2025高考数学必刷题 第8讲、幂函数与二次函数(学生版)

第8讲
幂函数与二次函数
知识梳理
1、幂函数的定义
一般地，()a y x a R =∈(a 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.
2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①a x 的系数为1；②a x 的底数是自变量；
③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质3、常见的幂函数图像及性质：
函数
y x
=2y x =3
y x =12
y x
=1
y x -=图象
定义域R R R {|0}x x ≥{|0}x x ≠值域R
{|0}
y y ≥R
{|0}
y y ≥{|0}
y y ≠奇偶性
奇偶
奇非奇非偶奇
单调性
在R 上单调递增
在(0)-∞，上单调
递减，在(0+)∞，上单调递增
在R 上单调递增
在[0+)∞，上单调
递增
在(0)-∞，和
(0+)∞，上单调递
减
公共点(11)
，4、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；
（2）顶点式：2()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程.
（3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标.
5、二次函数的图像
二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2b
x a
=-
，顶点坐标为2
4(,
)24b ac b a a
--.（1）单调性与最值
①当0a >时，如图所示，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-
上递减，在[,)2b
a
-+∞上递增，当2b
x a
=-时，2min 4()4ac b f x a -=；
②当0a <时，如图所示，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-
上递增，在[,)2b
a
-+∞上递减，当2b
x a
=-时，2max 4()4ac b f x a -=
（2）与x 轴相交的弦长
当240b ac ∆=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点
11(,0)M x 和22(,0)M x ，212121212||||()4||
M M x x x x x x a ∆
=-=+-=
.6、二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，
最小值是m ，令02
p q
x +=
：（1）若2b
p a
-
≤，则(),()m f p M f q ==；（2）若02b p x a <-
<，则(()2b
m f M f q a =-=；（3）若02b x q a ≤-<，则(),()2b
m f M f p a
=-=；（4）若2b
q a
-
≥，则(),()m f q M f p ==.【解题方法总结】
1、幂函数()a y x a R =∈在第一象限内图象的画法如下：①当0a <时，其图象可类似1y x -=画出；②当01a <<时，其图象可类似1
2y x =画出；③当1a >时，其图象可类似2y x =画出．
2、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔21212400
0b ac b x x a c x x a ⎧
⎪∆=->⎪
⎪
+=->⎨⎪
⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔21212400
0b ac b x x a c x x a ⎧
⎪∆=->⎪
⎪
+=-<⎨⎪
⎪=>⎪⎩
（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120c
x x a
=<3、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2b
x a
=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.
设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示.
根的分布
图像
限定条件
12
m x x <<02()0
b m a f m ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪⎪>⎩12
x m x <<()0
f m <12x x m
<<02()0
b m a f m ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪⎪>⎩在区间(,)m n 内
没有实根
∆<12120
x x m x x m
∆==≤=≥或02()0
b m a f m ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪⎪≥⎩
2
()0
b n
a
f n
∆>
⎧
⎪⎪
->
⎨
⎪
⎪≥
⎩
()0
()0
f m
f n
≤
⎧
⎨
≤
⎩
在区间(,)
m n
内
有且只有一个
实根
()0
()0
f m
f n
>
⎧
⎨
<
⎩
()0
()0
f m
f n
<
⎧
⎨
>
⎩
在区间(,)
m n
内
有两个不等实
根
2
()0
()0
b
m n
a
f m
f n
∆>
⎧
⎪
⎪<-<
⎪
⎨
⎪>
⎪
>
⎪⎩
4、有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中
点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.
必考题型全归纳
题型一：幂函数的定义及其图像
【例1】（2024·宁夏固原·高三隆德县中学校联考期中）已知函数()22()22m f x m m x
-=--⋅是幂函数，且在()0+∞，
上递减，则实数m =（）
A ．1
-B ．1-或3
C ．3
D ．2
【对点训练1】（2024·海南·统考模拟预测）已知()()
25m f x m m x =+-为幂函数，则（
）．
A ．()f x 在(),0∞-上单调递增
B ．()f x 在(),0∞-上单调递减
C ．()f x 在()0,∞+上单调递增
D ．()f x 在()0,∞+上单调递减
【对点训练2】（2024·河北·高三学业考试）已知幂函数()y f x =的图象过点(8,，则
()9f 的值为（
）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．9
【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）幂函数a y x =中a 的取值集合C 是11,0,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬
⎩⎭
的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为（）
A ．11,0,2⎧
⎫-⎨⎬
⎩
⎭B ．1,1,22⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭C ．11,,32⎧⎫
-⎨⎬
⎩⎭
D ．1,1,2,32⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）已知幂函数p
q y x =（,Z p q ∈且,p q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（
）
A ．p ，q 均为奇数，且
0p q
>B ．q 为偶数，p 为奇数，且
0p q <C ．q 为奇数，p 为偶数，且0
p
q >D ．q 为奇数，p 为偶数，且0
p
q
<【解题方法总结】
确定幂函数y x α
=的定义域，当α为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当0α≤时，底数是非零的.
题型二：幂函数性质的综合应用
【例2】（2024·吉林长春·高三校考期中）已知幂函数()()21
33m f x m m x +=-+的图象关于
原点对称，则满足()()132m m
a a +>-成立的实数a 的取值范围为___________.
【对点训练5】（2024·全国·高三专题练习）下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②0y x =图象是一条直线；③若函数2x y =的定义域是{}|0x x ≤，则它的值域是{}|1y y ≤；④若函数1y x =的定义域是{}|2x x >，则它的值域是1|2y y ⎧
⎫<⎨⎬⎩
⎭；⑤若函数2y x =的值域是{}|04y y ≤≤，则它的定义域一定是{}|22x x -≤≤．其中不正确命题的序号是________．
【对点训练6】（2024·河南·校联考模拟预测）已知2()f x x =，1()()2x g x m =-，若对
1[1,3]x ∀∈-，2[0,2]x ∃∈，12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是_________.
【对点训练7】（2024·福建三明·高三校考期中）已知1
21111log 122a
a a ⎛⎫
<<< ⎪⎝⎭
，，，则实数
a 的取值范围是___________
【对点训练8】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2(),x a
f x x x a =>⎪⎩
，若函数()f x 的值
域为R ，则实数a 的取值范围为__________．
【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）不等式()
1011
2202221210x x x -++-≤的解集为：
_________．
【对点训练10】（2024·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知幂函数1
10
1 ()f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
若()()182f a f a -<-，则a 的取值范围是__________.
【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫
∈---⎨⎬⎩⎭
，若幂函数
()f x x α=奇函数，且在()0,∞+上为严格减函数，则α=__________.
【解题方法总结】
紧扣幂函数y x α
=的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意α为奇数时，x α
为奇函数，α为偶数时，x α
为偶函数.
题型三：二次方程()200ax bx c a ++=≠的实根分布及条件
【例3】（2024·全国·高三专题练习）关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为（）A ．1
-B ．4
-C ．4-或1
D ．1-或4
【对点训练12】（2024·全国·高三专题练习）设a 为实数，若方程220x ax a -+=在区间(1,1)-上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）.
A ．(,0)(1,)
-∞⋃+∞B ．(1,0)
-C ．1,03⎛⎫
- ⎪
⎝⎭D ．1,0(1,)
3⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
【对点训练13】（2024·全国·高三专题练习）方程2(2)50x m x m +-+-=的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)内，则m 的取值范围是（）
A ．(5,4)
--B ．13,23⎛⎫
-- ⎪
⎝⎭C ．13,43⎛⎫
-- ⎪
⎝⎭
D ．(5,2)
--【对点训练14】（2024·全国·高三专题练习）关于x 的方程()2
290ax a x a +++=有两个
不相等的实数根12,x x ，且121x x <<，那么a 的取值范围是（
）
A ．22
75a -
<<B ．25
a >C ．2
7
a <-
D ．2
011
a -
<<【解题方法总结】
结合二次函数2
()f x ax bx c =++的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参
数的不等式，从而解不等式求参数的范围.
题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
【例4】（2024·上海·高三专题练习）已知()()2
24,,f x ax bx c a b c =++∈R .
(1)若()01f =-，20a b +=，解关于x 的不等式()()13f x a x <+-；(2)若0a c +=，()f x 在[]22-,
上的最大值为2
3
，最小值为1
2
-，求证：2b a ≤.
【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，
且(]0,2x ∈时，()21x
f x =-，()2
2g x x x m =-+.
(1)求()f x 在区间[)2,0-上的解析式；
(2)若对[]12,2x ∀∈-，则[]22,2x ∃∈-，使得()()12f x g x =成立，求m 的取值范围.
【对点训练16】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()33x x
f x -=-．
(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；
(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()2
4f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．
【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()2(0)f x x ax a =->．(1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；
(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值．
【对点训练18】（2024·全国·高三专题练习）已知值域为[1,)-+∞的二次函数()f x 满足
(1)(1)f x f x -+=--，且方程()0f x =的两个实根12,x x 满足122x x -=．
(1)求()f x 的表达式；
(2)函数()()g x f x kx =-在区间[2,2]-上的最大值为(2)f ，最小值为(2)f -，求实数k 的取值范围．
【对点训练19】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()2ln 1()x f x e ax a R =++∈为偶
函数.
（1）求a 的值；（2）设函数()()f x x
x g x e
me +=+，是否存在实数m ，使得函数()g x 在区间[]1,2上的最小值
为214e -若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.
【解题方法总结】
“动轴定区间”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.题型五：二次函数最大值的最小值问题
【例5】（2024·湖南衡阳·高一统考期末）二次函数()f x 为偶函数，()11f =，且
()232f x x x +≤恒成立．
(1)求()f x 的解析式；
(2)R a ∈，记函数()()21h x f x ax =-+在[]0,1上的最大值为()T a ，求()T a 的最小值．
2025高考数学必刷题
【对点训练20】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()1,f x x ax b a b x
=+--∈R ，当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，设()f x 的最大值为(),M a b ，求(),M a b 的最小值．【对点训练21】（2024·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考期中）已知函数()(2)||(R)f x x x a a =-+∈，
(1)当1a =-时，①求函数()f x 单调递增区间；②求函数()f x 在区间74,4⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦的值域；(2)当[3,3]x ∈-时，记函数()f x 的最大值为()g a ，求()g a 的最小值．
【对点训练22】（2024·浙江·高一校联考阶段练习）已知函数()1f x x x a =--+．
(1)当2a =时，解方程()0f x =；
(2)当[]0,5a ∈时，记函数()y f x =在[]1,4x ∈上的最大值为()g a ，求()g a 的最小值。