内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学人教新课标必修一课件2.1.2 指数函数及其性质

探讨三：求复合函数的定义域、值域、单调性
例3、求下列函数的定义域、值域、单调区间。
1
⑴ y 0.4 x1 ⑵ y 3 5 x1
3 y 0.512xx2
提示：
（1）对于复合函数定义域的求解，可以找到对 自变量x有限制的所有条件后联立求解 （2）对于复合函数值域的求解，可以利用换元法 （3）对于复合函数的单调性可考察内外函数各自 的单调性，遵循“同增异减”原则;也可利用函数图
2
,
1 2
2
;
y
1 2
x
第四页，编辑于星期日：六点 三十四分。
新 课：
前面我们从两个实例和两列指数抽象得到两个函数:
y
2x
与y
1 2
x
1.指数函数的定义：
这两个函数有 何特点?
形如y = ax(a0，且a 1)的函数叫做指数函
数，其中x是自变量 .函数的定义域是R .
思考:为何规定a0，且a1?
,
x
1 4
……等等，
在实数范围内函数值不存在.
（3）若 a 1 则对于任何 x R ax 1 是一个常量，没有研究的必要性
第六页，编辑于星期日：六点 三十四分。
探究 2:函数 y 2 3x是指数函数吗？
指数函数的解析式 y a x 中，a x 的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是.
象判断
第二十三页，编辑于星期日：六点 三十四分。
知识小结
1.指数函数图象和性质的应用
2.数形结合解决指数函数问题
作业（不用抄题，标明题号）
教材59页习题2.1中，
A组：6、9； B组：3
第二十四页，编辑于星期日：六点 三十四分。
课后自主学习：
请同学们阅读教材57页例8并思考以下问题：
1、指数增长模型是什么？
第十八页，编辑于星期日：六点 三十四分。
探讨一：比较大小问题
（3）1.70.3 ＞ 0.93.1
解：根据指数函数的性质，得：
1.70.3 1且 0.93.1 1
从而有 1.70.3 0.93.1
第十九页，编辑于星期日：六点 三十四分。
方法总结： 1.利用指数函数的单调性，必须要明确所给的两 个值是哪个指数函数的两个函数值。数的特征 是同底不同指。 2.搭桥比较法：用别的中间数如0或1做桥。数的特 征是不同底不同指。
性 2.当x=0时，y=1
3.在R上是增 3.在R上是减函
函数
数
特 征
4.图象分布在左 下和右上两个区 域内
4.图象分布在左上 和右下两个区域 内
质
4.当x>0时,y>1;当 x<0时,0<y<1.
4.当x>0时, 0<y<1;当x<0时,
y>1.
第十一页，编辑于星期日：六点 三十四分。
知识小结
1.指数函数定义 2.指数函数图象 3.指数函数性质
3.在R上是增函 3.在R上是减
数
函数
特 征
4.图象分布在左下 和右上两个区域 内
4.图象分布在左 上和右下两个区 域内
质
4.当x>0时,y>1;当 x<0时,0<y<1.
4.当x>0时,
0<y<1;当x<0时,
y>1.
第十五页，编辑于星期日：六点 三十四分。
指数函数例题
例：已知指数函数 f x ax a 0,且a 的1
y xx
y (2a 1)x (a 1 ，且a 1) 2
第八页，编辑于星期日：六点 三十四分。
2.指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像，怎么做？
y 2x
y
1 2
x
列表如下：
x … -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 …
2 x … 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 …
例1：比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.72.5 ＜ 1.73
解：利用函数单调性． 1.72.5与1.7的3 底数是1.7．
它们可以看成函数 y 当1x.=72x .5和3时的函数
值；
因为底数1.7>1，
所是以增函函数数，y 而 1指在.7数Rx上
2.5<3．
所以，1.7 2.5<1.73
第十七页，编辑于星期日：六点 三十四分。
探讨一：比较大小问题
（2）0.80.1 ＜ 0.80.2
解：利用函数单调性． 0.80.1与 0.8的0.底2 数是0.8 它们可以看成函数 y 当0x.=8x-0.1和-0.2时的函
数值；
因为底数0<0.8<1，
所以函数 y 0在.8实x 数R
上是减函数，而指数0.1>-0.2．
所以， 0.80.1 0.80.2
0
1
a
第五页，编辑于星期日：六点 三十四分。
探究1：为什么要规定 a 0且a 1
y a 探讨:若不满足上述条件
x 会怎么样?
（1）若 a 0 则当x > 0时，ax 0 当x≤0时,a x 无意义.
（2）若 a 0 则对于x的某些数值，可使
a x 无意义. 如 (2)x ，这时对于
x
1 2
探究 3:函数 y 3x 是指数函数吗？
有些函数看起来不像指数函数，实际上却是.
如：y ax (a 0且a 1)
函数y 1 2x是指数函数么？ 2
第七页，编辑于星期日：六点 三十四分。
判断下列函数是否是指数函数
y 23x
y 3x1 y x3
y 3x
y (4)x y x
y 4x2
2.1.2指数函数及其性质（1）
第一页，编辑于星期日：六点 三十四分。
引例1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4 个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个 数 y 与 x 的函数关系是什么？
分裂次数
细胞分裂过程
细胞个数
第一次
表达式
2=21
第二次
第三次
y 2x,(x N)
指数函数图象与性质如下表
a>1
图
y y=ax (a>1)
y=1
象
(0,1)
0
x
0<a<1
y=ax
y
(0<a<1) (0,1)
y=1
0
x
a>1
0<a<1
a>1
0<a<1
1.图象全在x轴上方,与x轴无限接近. 图 2.图象过定点（0，1）
象
3.自左向右图象 逐渐上升
3.自左向右图象 逐渐下降
1.定义域为R，值域为(0,+).
例2、指数函数 y ax , y bx , y cx , y d x
的图象如下图所示，则底数
a, b, c, d 与正整数 1
共五个数，从大到小的顺序是 ： 0 b a 1 d . c
y bx y ax
y
c
d
1
y cx y dx
a
b
1
0
x
第二十二页，编辑于星期日：六点 三十四分。
2、什么是指数型函数？ 3、指数型函数与指数函数的区别？
第二十五页，编辑于星期日：六点 三十四分。
…………
4=22 8=23
第x次
……
2x
细胞个数y关于分裂次数x的表达式为:
第二页，编辑于星期日：六点 三十四分。
引例2. 一尺之棰，日取其半，万世不竭。 ——《庄子》
问若截取 x 次所剩长度为y，则y与x 的函数关系是：
截取次数
剩余长度
1
2 函数式
3
y
1 2
x
,
(
x
N
)
4
…
……
x
1
1
1
2 2
图
y y=ax (a>1)
y=1
象
(0,1)
0
x
0<a<1
y=ax
y
(0<a<1) (0,1)
y=1
0
x
a>1
0<a<1
a>1
0<a<1
1.图象全在x轴上方,与x轴无限接近. 图 2.图象过定点（0，1）
象
3.自左向右图象 逐渐上升
3.自左向右图象 逐渐下降
1.定义域为R，值域为(0,+).
性 2.当x=0时，y=1
1 x … 8
4
2
2 1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 …
描点法：列表---描点---连线
第九页，编辑于星期日：六点 三十四分。
y
y (1)x
2
4
3
2
1
y=2x
-3 -2 -1
01
23
x
-1
思考：这两个函数图象有什么关系？可否利用其中一 个函数图象画出另一个函数图象？
第十页，编辑于星期日：六点 三十四分。
图象经过点 3,，求 f 0、f 1、f 的3值．
解：因为 f x ax的图象经过点（3，），
所以：f 3 ,
即 a3 ,
1
x
解得 a 3 ，于是 f x 3 .
所以：
f
0
0
1,
f
1
1 3
3
,
f
3
1
1
.
第十六页，编辑于星期日：六点 三十四分。
探讨一：比较大小问题
第二十页，编辑于星期日：六点 三十四分。
方法总结： 1.利用指数函数的单调性，必须要明确所给的两 个值是哪个指数函数的两个函数值。数的特征是 同底不同指。 2.搭桥比较法：用别的中间数如0或1做桥。数 的特征是不同底不同指。
第二十一页，编辑于星期日：六点 三十四分。
探讨二：指数函数的图象随底数大小的变化情况
第十二页，编辑于星期日：六点 三十四分。
2.1.2指数函数及其性质（2）
第十三页，编辑于星期日：六点 三十四分。
复习回顾
指数函数的定义？
形如y = ax(a0，且a 1)的函数叫做指数函
数，其中x是自变量 .函数的定义域是R .
第十四页，编辑于星期日：六点 三十四分。
指数函数图象与性质如下表
a>1
1
1
2
4 2
1 1 3 8 2
1 1 4 16 2
1 x 2
第三页，编辑于星期日：六点 三十四分。
引例3 .观察下列各数值：
能否把它们看成某函数的函数值?
11
①、
2
3
,
2
2
,
20
,
21
,
2
2 , 22;
y 2x
②、
1
1
1 2
3
,
1 2
2
,
1 20 ,源自1 21 ,
1 2