高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
即(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，
只能有kλk－－λ＝ 1＝0， 0， ∴k＝±1.
[规律方法] (1)本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a≠0)共 线⇔b＝λa，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以 根据共线求参数的值． (2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示， 进而互相表示，从而判断共线．
解 法一 设B→C＝x，则B→K＝12x， A→B＝A→K＋K→B＝e1－12x，D→L＝12e1－14x， 又A→D＝x，由A→D＋D→L＝A→L，得x＋12e1－14x＝e2， 解方程得x＝43e2－23e1，即B→C＝43e2－23e1， 由C→D＝－A→B，A→B＝e1－12x， 得C→D＝－43e1＋23e2.
使B→D
＝λ
→ AB
即可；对于(2)，若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则一定存
在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．
解
(1)∵
→ AB
＝e1＋e2，
→ BD
＝
→ BC
＋
→ CD
＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝
5(e1＋e2)＝5A→B.
∴A→B，B→D共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线．
A．不共线
B．共线
C．相等
D．无法确定
解析 a＋b＝3e1－e2，c＝6e1－2e2＝2(a＋b)，故c与a＋b共 线．
答案 B
3．若|a|＝3，向量b与a反向，且|b|＝2，则a＝________b.
解析 ∵b与a反向， ∴由共线向量定理知a＝－32b. 答案 －32
4．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量
解析 如图，∵A→E＝12(A→O＋A→D)，且A→O＝12a，A→D＝A→O＋O→D ＝12a＋12b. ∴A→E＝1212a＋12a＋12b＝12a＋14b.故选C. 答案 C
[题后反思] 本题灵活利用了向量的三角形法则和平行四边形法 则的逆向运算，以向量A→E为目标，一步步分解成向量a和b.
答案 －16i＋332j
类型二 用已知向量表示未知向量 【例2】 如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD上的中点分别为 K，L，且A→K＝e1，A→L＝e2，试用e1，e2表 示B→C，C→D.
[思路探索]
解答本题可先把
→ BC
，
→ CD
视为未知量，再利用已知
条件找等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)求出B→C，C→D.
方法技巧 数形结合思想在向量中的应用 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的 相互转化来解决数学问题的一种思想方法．数形结合思想通过 “以形助数，以数释形”使复杂的问题简单化，抽象问题具体 化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质， 它是数学的规律性表现． 本节中的数形结合主要体现在：(1)让向量的分解更加直观；(2) 让向量的计算小巧、有趣．
【活学活用 3】 如图所示，已知在▱ABCD 中，点 M 为 AB 的中点，点 N 在 BD 上，且 3BN＝BD. 求证：M、N、C 三点共线．
证明 设A→B＝a，A→D＝b， 则B→D＝B→A＋A→D＝－a＋b， B→N＝13B→D＝－13a＋13b，M→B＝12a，B→C＝A→D＝b， ∴M→C＝M→B＋B→C＝12a＋b， M→N＝M→B＋B→N＝12a－13a＋13b＝1312a＋b， ∴M→N＝13M→C，∴M→N∥M→C，又M为公共点． ∴M、N、C三点共线．
本节结束，谢谢大家！
探究点3
若向量a是非零向量，则向量
a |a|
与向量a什么
关系？
提示 ∵向量a是非零向量，∴|a|>0.根据数乘向量的 几何意义知：|aa|是与向量a同向的单位向量.
类型一 向量的数乘运算 【例1】 化简下列各式： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； (2)16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．
法二 设B→C＝x，C→D＝y， 则B→K＝12x，D→L＝－12y. 由A→B＋B→K＝A→K，A→D＋D→L＝A→L，
得－ x－y＋12y12＝x＝e2，e1，
① ②
－2×②＋①得12x－2x＝e1－2e2，x＝23(2e2－e1)， 同法得y＝23(－2e1＋e2)，
即B→C＝43e2－23e1，C→D＝－43e1＋23e2. 法三 如图所示，延长BC与AL交于点E，则△DLA≌△CLE， 从而A→E＝2A→L，C→E＝A→D，K→E＝32B→C， 由K→E＝A→E－A→K，得32B→C＝2e2－e1， 即B→C＝23(2e2－e1)＝43e2－23e1. 同理可得C→D＝23(－2e1＋e2)＝－43e1＋ 2 3e2.
[规律方法] (1)由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法 则、平行四边形法则，以及向量线性运算的运算律，还应重视平 面几何知识的应用，如法三． (2)当直接表示较困难时，应考虑利用方程(组)求解，如本题法 一、法二．
【活学活用2】 如图所示，D，E分别是△
ABC中边AB，AC的中点，M，N分别是DE，
互动探究 探究点1 数乘向量与原向量之间有什么关系？ 提示 数乘向量与原向量共线． 探究点2 向量数乘的几何意义是什么？ 提示 由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将 表示向量a的有向线段伸长或压缩． 当|λ|>1时，表示a的有向线段在原方向(λ>0) 或反方向(λ<0)上伸长为原来的|λ|倍； 当|λ|<1时，表示a的有向线段在原方向(λ>0) 或反方向(λ<0)上缩小为原来的|λ|倍．
→ CD
＝
________.(填写正确的序号)
①－B→C＋12B→A；②－B→C－12B→A；③B→C－12B→A；④B→C＋12B→A. 解析 －B→C＋12B→A＝C→B＋12B→A＝C→B＋B→D＝C→D. 答案 ①
5．计算： (1)(－7)×6a； (2)4(a＋b)－3(a－b)－8a； (3)(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)． 解 (1)原式＝(－7×6)a＝－42a. (2)原式＝(4a－3a－8a)＋(4b＋3b)＝－7a＋7b. (3)原式＝(5a－6a)－4b＋4b＋(c－2c)＝－a－c.
第二章 平面向量
2．2.3 向量数乘运算及其几何意义
【课标要求】 1．掌握向量数乘运算的定义，理解向量数乘的几何意义． 2．掌握向量数乘的运算律，并会根据运算律熟练进行有关的计
算． 3．理解并掌握向量共线定理，能判断两个向量是否共线，能灵
活运用向量判断点共线． 【核心扫描】 1．向量的数乘运算及其几何意义．(重点) 2．向量共线定理的应用．(难点)
2．向量数乘的运算律 (1)λ(μa)＝ (λμ)a . (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa . (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb. 特别地，有(－λ)a＝ －(λa) ＝ λ(－a) ； λ(a－b)＝ λa－λb . 温馨提示：数乘向量与数乘数有区别：前者结果为一个向量，后 者结果为一个实数．
3．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得 b＝λa . 温馨提示：该定理加a≠0这一条件的原因：(1)若a＝b＝0，则实 数λ仍然存在，但λ并不唯一，此时定理不成立． (2)若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa，此时定理也不成 立．因此，向量共线定理必须加上a≠0这一条件．
类型三 共线向量定理的应用
【例3】 已知非零向量e1，e2不共线．
(1)如果
→ AB
＝e1＋e2，
→ BC
＝2e1＋8e2，
→ CD
＝3(e1－e2)，求证：
A，B，D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
[思路探索] 对于(1)，欲证A，B，D共线，只需证存在实数λ，
课堂小结 1．λa是一个向量，它既有长度又有方向，其长度|λa|＝|λ||a|，其
方向与λ的符号有关，当λ>0时，λa与a同向；λ<0时，λa与a反 向． 2．判断两个向量是否共线，关键是能否找到一个实数λ，使b＝ λa.若λ存在，则共线；λ不存在，则不共线． 3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具．即三点共线问题 通常转化为向量共线问题.
新知导学
1．向量数乘运算 实数λ与向量a的积是一个 向量 ，这种运算叫做向量 的 数乘 ，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)λa(a≠0)的方向当 当
λ>0 λ<0
时，与a方向相同， 时，与a方向相反.
特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0 ＝0.
温馨提示：实数与向量可以相乘，但是不能相加、 减，如λ＋a，λ－a均无意义．
[思路探索] 利用向量数乘、加法、减法的运算律化简即得结果．
解 (1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b；
(2)原式＝
1 6
(4a＋16b－16a＋8b)＝
1 6
(－12a＋24b)＝－2a＋
4b.
[规律方法] 向量的初等运算类似于实数的运算，其化简的方法 与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运 算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段．
BC的中点，已知
→ BC
＝a，
→ BD
＝b，试用a，b
分别表示D→E，C→E，M→N. 解 由三角形中位线定理，
知DE綉12BC，故D→E ＝12B→C，即D→E＝12a.
C→E＝C→B＋B→D＋D→E＝－a＋b＋12a＝－12a＋b. M→N＝M→D＋D→B＋B→N＝12E→D＋D→B＋12B→C＝－14a－b＋12a＝1，AC与BD交于点O，E是线段 OD的中点，若A→C＝a，B→D＝b，则A→E＝( )．
A.14a＋12b B.23a＋13b C.12a＋14b D.13a＋23b [思路分析] 根据题意画出满足条件的图形，边结合图形边运用三 角形法则或平行四边形法则进行向量的加减运算，注意转化的方 向．
课堂达标
1．化简4(a－b)－3(a＋b)－b＝( )．
A．a－2b
B．a
C．a－6b
D．a－8b
解析 4(a－b)－3(a＋b)－b＝(4－3)a－(4＋3＋1)b＝a－8b.
答案 D
2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1、e2不共线，则a＋b
与c＝6e1－2e2的关系为( )．
4．向量的线性运算 向量的 加 、 减 、 数乘 运算统称为向量的线性运算，对于任 意向量a、b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋ λμ2b. 温馨提示：向量的线性运算可与多项式和多项式的运算类比，在 运算过程中，我们将同一向量看做是同类项，相应的运算只是实 数的运算，因此向量的线性运算基本上是代数式的运算．
【活学活用 1】
若向量 a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则 13a－b － 3 a＋23b ＋(2b－ a) ＝
________.
解析 13a－b－3a＋23b＋(2b－a) ＝13a－b－3a－2b＋2b－a ＝－131a－b ＝－131(3i－4j)－(5i＋4j)
＝－11i＋434j－5i－4j ＝－16i＋332j.