西藏拉萨中学2021届高三数学第七次月考试题 理

西藏拉萨中学2021届高三数学第七次月考试题 理
（满分：150分，考试时间：120分钟。

请将答案填写在答题卡上）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1.已知集合{}{}
=⋂<+-==B A x x x A ，则，，，0)1)(2(B 321 A.φ B.{1} C.{1,2} D.{1,2,3}
2. 已知复数z=m+(m-1)i 在复平面所对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围 A.（0,1） B.()0,∞- C.()1,∞- D.()∞+，1
3.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1AD =，点,,E F G 分别是1DD ， AB ，1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角是 A ．90
B ．60
C ．45
D ．30
4.=
=+απ
α2sin ,21
)4tan(则 A.54- B.54 C.53- D.5
3
5.若,x y 满足约束条件026
36x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，
则2z x y =+的最大值为
A ．10
B ．8
C ．5
D ．3
6.已知ABC ，则“sin cos A B =”是“ABC 是直角三角形”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．32413+ B ．32213+ C ．22221413++ D ．22221213++
8.德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开
式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是
A ．1111
4(1)35717P =-
+-+⋅⋅⋅+ B ．1111
4(1)35719P =-
+-+⋅⋅⋅- C ．1111
4(1)35721
P =-+-+⋅⋅⋅+
D ．1111
4(1)35721
P =-+-+⋅⋅⋅-
9.已知函数f(x)＝x 2e x
，当x ∈[－1，1]时，不等式f(x)<m 恒成立，则实数m 的取值范围为 A ．[，＋∞) B ．(，＋∞) C ．[e ，＋∞) D ．(e ，＋∞) 10.已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则
A ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
B ．23
3231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
C ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
D ．2332
3122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11.若33
log (2)1log a b ab +=+，则42a b +的最小值为（ ）
A ．6
B ．8
3
C ．
16
3
D ．
173
12.已知函数3ln ()3ln x a x f x a x x
=
-+-在区间()1,+∞上恰有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3)
(3,)e +∞ B ．[)0,e
C ．(
)
2
,e +∞
D ．(,){3}e -∞
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

）
13.若向量()
()2
21a x b x ==，
，，满足3a b ⋅<，则实数x 的取值范围是___________. 14.8
22x x ⎛ ⎝
展开式的第5项的系数为_________.
15.已知直线0x y a -+=与圆2
2
:2o x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为__________；
16.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>上存在两点A ，B 关于直线8y x =-对称，且线段AB
的中点在直线2140x y --=上，则双曲线的离心率为_________.
三、解答题（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

） （一）必考题：共60分。

17．某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示频率分布直方图． （1）求图中x 的值. （2）求这组数据的中位数.
（3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．
18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足28718,49a a S +== （1）求数列{}n a 的通项公式. （2）设()()
4
13n n n b a a =
++ ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：
1
12
n T ≤< . 19．如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直．EF
AC ，2AB =，
1CE EF ==．
（1）求证：AF 平面BDE ． （2）求证：CF ⊥平面BDE ．
（3）在直线CD 上是否存在点M ，使得AM ⊥平面BDE ？并说明理由．
20．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2
2
，圆O
22:2C x y +=与x 轴正半轴交于
点A ， 圆O 在点A 处的切线被椭圆C 截得的弦长为22. (1)求椭圆C 的方程.
(2)设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M 、N ，求证：MON ∠为定值. 21．已知函数()(2),
()ln x
f x e x
g x x x =-=-.
（1）求函数()()y f x g x =+的最小值；
（2）设函数()()()h x f x ag x =-(0)a ≠，讨论函数()h x 的零点个数.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲
线，其极坐标方程为1sin ρθ=-（02,0θπρ≤<>），M 为该曲线上的任意一点.
（1）当3
2
OM =
时，求M 点的极坐标. （2）将射线OM 绕原点O 逆时针旋转2
π
与该曲线相交于点N ，求MN 的最大值.
23．已知,,a b c R +
∈，x R ∀∈，不等式|1||2|x x a b c ---≤++恒成立.
（1）求证:222
13
a b c ++≥
. （2）求证:2222222a b b c c a +++++≥.
参考答案
一、BAAC DDAB DBCA
二、13.（-3,1） 14.70 15.三、
17．解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x ）×10=1，解得x =0.02． （2）中位数设为m ，则0.05+0.1+0.2+（m -70）×0.03=0.5，解得m =75． （3）可得满意度评分值在[60，70）内有20人，抽得样本为2人，记为a 1，a 2 满意度评分值在[70，80）内有30人，抽得样本为3人，记为b 1，b 2，b 3， 记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A ， 基本事件有（a 1，a 2），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 1，b 3），（a 2，b 1），（a 2，b 2），
（a 2，b 3），（b 1，b 2），（b 1，b 3），（b 2，b 3）共10个，A 包含的基本事件个数有（a 1，a 2），（b 1，
b 2），（b 1，b 3），（b 2，b 3）共4个，利用古典概型概率公式可知P （A ）=0.4．
18．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由285218a a a +==，则59a =， 又由()177477492
a a S a +=
==，47a =，
542d a a ∴=-=，
又4137a a d =+= 所以11a =
21n a n ∴=-
（2）由（Ⅰ）可知()11n b n n =
+11
1
n n =-+
∴数列{}n b 的前n 项和为
11111111223341n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+
+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
11111
11
1223341
n n =-+-+-++
-+ 1
11n =-
+ 由11012n <
≤+，所以1
1.2n T ≤<
19．解：（1）设AC 与BD 交于点G ，
∵ EF AG ，1EF =，1
12
AG AC =
=， ∴ 四边形AGEF 为平行四边形， ∴ AF
EG ，
∵ EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ， ∴ AF 平面BDE ． （2）连接FG ，
∵ EF CG ，1EF CG ==，1CE =， ∴ 平行四边形CEFG 为菱形， ∴ CF EG ⊥，
∵ 四边形ABCD 为正方形， ∴ BD AC ⊥，
又平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF ⋂平面ABCD AC =， ∴ BD ⊥平面ACEF ， ∴ CF BD ⊥， 又BD EG G ⋂=， ∴ CF ⊥平面BDE ．
（3）直线CD 上是否存在点M ．理由如下．
以C 为原点，CB ，CD ，CE 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，
则()0,0,0C ，)
2,0,0D
，()B 2,0，()0,0,1E ，)
2,2,0A
∴
(
)
2,BD =
，()0BE =，，()
1DE =-，，
设平面BDE 一个法向量为(),,n x y z =，
由·20·
20n
BD x n DE z ⎧==⎪⎨=-+=⎪⎩，得y x
z =⎧⎪⎨=⎪⎩
,
令1x =
，得(1,1,2n =，
设()00,,0M y ，则()
0AM y =-， 若AM ⊥平面BDE ，则有AM
n ，
但AM
kn = ，即AM 与n 平行不会成立， ∴ 不存在点
M 使得AM ⊥平面BDE ． 20．解：(1)设椭圆的半焦距为c 由椭圆的离心率为
2
， 由题知b c
=，a =
∴
椭圆的方程为22
2212x y b b
+=
易求得)
A
，点
在椭圆上，
2222
12b b
∴
+=，解得22
6,3a b ==， ∴椭圆C 的方程为
22
163
x y +=.
(2)当过点P 与圆O
相切的切线斜率不存在时，不妨设切线的方程为
x = 由(1)知，
M
，
N
，
(
2,OM =
，(
2,ON =
，0OM ON ⋅=
OM ON ∴⊥
当过点P 与圆O 相线的切线斜率存在时，可设切线的方程为y kx m =+，()11,M x y ，
()22,N x y
=()
2221m k =+
联立直线和椭圆的方程得()2
226x kx m ++=，
()
222124260k x kmx m ∴+++-=，
得()(
)()
2
2
42412260km k
m
∆=-+->，
且122412km x x k +=-+，212226
12m x x k
-=+ ()()1122,,,OM x y ON x y ==
1212OM ON x x y y ∴⋅=+ ()()1212x x kx m kx m =+++
()()2212121k x x km x x m =++++
(
)
22
2
22
26411212m km k
km m k k
--=++⋅+++ ()()(
)2
2
2222
2
12641212k m k m m k k +--++=
+
()
22
2222
3226636601212k k m k k k
+----===++ OM ON ∴⊥
21．解：（1）令()()()x f x g x ϕ=+
11()e (1)1(1)e x x x x x x x
ϕ⎛⎫
⎛⎫
'=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
，
令()0,1x x ϕ'==，()0,1,()0,01x x x x ϕϕ''>><<<， 所以()x ϕ的单调递增区间是(1,)+∞，单调递减区间是(0,1)， 所以1x =时，()x ϕ取得极小值，也是最小值， 所以min ()(1)1e x ϕϕ==-； （2）11()1x g x x x
-'=-
=，令()0,1g x x '==，
()0,01,()0,1g x x g x x ''<<<>>
()g x 的递减区间是(0,1)，递增区间是(1,)+∞，
所以()g x 的极小值为(1)g ，也是最小值，()(1)10g x g ≥=>.
所以()0h x =e (2)
()ln x x a s x x x
-⇔==-，
因为2
2(1)ln 1()(ln )x e x x x x s x x x ⎛
⎫---+ ⎪
⎝⎭'=
-， 令2()ln 1k x x x x =--+
2
(1)(2)()x x k x x +-'⇒=， 令()0,2k x x '==，()0,02,()0,2k x x k x x ''<<<>>
()k x 的递减区间是(0,2)，递增区间是(2,)+∞，
所以()k x 的极小值为(2)k ，也是最小值， 所以()(2)2ln 20k x k ≥=->，
所以()s x 的递减区间是(0,1)，递增区间是(1,)+∞，
又因为0,x +
→()0,s x →,x →+∞()s x →+∞，且(1)e s =-，
所以，当e a <-时，()h x 有0个零点； 当a e =-或0a >时，()h x 有1个零点； 当e 0a -<<时，()h x 有2个零点.
22．解：（1）设点M 在极坐标系中的坐标3,2θ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 由1sin ρθ=-，得31sin 2θ=-，1sin 2
θ=- ∵02θπ≤< ∴76θπ=
或116
π
θ=， 所以点M 的极坐标为37,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭或311,26π⎛⎫
⎪⎝⎭
（2）由题意可设()1,M ρθ，2,
2N π
ρθ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
. 由1sin ρθ=-，得11sin ρθ=-，21sin 1cos 2πρθθ⎛⎫
=-+=-
⎪⎝⎭
.
==
M N
=
=
故54
π
θ=
时，MN 1. 23．解：（1）∵|1||2||12|1x x x x ---≤--+=，∴1a b c ++≥. ∵222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ac +≥， ∴222222222a b c ab bc ac ≥++++，
∴2222222
333222()1a b c a b c ab bc ac a b c ++≥+++++=++≥， ∴2
2
2
1
3
a b c ++≥
，当且仅当c b a ==时等号成立. （2）∵222a b ab +≥，(
)22
2
2222()a b
a
ab b a b +≥++=+，
即22
2
()2a b a b ++≥||)a b a b ≥+=+.
)b c ≥
+)c a ≥+.
)a b c ≥++≥。