九年级上册毕节数学期末试卷(培优篇)(Word版 含解析)

九年级上册毕节数学期末试卷（培优篇）（Word 版 含解析）
一、选择题
1．如图，四边形ABCD 内接于O ，若40A ∠=︒，则C ∠=（ ）
A ．110︒
B ．120︒
C ．135︒
D ．140︒
2．抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（ ）
A ．（﹣1，2）
B ．（﹣1，﹣2）
C ．（1，﹣2）
D ．（1，2）
3．如图，AB 为圆O 直径，C 、D 是圆上两点，∠ADC=110°，则∠OCB 度（ ）
A ．40
B ．50
C ．60
D ．70
4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为（0，3），点B 为（2，1），点C 为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC 的外心坐标应是（ ）
A ．()0,0
B ．()1,0
C ．()2,1--
D ．()2,0
5．已知52x y =，则x y y -的值是（ ） A ．12 B ．2 C ．32 D ．23
6．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝2（x ﹣1）2+1先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式是（ ）
A ．y ＝2（x+1）2+4
B ．y ＝2（x ﹣1）2+4
C ．y ＝2（x+2）2+4
D ．y ＝2（x ﹣3）2+4 7．一枚质地匀均的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上面的数字大于4的概率是（ ）
A ．12
B ．13
C ．23
D ．16
8．一元二次方程x 2＝－3x 的解是（ ）
A ．x ＝0
B ．x ＝3
C ．x 1＝0，x 2＝3
D ．x 1＝0，x 2＝－3 9．如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．2332π-
B ．233π-
C ．32π-
D ．3π-
10．下列对于二次函数y ＝﹣x 2+x 图象的描述中，正确的是（ ）
A ．开口向上
B ．对称轴是y 轴
C ．有最低点
D ．在对称轴右侧的部分从左往右是下降的 11．如图，AB ，AM ，BN 分别是⊙O 的切线，切点分别为 P ，M ，N ．若 MN ∥AB ，∠A ＝
60°，AB ＝6，则⊙O 的半径是（ ）
A ．32
B ．3
C ．3
23D 312．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数21y ax bx =++的图象经过点A ，B ，对
系数a 和b 判断正确的是（ ）
A ．0,0a b >>
B ．0,0a b <<
C ．0,0a b ><
D ．0,0a b <>
二、填空题
13．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =30°，BC =4，则⊙O 的直径为___．
14．若△ABC ∽△A′B′C′，∠A ＝50°，∠C ＝110°，则∠B′的度数为_____．
15．若a 是方程223x x =+的一个根，则代数式263a a -的值是______.
16．如图，四边形的两条对角线AC 、BD 相交所成的锐角为60︒，当8AC BD +=时，四边形ABCD 的面积的最大值是______.
17．如图，已知D 是等边△ABC 边AB 上的一点，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E 、F 分别在AC 和BC 上．如果AD ：DB=1：2，则CE ：CF 的值为
____________．
18．抛物线y=（x ﹣2）2﹣3的顶点坐标是____．
19．在△ABC 中，∠C=90°，若AC=6，BC=8，则△ABC 外接圆半径为________；
20．若32x y =，则x y y
+的值为_____． 21．如图，123////l l l ，直线a 、b 与1l 、2l 、3l 分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若AB=3，BC=5，DE=4，则EF 的长为______．
22．若m是关于x的方程x2-2x-3=0的解，则代数式4m-2m2+2的值是______．
23．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=140°，则∠BOD=____°．
24．如图，已知矩形ABCD的顶点A、D分别落在x轴、y轴，OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1．则点B的坐标是_____．
三、解答题
25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点F是AD上一点，连接AF交CD的延长线于点E．
（1）求证：△AFC∽△ACE；
（2）若AC＝5，DC＝6，当点F为AD的中点时，求AF的值．
26．用铁片制作的圆锥形容器盖如图所示．
（1）我们知道：把平面内线段OP绕着端点O旋转1周，端点P运动所形成的图形叫做
圆．类比圆的定义，给圆锥下定义 ；
（2）已知OB ＝2 cm ，SB ＝3 cm ，
①计算容器盖铁皮的面积；
②在一张矩形铁片上剪下一个扇形，用它围成该圆锥形容器盖．以下是可供选用的矩形铁片的长和宽，其中可以选择且面积最小的矩形铁片是 ．
A ．6 cm×4 cm
B ．6 cm×4.5 cm
C ．7 cm×4 cm
D ．7 cm×4.5 cm
27．为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A 、B 两地间的公路进行改建，如图，A ，B 两地之间有一座山．汽车原来从A 地到B 地需途经C 地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB 行驶，已知BC ＝80千米，∠A ＝45°，∠B ＝30°．
(1)开通隧道前，汽车从A 地到B 地要走多少千米？
(2)开通隧道后，汽车从A 地到B 地可以少走多少千米？(结果保留根号)
28．如图，AB 是⊙O 的直径，D 是弦AC 的延长线上一点，且CD ＝AC ，DB 的延长线交⊙O 于点E ．
（1）求证：CD ＝CE ；
（2）连结AE ，若∠D ＝25°，求∠BAE 的度数．
29．在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，E 是射线DC 上的点，连接AE ，将ADE ∆沿直线AE 翻折得AFE ∆．
（1）如图①，点F 恰好在BC 上，求证：ABF ∆∽FCE ∆；
（2）如图②，点F 在矩形ABCD 内，连接CF ，若1DE =，求EFC ∆的面积； （3）若以点E 、F 、C 为顶点的三角形是直角三角形，则DE 的长为 ．
30．如图，点C 是线段AB 上的任意一点(C 点不与A B 、点重合)，分别以AC BC 、为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，AE 与CD 相交于点M ，BD 与CE 相交于点N ．
(1)求证: DB AE =；
(2)求证: //MN AB ；
(3)若AB 的长为12cm ，当点C 在线段AB 上移动时，是否存在这样的一点C ，使线段MN 的长度最长?若存在,请确定C 点的位置并求出MN 的长；若不存在，请说明理由．
31．如图，O 的半径为23，AB 是O 的直径，F 是O 上一点，连接FO 、FB .C 为劣弧BF 的中点，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，CD 交FB 于点E ，//CG FB ，交AB 的延长线于点G .
（1）求证：CG 是
O 的切线； （2）连接BC ，若//BC OF ，如图2.
①求CE 的长；
②图中阴影部分的面积等于_________.
32．已知A (n ，-2)，B (1，4)是一次函数y =kx +b 的图象和反比例函数y=
m x 的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求△AOC 的面积；
（3）求不等式kx +b -m x
<0的解集(直接写出答案)．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C 的度数．
【详解】
∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ＝400，
∴∠C ＝1800－400＝1400，
故选D.
【点睛】
此题考查圆内接四边形的性质，解题关键在于利用圆内接四边形的对角互补
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据顶点式2()y a x h k =-+，顶点坐标是（h ，k ），即可求解.
【详解】
∵顶点式2()y a x h k =-+，顶点坐标是（h ，k ），
∴抛物线2
(1)2
y x
=-+的顶点坐标是（1，2）．
故选D．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据角的度数推出弧的度数,再利用外角∠AOC的性质即可解题.【详解】
解：∵∠ADC=110°,即优弧ABC的度数是220°,
∴劣弧ADC的度数是140°,
∴∠AOC=140°,
∵OC=OB,
∴∠OCB=1
2
∠AOC=70°,
故选D.
【点睛】
本题考查圆周角定理、外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．C
解析：C
【解析】
外心在BC的垂直平分线上，则外心纵坐标为-1.故选C.
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
设x=5k（k≠0），y=2k（k≠0），代入求值即可．
【详解】
解：∵
5
2 x
y
=
∴x=5k（k≠0），y=2k（k≠0）
∴
523
22 x y k k
y k
--
==
故选：C．
【点睛】
本题考查分式的性质及化简求值，根据题意，正确计算是解题关键．6．A
解析：A
【分析】
只需确定原抛物线解析式的顶点坐标平移后的对应点坐标即可．
【详解】
解：原抛物线y＝2（x﹣1）2+1的顶点为（1，1），先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，新顶点为（﹣1，4）．即所得抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）．
所以，平移后抛物线的表达式是y＝2（x+1）2+4，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像的平移，抛物线的解析式为顶点式时，求出顶点平移后的对应点坐标，可得平移后抛物线的解析式，熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题的关键. 7．B
解析：B
【解析】
【分析】
直接得出朝上面的数字大于4的个数，再利用概率公式求出答案．
【详解】
∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，
∴共有6种情况，其中朝上面的数字大于4的情况有2种，
∴朝上一面的数字是朝上面的数字大于4的概率为：21 63 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查简单的概率求法，概率=所求情况数与总情况数的比；熟练掌握概率公式是解题关键．
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
先移项，然后利用因式分解法求解．
【详解】
解：（1）x2=-3x，
x2+3x=0，
x（x+3）=0，
解得：x1=0，x2=-3．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
9．B
【解析】
【分析】
根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出
△ABG≌△DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．
【详解】
连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠ADC=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∴△DAB是等边三角形，
∵AB=2，
∴△ABD3，
∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，
∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，
∴∠3=∠4，
设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，
在△ABG和△DBH中，
2
{
34
A
AB BD
∠=∠
=
∠=∠
，
∴△ABG≌△DBH（ASA），
∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF-S△ABD=
2
6021
23
3602
π⨯
-⨯
=
2
3
3
π
故选B．
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而
可以解答本题．
【详解】
解：∵二次函数y ＝﹣x 2+x ＝﹣(x 12-)2+14
， ∴a ＝﹣1，该函数的图象开口向下，故选项A 错误；
对称轴是直线x ＝
12，故选项B 错误； 当x ＝12时取得最大值14
，该函数有最高点，故选项C 错误； 在对称轴右侧的部分从左往右是下降的，故选项D 正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握函数解析式和二次函数的性质是解题的关键．
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意可判断四边形ABNM 为梯形，再由切线的性质可推出∠ABN=60°，从而判定△APO ≌△BPO ，可得AP=BP=3，在直角△APO 中，利用三角函数可解出半径的值.
【详解】
解：连接OP ，OM ，OA ，OB ，ON
∵AB ，AM ，BN 分别和⊙O 相切，
∴∠AMO=90°，∠APO=90°，
∵MN ∥AB ，∠A ＝60°，
∴∠AMN=120°，∠OAB=30°，
∴∠OMN=∠ONM=30°，
∵∠BNO=90°，
∴∠ABN=60°，
∴∠ABO=30°，
在△APO 和△BPO 中，
OAP OBP APO BPO OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
△APO ≌△BPO （AAS ），
∴AP=12
AB=3， ∴tan ∠OAP=tan30°=
OP AP
=3，
∴OP=3，即半径为3.
故选D.
【点睛】
本题考查了切线的性质，切线长定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，关键是说明点P 是AB 中点，难度不大.
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据二次函数y=ax 2+bx+1的图象经过点A ，B ，画出函数图象的草图，根据开口方向和对称轴即可判断．
【详解】 解：由二次函数y=ax 2+bx+1可知图象经过点（0，1），
∵二次函数y=ax 2+bx+1的图象还经过点A ，B ，
则函数图象如图所示，
抛物线开口向下，
∴a ＜0，，
又对称轴在y 轴右侧，即02b a
-
> ， ∴b ＞0，
故选D 二、填空题
13．8
【解析】
【分析】
连接OB，OC，依据△BOC是等边三角形，即可得到BO=CO=BC=BC=4，进而得出⊙O的直径为8．
【详解】
解：如图，连接OB，OC，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=
解析：8
【解析】
【分析】
连接OB，OC，依据△BOC是等边三角形，即可得到BO=CO=BC=BC=4，进而得出⊙O的直径为8．
【详解】
解：如图，连接OB，OC，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∴△BOC是等边三角形，
又∵BC=4，
∴BO=CO=BC=BC=4，
∴⊙O的直径为8，
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理的运用，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
14．20°
【解析】
【分析】
先根据三角形内角和计算出∠B的度数，然后根据相似三角形的性质得到∠B′的度数．
【详解】
解：∵∠A＝50°，∠C＝110°，
∴∠B＝180°﹣50°﹣110°＝20°
解析：20°
【解析】
【分析】
先根据三角形内角和计算出∠B 的度数，然后根据相似三角形的性质得到∠B′的度数．
【详解】
解：∵∠A ＝50°，∠C ＝110°，
∴∠B ＝180°﹣50°﹣110°＝20°，
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B′＝∠B ＝20°．
故答案为20°．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例，它们对应面积的比等于相似比的平方.
15．9
【解析】
【分析】
根据方程解的定义，将a 代入方程得到含a 的等式，将其变形，整体代入所求的代数式.
【详解】
解：∵a 是方程的一个根，
∴2a2=a+3,
∴2a2-a=3,
∴.
故答案为：9
解析：9
【解析】
【分析】
根据方程解的定义，将a 代入方程得到含a 的等式，将其变形，整体代入所求的代数式.
【详解】
解：∵a 是方程223x x =+的一个根，
∴2a 2=a+3,
∴2a 2-a=3,
∴()
2263=32339a a a a --=⨯=.
故答案为：9.
【点睛】
本题考查方程解的定义及代数式求值问题，理解方程解的定义和整体代入思想是解答此题的关键.
16．【解析】
【分析】
设AC=x,根据四边形的面积公式，，再根据得出，再利用二次函数最值求出答案.
【详解】
解：∵AC 、BD 相交所成的锐角为
∴根据四边形的面积公式得出，
设AC=x ，则BD=8-
解析：【解析】
【分析】
设AC=x,根据四边形的面积公式，1S sin 602AC BD =⨯⨯︒，再根据sin 602
︒=得出
()1 S 82x x =-. 【详解】
解：∵AC 、BD 相交所成的锐角为60︒ ∴根据四边形的面积公式得出，1S sin 602AC BD =
⨯⨯︒ 设AC=x ，则BD=8-x
所以，())21S 842x x x =-=-+
∴当x=4时，四边形ABCD 的面积取最大值
故答案为：
【点睛】
本题考查的知识点主要是四边形的面积公式，熟记公式是解题的关键.
17．【解析】
【分析】
根据折叠的性质可得DE=CE,DF=CF,利用两角对应相等的两三角形相似得出△AED ∽△BDF ，进而得出对应边成比例得出比例式，将比例式变形即可得.
【详解】
解：如图，连接D 解析：45
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可得DE=CE,DF=CF,利用两角对应相等的两三角形相似得出△AED ∽△BDF ，进而得出对应边成比例得出比例式，将比例式变形即可得.
【详解】
解：如图，连接DE,DF,
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC, ∠A=∠B=∠ACB=60°,
由折叠可得，∠EDF=∠ACB=60°,DE=CE,DF=CF ∵∠BDE=∠BDF+∠FDE=∠A+∠AED,
∴∠BDF+60°=∠AED+60°,
∴∠BDF=∠AED,
∵∠A=∠B,
∴△AED∽△BDF,
∴AD AE DE BF BD DF
,
设AD=x，∵AD：DB=1：2,则BD=2x,∴AC=BC=3x,
∵AD AE DE BF BD DF
,
∴AD AE DE DE BF BD DF DF
∴
3
23
x x DE x x DF
∴
4
5 DE
DF
,
∴
4
5 CE
CF
.
故答案为：4 5 .
【点睛】
本题考查了折叠的性质，利用三角形相似对应边成比例及比例的性质解决问题，能发现相似三角形的模型，即“一线三等角”是解答此题的重要突破口.
18．（2，﹣3）
【解析】
【分析】
根据：对于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是(h,k).
【详解】
抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（2，﹣3）.
故答案为（2，﹣3）
【点睛】
本题
解析：（2，﹣3）
【解析】
【分析】
根据：对于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是(h,k).
【详解】
抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（2，﹣3）.
故答案为（2，﹣3）
【点睛】
本题考核知识点：抛物线的顶点. 解题关键点：熟记求抛物线顶点坐标的公式.
19．5
【解析】
【分析】
先确定外接圆的半径是AB，圆心在AB的中点，再计算AB的长，由此求出外接圆的半径为5.
【详解】
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴△ABC外接圆直径为斜边AB、圆心是AB的
解析：5
【解析】
【分析】
先确定外接圆的半径是AB，圆心在AB的中点，再计算AB的长，由此求出外接圆的半径为5.
【详解】
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴△ABC外接圆直径为斜边AB、圆心是AB的中点，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴2222
AB AC BC，
6810
∴△ABC外接圆半径为5.
故答案为：5.
【点睛】
此题考查勾股定理的运用、三角形外接圆的确定.根据圆周角定理，直角三角形的直角所对的边为直径，即可确定圆的位置及大小.
20．．
【解析】
【分析】
根据比例的合比性质变形得：
【详解】
∵，
∴
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了合比性质，对比例的性质的记忆是解题的关键．
解析：5
2
．
【解析】【分析】
根据比例的合比性质变形得：
325
.
22 x y
y
++
==
【详解】
∵
3
2
x
y
=，
∴
325
.
22 x y
y
++
==
故答案为：5 2 .
【点睛】
本题主要考查了合比性质，对比例的性质的记忆是解题的关键．21．【解析】
【分析】
直接根据平行线分线段成比例定理即可得．
【详解】
，
，
，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键． 解析：203
【解析】
【分析】
直接根据平行线分线段成比例定理即可得．
【详解】
123////l l l ，
AB DE BC EF
∴=， 3,5,4AB BC DE ===，
345EF
∴=， 解得203
EF =
， 故答案为：203
． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键．
22．-4
【解析】
【分析】
先由方程的解的含义，得出m2-2m-3=0，变形得m2-2m=3，再将要求的代数式提取公因式-2，然后将m2-2m=3代入，计算即可．
【详解】
解：∵m 是关于x 的方程x2
解析：-4
【解析】
【分析】
先由方程的解的含义，得出m 2-2m-3=0，变形得m 2-2m=3，再将要求的代数式提取公因式-2，然后将m 2-2m=3代入，计算即可．
【详解】
解：∵m 是关于x 的方程x 2-2x-3=0的解，
∴m 2-2m-3=0，
∴m 2-2m=3，
∴4m-2m 2+2
= -2（m 2-2m ）+2
= -2×3+2
= -4．
故答案为：-4．
【点睛】
本题考查了利用一元二次方程的解的含义在代数式求值中的应用，明确一元二次方程的解的含义并将要求的代数式正确变形是解题的关键．
23．80
【解析】
∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=180°−140°=40°，
∴∠BOD=2∠A=80°.
故答案为80.
解析：80
【解析】
∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=180°−140°=40°，
∴∠BOD=2∠A=80°.
故答案为80.
24．(5，1)
【解析】
【分析】
过B作BE⊥x轴于E，根据矩形的性质得到∠DAB=90°，根据余角的性质得到∠AD O=∠BAE，根据相似三角形的性质得到AE=OD=2，DE=OA=1，于是得到结论．解析：(5，1)
【解析】
【分析】
过B作BE⊥x轴于E，根据矩形的性质得到∠DAB=90°，根据余角的性质得到
∠ADO=∠BAE，根据相似三角形的性质得到AE=1
3OD=2，DE=
1
3
OA=1，于是得到结论．
【详解】
解：过B作BE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADO+∠OAD=∠OAD+∠BAE=90°，∴∠ADO=∠BAE，
∴△OAD∽△EBA，
∴OD：AE=OA：BE=AD：AB
∵OD=2OA=6，
∴OA=3
∵AD：AB=3：1，
∴AE=1
3OD=2，BE=
1
3
OA=1，
∴OE=3+2=5，
∴B（5，1）
故答案为：（5，1）
【点睛】
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线并证明△OAD∽△EBA是解题的关键．
三、解答题
25．（1）见解析；（2）
5 4
【解析】
【分析】
（1）根据条件得出AD＝AC，推出∠AFC＝∠ACD，结合公共角得出三角形相似；（2）根据已知条件证明△ACF≌△DEF，得出AC＝DE，利用勾股定理计算出AE的长度，
再根据（1）中△AFC∽△ACE，得出AF
AC
＝
AC
AE
，从而计算出AF的长度.
【详解】
（1）∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径
∴AD＝AC
∴∠AFC＝∠ACD．
∵在△ACF和△AEC中，∠AFC＝∠ACD，∠CAF＝∠EAC ∴△AFC ∽△ACE
（2）∵四边形ACDF内接于⊙O
∴∠AFD＋∠ACD＝180°
∵∠AFD＋∠DFE＝180°
∴∠DFE＝∠ACD
∵∠AFC＝∠ACD
∴∠AFC＝∠DFE．
∵△AFC∽△ACE
∴∠ACF ＝∠DEF ．
∵F 为AC 的中点
∴AF ＝DF ．
∵在△ACF 和△DEF 中，∠ACF ＝∠DEF ，∠AFC ＝∠DFE ，AF ＝DF
∴△ACF ≌△DEF ．
∴AC ＝DE ＝5．
∵CD ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径
∴CH ＝DH ＝3．
∴EH ＝8
在Rt △AHC 中，AH 2＝AC 2－CH 2＝16，
在Rt △AHE 中，AE 2＝AH 2＋EH 2＝80，∴AE ＝
∵△AFC ∽△ACE ∴AF
AC ＝AC AE ，即5AF ，
∴AF 【点睛】
本题属于圆与相似三角形的综合，涉及了圆内接四边形的性质，勾股定理，等弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定定理等，解题的关键是灵活运用所学知识，正确寻找全等三角形.
26．（1）把平面内，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；（2）①6π；②B.
【解析】
【分析】
（1）根据平面内图形的旋转，给圆锥下定义；（2）①根据圆锥侧面积公式求容器盖铁皮的面积；②首先求得扇形的圆心角的度数，然后求得弓形的高就是矩形的宽，长就是圆的直径．
【详解】
解：（1）把平面内，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；
（2）①由题意，容器盖铁皮的面积即圆锥的侧面积
∴==23=6S rl πππ⨯⨯母侧
即容器盖铁皮的面积为6πcm²；
②解：设圆锥展开扇形的圆心角为n 度，
则2π×2=3180
n π⨯ 解得：n=240°，
如图：∠AOB=120°，
则∠AOC=60°，
∵OB=3，
∴OC=1.5，
∴矩形的长为6cm，宽为4.5cm，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆锥的定义及其有关计算，根据题意作出图形是解答本题的关键．27．(1)开通隧道前，汽车从A地到B地要走2千米；(2)汽车从A地到B地比原来少走的路程为23千米．
【解析】
【分析】
（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；
（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程．
【详解】
(1)过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
∵AB⊥CD，sin30°＝CD
BC
，BC＝80千米，
∴CD＝BC•sin30°＝80×1
2
＝40(千米)，
AC＝
CD
402
sin45︒
=千米)，
AC+BC＝80+
1
-
8
(千米)，
答：开通隧道前，汽车从A地到B地要走(80+
1
-
8
)千米；
(2)∵cos30°＝BD
BC
，BC＝80(千米)，
∴BD＝BC•cos30°＝80×
3
=403
2
千米)，
∵tan45°＝CD
AD
，CD＝40(千米)，
∴AD＝
CD
40
tan45︒
=(千米)，
∴AB＝AD+BD＝40+403(千米)，
∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB＝80+
1
-
8
﹣40﹣403＝
40+40(23)
-(千米)．
答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为 [40+40(23)
-]千米．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
28．（1）证明见解析；（2）40°.
【解析】
【分析】
(1)连接BC，利用直径所对的圆周角是直角、线段垂直平分线性质、同弧所对的圆周角相等、等角对等边即可证明.
（2）利用三角形外角等于不相邻的两个内角和、利用直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余即可解答.
【详解】
（1）证明：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，即BC⊥AD，
∵CD＝AC，
∴AB＝BD，
∴∠A＝∠D，
∴∠CEB＝∠A，
∴∠CEB＝∠D，
∴CE＝CD．
（2）解：连接AE．
∵∠A BE＝∠A+∠D＝50°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣50°＝40°．
【点睛】
本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
29．（1）见解析；（2）EFC ∆的面积为
513；（3）53、5、15、345)3
【解析】
【分析】
（1）先说明∠CEF=∠AFB 和90B C ∠=∠=，即可证明ABF ∆∽FCE ∆；
（2）过点F 作FG DC ⊥交DC 与点G ，交AB 于点H ，则90EGF AHF ∠=∠=；再结合矩形的性质，证得△FGE ∽△AHF ，得到AH=5GF ；然后运用勾股定理求得GF 的长，最后运用三角形的面积公式解答即可；
（3）分点E 在线段CD 上和DC 的延长线上两种情况，然后分别再利用勾股定进行解答即可．
【详解】
（1）解：∵矩形ABCD 中，
∴90B C D ∠=∠=∠=
由折叠可得90D EFA ∠=∠=
∵90EFA C ∠=∠=
∴90CEF CFE CFE AFB ∠+∠=∠+∠=
∴CEF AFB ∠=∠
在ABF ∆和FCE ∆中
∵AFB CEF ∠=∠，90B C ∠=∠=
∴ABF ∆∽FCE ∆
（2）解：过点F 作FG DC ⊥交DC 与点G ，交AB 于点H ，则90EGF AHF ∠=∠= ∵矩形ABCD 中，
∴90D ∠=
由折叠可得：90D EFA ∠=∠=，1DE EF ==，5AD AF ==
∵90EGF EFA ∠=∠=
∴90GEF GFE AFH GFE ∠+∠=∠+∠=
∴GEF AFH ∠=∠
在FGE ∆和AHF ∆中
∵,90GEF AFH EGF FHA ∠=∠∠=∠=
∴FGE ∆∽AHF ∆ ∴EF GF FA AH
= ∴15GF AH
= ∴5AH GF =
在Rt AHF ∆中，90AHF ∠=
∵222AH FH AF +=
∴222(5)(5)5GF GF +-=
∴513
GF = ∴EFC ∆的面积为
155221313⨯⨯= （3）设DE=x ，以点E 、F 、C 为顶点的三角形是直角三角形，则：
①当点E 在线段CD 上时，∠DAE<45°，
∴∠AED>45°，由折叠性质得：∠AEF=∠AED>45°，
∴∠DEF=∠AED+∠AEF>90°，
∴∠CEF<90°，
∴只有∠EFC=90°或∠ECF=90°，
a,当∠EFC=90°时，如图所示:
由折叠性质可知，∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFE+∠EFC=90°，
∴点A ，F ，C 在同一条线上，即：点F 在矩形的对角线AC 上，
在Rt △ACD 中，AD=5，CD=AB=3，根据勾股定理得，34
由折叠可知知，EF=DE=x ，AF=AD=5，
∴34，
在Rt △ECF 中，EF 2+CF 2=CE 2，
∴x2+（34-5）2=（3-x）2，解得x=5(345)
3
-
即：DE=
5(345)
3
-
b,当∠ECF=90°时，如图所示: 点F在BC上，由折叠知，EF=DE=x，AF=AD=5，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF=22
AF AB
-=4，
∴CF=BC-BF=1，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，
（3-x）2+12=x2,解得x=5
3
,即：DE=
5
3
；
②当点E在DC延长线上时，CF在∠AFE内部，而∠AFE=90°，∴∠CFE<90°，
∴只有∠CEF=90°或∠ECF=90°，
a、当∠CEF=90°时，如图所示
由折叠知，AD=AF=5，∠AFE=90°=∠D=∠CEF，
∴四边形AFED是正方形，
∴DE=AF=5；
b、当∠ECF=90°时，如图所示:
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴点F 在CB 的延长线上，
∴∠ABF=90°，由折叠知，EF=DE=x ，AF=AD=5，
在Rt △ABF 中，根据勾股定理得，22AF AB -， ∴CF=BC+BF=9，
在Rt △ECF 中，根据勾股定理得，CE 2+CF 2=EF 2，
∴（x-3）2+92=x 2，解得x=15，即DE=15， 故答案为345)3-、53、5、15． 【点睛】
本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解答本题的关键．
30．(1)见解析；(2) 见解析；(3) 存在,请确定C 点的位置见解析，MN=3．
【解析】
【分析】
（1）根据题意证明△DCB ≌△ACE 即可得出结论；
（2）由题中条件可得△ACE ≌△DCB ，进而得出△ACM ≌△DCN ，即CM=CN ，△MCN 是等边三角形，即可得出结论；
（3）可先假设其存在，设AC=x ，MN=y ，进而由平行线分线段成比例即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵△ACD 与△BCE 是等边三角形，
∴AC=CD ，CE=BC ，
∴∠ACE=∠BCD ，
在△ACE 与△DCB 中，
AC CD ACE BCD CE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACE ≌△DCB （SAS ），
∴DB=AE ；
（2）∵△ACE ≌△DCB ，
∴∠CAE=∠BDC ，
在△ACM 与△DCN 中，
CAE BDC AC CD
ACM DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ACM ≌△DCN ，
∴CM=CN ，
又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°，
∴△MCN 是等边三角形，
∴∠MNC=∠NCB=60°
即MN ∥AB ；
（3）解：假设符合条件的点C 存在，设AC=x ，MN=y ，
∵MN ∥AB ， ∴
MN EN AC EC =， 即1212y x y x x
--=-， ()2211631212y x x x =-
+=--+， 当x=6时，y max =3cm ，
即点C 在点A 右侧6cm 处，且MN=3．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及平行线分线段成比例的性质和二次函数问题，能够将所学知识联系起来，从而熟练求解．
31．（1）见解析；（2）①2CE =，②2S π=阴.
【解析】
【分析】
（1）连接OC ，利用等腰三角形三线合一的性质证得OC ⊥BF ，再根据CG ∥FB 即可证得结论；
（2）①根据已知条件易证得OBC 是等边三角形，利用三角函数可求得CD 的长，根据
三角形重心的性质即可求得答案；
②易证得OBC FBC S S =，利用扇形的面积公式即可求得答案. 【详解】
（1）连接CO . C 是BF 的中点，
BOC FOC ∴∠=∠.
又OF OB =，
OC BF ∴⊥.
//CG FB ，
OC CG ∴⊥.
CG ∴是O 的切线.
（2）①
//OF CB ，
∴FOC OCB ∠=∠.
OC OB =，BOC FOC ∠=∠
60AOF COF BOC ∴∠=∠=∠=︒.
∴OBC 是等边三角形. CD OB ⊥，OC BF ⊥，
又O 的半径为23，
在Rt OCD 中，3sin sin 60233CD OC COD OC ∠==︒=⨯
=, ∵BF ⊥OC ，CD ⊥OB ，BF 与CD 相交于E ，点E 是等边三角形OBC 的垂心，也是重心和内心，
∴223
CE CD =
=. ②∵AF ∥BC ， ∴OBC FBC S S =
∴()260232360OBC S S ππ⨯⨯===阴扇形.
【点睛】
要题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角函数的知识，扇形的面积公式，根据三角形重心的性质求得CE 的长是解题的关键.
32．（1）反比例函数关系式：
4
y
x
；一次函数关系式：y=2x+2；（2）3；（3）x<-2或
0<x<1.【解析】【分析】
（1）由B点在反比例函数y=m
x
上，可求出m，再由A点在函数图象上，由待定系数法求
出函数解析式；
（2）由上问求出的函数解析式联立方程求出A，B，C三点的坐标，从而求出△AOC的面积；
（3）由图象观察函数y=m
x
的图象在一次函数y=kx+b图象的上方，对应的x的范围．
【详解】
解：（1）∵B（1，4）在反比例函数y=m
x
上，
∴m=4，
又∵A（n，-2）在反比例函数y=m
x
的图象上，
∴n=-2，
又∵A（-2，-2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的上的点，联立方程组解得，k=2，b=2，
∴y＝4
x
，y=2x+2；
（2）过点A作AD⊥CD，
∵一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=m
x
的图象的两个交点为A，B，联立方程组解
得，
A（-2，-2），B（1，4），C（0，2），∴AD=2，CO=2，
∴△AOC的面积为：S=1
2AD•CO=
1
2
×2×2=2；
（3）由图象知：当0＜x＜1和-2＜x＜0时函数y=4
x
的图象在一次函数y=kx+b图象的上
方，
∴不等式kx+b-m
x
＜0的解集为：0＜x＜1或x＜-2．
【点睛】
此题考查一次函数和反比例函数的性质及图象，考查用待定系数法求函数的解析式，还间接考查函数的增减性，从而来解不等式．。