高二上期末复习---空间向量与立体几何

高二上期末复习---空间向量与立体几何
一．知识点突破
知识点一空间向量的概念、性质与运算
1、空间向量及其有关概念
2. 数量积及坐标运算
(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.
(2)空间向量的坐标运算：
3. 直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或或共线，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
4. 空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l 1，l 2的方向向量分别为n 1，n 2
l 1∥l 2 n 1∥n 2⇔n 1＝k n 2(k ∈R) l 1⊥l 2 n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0 直线l 的方向向量为n ，平面α的法向量为m
l ∥α n ⊥m ⇔n·m ＝0 l ⊥α n ∥m ⇔n ＝k m(k ∈R) 平面α，β的法向量分别为n ，m
α∥β
n ∥m ⇔n ＝k m(k ∈R) α⊥β
n ⊥m ⇔n·m ＝0
5．证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明三点共线：
(1) PA ―→＝λPB ―→
(λ∈R);
(2)对空间任一点O ，OP ―→＝OA ―→＋t AB ―→
(t ∈R)； ( 3)对空间任一点O ，OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→
(x ＋y ＝1)． 6．证明空间四点共面的方法
对空间四点P ，M ，A ，B 除空间向量基本定理外也可通过证明下列结论成立来证明四点共面：
(1) MP ―→＝x MA ―→＋y MB ―→
；
(2)对空间任一点O ，OP ―→＝OM ―→＋x MA ―→＋y MB ―→
； (3) PM ―→∥AB ―→ (或PA ―→∥MB ―→或PB ―→∥AM ―→
)．
例1. 平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 等于( ) A.2
B.－4
C.4
D.－2
例2. 如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值为( ) A.3－22
5
B.2－26
C.12
D.3
2
例3.已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →
＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ＋y ＝________.
例4．如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，动点P ，Q 分别在线段C 1D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是( ) A.23 B.33 C.23 D.53 知识点二 求异面直线形成的角
1. 异面直线所成的角
设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则
a 与
b 的夹角β l 1与l 2所成的角θ 范围 求法
例5. 在正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，AC 与B 1D 所成角大小为( ) A.π6
B.π4
C.π
3
D.π
2
【变式训练5-1】如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是__________. 知识点三 求直线与平面形成的角 1. 求直线与平面所成的角
设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |.
例6. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝4，AB ＝2.以AC 的中点O 为球心，AC 为直径的球面交PD 于点M .则CD 与平面ACM 所成角的正弦值为( ) A.32 B.33
C.53
D.6
3
【变式训练6-1】如图所示，二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为__________. 知识点四 求平面与平面形成的角 1. 求二面角的大小
(1)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈AB →，CD →
〉.
(2)如图②③，n 1，n 2 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角). 【特别提醒】
1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉|.
2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补. 例7. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 夹角的余弦值为( ) A.12
B.2
3
C.33
D.22
【变式训练7-1】如图，在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，底面△ABC 是边长为2的正三角形，A 1A ＝A 1C ，A 1A ⊥A 1C . (1)求证：A 1C 1⊥B 1C ；
(2)求二面角B 1－A 1C －C 1的正弦值.
二、反馈练习
一、选择题：
1．在空间直角坐标系中，已知()1,0,2M -，()3,2,4N -，则MN 的中点Q 关于平面xOy 的对称点坐标是 A ．()1,1,1-
B ．()1,1,1--
C ．()1,1,1--
D ．()1,1,1
2．已知m 为空间的一条直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A .若m //α，α//β，则m //β B .若αβ⊥，m α⊥，则m //β C .若m //α，αβ⊥，则m β⊥
D .若m α⊥，α//β，则m β⊥
3．若三棱锥P ABC -满足，PA BC =，PB AC =，PC AB =，则该三棱锥可能是( )
A ．2A
B =，3B
C =，4CA = B ．3AB =，4BC =，5CA = C ．4AB =，5BC =，6CA =
D ．以上选项都不可能
4．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若点M ，N 分别为线段1BD ，
1CB 上的动点，点P 为底面ABCD 上的动点，则MN MP +的最小值为( )
A ．
23
B ．22
C ．31
3+ D ．1
5. 如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值为( ) A.3－22
5
B.2－26
C.1
2
D.3
2
6. 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的
点，A 1M ＝AN ＝2a
3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A.斜交 B.平行
C.垂直
D.MN 在平面BB 1C 1C 内
7．如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，动点P ，Q 分别在线段C 1D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是( )
A.23
B.33
C.23
D.53
8．M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，将菱形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，下列选项正确的是（ ）
⎺ MN ∥平面ABD ；α异面直线AC 与MN 所成角为定值；③在二面角D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥
D ABC -外接球的半径先变小后变大；
④若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，则ABC ∠的取值范围是π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. A ．①② B ．①②④
C ．①④
D ．①②③④
二、多选题： 9．设向量，其中a 2+b 2＝c 2+d 2＝1，则下列判断正确的的是（ ）
A ．向量与z 轴正方向的夹角为定值（与c ，d 之值无关）
B ．的最大值为
C ．
与
的夹角的最大值为
D ．ad ﹣bc 的最大值为1．
10．下列命题为真命题的是（ ）
A ．若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合
B ．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直
C ．垂直于同一条直线的两条直线相互平行
D ．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直
11.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点
E 是侧棱1BB 上的一个动点．下列判断中正确的是（ ）
A ．直线AC 与直线1C E 是异面直线
B ．1A E 一定不垂直1AC
C ．三棱锥1E AAO -的体积为定值
D ．1A
E EC +的最小值为22
12．如图，圆柱的轴截面是四边形ABCD ，E 是底面圆周上异于,A B 的一点，则下列结论中正确的是（ ） A ．AE CE ⊥
B ．BE DE ⊥
C ．DE ⊥平面CEB
D ．平面AD
E ⊥平面BCE 三、填空题：
13．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆弧为
1
4
圆周，该几何体的体积为_____，表面积为_____．
14．已知三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线AB 与1A C 所成角的余弦值为______．
15．如图，在三棱锥P ABC -中，点B 在以AC 为直径的圆上运动，PA ⊥平面ABC ，AD PB ⊥，垂足为D ，
DE PC ⊥，垂足为E ，若23PA =，2AC =，则
PE
EC
= ， 三棱锥P ADE -体积的最大值是 ．
16．已知三棱锥P ABC -中，侧棱PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，22PA AB BC ===，则三棱锥P ABC -的 外接球的表面积为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，120BCD ∠=，PA ⊥底面ABCD ，4PA =，2AB =． （1）求证：BD ⊥平面PAC ；
（2）过AC 的平面交PD 于点M ，若PB 平面AMC ，求三棱锥M ACD -的体积．
18．如图，三棱柱111ABC A B C -的棱长均相等，113
CC B ∠π
=，平面ABC ⊥平面11BCC B ，,E F 分别为棱11A B ，BC 的中点． （1）求证：//BE 平面11A FC ； （2）求二面角111F A C B --的大小．
19．如图，已知三棱锥A BCD -中，点M 在BD 上，π2
BAD BDC ∠=∠=
，BM MD DC ==，且ACD △为正三角形.
（1）证明：CM AD ⊥
（2）求直线CM 与平面ACD 所成角的正弦值.
20. 如图，在多面体ABC -A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是正方形，AB ＝AC ，BC ＝2AB ，B 1C 1
1
2BC ，二面角A 1-
AB -C 是直二面角． 求证：(1)A 1B 1⊥平面AA 1C ；
(2)AB 1∥平面A 1C 1C .
21. 如图，在三棱锥P －ABC 中，D 为棱PA 上的任意一点，点F ，G ，H 分别为所在棱的中点.
(1)证明：BD ∥平面FGH ；
(2)若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝2，∠BAC ＝45°，当二面角C －GF －H 的平面角为π
3时，求棱PC 的长.
22. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面PCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，AB ＝AD ＝PD ＝1，CD ＝2AB ，Q 为棱PC 上一点.
(1)若点Q 是PC 的中点，证明：BQ ∥平面PAD .
(2)PQ →＝λPC →
，试确定λ的值使得二面角Q －BD －P 的大小为60°.。