2018-2019江西省上饶市玉山县高二下学期期中考试数学（文）试题

玉山一中2018~2019学年第二学期高二期中考试
文科数学试卷(7—9班)
时间：120分钟 总分：150分
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求)
1. 如果0a b <<，则下列不等式成立的是( ) A ．
11a b
< B ．33a b < C ．22a b < D ．22ac bc <
2. 不等式1
10x
-
>成立的一个充分不必要条件是( ) A ．10x -<<或1x > B ．1x >- C ．1x <-或01x << D ．0x >
3.抛物线22x ay =的准线方程为4y =，则实数a 的值为( ) A ．4-
B ．18
C ．8-
D ．18
-
4. 已知圆的极坐标方程为4sin()4π
ρθ=-，则其圆心坐标为( )
A ．(2,)4
π
B ．3(2,
)4
π C ．(2,)4
π
-
D ．(2,0)
5.将2216x y +=的横坐标压缩为原来的1
2，纵坐标伸长为原来的2倍，则曲线的方程变为(
)
A ．22134x y +=
B ．2
2213x y +=
C ．2
22112x y +=
D ．22
2134
x y +=
6.已知(,)P x y 是椭圆sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，则点P 到40x --=的距离的最大值为(
)
A B ．2+ C D ．27.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2f x xf ='（e ）lnx +，则f （e ）(= ) A ．e B ．1e
-
C ．1-
D ．e -
8. 斜率为
4
3
且过抛物线2:4C y x =焦点的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若(1AF FB λλ=>）， 则实数λ 为( )
A ．3
B ．2
C ．5
D ．4
9. 给出下列四个命题：
①若命题:,10p x R x ∀∈-≥，则:,10p x R x ⌝∀∈-<；
②若0x 为()y f x =的极值点，则0()0f x '=”的逆命题为真命题； ③“平面向量,a b 的夹角是钝角”的一个充分不必要条件是“0a b ⋅<”； ④命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++”． 其中正确的个数是( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
10. 设x ，y ，z R ∈，且2x y z ++=，则222x y z ++的最小值( ) A ．
4
3
B ．
23 C ．13
D ．1
11.设双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点，若双曲线及其渐近线
上各存在一点Q ，P ，使得四边形OPFQ 为矩形，则其离心率为( )
A
B C D ．2
12.已知函数2()2x a f x x e -=+，2()(22)4a x g x ln x e -=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使得00()()3f x g x -=，则实数a 的值为( ) A ．2ln -
B ．2ln
C ．12ln --
D ．12ln -+
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知双曲线22
2:14x y C b
-=的左右焦点为12,F F ，且126F F =，则1F 到一渐近线的距离
为 ．
14.已知函数()x f x e alnx =-+2在[]4,1上单调递增，则a 的取值范围是 ． 15. 抛物线2:4C y x =的焦点为F ，动点P 在抛物线C 上，点(1,0)A -，当PF
PA 取得最大值
时，直线AP 的方程为 ．
16.若定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()0ln 1>-x ef xf 的解集为 （结果用区间表示）
三、解答题（共6小题，其中17题10分,其余小题,每题12分,共70分）
17.已知命题p:⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∀1,21x ，不等式02
≥-x m 恒成立；q ：方程22214x y m +=表示焦点在x
轴上的椭圆．
（1）若p ⌝为假命题，求实数m 的取值范围；
（2）若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．
.
18.已知函数()||2|1|f x x a x =-++．
（1）当1a =时，求不等式()4≤x f 的解集；
（2）设不等式()42+≤x x f 的解集为M ，若[0，3]M ⊆，求a 的取值范围．
19. 在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为4(32
x t
y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22
(3sin )12ρθ+=．
（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且设定点(2,1)P ，求PB
PA 1
1+
的值．
20. 已知函数311
()32
f x x =+．
（1）求曲线()y f x =在点5
(1,)6P 处的切线与x 轴和y 轴围成的三角形面积；
（2）若过点(2,)a 可作三条不同直线与曲线()y f x =相切，求实数a 的取值范围
21.已知圆1C 的方程为
()
2
2232x y ++=，点2(2,0)C ，点M 为圆1C 上的任意一点，线
段2MC 的垂直平分线与线段1MC 相交于点N. （1）求点N 的轨迹C 的方程.
（2）已知点A ，过点A 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于,P Q 两点，
以,OP OQ 为邻边作平
行四边形OPBQ ，是否存在常数k ，使得点B 在轨迹C 上，若存在，求k 的值；
若不存在，说明
理由.
22. 已知函数1
()1
lnx f x x +=
-． （1）求()f x 的单调区间； （2）若()k
f x x
>在(1,)+∞上恒成立，求整数k 的最大值．
玉山一中2018~2019学年第二学期高二期中考试
文科数学试卷答案(7--9班)
一、选择题（每小题5分，共60分）
BACBD ACDAA BC 二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 5 14. e a ≤ 15. 01=++y x 或 01=+-y x 16.()e ,0 三、解答题（17题10分，其余各题均为12分）
17.解：（1）若p ⌝为假命题，则p 为真命题．若命题p 真，即对⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈∀1,21x 0
2
≥-x m ，恒
成
立
，
则
()
1
max
2
=≥x m ，
所以
1≥m ……………………………………………………………..4分
（2）命题q ：方程表示焦点在x 轴上的椭圆，242m m ∴>⇒>或2m <-．
p q ∨为真命题，且p q ∧为假命题，p ∴、q 一真一
假……………………………………6分
①如果p 真q 假，则有⎩
⎨
⎧≤≤-≥221
m m ，得21≤≤m ；
②如果p 假q 真，则有1
22m m m <⎧⎨><-⎩
或，得2m <-．
综上实数m 的取值范围为2m <-或21≤≤m ．……………………………………..10分 18.解：（1）1a =时，()|1|2|1|f x x x =-++，
若()4≤x f ，1≥x 当时，4221≤++-x x ，解得：1≤x ，故1x =； 当11x -<<时，4221≤++-x x ，解得：1≤x ，故11x -<<，
1-≤x 当时，4221≤---x x ，解得：
35-
≥x ，故135
-≤≤-x ，
综上，不等式的解集是5
[3
-，1]；
………………………………………………………….6分
（2）若[0，3]M ⊆，则问题转化为4
212+≤++-x x a x 在[0，3]恒成立，
即
2
2242=--+≤-x x a x ，故22≤-≤-a x ，…………………………8分
故x a x -≤-≤--22在[0，3]恒成立，即22+≤≤-x a x 在[0，3]恒成立，
故21≤≤a ，即a 的范围是[1，2]． (12)
分
19解：（1
）由43x y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
消去t 得10x y --=，……………………………………3分 由2
2
(3sin )12ρθ+=得2
2
2
3312x y y ++=，即22
143x y +=，故直线l 的普通方程为
:10l x y --=；曲线C 的直角坐标方程为：22
143
x y +=．
…………………………………6分
（2）因为直线l 过(2,1)P ，所以可设直线l
的参数方程为2:1x l y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
并代入圆的方程整
理得：2780t ++=，………………………………………….8分 设A ，B 对应的参数为1t ，2t
，则127t t +=-
，128
7
t t =，且.0,021<<t t ……..10分 .2
251
12121=+=+=+∴
t t t t PB PA PB PA PB PA ………………………………12分
20..解：（1）函数311()32f x x =+的导数为2()f x x '=，曲线()y f x =在点5(1,)6
P 处的切线斜
率为1，可得切线方程为516y x -=-即1
6y x =-，………………………………2分
切线与x 轴和y 轴的交点为1(6，0)，1
(0,)6
-，可得切线与x 轴和y 轴围成的三角形面积
为1111
26672
⨯⨯=；………………………………6分 （2）311()32f x x =+，则2()f x x '=，设切点为311
(,)32
m m +，则2()f m m '=．
可得过切点处的切线方程为3211
()32
y m m x m --=-，把点(2,)a 代入得
3211
(2)32
a m m m --=-，整理得32412360m m a --+=，
若过点(2,)a 可作三条直线与曲线()y f x =相切，则方程32412360m m a --+=有三个 不同根．………………………………8分
令32()4123g x x x =--，则2()122412(2)g x x x x x '=-=-， 当(x ∈-∞，0)(2⋃，)+∞时，()0g x '>；当(0,2)x ∈时，()0g x '<， 则()g x 的单调增区间为(,0)-∞，(2,)+∞；单调减区间为(0,2)．
可得当0x =时，()g x 有极大值为(0)3g =-；当2x =时，()g x 有极小值为g （2）19=-． 由1963a -<-<-，得
11926a <<．则实数n 的取值范围是1(2，19
)6
．…………………12分
21.（1）∵2NC NM = 241121
＝＝＝M C NM NC NC NC ++∴
知点N 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆
轨迹C ：22
84
x y +＝1…………………………………….4分
（2）),(,),(22148
22112
2y x Q y x P kx y y x 设⎪⎩
⎪⎨⎧+==+
消去y ，得0828)12(22=+++kx x k
∴存在常数2
14
k ±
=，使得□OPBQ 的顶点B 在椭圆上………12分
22解：（1）()f x 的定义域是(0，1)(1⋃，)+∞，……………1分
2
1
()(1)lnx
x f x x +'=--，令1()x lnx x
ϕ=+，则21()x x x ϕ-'=， 当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减，当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增，
()x ϕϕ∴>（1）10=>，()0f x ∴'<，()f x 递减…………………….5分
综上，()f x 在(0,1)，(1,)+∞递减；………………………….6分 （3）若()(1)k f x x x >>恒成立，即令(1)
()1
x lnx h x k x +=>-恒成立，即()h x 的最小值大于k ，………………………….7分
2
2()(1)x lnx
h x x --'=
-，(1)x >，
令()2(1)g x x lnx x =-->，则1
()0x g x x
-'=
>，故()g x 在(1,)+∞递增， 又g （3）130ln =-<，g （4）2220ln =->，()0g x =存在唯一的实数根a ，且满足(3,4)a ∈，20a lna --=，……………………………..9分
故当1x a <<时，()0g x <，()0h x '<，()h x 递减，当x a >时，()0g x >，()0h x '>，()h x 递增，故()min h x h =（a ）(1)(1)
(3,4)11
a lna a a a a a +-=
==∈--， 故正整数k 的最大值是3．………………..12分。