量子力学 02波函数与波动方程1
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(r , t )V (r ) (r , t )dr
*
2
但动量平均值能否仍按上述表示给出呢？即
P ( x, y, z , t ) P ( x, y, z ) ( x, y, z , t )dxdydz
*
Ae
i ( k r t )
Aei (pr Et )
E
k p
，
把具有一定动量的自由粒子所联系的平面 波称为德布罗意波（物质波）。 物质微粒的波长 10 10Å 电子波长 1 Å 通常物质微粒不显示出波动性，而电子在 通常情况下也不显示，仅在原子尺度下才显示。
② 粒子是由波函数 (x, t ) 来描述，但波函 数并不能告诉你，t 0 时刻测量时，粒子在什么位 置。粒子位置可能在 x1 ，可能在 x 2 , ，而 2 在 x1 x1 dx 中发现粒子的几率为 (x1, t 0 ) dx 。 2 也就是说，( x, t 0 ) 在某 x 处越大，则在 t 0 时刻 测量发现粒子在该处的机会越多。（这表明，我 们讲的是能预言到什么，但我们不能说出测量的 结果）。
1 s , s 2 x 1
s
1
。当 x 0 ，x
1 x
2s
有界 有
, s 1 。 当
2 1 0 ， 2s
界;
（2）位置和位能的平均值 既然波函数能给出体系的一切可能的信息， 它能预言得到某可能值的几率，那它应该能给 出物理量的统计平均值。这显然是应当做得到 的。但如何给出，则需要研究。 A．位置平均值 设： ( x, y, z, t )是归一化波函数。由于测得 x 值在 xi xi x i的几率为
Aei (k r t ) Ai (pr Et )
将粒子所具有的微粒性和波动性统一起来，这 在经典物理学中看来是不可能的 B. 物理量取值不一定是连续的 辐射体辐射的能量取值
E nh
n 0,1,2,
氢原子的能量
En e
2
2a 0 n 2 4 0
4 0 2 a0 0.529 108 cm me e 2
( r , t ) x ( r , t ) dr
*
2
B．势能平均值（假设位能表示中不依赖动量）
V lim V( x i , y j , z k ) ( x i , y j , z k , t ) x i y jz k
ijk 2
V( x, y, z) ( x, y, z, t ) dxdydz
x i ( ( x i , y j , z k , t ) y jz k )
y j z k
2
从平均值的定义，则 x 的平均值应表为
x lim xi xi ( (xi , y j , zk , t ) y jzk )
i j, k 2
x ( x, y, z, t ) dxdydz
ei (k r t )
当然应该相等。因此，在任何条件下 (r, t ) 应连 续； 2 ② 有界：我们讲有界是指 (r, t ) dr 有界， 即使是在某些孤立奇点（对于 (r, t ) ）也可能不 违背波函数这一性质。只要在包含它的小区域中 的几率有界，实际上就是波函数平方可积。 例如： ，
c´. 不能认为衍射可能是通过缝后，电子相互 作用所导致（稀疏时，也有同样现象）。 总之，电子（量子粒子）不能看作经典粒子， 也不能用经典波来描述（经典波是物理量在空间 分布）。
这种干涉现象在经典中有类似现象，如水 波通过二个缝后，在接收器上的强度分布 I I 为 I1 ，2 ， 12 ， 但 I1 I2 I12 。
P1 P2 2 P1P2 cos δ （ 1 2）
1,2 称为波函数（描述粒子波动性的函数
称为波函数），也就是说，接收器上某位置电子 2 数的多少，将由波函数的模的平方 来表征。 空间若有两个波，粒子数多少则应由波函数 1 2 的模的平方来描述。 但是，这种描述是什么意思呢？它没有回答， 电子是一个个出现的问题；也没有回答，空间 电子稀疏时，但时间足够长后，干涉花纹照样 出现。
ni 2 ( x i , t ) dx nm
m
体系的波函数 (r, t ) 给出了体系所有信息 （可能范围内的），它给出体系一个完全的描述
例如，测量粒子的能量时，可给出预言可能测 得那些能量值和测得该能量值的几率等等。正 因为如此，我们可以说波函数描述了体系所处的 (r , t ) 描述体系，就称 量子状态，或称状态。以 (r , t ) 态，或称 (r , t ) 为体系的态函数。 体系处于
r 0
那只要在小区域（ r 0 附近） 4 3 2 r 0 πr φ(r, t) 有界即可。 3 1 r 0 所以要求 ( r, t ) 不快于 r 3 2 ，即 r 0 时， 1 3 若 ( r, t ) 的渐近形式为 r s ，则要求 s 2 。 对于一维 对于二维
若
(r, t ) dr A2
2
则归一化的波函数为
1 (r , t ) (r , t ) A 2 ( r , t ) dr 这时
（可差一相因子 e i
，
为实数）
才代表在 r r dr 区域中
发现粒子的几率。
为了处理问题方便，如平面波 (r a) 等不能归一化的波函数也时常被利用。 事实上，这也是一大类波函数（本征值连续所相 应的波函数），我们将在以后讨论。 B．波函数的自然条件： 一般而言，波函数必须连续，有界，单值。 2 ① 连续：由于 (r, t ) dr 为粒子处于 r r dr 中的几率解释。所以在 r0 0 和 r0 0 处几率
2
(r, t ) 是描述或刻划一个电子的几率振幅。
玻恩几率解释：如果在时刻 t ，对以波函数 (r, t ) 描述的粒子进行位置测量，测得的结果可 以是不同的；而在一小区域 r r dr 中发现该 2 粒子的几 率为 P(r, t )dr (r, t ) dr （ P(r, t )d r 1 ）。 注意两点： ① (r, t)不是对物理量的波动描述。它有意义 的是，在体积元 r r dr 中发现粒子的几率为 2 (r , t ) dr ，所以它不代表物理实体，仅是一几 率波；
§2.3 . 波函数的性质，态叠加原理 (r , t ) 给出了体系有 既然体系状态的波函数 可能得到的信息，那么它有什么共同性质呢？ （1）波函数的性质 A. 归一化条件： 2 dr 为 t 时刻，发现粒子在 r r dr 中 的几率。但测量时，总是要发现粒子的。所以， 在整个空间中，发现粒子的几率之和应为 1。
这一特点，不仅电子有，后来热中子试验也 有，即物质粒子还有波动性。当然，经典物理学 是无法解释的。
中子在Na单晶体上的衍射
ห้องสมุดไป่ตู้
Ⅱ. 波－粒两象性：
既然辐射和粒子都具有波动性和微粒性，那 么，如何理解这两属性呢？ A.波－粒两象性
E h
p k
具有确定动量的自由粒子被一平面波 所描述
够长时，接收到的电子数分布为 P( x ) (x )
。 这表明，电子出现在接收器上的各个位置是 具有一定的几率的。当足够多的电子被接收后。 在接收器上的电子分布正显示了这一几率分布 （电子到接收器上是一个个的，但分布又类似波， 即几率波）。 2 P( x ) ( x ) 是电子出现在x附近的几率密度 （如 P( x )dx 1 ）。 电子通过双缝的描述，尽管类似水波那样用 一波函数来描述 。但本质是不同的。
想像一个实验事实：
a．每次接收到的是一个电子，即电子确 是以一个整体出现； b. 电子数的强度 P1, P2 ，但 P1 P2 P12 ；
c．电子枪发射稀疏到，任何时刻空间至多 一个电子，但足够长的时间后，也有同样结果。 因此，我们可得到下面的结论： a´. 不能认为，波是电子将自己以以一定密 度分布于空间形成的（因接收到的是一个个电 子），也不是大量电子分布形成的（稀疏时，也 有同样的现象）； b´. 不能想像，电子通过1,2 时，能像经典电 子（有轨道）那样来描述，因 P1 P2 P12
我们如何来理解这一点呢？因如果对一个体 系去测量发现粒子可能就处于 x1 ，只测得一个 值。 但可想像有很多很多同样的体系，对体系 进行同时，完全相同的测量，测得的结果发现 n1次 x1 x1 dx n2次 x2 x2 dx
nm次
xm xm dx
当对足够多的同样的体系进行测量后，即 在大量的完全相同的体系中，同时测量，那发 现粒子在 xi xi dx 处的几率
电子的干涉现象与这完全相似，但两者的 含意是本质不同的，前者是强度，后者是接收到 的电子多少。 这启发我们，电子的双缝干涉中的现象也 可用 1,2 函数来描述（它们一般应是复函数）。 2 ， P 2 P1 1 2 2
* P12 1 2 1 2 (1* 12 ) 2 2 2 2
因此，一个真正的实在的波函数，应该有
2 (r , t ) dr 1
若波函数满足上述条件，则称该波函数已 归一化。 应该注意，只有当波函数归一化后，才能 2 说 (r , t ) dr 是几率。否则在区域 r r dr 中， 发现粒子的几率为
2 (r , t ) dr 2 (r ' , t ) dr '
Ⅲ. 波函数的玻恩（Max Born,1926年） 几率诠释—几率波 Max Born真正将量子粒子的微粒性和波动 性统一起来。 如电子用一波函数 ( x ) 来描述，则 ① 从上面分析可以看到，在 x x dx 范围 2 内，接收到电子多少是与 P(x)dx (x) dx的大小 有关； ② 当发射电子稀疏到一定程度时，接收器上 接收到的电子几乎是“杂乱无章”的，但当时间
波函数与波动方程
Ⅰ. 物质粒子的波动性 A. 德布罗意假设（de Broglie 1923年） 他提出：具有一定动量的粒子与一定波长的波相 联系， 2 h k p k
P
称为德布罗意关系。 当然，能量与频率关系仍为
E h
（称为Einstein关系）
这两个关系，把粒子的动力学变量与波的 特征量联系起来。也就是说，对一个具有确定能 量和动量的自由粒子，对应一个有确定的频率和 波长（波数）及一定的传播方向 p p 的平面波 ，
B. 物质粒子波动性的实验证据 1. 戴维逊、革末实验（Davisson andGermer, P.R. 30(27) 707） 当可变电子束（30 600eV）照射到抛光的 镍单晶上，发现在某角度 方向有强的反射（即 有较多电子被接收），而 满足
a sin φn n h P
它证明了，电子入射到晶体表面，发生干涉散射， 具有波动性，而相应波长为
h P
这现象无法用粒子的图象来解释。
2. G.P.Thomson的电子衍射实验（1927 年）
电子通过单晶粉末，出现衍射图象，这一衍 射图象反映了电子的波动性。正象 x 射线照到 单晶粉末压成的金箔上，满足 2d sin n 一样， 电子入射满足
2d sin n h P
而产生圆形衍射环 。
*
2
但动量平均值能否仍按上述表示给出呢？即
P ( x, y, z , t ) P ( x, y, z ) ( x, y, z , t )dxdydz
*
Ae
i ( k r t )
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，
把具有一定动量的自由粒子所联系的平面 波称为德布罗意波（物质波）。 物质微粒的波长 10 10Å 电子波长 1 Å 通常物质微粒不显示出波动性，而电子在 通常情况下也不显示，仅在原子尺度下才显示。
② 粒子是由波函数 (x, t ) 来描述，但波函 数并不能告诉你，t 0 时刻测量时，粒子在什么位 置。粒子位置可能在 x1 ，可能在 x 2 , ，而 2 在 x1 x1 dx 中发现粒子的几率为 (x1, t 0 ) dx 。 2 也就是说，( x, t 0 ) 在某 x 处越大，则在 t 0 时刻 测量发现粒子在该处的机会越多。（这表明，我 们讲的是能预言到什么，但我们不能说出测量的 结果）。
1 s , s 2 x 1
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1
。当 x 0 ，x
1 x
2s
有界 有
, s 1 。 当
2 1 0 ， 2s
界;
（2）位置和位能的平均值 既然波函数能给出体系的一切可能的信息， 它能预言得到某可能值的几率，那它应该能给 出物理量的统计平均值。这显然是应当做得到 的。但如何给出，则需要研究。 A．位置平均值 设： ( x, y, z, t )是归一化波函数。由于测得 x 值在 xi xi x i的几率为
Aei (k r t ) Ai (pr Et )
将粒子所具有的微粒性和波动性统一起来，这 在经典物理学中看来是不可能的 B. 物理量取值不一定是连续的 辐射体辐射的能量取值
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氢原子的能量
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B．势能平均值（假设位能表示中不依赖动量）
V lim V( x i , y j , z k ) ( x i , y j , z k , t ) x i y jz k
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V( x, y, z) ( x, y, z, t ) dxdydz
x i ( ( x i , y j , z k , t ) y jz k )
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2
从平均值的定义，则 x 的平均值应表为
x lim xi xi ( (xi , y j , zk , t ) y jzk )
i j, k 2
x ( x, y, z, t ) dxdydz
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当然应该相等。因此，在任何条件下 (r, t ) 应连 续； 2 ② 有界：我们讲有界是指 (r, t ) dr 有界， 即使是在某些孤立奇点（对于 (r, t ) ）也可能不 违背波函数这一性质。只要在包含它的小区域中 的几率有界，实际上就是波函数平方可积。 例如： ，
c´. 不能认为衍射可能是通过缝后，电子相互 作用所导致（稀疏时，也有同样现象）。 总之，电子（量子粒子）不能看作经典粒子， 也不能用经典波来描述（经典波是物理量在空间 分布）。
这种干涉现象在经典中有类似现象，如水 波通过二个缝后，在接收器上的强度分布 I I 为 I1 ，2 ， 12 ， 但 I1 I2 I12 。
P1 P2 2 P1P2 cos δ （ 1 2）
1,2 称为波函数（描述粒子波动性的函数
称为波函数），也就是说，接收器上某位置电子 2 数的多少，将由波函数的模的平方 来表征。 空间若有两个波，粒子数多少则应由波函数 1 2 的模的平方来描述。 但是，这种描述是什么意思呢？它没有回答， 电子是一个个出现的问题；也没有回答，空间 电子稀疏时，但时间足够长后，干涉花纹照样 出现。
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体系的波函数 (r, t ) 给出了体系所有信息 （可能范围内的），它给出体系一个完全的描述
例如，测量粒子的能量时，可给出预言可能测 得那些能量值和测得该能量值的几率等等。正 因为如此，我们可以说波函数描述了体系所处的 (r , t ) 描述体系，就称 量子状态，或称状态。以 (r , t ) 态，或称 (r , t ) 为体系的态函数。 体系处于
r 0
那只要在小区域（ r 0 附近） 4 3 2 r 0 πr φ(r, t) 有界即可。 3 1 r 0 所以要求 ( r, t ) 不快于 r 3 2 ，即 r 0 时， 1 3 若 ( r, t ) 的渐近形式为 r s ，则要求 s 2 。 对于一维 对于二维
若
(r, t ) dr A2
2
则归一化的波函数为
1 (r , t ) (r , t ) A 2 ( r , t ) dr 这时
（可差一相因子 e i
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才代表在 r r dr 区域中
发现粒子的几率。
为了处理问题方便，如平面波 (r a) 等不能归一化的波函数也时常被利用。 事实上，这也是一大类波函数（本征值连续所相 应的波函数），我们将在以后讨论。 B．波函数的自然条件： 一般而言，波函数必须连续，有界，单值。 2 ① 连续：由于 (r, t ) dr 为粒子处于 r r dr 中的几率解释。所以在 r0 0 和 r0 0 处几率
2
(r, t ) 是描述或刻划一个电子的几率振幅。
玻恩几率解释：如果在时刻 t ，对以波函数 (r, t ) 描述的粒子进行位置测量，测得的结果可 以是不同的；而在一小区域 r r dr 中发现该 2 粒子的几 率为 P(r, t )dr (r, t ) dr （ P(r, t )d r 1 ）。 注意两点： ① (r, t)不是对物理量的波动描述。它有意义 的是，在体积元 r r dr 中发现粒子的几率为 2 (r , t ) dr ，所以它不代表物理实体，仅是一几 率波；
§2.3 . 波函数的性质，态叠加原理 (r , t ) 给出了体系有 既然体系状态的波函数 可能得到的信息，那么它有什么共同性质呢？ （1）波函数的性质 A. 归一化条件： 2 dr 为 t 时刻，发现粒子在 r r dr 中 的几率。但测量时，总是要发现粒子的。所以， 在整个空间中，发现粒子的几率之和应为 1。
这一特点，不仅电子有，后来热中子试验也 有，即物质粒子还有波动性。当然，经典物理学 是无法解释的。
中子在Na单晶体上的衍射
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Ⅱ. 波－粒两象性：
既然辐射和粒子都具有波动性和微粒性，那 么，如何理解这两属性呢？ A.波－粒两象性
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具有确定动量的自由粒子被一平面波 所描述
够长时，接收到的电子数分布为 P( x ) (x )
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想像一个实验事实：
a．每次接收到的是一个电子，即电子确 是以一个整体出现； b. 电子数的强度 P1, P2 ，但 P1 P2 P12 ；
c．电子枪发射稀疏到，任何时刻空间至多 一个电子，但足够长的时间后，也有同样结果。 因此，我们可得到下面的结论： a´. 不能认为，波是电子将自己以以一定密 度分布于空间形成的（因接收到的是一个个电 子），也不是大量电子分布形成的（稀疏时，也 有同样的现象）； b´. 不能想像，电子通过1,2 时，能像经典电 子（有轨道）那样来描述，因 P1 P2 P12
我们如何来理解这一点呢？因如果对一个体 系去测量发现粒子可能就处于 x1 ，只测得一个 值。 但可想像有很多很多同样的体系，对体系 进行同时，完全相同的测量，测得的结果发现 n1次 x1 x1 dx n2次 x2 x2 dx
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当对足够多的同样的体系进行测量后，即 在大量的完全相同的体系中，同时测量，那发 现粒子在 xi xi dx 处的几率
电子的干涉现象与这完全相似，但两者的 含意是本质不同的，前者是强度，后者是接收到 的电子多少。 这启发我们，电子的双缝干涉中的现象也 可用 1,2 函数来描述（它们一般应是复函数）。 2 ， P 2 P1 1 2 2
* P12 1 2 1 2 (1* 12 ) 2 2 2 2
因此，一个真正的实在的波函数，应该有
2 (r , t ) dr 1
若波函数满足上述条件，则称该波函数已 归一化。 应该注意，只有当波函数归一化后，才能 2 说 (r , t ) dr 是几率。否则在区域 r r dr 中， 发现粒子的几率为
2 (r , t ) dr 2 (r ' , t ) dr '
Ⅲ. 波函数的玻恩（Max Born,1926年） 几率诠释—几率波 Max Born真正将量子粒子的微粒性和波动 性统一起来。 如电子用一波函数 ( x ) 来描述，则 ① 从上面分析可以看到，在 x x dx 范围 2 内，接收到电子多少是与 P(x)dx (x) dx的大小 有关； ② 当发射电子稀疏到一定程度时，接收器上 接收到的电子几乎是“杂乱无章”的，但当时间
波函数与波动方程
Ⅰ. 物质粒子的波动性 A. 德布罗意假设（de Broglie 1923年） 他提出：具有一定动量的粒子与一定波长的波相 联系， 2 h k p k
P
称为德布罗意关系。 当然，能量与频率关系仍为
E h
（称为Einstein关系）
这两个关系，把粒子的动力学变量与波的 特征量联系起来。也就是说，对一个具有确定能 量和动量的自由粒子，对应一个有确定的频率和 波长（波数）及一定的传播方向 p p 的平面波 ，
B. 物质粒子波动性的实验证据 1. 戴维逊、革末实验（Davisson andGermer, P.R. 30(27) 707） 当可变电子束（30 600eV）照射到抛光的 镍单晶上，发现在某角度 方向有强的反射（即 有较多电子被接收），而 满足
a sin φn n h P
它证明了，电子入射到晶体表面，发生干涉散射， 具有波动性，而相应波长为
h P
这现象无法用粒子的图象来解释。
2. G.P.Thomson的电子衍射实验（1927 年）
电子通过单晶粉末，出现衍射图象，这一衍 射图象反映了电子的波动性。正象 x 射线照到 单晶粉末压成的金箔上，满足 2d sin n 一样， 电子入射满足
2d sin n h P
而产生圆形衍射环 。