三角形的四心及性质
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定义：三角形三边中线的交点！ 性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边 中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个 三角形面积相等。即重心到三条边的 距离与三条边的长成反比。
2.三角形重心性质定理的应用 ⑴求线段长 例1 如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D 是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC的重心GE⊥AC 于点E，若BC=6cm，则GE= cm。 解：Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6 ∴AB=BC=12，D是斜边AB的中点， ∴CD= AB=6 G是Rt△ABC的重心，∴CG= CD=4 由CD=AD，∠A=30°，∠GCE=30° Rt△GCE中，∠GCE=30°，CG=4， ∴GE= CG=2（cm）
⑵求面积
例2 在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，求 △ABC的面积。
解：∵O是△ABC的重心， ∴AO∶OD=2∶1 ∴S△AOB∶S△BOD=2∶1 即S△AOB=2 S△BOD=10 ∴S△ABD= S△AOB+ S△BOD=10+5=15 又AD是△ABC的中线 S△ABC=2 S△ABD=30。 练习：1.如图5，△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果AG=6， 那么线段DG= 。
2.如图6，在△ABC中，G是重心，点D是BC的中点，若△ABC的面积为 6cm2，则△CGD的面积为 。
定义：三角形内切圆的圆心就是三角形的 内心，也是三角形角平线的交点。 性质：1. 三角形的内心到三边的距离相等， 等于内切圆的半径。
定义：三角形外接圆的圆心，也是三角形 三边中垂线的交点。 性质：1、外心到三角形各个顶点的距离相 等。 2、锐角三角形的外心在三角形内；直角 三角形的外心在斜边上，与斜边的中点重 合；
定义：三角形三边高线的交点。 三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于 一点。 证明：如图：作BE 于点E，CF^AB于点F，且BE交CF于点H， 连接AH并延长交BC于点D。现在我们只要证明AD^BC即可。 因为CF^AB，BE 所以 四边形BFEC为圆内接四边形。 四边形AFHE为圆内接四边形。 所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB 由∠FAH=∠FCB得 四边形AFDC为圆内接四边形 所以∠AFC=∠ADC=90° 即AD^BC。 点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性 质。
2.三角形重心性质定理的应用 ⑴求线段长 例1 如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D 是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC的重心GE⊥AC 于点E，若BC=6cm，则GE= cm。 解：Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6 ∴AB=BC=12，D是斜边AB的中点， ∴CD= AB=6 G是Rt△ABC的重心，∴CG= CD=4 由CD=AD，∠A=30°，∠GCE=30° Rt△GCE中，∠GCE=30°，CG=4， ∴GE= CG=2（cm）
⑵求面积
例2 在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，求 △ABC的面积。
解：∵O是△ABC的重心， ∴AO∶OD=2∶1 ∴S△AOB∶S△BOD=2∶1 即S△AOB=2 S△BOD=10 ∴S△ABD= S△AOB+ S△BOD=10+5=15 又AD是△ABC的中线 S△ABC=2 S△ABD=30。 练习：1.如图5，△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果AG=6， 那么线段DG= 。
2.如图6，在△ABC中，G是重心，点D是BC的中点，若△ABC的面积为 6cm2，则△CGD的面积为 。
定义：三角形内切圆的圆心就是三角形的 内心，也是三角形角平线的交点。 性质：1. 三角形的内心到三边的距离相等， 等于内切圆的半径。
定义：三角形外接圆的圆心，也是三角形 三边中垂线的交点。 性质：1、外心到三角形各个顶点的距离相 等。 2、锐角三角形的外心在三角形内；直角 三角形的外心在斜边上，与斜边的中点重 合；
定义：三角形三边高线的交点。 三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于 一点。 证明：如图：作BE 于点E，CF^AB于点F，且BE交CF于点H， 连接AH并延长交BC于点D。现在我们只要证明AD^BC即可。 因为CF^AB，BE 所以 四边形BFEC为圆内接四边形。 四边形AFHE为圆内接四边形。 所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB 由∠FAH=∠FCB得 四边形AFDC为圆内接四边形 所以∠AFC=∠ADC=90° 即AD^BC。 点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性 质。