6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示课件高一数学人教A版必修第二册
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∵M 为 EC 的中点,∴M ,
∴=(-1,1)- , = -,
=(1,0)- , = ,- ,
∴=-,∴ ∥ .
又 MD 与 MB 有公共点 M,
∴D,M,B 三点共线.
,
,
思 想 方 法
【典例】 如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的
且与共线,
则得(x-4)×6-y×(-2)=0,解得 x=y=3,
所以点 P 的坐标为(3,3).
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤:
第一分析题意,将题目中有关的点坐标化,线段向量化,然后利
用题目条件,寻找向量关系,列出方程(组)求出有关变量,最后
回归到几何问题中.
【变式训练】 在△AOB 中,已知点 O(0,0),A(0,5),B(4,3),
1.三点共线问题的实质是向量共线问题,两个向量共线只需满
足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的,
利用向量平行证明三点共线需分两步完成:(1)证明向量平
行;(2)证明两个向量有公共点.
2.若A,B,C三点共线,即由这三个点组成的任意两个向量共线.
【变式训练2】 如图所示,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,
的条件列方程(组),求k的值.从而进一步判定向量是同向还是
反向.
解法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数 λ,使 ka+b=λ(a-3b).
- = ,
由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),得
解:(1)因为=(2,4),=(4,11)-(-1,1)=(5,10),
=(-2,-1)-(-1,1)=(-1,-2),
所以=-2, =-5.
所以 ∥ ∥ .
因为与, 有共同的起点 A,
所以 A,B,C,D 四点共线.
因此直线 AB 与 CD 重合.
交点P的坐标.
分析:(1)AC与OB相交于点P,则必有O,P,B三点共线和A,P,C三
点共线;(2)根据O,P,B三点共线可得到点P坐标应满足的关系,
再根据A,P,C三点共线即可求得点P坐标.
解法一:由 O,P,B 三点共线,
可设=λ=(4λ,4λ),
则 = − =(4λ-4,4λ),
提示:2a=a+a=(x,y)+(x,y)=(2x,2y);
3a=2a+a=(2x,2y)+(x,y)=(3x,3y).
2.填空:已知a=(x,y),λ∈R,则λa= (λx,λy) ,即实数与向量的积的
坐标等于用这个实数乘本来向量的相应坐标.
3.做一做:已知=(-1,2),则-3等于(
A.(-3,-3) B.(-6,3)
∴四边形AECD为正方形.
∴可求得各点坐标分别为E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0).
(1)∵=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),
=(0,1)-(1,0)=(-1,1),
∴ = ,∴ ∥ ,即 DE∥BC.
(2)连接 MB,MD,
= -,
故当 m=-2 时,A,B,C 三点共线.
(1)若a=(1,-2),则2a=(2,-2).( × )
(2)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),且 a 与
b 共线,则
=
.(
×
)
(3)若 A,B,C 三点共线,则向量, , 都是共线向量.( √ )
(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且x1y2≠x2y1,则a与b不共线.( √ )
所以直线 AB 与 CD 不平行.
(2) = − =(4-k,-7),
= − =(10-k,k-12),
若 A,B,C 三点共线,则 ∥ ,
所以(4-k)(k-12)=-7×(10-k),
解得 k=-2 或 11,
所以当 k=-2 或 11 时 A,B,C 三点共线.
∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得
故 ka+b 与 a-3b 反向.
k=-.
根据向量共线的条件求参数值的问题,一般有两种处理思路,
一是利用向量共线定理a=λb列方程组求解,二是利用向量共
线的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.
本例条件不变,若问题改为“当k为何值时,a+kb与3a-b平行?”,
解得 k=λ=-.
+ = -,
当 k=-时,ka+b 与 a-3b 平行,
这时 ka+b=-a+b=-(a-3b),
∵λ=-<0,∴ka+b 与 a-3b 反向.
解法二:由解法一知 ka+b=(k-3,2k+2),
a-3b=(10,-4),
∵ka+b 与 a-3b 平行,
3a-2b+ c=3(1,2)-2(3,-4)+ (-2,6)=(3,6)-(6,-8)+(-1,3)=(-4,17).
向量坐标的线性运算的方法:
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量加、减及数乘的
运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,再
进行向量的坐标运算.
x= ,y=2.∴点
M 的坐标为
,
.
随 堂 练 习
1.下列向量与a=(1,3)共线的是(
)
A.(1,2)
B.(-1,3)
C.(1,-3) D.(2,6)
答案:D
2.已知向量a=(-3,3),b=(3,x),若a与b共线,则x等于(
A.-3 B.3 C.1 D.-1
解析:因为a与b共线,所以-3x-3×3=0,解得x=-3.
.
设点 M 的坐标为(x,y),则=(x,y-5).
∵A,M,D 三点共线,∴与共线.
∴-x-2(y-5)=0,
即 7x+4y=20.①
易知 =
,-
, =
,
.
∵C,M,B 三点共线,∴与共线.
∴x-4
-
由①②得
=0,即 7x-16y=-20.②
AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于点E,M为CE的中点,试建
立适当的坐标系并用向量的方法证明:
(1)DE∥BC;
(2)D,M,B三点共线.
证明:如图,以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴
建立直角坐标系,
设||=1,则||=1,||=2.
∵CE⊥AB,而AD=DC,
C.(3,-6) D.(-4,-1)
答案:C
)
二、平面向量共线的坐标表示
【问题思考】
1.如果向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),根据共线向量定理,当a与b
共线时,存在唯一实数λ,使a=λb,那么根据向量数乘运算的坐
标表示,你能发现a与b的坐标之间的关系吗?
提示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a与b共线,则x1y2=x2y1.
答案:A
)
3.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=
2,则顶点 D 的坐标为(
A.
,
B.
)
,-
C.(3,2)
D.(1,3)
解析:设顶点 D 的坐标为(x,y),
因为=(4,3),=(x,y-2),且=2,Biblioteka = , = ,所以
所以
所以选 A.
= ,
- = ,
答案:A
4.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ的
值为
.
解析:因为a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),
又因为(a+λb)∥c,
所以 4(1+λ)-3×2=0,故
(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.
【变式训练 1】 若 A,B,C 三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),
求+2, − 的坐标.
解:∵=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),
∴+2=(-2,10)+2(-8,4)=(-2,10)+(-16,8)
(2)若向量m=(3,-2)与n=(x,4)共线,则实数x=
.
解析:(1)C选项中,b=-a,所以a与b共线,其余各组向量均不共线;
(2)因为两个向量共线,所以3×4=(-2)×x,解得x=-6.
答案:(1)C (2)-6
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误
的画“×”.
答案:
λ=.
5.已知向量=i-2j,=i+mj,其中 i,j 分别是 x 轴、y 轴正方向
上的单位向量,试确定实数 m 的值,使 A,B,C 三点共线.
解:∵A,B,C 三点共线,即, 共线,
∴存在实数 λ,使得=λ,
即 i-2j=λ(i+mj).
= ,
于是
∴m=-2.
6.3.4
平面向量数乘运算
的坐标表示
课标定位
素养阐释
1.会用坐标表示平面向量的数乘运算.
2.能用坐标表示平面向量共线的条件.
3.加强直观想象和数学运算素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
思 想 方 法
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
一、平面向量数乘运算的坐标表示
【问题思考】
1.已知a=(x,y),你能得出2a,3a的坐标吗?
=
,
=
,AD
与 BC 交于点 M,求点 M 的坐标.
解:∵点 O(0,0),A(0,5),B(4,3),
∴=(0,5),=(4,3).
∵=(xC,yC)=
∴点 C 的坐标为
,
=
,
,
.
同理可得点 D 的坐标为
,
,从而 =
,-
=(-18,18),
− =(-8,4)- (-10,14)
=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3).
探究二 平面向量共线的坐标运算
【例2】 已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?
平行时它们是同向还是反向?
分析:由向量a,b的坐标,求出ka+b与a-3b的坐标,由向量共线
又如何求k的值?
解:a+kb=(1,2)+k(-3,2)=(1-3k,2+2k),
3a-b=3(1,2)-(-3,2)=(6,4),
∵a+kb与3a-b平行,
∴(1-3k)×4-(2+2k)×6=0,
解得
k=-.
探究三 判定直线平行、三点共线
【例 3】 (1)已知四点坐标 A(-1,1),B(1,5),C(-2,-1),D(4,11),直线
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 向量坐标的线性运算
【例1】 已知向量a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),试求a+3b,
3a-2b+ c.
分析:直接利用向量在坐标情势下的各种运算法则求解.
解:因为a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),
所以a+3b=(1,2)+3(3,-4)=(1,2)+(9,-12)=(10,-10),
2.填表:平面向量共线的坐标表示
前提条件
a=(x1,y1),b=(x2,y2)
结论
当且仅当 x1y2-x2y1=0 时,向量 a,b 共线
3.做一做:(1)下列各组向量中,共线的是(
)
A.a=(1,2),b=(4,2)
B.a=(1,0),b=(0,2)
C.a=(0,-2),b=(0,2)
D.a=(-3,2),b=(-6,-4)
= − =(-2,6).
由与共线得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,
解得
λ=,所以
=
=(3,3),
所以点 P 的坐标为(3,3).
解法二:设 P(x,y),则=(x,y),
因为=(4,4),且与共线,
所以
=
,即
x=y.
又=(x-4,y),=(-2,6),
AB 与 CD 平行吗?
(2)已知向量=(k,12),=(4,5),=(10,k).当 k 为何值时,A,B,C
三点共线?
分析:(1)判断 ∥ →判断点 A 是否在直线 CD 上→结论.
(2)求 A,B,C 三点共线时 k 的值,则一定有=λ成立.先求
, ,再列方程组求解 k.
∴=(-1,1)- , = -,
=(1,0)- , = ,- ,
∴=-,∴ ∥ .
又 MD 与 MB 有公共点 M,
∴D,M,B 三点共线.
,
,
思 想 方 法
【典例】 如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的
且与共线,
则得(x-4)×6-y×(-2)=0,解得 x=y=3,
所以点 P 的坐标为(3,3).
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤:
第一分析题意,将题目中有关的点坐标化,线段向量化,然后利
用题目条件,寻找向量关系,列出方程(组)求出有关变量,最后
回归到几何问题中.
【变式训练】 在△AOB 中,已知点 O(0,0),A(0,5),B(4,3),
1.三点共线问题的实质是向量共线问题,两个向量共线只需满
足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的,
利用向量平行证明三点共线需分两步完成:(1)证明向量平
行;(2)证明两个向量有公共点.
2.若A,B,C三点共线,即由这三个点组成的任意两个向量共线.
【变式训练2】 如图所示,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,
的条件列方程(组),求k的值.从而进一步判定向量是同向还是
反向.
解法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数 λ,使 ka+b=λ(a-3b).
- = ,
由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),得
解:(1)因为=(2,4),=(4,11)-(-1,1)=(5,10),
=(-2,-1)-(-1,1)=(-1,-2),
所以=-2, =-5.
所以 ∥ ∥ .
因为与, 有共同的起点 A,
所以 A,B,C,D 四点共线.
因此直线 AB 与 CD 重合.
交点P的坐标.
分析:(1)AC与OB相交于点P,则必有O,P,B三点共线和A,P,C三
点共线;(2)根据O,P,B三点共线可得到点P坐标应满足的关系,
再根据A,P,C三点共线即可求得点P坐标.
解法一:由 O,P,B 三点共线,
可设=λ=(4λ,4λ),
则 = − =(4λ-4,4λ),
提示:2a=a+a=(x,y)+(x,y)=(2x,2y);
3a=2a+a=(2x,2y)+(x,y)=(3x,3y).
2.填空:已知a=(x,y),λ∈R,则λa= (λx,λy) ,即实数与向量的积的
坐标等于用这个实数乘本来向量的相应坐标.
3.做一做:已知=(-1,2),则-3等于(
A.(-3,-3) B.(-6,3)
∴四边形AECD为正方形.
∴可求得各点坐标分别为E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0).
(1)∵=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),
=(0,1)-(1,0)=(-1,1),
∴ = ,∴ ∥ ,即 DE∥BC.
(2)连接 MB,MD,
= -,
故当 m=-2 时,A,B,C 三点共线.
(1)若a=(1,-2),则2a=(2,-2).( × )
(2)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),且 a 与
b 共线,则
=
.(
×
)
(3)若 A,B,C 三点共线,则向量, , 都是共线向量.( √ )
(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且x1y2≠x2y1,则a与b不共线.( √ )
所以直线 AB 与 CD 不平行.
(2) = − =(4-k,-7),
= − =(10-k,k-12),
若 A,B,C 三点共线,则 ∥ ,
所以(4-k)(k-12)=-7×(10-k),
解得 k=-2 或 11,
所以当 k=-2 或 11 时 A,B,C 三点共线.
∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得
故 ka+b 与 a-3b 反向.
k=-.
根据向量共线的条件求参数值的问题,一般有两种处理思路,
一是利用向量共线定理a=λb列方程组求解,二是利用向量共
线的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.
本例条件不变,若问题改为“当k为何值时,a+kb与3a-b平行?”,
解得 k=λ=-.
+ = -,
当 k=-时,ka+b 与 a-3b 平行,
这时 ka+b=-a+b=-(a-3b),
∵λ=-<0,∴ka+b 与 a-3b 反向.
解法二:由解法一知 ka+b=(k-3,2k+2),
a-3b=(10,-4),
∵ka+b 与 a-3b 平行,
3a-2b+ c=3(1,2)-2(3,-4)+ (-2,6)=(3,6)-(6,-8)+(-1,3)=(-4,17).
向量坐标的线性运算的方法:
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量加、减及数乘的
运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,再
进行向量的坐标运算.
x= ,y=2.∴点
M 的坐标为
,
.
随 堂 练 习
1.下列向量与a=(1,3)共线的是(
)
A.(1,2)
B.(-1,3)
C.(1,-3) D.(2,6)
答案:D
2.已知向量a=(-3,3),b=(3,x),若a与b共线,则x等于(
A.-3 B.3 C.1 D.-1
解析:因为a与b共线,所以-3x-3×3=0,解得x=-3.
.
设点 M 的坐标为(x,y),则=(x,y-5).
∵A,M,D 三点共线,∴与共线.
∴-x-2(y-5)=0,
即 7x+4y=20.①
易知 =
,-
, =
,
.
∵C,M,B 三点共线,∴与共线.
∴x-4
-
由①②得
=0,即 7x-16y=-20.②
AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于点E,M为CE的中点,试建
立适当的坐标系并用向量的方法证明:
(1)DE∥BC;
(2)D,M,B三点共线.
证明:如图,以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴
建立直角坐标系,
设||=1,则||=1,||=2.
∵CE⊥AB,而AD=DC,
C.(3,-6) D.(-4,-1)
答案:C
)
二、平面向量共线的坐标表示
【问题思考】
1.如果向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),根据共线向量定理,当a与b
共线时,存在唯一实数λ,使a=λb,那么根据向量数乘运算的坐
标表示,你能发现a与b的坐标之间的关系吗?
提示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a与b共线,则x1y2=x2y1.
答案:A
)
3.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=
2,则顶点 D 的坐标为(
A.
,
B.
)
,-
C.(3,2)
D.(1,3)
解析:设顶点 D 的坐标为(x,y),
因为=(4,3),=(x,y-2),且=2,Biblioteka = , = ,所以
所以
所以选 A.
= ,
- = ,
答案:A
4.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ的
值为
.
解析:因为a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),
又因为(a+λb)∥c,
所以 4(1+λ)-3×2=0,故
(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.
【变式训练 1】 若 A,B,C 三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),
求+2, − 的坐标.
解:∵=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),
∴+2=(-2,10)+2(-8,4)=(-2,10)+(-16,8)
(2)若向量m=(3,-2)与n=(x,4)共线,则实数x=
.
解析:(1)C选项中,b=-a,所以a与b共线,其余各组向量均不共线;
(2)因为两个向量共线,所以3×4=(-2)×x,解得x=-6.
答案:(1)C (2)-6
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误
的画“×”.
答案:
λ=.
5.已知向量=i-2j,=i+mj,其中 i,j 分别是 x 轴、y 轴正方向
上的单位向量,试确定实数 m 的值,使 A,B,C 三点共线.
解:∵A,B,C 三点共线,即, 共线,
∴存在实数 λ,使得=λ,
即 i-2j=λ(i+mj).
= ,
于是
∴m=-2.
6.3.4
平面向量数乘运算
的坐标表示
课标定位
素养阐释
1.会用坐标表示平面向量的数乘运算.
2.能用坐标表示平面向量共线的条件.
3.加强直观想象和数学运算素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
思 想 方 法
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
一、平面向量数乘运算的坐标表示
【问题思考】
1.已知a=(x,y),你能得出2a,3a的坐标吗?
=
,
=
,AD
与 BC 交于点 M,求点 M 的坐标.
解:∵点 O(0,0),A(0,5),B(4,3),
∴=(0,5),=(4,3).
∵=(xC,yC)=
∴点 C 的坐标为
,
=
,
,
.
同理可得点 D 的坐标为
,
,从而 =
,-
=(-18,18),
− =(-8,4)- (-10,14)
=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3).
探究二 平面向量共线的坐标运算
【例2】 已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?
平行时它们是同向还是反向?
分析:由向量a,b的坐标,求出ka+b与a-3b的坐标,由向量共线
又如何求k的值?
解:a+kb=(1,2)+k(-3,2)=(1-3k,2+2k),
3a-b=3(1,2)-(-3,2)=(6,4),
∵a+kb与3a-b平行,
∴(1-3k)×4-(2+2k)×6=0,
解得
k=-.
探究三 判定直线平行、三点共线
【例 3】 (1)已知四点坐标 A(-1,1),B(1,5),C(-2,-1),D(4,11),直线
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 向量坐标的线性运算
【例1】 已知向量a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),试求a+3b,
3a-2b+ c.
分析:直接利用向量在坐标情势下的各种运算法则求解.
解:因为a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),
所以a+3b=(1,2)+3(3,-4)=(1,2)+(9,-12)=(10,-10),
2.填表:平面向量共线的坐标表示
前提条件
a=(x1,y1),b=(x2,y2)
结论
当且仅当 x1y2-x2y1=0 时,向量 a,b 共线
3.做一做:(1)下列各组向量中,共线的是(
)
A.a=(1,2),b=(4,2)
B.a=(1,0),b=(0,2)
C.a=(0,-2),b=(0,2)
D.a=(-3,2),b=(-6,-4)
= − =(-2,6).
由与共线得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,
解得
λ=,所以
=
=(3,3),
所以点 P 的坐标为(3,3).
解法二:设 P(x,y),则=(x,y),
因为=(4,4),且与共线,
所以
=
,即
x=y.
又=(x-4,y),=(-2,6),
AB 与 CD 平行吗?
(2)已知向量=(k,12),=(4,5),=(10,k).当 k 为何值时,A,B,C
三点共线?
分析:(1)判断 ∥ →判断点 A 是否在直线 CD 上→结论.
(2)求 A,B,C 三点共线时 k 的值,则一定有=λ成立.先求
, ,再列方程组求解 k.