特训04 与四边形有关的变换问题-2021-2022学年九年级数学上学期重难题型思维特训(北师大版)

特训04与四边形有关的变换问题【方法点津】
轴对称、平移和旋转是图形的三种基本变换,这些变换往往与特殊的平行四边形相结合,解决相关问题,需要注意图形变换的特征与特殊平行四边形性质的综合应用,还要注意特殊三角形的性质、勾股定理及全等三角形相关知识的渗透.
【典题精练】
类型一与轴对称相关的问题
1.如图4-S-1,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E,F,G,H分别在矩形ABCD各边上,且AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为()
A.55
B.105
C.103
D.153
图4-S-1图4-S-2
2.如图4-S-2所示,在矩形ABCD中,∠DAC=65°,E是CD上一点,BE交AC于点F,将△BCE 沿BE折叠,点C恰好落在AB边上的点C'处,则∠AFC'=°.
3.如图4-S-3,在▱ABCD中,E,F分别是AD,BC上的点,将▱ABCD沿EF所在的直线翻折,点B恰好与点D重合,且点A落在点A'处,连接BE.
(1)求证:△A'ED≌△CFD;
(2)若∠EBF=60°,EF=3,求四边形BFDE的面积.
图4-S-3
类型二与平移相关的问题
4.如图4-S-4,将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C',使点A'落在△ABC的外角平分线CD上,连接AA'.
(1)判断四边形ACC'A'的形状,并说明理由;
(2)若在△ABC中,∠B=90°,AB=24,AB AC=1213,求CB'的长.
图4-S-4
5.(1)在正方形ABCD中,BD为对角线,把△ABD延AB向右平移至图4-S-5①的位置,得到△FGE,直线EG,BC交于点H,连接AH,CG,则AH与CG有怎样的关系?直接写出你的结论;
(2)当△ABD沿BA向左平移到线段BA的延长线上时(如图②),(1)中的结论是否还成立?说明你的理由.
图4-S-5
6.如图4-S-6①,BD是矩形ABCD的对角线,∠ABD=30°,AD=1.将△BCD沿射线BD平移到△B'C'D'的位置,使B'为BD的中点,连接AB',C'D,AD',BC',如图②.
(1)求证:四边形AB'C'D是菱形;
(2)四边形ABC'D'的周长为;
(3)将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开,用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形,直接写出所有可能拼成的矩形的周长.
图4-S-6
类型三与旋转相关的问题
7.如图4-S-7,将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG,点E在AD上,延长ED交FG于点H.
(1)求证:△EDC≌△HFE.
(2)连接BE,CH.
①四边形BEHC是怎样的特殊四边形?证明你的结论;
②当AB与BC的比值为时,四边形BEHC为菱形.
图4-S-7
8.问题情境:
在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图4-S-8①,将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ACD,并且量得AB=2cm,AC=4cm.
操作发现:
(1)将图①中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转∠α,使∠α=∠BAC,得到如图
②所示的△AC'D,过点C作AC'的平行线,与DC'的延长线交于点E,则四边形ACEC'的形状是;
(2)创新小组将图①中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转,使B,A,D三点在同一条直线上,得到如图③所示的△AC'D,连接CC',取CC'的中点F,连接AF并延长至点G,使FG=AF,连接CG,C'G,得到四边形ACGC',发现它是正方形,请你证明这个结论.
实践探究:
(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,进行如下操作:将△ABC沿着BD方向平移,使点B与点A重合,此时点A平移至点A',A'C与BC'相交于点H,如图④所示,连接CC',试求HC'HC 的值.
图4-S-8
特训04与四边形有关的变换问题
1.B【解析】作点E关于BC的对称点E',连接E'G交BC于点F.过点G作GG'⊥AB 于点G'.∵AE=CG,BE=BE',∴E'G'=AB=10.
∵GG'=AD=5,∴E'G=E'G'2+GG'2=55.
∴四边形EFGH周长的最小值=2E'G=105.故选B.
2.40【解析】∵在矩形ABCD中,∠DAC=65°,∴∠ACD=90°-∠DAC=90°-65°=25°.
∵将△BCE沿BE折叠,点C恰好落在AB边上的点C'处,∴四边形BCEC'是正方形.
∴∠BEC=45°.
由三角形外角的性质,得∠BFC=∠BEC+∠ACD=45°+25°=70°.
由翻折的性质,得∠BFC'=∠BFC=70°,
∴∠AFC'=180°-∠BFC-∠BFC'=180°-70°-70°=40°.
3.解:(1)证明:由翻折可知,A'D=AB,∠A=∠A',∠ABC=∠A'DF.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,∠C=∠A,∠ABC=∠CDA.
∴A'D=CD,∠A'=∠C,∠A'DF=∠CDA.
∴∠A'DE=∠CDF.
在△A'ED和△CFD中,
∵∠A'=∠C,A'D=CD,∠A'DE=∠CDF,
∴△A'ED≌△CFD.
(2)过点E作EH⊥BC于点H.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.
∴∠DEF=∠BFE.
由翻折可知,∠BEF=∠DEF,BF=DF,
∴∠BFE=∠BEF.∴BE=BF.
又∵∠EBF=60°,
∴△EBF是等边三角形.
∴BF=EF=3,FH=12EF=1.5.
∴EH=EF2-FH2=32-1.52=323.
∵△A'ED≌△CFD,
∴ED=DF=BF.
又∵ED∥BF,
∴四边形BFDE为平行四边形.
∴四边形BFDE的面积=BF·EH=3×323=923.
4.解:(1)四边形ACC'A'是菱形.理由如下:由平移的性质得到AC∥A'C',且AC=A'C',则四边形ACC'A'是平行四边形.
∴AA'∥CC'.∴∠AA'C=∠C'CA'.
∵CD平分∠ACC',
∴∠ACA'=∠C'CA'.
∴∠ACA'=∠AA'C.∴AC=AA'.
∴平行四边形ACC'A'是菱形.
(2)∵在△ABC中,∠B=90°,AB=24,AB AC=1213,即24AC=1213,∴AC=26.
由勾股定理知BC=AC2-AB2=10.
又由(1)知,四边形ACC'A'是菱形,
∴AA'=AC=26.
由平移的性质得到AB∥A'B',AB=A'B',则四边形ABB'A'是平行四边形.
∴BB'=AA'=26.
∴CB'=BB'-BC=26-10=16.
5.解:(1)AH=CG,AH⊥CG.
(2)成立.理由:延长CG交AH于点K.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠ABH=90°,∠FGE=∠ABD=45°.
∴∠HGB=∠FGE=45°.
∴△BGH是等腰直角三角形.
∴BG=BH.
∴△ABH≌△CBG.
∴AH=CG,∠HAB=∠GCB.
∵∠HAB+∠AHB=90°,
∴∠GCB+∠AHB=90°.
∴∠CKH=90°.
∴AH⊥CG.
6.解:(1)证明:∵BD是矩形ABCD的对角线,∠ABD=30°,∴∠ADB=60°.
结合平移的性质和矩形的性质可得B'C'=BC=AD,∠D'B'C'=∠DBC=∠ADB=60°,
∴AD∥B'C'.
∴四边形AB'C'D是平行四边形.
∵B'为BD的中点,
∴在Rt△ABD中,AB'=12BD=DB'.
又∵∠ADB=60°,∴△ADB'是等边三角形.
∴AD=AB'.
∴平行四边形AB'C'D是菱形.
(2)连接AC'.由平移的性质可得AB=C'D',∠ABD'=∠C'D'B=30°,∴AB∥C'D'.
∴四边形ABC'D'是平行四边形.
又由(1)可得四边形AB'C'D是菱形,
∴AC'⊥B'D.
∴四边形ABC'D'是菱形.
∵AB=3AD=3,
∴四边形ABC'D'的周长为43.
故答案为43.
(3)将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开,用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下:
∴矩形的周长为6+3或23+3.
7.解:(1)证明:∵矩形FECG是由矩形ABCD旋转得到的,∴EF=AB=CD,∠F=∠EDC=90°,FH∥EC.
∴∠FHE=∠CED.
在△EDC和△HFE中,
∵∠EDC=∠F,∠CED=∠FHE,CD=EF,
∴△EDC≌△HFE.
(2)①如图,连接BE,CH.
四边形BEHC为平行四边形.
证明:∵△EDC≌△HFE,
∴EC=HE.
∵矩形FECG是由矩形ABCD旋转得到的,∴EC=BC.∴HE=BC.
又∵HE∥BC,
∴四边形BEHC为平行四边形.
②∵四边形BEHC为菱形,
∴BE=BC.
由旋转的性质可知BC=EC,
∴BE=EC=BC.
∴△EBC为等边三角形.
∴∠EBC=60°.
∴∠ABE=30°.
∴AB∶BE=3∶2.
又∵BE=BC,
∴AB与BC的比值为3.
故答案为3.
8.解:(1)菱形.
理由:由题意得∠CAC'=∠BAC=∠DC'A=∠α,
∴C'E∥AC.
又∵CE∥AC',
∴四边形ACEC'是平行四边形.
又∵AC=AC',
∴平行四边形ACEC'是菱形.
(2)证明:由题意得CF=C'F,FG=AF,
∴四边形ACGC'是平行四边形.
又∵AC=AC',
∴平行四边形ACGC'是菱形.
∵B,A,D三点在同一条直线上,∠BAC+∠DAC'=90°,∴∠CAC'=90°.
∴菱形ACGC'是正方形.
(3)∵A'B=2cm,A'C=4cm,
∴∠A'CB=30°.
∴∠DBC'=∠A'CB=30°,∠BA'C=60°.
∴∠A'HB=∠BHC=∠CHC'=90°.
∵A'B=2cm,A'C=4cm,
∴BC=23cm.
在Rt△BHC中,∠BCH=30°,
∴BH=12BC=3cm,HC=3cm.
∴HC'=BC'-BH=(4-3)cm.
∴HC'HC=。