n n n n n n n n n n n n P p p P p p p p p p p p ----+----=⋅⋅+-+--+--故11121
212121212C C [C (1)1](1)(1)n n n n n n n n n n P P p p p
p p p p -+-+----=⋅+---+-
21C (21)(1)n
n n n p p p -=--，
令21210n n P P +-- ＞，得2p －1＞0，即p ＞12
， 所以当p ＞
12
时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性． 【点睛】 该题考查的是有关随机变量的概率问题，有期望、分布列、二项式综合应用，属于较难题目.。