江苏初三初中数学中考模拟带答案解析

江苏初三初中数学中考模拟
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.|-2|等于（ ）
A ．2
B ．-2
C ．±2
D ．±
2.使有意义的x 的取值范围是（ ）
A ．x ＞1
B ．x≥1
C ．x ＜1
D ．x≤1
3.计算（2a 2）3的结果是（ ）
A ．2a 5
B ．2a 6
C ．6a 6
D ．8a 6
4.如图的几何体的俯视图是（ ）
5.在▱ABCD 中，AB=3，BC=4，当▱ABCD 的面积最大时，下列结论正确的有（ ）
①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC ⊥BD ；④AC=BD ．
A 、①②③
B 、①②④
C 、②③④
D 、①③④
二、填空题
1.计算 （-1）3+（
）-1= ． 2.计算= ． 3.方程的解为x= ．
4.南京地铁三号线全长为44830米，将44830用科学记数法表示为 ．
5.已知关于x 的方程x 2-mx+m-2=0的两个根为x 1、x 2，则x 1+x 2-x 1x 2= ．
6.某校九年级（1）班40名同学中，14岁的有1人，15岁的有21人，16岁的有16人，17岁的有2人，则这个班同学年龄的中位数是 岁．
7.如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，则对角线AC= ．
8.某体育馆的圆弧形屋顶如图所示，最高点C 到弦AB 的距离是20m ，圆弧形屋顶的跨度AB 是80m ，则该圆弧所在圆的半径为 m ．
9.如图，将边长为6的正方形ABCD绕点C顺时针旋转30°得到正方形A′B′CD′，则点A的旋转路径长
为．（结果保留π）
10.如图，A、B是反比例函数y=图象上关于原点O对称的两点，BC⊥x轴，垂足为C，连线AC过点D（0，-1．5）．若△ABC的面积为7，则点B的坐标为．
三、解答题
1.化简：
2.解不等式组：．
3.如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AE=CF，DF∥BE，
DF=BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC平分∠BAD，求证：▱ABCD为菱形．
4.小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是．
（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．
（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）
5.．国家环保局统一规定，空气质量分为5级．当空气污染指数达0-50时为1级，质量为优；51-100时为2级，质量为良；101-200时为3级，轻度污染；201-300时为4级，中度污染；300以上时为5级，重度污染．某城市随机抽取了2015年某些天的空气质量检测结果，并整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答
下列各题：
（1）本次调查共抽取了天的空气质量检测结果进行统计；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中3级空气质量所对应的圆心角为 °；
（4）如果空气污染达到中度污染或者以上，将不适宜进行户外活动，根据目前的统计，请你估计2015年该城市
有多少天不适宜开展户外活动．（2015年共365天）
6.已知P（-5，m）和Q（3，m）是二次函数y=2x2+bx+1图象上的两点．
（1）求b的值；
（2）将二次函数y=2x2+bx+1的图象沿y轴向上平移k（k＞0）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的取值范围．
7.如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离OA=75厘米．展开小桌板使桌面保持水平，此时CB⊥AO，∠AOB=∠ACB=37°，且支架长OB与桌面宽BC的长度之和等
于OA的长度．求小桌板桌面的宽度BC．（参考数据sin37°≈0．6，cos37°≈0．8，tan37°≈0．75）
8.水池中有水20m3，12：00时同时打开两个每分钟出水量相等且不变的出水口，12：06时王师傅打开一个每分
钟进水量不变的进水口，同时关闭一个出水口，12：14时再关闭里另一个出水口，12：20时水池中有水56cm3，王师傅的具体记录如表，设从12：00开始经过tmin池中有水ym3，如图中折线ABCD表示y关于t的函数图
象．
（1）每个出水口每分钟出水 m3，表格中a= ；
（2）求进水口每分钟的进水量和b的值；
（3）在整个过程中t为何值时，水池有水16m3
9.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，，DE⊥BC，垂足为
E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若CE=1，AC=4，求阴影部分的面积．
10.某水果超市以8元/千克的单价购进1000千克的苹果，为提高利润和便于销售，将苹果按大小分两种规格出售，计划大、小号苹果都为500千克，大号苹果单价定为16元/千克，小号苹果单价定为10元/千克，若大号苹果比计
划每增加1千克，则大苹果单价减少0．03元，小号苹果比计划每减少1千克，则小苹果单价增加0．02元．设
大号苹果比计划增加x千克．
（1）大号苹果的单价为元/千克；小号苹果的单价为元/千克；（用含x 的代数式表示）
（2）若水果超市售完购进的1000千克苹果，请解决以下问题：
①当x为何值时，所获利润最大？
②若所获利润为3385元，求x的值．
11.【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
【初步体验】
（1）如图1，在△ABC中，点D、F在AB上，E、G在AC上，DE∥FC∥BC．若AD=2，AE=1，DF=6，则
EG= ，
= ．
（2）如图2，在△ABC 中，点D、F在AB上，E、G在AC上，且DE∥BC∥FG．以AD、DF、FB为边构造
△ADM（即AM=BF，MD=DF）；以AE、EG、GC为边构造△AEN（即AN=GC，NE=EG）．求证：∠M=∠N．【深入探究】
上述基本事实启发我们可以用“平行线分线段成比例”解决下列问题：
（3）如图3，已知△ABC和线段a，请用直尺与圆规作△A′B′C′．满足：①△A′B′C′∽△ABC；②△A′B′C′的周长
等于线段a的长度．（保留作图痕迹，并写出作图步骤）
江苏初三初中数学中考模拟答案及解析
一、选择题
1.|-2|等于（）
A．2B．-2C．±2D．±
【答案】A．
【解析】根据绝对值的定义计算即可．
试题解析：|-2|=2，
故选A．
【考点】绝对值．
2.使有意义的x的取值范围是（）
A．x＞1B．x≥1C．x＜1D．x≤1
【答案】B．
【解析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，可得答案．
试题解析：要使有意义，得
x-1≥0．
解得x≥1，
故选B．
【考点】二次根式有意义的条件．
3.计算（2a2）3的结果是（）
A．2a5B．2a6C．6a6D．8a6
【答案】D．
【解析】根据即的乘方法则，即可解答．
试题解析：（2a2）3=23•a6=8a6，
故选D．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
4.如图的几何体的俯视图是（）
【答案】C．
【解析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
试题解析：能看到的用实线，在内部的用虚线．
故选C．
【考点】简单组合体的三视图．
5.在▱ABCD中，AB=3，BC=4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（）
①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．
A、①②③
B、①②④
C、②③④
D、①③④
【答案】B．
【解析】当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，根据勾股定理求出AC，即可得出结论．
试题解析：根据题意得：当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，
∴AC=，
①正确，②正确，④正确；③不正确；
故选B．
【考点】平行四边形的性质．
二、填空题
1.计算（-1）3+（）-1= ．
【答案】3．
【解析】根据负数的奇数次幂是负数，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．
试题解析：原式=-1+4=3．
【考点】1．负整数指数幂；2．有理数的乘方．
2.计算= ．
【答案】．
【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
试题解析：原式=．
【考点】二次根式的混合运算．
3.方程的解为x= ．
【答案】1．
【解析】分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 试题解析：去分母得：3x-4=-1，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解．
【考点】解分式方程．
4.南京地铁三号线全长为44830米，将44830用科学记数法表示为 ． 【答案】4．483×104．
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
试题解析：将44830用科学记数法表示为4．483×104．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
5.已知关于x 的方程x 2-mx+m-2=0的两个根为x 1、x 2，则x 1+x 2-x 1x 2= ．
【答案】2．
【解析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入所求式子中计算即可求出值．
试题解析：∵x 1，x 2是方程x 2-mx+m-2=0的两根，
∴x 1+x 2=m ，x 1•x 2=m-2，
则x 1+x 2-x 1•x 2=m-（m-2）=2．
【考点】根与系数的关系．
6.某校九年级（1）班40名同学中，14岁的有1人，15岁的有21人，16岁的有16人，17岁的有2人，则这个班同学年龄的中位数是 岁．
【答案】15．
【解析】根据中位数的定义找出第20和21个数的平均数，即可得出答案．
试题解析：∵该班有40名同学，
∴这个班同学年龄的中位数是第20和21个数的平均数， ∵15岁的有21人， ∴这个班同学年龄的中位数是15岁．
【考点】中位数．
7.如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，则对角线AC= ．
【答案】2．
【解析】作BG ⊥AC ，垂足为G ．构造等腰三角形ABC ，在直角三角形ABG 中，求出AG 的长，再乘二即可． 试题解析：作BG ⊥AC ，垂足为G ．
∵AB=BC ， ∴AG=CG ， ∵∠ABC=120°， ∴∠BAC=30°，
∴AG=AB•cos30°=2×
∴AC=×2=2．
【考点】正多边形和圆．
8.某体育馆的圆弧形屋顶如图所示，最高点C 到弦AB 的距离是20m ，圆弧形屋顶的跨度AB 是80m ，则该圆弧
所在圆的半径为 m．
【答案】50．
【解析】先设出圆弧形屋顶所在圆的半径为O，所在圆的半径为r，过O作OD⊥AB交⊙O于点C，再利用勾股定理可得问题答案．
试题解析：设圆弧形屋顶所在圆的半径为O，所在圆的半径为r，
过O作OD⊥AB交⊙O于点C．
由题意可知CD=20m，
在Rt△BOD中，B02=OD2+BD2，
r2=（r-20）2+402，得r=50．
【考点】1．垂径定理的应用；2．勾股定理．
9.如图，将边长为6的正方形ABCD绕点C顺时针旋转30°得到正方形A′B′CD′，则点A的旋转路径长
为．（结果保留π）
【答案】．
【解析】如图，作辅助线；首先求出AC的长度，然后运用弧长公式即可解决问题．
试题解析：如图，连接AC、A′C．
∵四边形ABCD为边长为6的正方形，
∴∠B=90°，AB=BC=6，
由勾股定理得：AC=6，
由题意得：∠ACA′=30°，
∴点A的旋转路径长=．
【考点】旋转的性质．
10.如图，A、B是反比例函数y=图象上关于原点O对称的两点，BC⊥x轴，垂足为C，连线AC过点D（0，-1．5）．若△ABC的面积为7，则点B的坐标为．
【答案】（，3）．
【解析】设B 的坐标是（m ，n ），则A 的坐标是（-m ，-n ），因为S △1OBC=
OC•BC=mn ，S △AOC=OC•|-n|＝
mn ，S △AOD =OD•|-m|=m ，S △DOC=OD•OC=m ，根据S △AOC=S △AOD+S △DOC=m +m =m ，得出mn=m ，从而求得n 的值，然后根据S △OBC+S △AOC=
mn+mn=7得出mn=7，即可求得m 的值．
试题解析：设B 的坐标是（m ，n ），则A 的坐标是（-m ，-n ），
∵S △1OBC =OC•BC=mn ，S △AOC =
OC•|-n|＝mn ，S △AOD =OD•|-m|=m ，S △DOC =OD•OC=m ， ∴S △AOC =S △AOD +S △DO C=
m +m =m ， ∴mn=m ，
∴n=3 ∵△ABC 的面积为7，
∴S △OBC +S △AOC =
mn+mn=7
∴m=
∴B （，3）． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
三、解答题
1.化简：
【答案】-1．
【解析】化除法为乘法，然后进行约分．
试题解析：原式=
= =-1．
【考点】分式的混合运算．
2.解不等式组：．
【答案】＜x≤2．
【解析】分别求出两个不等式的解集，求其公共解．
试题解析：
由①得x≤2，
由②得x ＞．
所以，原不等式组的解集为
＜x≤2． 【考点】解一元一次不等式组．
3.如图，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上两点，AE=CF ，DF ∥BE ，
DF=BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC平分∠BAD，求证：▱ABCD为菱形．
【答案】（）1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）首先证明△ADF≌△CBE，根据全等三角形的性质可得AD=CB，∠DAC=∠ACB，进而可得证明AD∥CB，根据一组对边平行且等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；
（2）首先根据角平分线的性质可得∠DAC=∠BAC，进而可得出AB=BC，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论．
试题解析：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFA=∠CEB，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD=CB，∠DAC=∠ACB，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴AB=BC，
∴▱ABCD为菱形．
【考点】1．菱形的判定；2．平行四边形的判定．
4.小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是．
（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．
（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）
【答案】（1）；（2）；（3）建议小明在第一题使用“求助”．
【解析】（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，然后画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，继而利用概率公式即可求得答案；（3）由如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；即可求得答案．
试题解析：（1）∵第一道单选题有3个选项，
∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：
（2）分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，
∴小明顺利通关的概率为：；
（3）∵如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺
利通关的概率为：；
∴建议小明在第一题使用“求助”．
【考点】列表法与树状图法．
5.．国家环保局统一规定，空气质量分为5级．当空气污染指数达0-50时为1级，质量为优；51-100时为2级，质量为良；101-200时为3级，轻度污染；201-300时为4级，中度污染；300以上时为5级，重度污染．某城市随机抽取了2015年某些天的空气质量检测结果，并整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答
下列各题：
（1）本次调查共抽取了天的空气质量检测结果进行统计；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中3级空气质量所对应的圆心角为 °；
（4）如果空气污染达到中度污染或者以上，将不适宜进行户外活动，根据目前的统计，请你估计2015年该城市有多少天不适宜开展户外活动．（2015年共365天）
【答案】（1）50；（2）补图见解析；（3）72，（4）219天．
【解析】（1）根据4级的天数数除以4级所占的百分比，可得答案；
（2）根据有理数的减法，可得5级的天数，根据5级的天数，可得答案；
（3）根据圆周角乘以3级所占的百分比，可得答案；
（4）根据样本数据估计总体，可得答案．
试题解析：（1）本次调查共抽取了24÷48%=50（天），
（2）5级抽取的天数50-3-7-10-24=6天，
（3）360°×=72°，
（4）365××100%="219（天），"
答：2015年该城市有219天不适宜开展户外活动．
【考点】1．条形统计图；2．用样本估计总体；3．扇形统计图．
6.已知P（-5，m）和Q（3，m）是二次函数y=2x2+bx+1图象上的两点．
（1）求b的值；
（2）将二次函数y=2x2+bx+1的图象沿y轴向上平移k（k＞0）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的取值范围．
【答案】（1）4；（2）k＞1．
【解析】（1）利用P（-3，m）和Q（1，m）是二次函数y=2x2+bx+1图象上的两点，得出图象的对称轴，进而得出b的值；
（2）利用图象与x轴无交点，则b2-4ac＜0，即可求出k的取值范围．
试题解析：（1）∵点P、Q是二次函数y=2x2+bx+1图象上的两点，
∴此抛物线对称轴是直线x=-1．
∵二次函数的关系式为y=2x2+bx+1，
∴有-=-1．
∴b=4．
（2）平移后抛物线的关系式为y=2x2+4x+1+k．
要使平移后图象与x轴无交点，
则有b2-4ac=16-8（1+k）＜0，
k＞1．
【考点】1．二次函数图象上点的坐标特征；2．二次函数图象与几何变换；3．抛物线与x轴的交点．
7.如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离OA=75厘米．展开小桌板使桌面保持水平，此时CB⊥AO，∠AOB=∠ACB=37°，且支架长OB与桌面宽BC的长度之和等于OA的长度．求小桌板桌面的宽度BC．（参考数据sin37°≈0．6，cos37°≈0．8，tan37°≈0．75）
【答案】约为37．5cm．
【解析】延长CB交AO于点D．则CD⊥OA，在Rt△OBD中根据正弦函数求得BD，根据余弦函数求得OD，在Rt△ACD中，根据正切函数求得AD，然后根据AD+OD=OA=75，列出关于x的方程，解方程即可求得．
试题解析：延长CB交AO于点D．
∴CD⊥OA，
设BC=x，则OB=75-x，
在Rt△OBD中，OD=OB•cos∠AOB，BD=OB•sin∠AOB，
∴OD=（75-x）•cos37°=0．8（75-x）=60-0．8x，
BD=（75-x）sin37°=0．6（75-x）=45-0．6x，
在Rt△ACD中，AD=DC•tan∠ACB，
∴AD=（x+45-0．6x）tan37°=0．75（0．4x+45）=0．3x+33．75，
∵AD+OD=OA=75，
∴0．3x+33．75+60-0．8x=75，
解得x=37．5．
∴BC=37．5；
故小桌板桌面的宽度BC约为37．5cm．
【考点】解直角三角形的应用．
8.水池中有水20m3，12：00时同时打开两个每分钟出水量相等且不变的出水口，12：06时王师傅打开一个每分钟进水量不变的进水口，同时关闭一个出水口，12：14时再关闭里另一个出水口，12：20时水池中有水56cm3，王师傅的具体记录如表，设从12：00开始经过tmin池中有水ym3，如图中折线ABCD表示y关于t的函数图
象．
（1）每个出水口每分钟出水 m 3，表格中a= ； （2）求进水口每分钟的进水量和b 的值；
（3）在整个过程中t 为何值时，水池有水16m 3
【答案】（1）1；8；（2）进水量是4，b 的值是32；（3）t 为2或时．
【解析】（1）根据直线AB 的解析式图象得出每个出水口每分钟出水速度为（20-12）÷4÷2，进而得出a 的值即可；
（2）根据直线BC 的解析式的图象得出进水口每分钟的进水量，进而得出b 的值；
（3）把t=16代入两个解析式中解答即可．
试题解析：（1）由直线AB 图象可得：每个出水口每分钟出水速度为（20-12）÷4÷2=1m 3/分钟；
图中a 的值等于20-6×2=8；
（2）设进水口每分钟的进水量为m ，可得：
，
解得： ，
答：进水口每分钟的进水量是4，b 的值是32；
（3）直线AB 的解析式为y=kx+b ，可得：
，
解得：， 所以直线AB 的解析式为：y="-2x+20，"
把y="16代入y=-2x+20，解得：x=2；"
直线BC 的解析式为y 1=k 1x+b 1，可得：
，
解得： 所以直线BC 的解析式为：y 1="3x-10，"
把y=16代入y 1=3x-10，解得：x=
综上所述，在整个过程中t 为2或时，水池有水16m 3．
【考点】一次函数的应用．
9.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AC 为直径，，DE ⊥BC ，垂足为
E ．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若CE=1，AC=4，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）直线ED与⊙O相切．理由见解析．（3）．
【解析】（1）根据圆周角定理，由得到，∠BAD=∠ACD，再根据圆内接四边形的性质得
∠DCE=∠BAD，所以∠ACD=∠DCE；
（2）连结OD，如图，利用内错角相等证明OD∥BC，而DE⊥BC，则OD⊥DE，于是根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线；
（3）作OH⊥BC于H，易得四边形ODEH为矩形，所以OD=EH=2，则CH=HE-CE=1，于是有∠HOC=30°，得到∠COD=60°，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S扇形OCD-S△OCD进行计算．
试题解析：（1）证明：∵
∴∠BAD=∠ACD，
∵∠DCE=∠BAD，
∴∠ACD=∠DCE，
即CD平分∠ACE；
（2）解：直线ED与⊙O相切．理由如下：
连结OD，如图，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
而∠OCD=∠DCE，
∴∠DCE=∠ODC，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（3）解：作OH⊥BC于H，则四边形ODEH为矩形，
∴OD=EH，
∵CE=1，AC=4，
∴OC=OD=2，
∴CH=HE-CE=2-1=1，
在Rt△OHC中，∠HOC=30°，
∴∠COD=60°，
∴阴影部分的面积=S扇形OCD-S△OCD
=
=．
【考点】1．切线的判定；2．扇形面积的计算．
10.某水果超市以8元/千克的单价购进1000千克的苹果，为提高利润和便于销售，将苹果按大小分两种规格出售，计划大、小号苹果都为500千克，大号苹果单价定为16元/千克，小号苹果单价定为10元/千克，若大号苹果比计
划每增加1千克，则大苹果单价减少0．03元，小号苹果比计划每减少1千克，则小苹果单价增加0．02元．设
大号苹果比计划增加x千克．
（1）大号苹果的单价为元/千克；小号苹果的单价为元/千克；（用含x 的代数式表示）
（2）若水果超市售完购进的1000千克苹果，请解决以下问题：
①当x为何值时，所获利润最大？
②若所获利润为3385元，求x的值．
【答案】（1）16-0．03x；10+0．02x．（2）当x=10时，所获利润最大；190千克．
【解析】（1）解决问题的关键是，设出未知数后，正确的表示出大号苹果和小号苹果的单价以及大号苹果和小号
苹果的销售量，进而列出利润的函数表达式；
（2）①求最大利润，即是二次函数中最值问题；
②所获利润为3385元，求x 的值是一元二次方程问题．
试题解析：（1）大号苹果的单价为：16-0．03x ；小号苹果的单价为：10+0．02x ．
（2）①大号苹果的销售量为：500+x ，单千克利润为：16-0．03x-8；小号苹果的销售量为：500-
x ，单千克利润为：10+0．02x-8；设总利润为W ，则
W=（500+x ）（16-0．03x-8）+（500-x ）（10+0．02x-8）
=-0．05x 2+x+5000
=-0．05（x-10）2+5005
∴当x=10时，所获利润最大； ②获利润为3385元时，即-0．05（x-10）2+5005=3385，
解得：x 1=190，x 2=-170（舍去）
∴所获利润为3385元时，x 的值为190千克．
【考点】二次函数的应用．
11.【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
【初步体验】
（1）如图1，在△ABC 中，点D 、F 在AB 上，E 、G 在AC 上，DE ∥FC ∥BC ．若AD=2，AE=1，DF=6，则EG= ， = ． （2）如图2，在△ABC 中，点D 、F 在AB 上，E 、G 在AC 上，且DE ∥BC ∥FG ．以AD 、DF 、FB 为边构造△ADM （即AM=BF ，MD=DF ）；以AE 、EG 、GC 为边构造△AEN （即AN=GC ，NE=EG ）．求证：∠M=∠N ．
【深入探究】
上述基本事实启发我们可以用“平行线分线段成比例”解决下列问题：
（3）如图3，已知△ABC 和线段a ，请用直尺与圆规作△A′B′C′．满足：①△A′B′C′∽△ABC ；②△A′B′C′的周长等于线段a 的长度．（保留作图痕迹，并写出作图步骤）
【答案】（1）3、2；（2）证明见解析；（3）作图见解析．
【解析】（1）只需利用基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”即可解决问题；
（2）要证∠M=∠N ，只需证△AMD ∽△ANE ，只需证
，由于DF=DM ，EG=EN ，BF=AM ， GC=AN ，只需证，根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”即可解决问题；
（3）借鉴图2，可进行以下操作：①延长BA 到D ，使得AD=AC ，延长AB 到E ，使得BE=BC ；②过点D 画 一条线段DF ，使得DF=a ，连接EF ；③过点B 作∠DBB′=∠DEF ，交DF 于点B′，过点A 作∠DAA′=∠
DEF ，交DF 于点A′，即可得到AA′∥BB′∥EF ；④以点A′为圆心，A′D 为半径画弧，以点B′为圆
心，B′F 为半径画弧，两弧交于点C′；⑤连接A′C′，B′C′，如图4，△A′B′C′即为所求
作．
试题解析：（1）如图1，
∵DE ∥FG ∥BC ，
∴,
∴
∵AD=2，AE=1，DF=6，
∴
∴EG="3,"
（2）如图2，
∵DE∥FG∥BC，
∴,
∴
∵DF=DM，EG=EN，BF=AM，GC=AN，
∴
∴△AMD∽△ANE，
∴∠M=∠N；
（3）步骤：
①延长BA到D，使得AD=AC，延长AB到E，使得BE=BC；
②过点D画一条线段DF，使得DF=a，连接EF；
③过点B作∠DBB′=∠DEF，交DF于点B′，过点A作∠DAA′=∠DEF，交DF于点A′；
④以点A′为圆心，A′D为半径画弧，以点B′为圆心，B′F为半径画弧，两弧交于点C′；
⑤连接A′C′，B′C′，如图4，△A′B′C′即为所求作．
【考点】1．相似形综合题；2．平行线分线段成比例．。