条件概率和条件数学期望的应用与例解

) 则 >=# >+ =<;#2, +A+ 2, /此处积分为 7P/CQP+CR积分#当 %
A+ 2, 为阶梯函数#也就是 ;为离散随机变量时积分表示级数
$3+ ; #2', 2'/ ;是连续型随机变量且密度为 B+ 2, 时#积分

) 为 >=# >+ =<;#2, B+ 2, +2/ ;与 =独立时# >+ =<;, # %
;% #%# ;I#I* $ 是第 I%$ 与第 I个呼叫到达的间隔时间# 6I
I
$ # ;'#I* $#即 6I是第 I个呼叫到达的时刻# B+ 2, 是; B+ 6I,
I#$
I
$ 分析!注意到 ;'服从分布 #+ I#", #
'#$
) 若 B非负#则 >B+ 6I,
称 @+ =<;, #>+ + =%>+ =<;, ,) <;, 是已知 ;时 =的
条件方差*
以下分别讨论条件概率与条件数学期望的应用* >=#>+ >+ =<;, , /

) 设 ;的分布函数为 A+ 2, # >=存在#则 >= # >+ =<; %
#2, +A+ 2, /此处积分为 7P/CQP+CR积分#当 A+ 2, 为阶梯函数#
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条件概率和条件数学期望的应用与例解
杨元启
三峡大学理学院%湖北宜昌%##"$$!
摘5要条件概率与条件数学期望是概率理论中的重要概念#其概率思想在解决概率问题时有效且深刻* 一般教材中对条件 概率与条件数学期望的讨论和处理要么浅显#要么完全忽略* 本文简要介绍条件概率与条件数学期望理论#着重用丰富生动的例 子阐述它们的应用*
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%
$ %F
亦即 =E!(%# $ ) )
所以 >=# $ + .I, #也可以这样求解 >=#>+ >+ =<;, , 3
$
) # >+ =<; #2, +A;+ 2, %
) ) _
$ )
2+2&
$
+$
%2, +2#
$
+ .I, *
%
$ )
3
再看一个例子! ; EG+ ", #即参数为 "的指数分布# ;'#'
#

B+ K,
+ "K, I%$ "G%"K+K#所以
% + I%$, "
$ ) $ )
> B+ 6I,
I#$
#


B+ K,
%
I#$
++I"%K,$I%,$""G%"K+K#"
%
B+ K, +K#
对于一般的 B#记 B& #IG[+ B#%, . B% #IG[+ %B#%, #则 B#

$ 也就是 ;为离散随机变量时积分表示级数 3+ ;#2', 2'/ ;
)
是连续型随机变量且密度为 B+ 2, 时#积分为 >=# >+ =<;
%
#2, B+ 2, +2
;与 =独立时# >+ =<;, #>=/
C #D+ ;, 时# >+ C=<;, #C1>+ =<;, # >+ C<;, #C/ @+ =<;, #>+ =) <;, %+ >+ =<;, ,) /
>=/ C#D+ ;, 时# >+ C=<;, #C1>+ =<;, # >+ C<;, #C/ @+ =<;, #>+ =) <;, %+ >+ =<;, ,) / @=#>+ @+ =<;, , &
@+ >+ =<;, , *
看一个例子!设 H #{HK} K*% 是参数为 "的 ME/RRE- 过程#

$ $ B&%B% # B&#B% 非负#分别求出 > B&+ 6I, # > B%+ 6I, #
I#$
I#$



) ) $ 由此得 > B+ 6I, #" + B&%B%, +K_" B+ K, +K
I#$
%
%
再看个例子!某人一年内在某项目上的消费次数 ;服从参
数为 "的泊松分布#第 '次消费时的费用为 ='#已知 ;与 ='# ' #$#)#3 独立# ='独立同分布# >=' #1#@=' #4) #讨论一年内 用于该项目消费的总费用的均值与方差*
关键词条件概率'条件数学期望'条件方差
55设 ;是随机变量或随机向量# 5是随机事件#由条件概率 3+ 5<; # 2, # 2( $可 确 定 随 机 变 量 ;的 函 数# 记 为 3+ 5<;, #称 3+ 5<;, 是已知 ;时 5的条件概率*
设 ;是随机变量或随机向量# =是随机变量# ><=<?# 由 >+ =<; # 2, # 2( $可 确 定 随 机 变 量 ;的 函 数# 记 为 >+ =<;, #称 >+ =<;, 是已知 ;时 =的条件数学期望*
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I#$
%
+GI%"2%2I$%,$ ""I+2
$ ) ) _
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"8
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G%"2+ "J2, I%$ + I%$, "
+2_
F
8"G%8"2+2#即 =EG+ 8",
%
*
!条件数学期望的应用
以下列举条件数学期望的几个重要性质! >=#>+ >+ =<;, , /设 ;的分布函数为 A+ 2, # >=存在#
的概率分布与数学期望*
分析如下!
设步行至离甲地 ;.I时会改为跑步#另设跑步距离为 = .I#则 ; E!(%#$) #
{25;#2? $
=#
) $ %25; #2*
$
#
)
显然
3+
=(
(%#
$ )
),
#$# F+%# $ )
)
时#
3+ =F, #>+ 3+ =F<;, ,
&
F
$
) ) ) # 3+=F<; #2,B+2,+2# $+2& $+2#)F
#$#)#3 为来自总体 ;#随机变量 H有分布律 3+ H _I, #
H
$ JI%$ 8#I#$#)#3 #讨论 =# ;'的分布* '#$ I $ 分析! F* % 时# 3+ =F, #>+ 3+ =F<H, , #注意到 ;' '#$
服从分布 #+ I#", #故


F
$ $ ) 3+ =F, # 3+ =F<H #I, 3+ H #I, _ JI%$ 8
@=#>+ @+ =<;, , &@+ >+ =<;, , *
'条件概率的应用
条件概率最重要的性质是! 3+ 5, #>+ 3+ 5<;, , *
先看一个较简单的例子!甲乙两地相距 $.I#某人原准备
从甲地步行到乙地#但步行途中随时会改主意#改为跑步至较
近的一端#设在中途任一点改主意的可能性相等#求跑步距离