《空间向量基本定理》课件与导学案

如果空间的一个基底中的三个基向量________
____
1 ，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i，j，k}表示．
(2)正交分解
两两垂直 的向量，叫做把空间向量
把一个空间向量分解为三个________
进行正交分解．
课堂探究
7
[探究问题]
1．取单位正交基底比一般的基底的优点有哪些？
若取单位正交基底{i，j，k}，那么|i|＝|j|＝|k|＝1.且 i·j＝j·k＝i·k
―→
[ 证明] 设 AB ＝a， AD ＝b， AA 1 ＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1 且 a·b＝b·c＝a·c＝0.
―→
―→ ―→ ―→ ―→ ―→
(1)因为 AD1 ＝b＋c，G1G ＝G1A 1＋ A 1A ＋ AD ＋ DG ＝
1
1
－ a－c＋b＋ a＝b－c，
2
2
―→ ―→
所以 AD1 ·G1G ＝(b＋c)·(b－c)＝b2－c2＝0，
2
2.
4a ＋2b
课堂小结
你学到了什么？
作业布置
作业1：书本 P14--15
作业2：预习1.3
第一章
空间向量与立体几何
《1.2 空间向量基本定理》导学案课件
情境导学
我们知道平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示(平面向量基本定理)，类似
的任意一个空间的向量，能否用任意三个不共面的向量来表示呢？
·1 =0 即可;(2)求 与1 夹角的余弦值即可.
(1)证明:设=i, =j,1 =k,
则{i,j,k}构成空间的一个正交基底.
1
1
1 1 1
所以 = + =- k+ ( + )= i+ j- k,1 = 1 +
2
2
2 2 2
=-i-k,
＝c，P 是 CA′的中点，M 是 CD′的中点，N 是 C′D′的中点，点 Q 在 CA′上，
且 CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量.
―
→
→
―
→
―
→
―
(1)AP；(2)AM；(3)AN；(4)AQ.
归纳总结
反思感悟用基底表示空间向量的解题策略
1.空间中,任一向量都可以用一个基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的.
第一章
空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
新课引入
请同学们回顾上一本书中说的，什么样的向量可以作为这个
平面的基底？
这个平面上的任意向量可以怎样被表示出来？
共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向
量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对(x，y)，
使得p＝xa＋yb.
新课引入
类似于平面向量基本定理，我们猜猜空间向量基
由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.
2.一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.
3.由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向
量不共面,就说明它们都不是零向量.
做一做
1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
→2 →2
→ →
→2
→
→
2
2
2
|AC| ＝|AB| ＋2AB·AD＋|AD| ＝2a ，∴|BD1|＝ 2a ＋b ，|AC|＝ 2a.
练习巩固
→ →
→
→
→
→
→
→ →
→ 2
∴ BD1 ·AC ＝( AD ＋ AA1 － AB )·( AB ＋ AD )＝ AD ·AB ＋| AD | ＋
→ → → → →
答案: (1)×
(2)√
(3)√
(4)√
)
)
2.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},
③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案: C
解析:如图所示,令 a=,b=1 ,c=,
叫做单位正交基底,常用 , , 表示.
由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,
使a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正
交分解.
定理辨析
1.空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可
2- = -1,
即不存在实数 x,y,使得=x+y,
所以, , 不共面.
所以{, , }能作为空间的一个基底.
典例解析
例 1.如图，M、N 分别是四面体 OABC 的棱 OA、BC 的中点，P、Q 是 MN 的三等
分点．
（1）用向量 ， ， 表示 和 ．
（2）若四面体 OABC 的所有棱长都等于 1，求 • 的值．
解：
（1） ＝
， ＝
∴ ＝ + + ＝
＝﹣
∴ ＝
+
＝
+
+
+
．
＝
+
＝
+
＝
+
+
+
+
+
﹣
+
+
• +
+
）
+
+
）•（
+
．
+
＝（
2
）+ （
+（
，
＝
（2）
＝
+
﹣
＝
＝
+ +
＝
＝
，
+
+
+
+
2
+
+
+
+
+
＝
）
+
+
+
2
跟踪训练
―
→
→
―
→
―
跟踪训练 1.如图所示，在平行六面体 ABCD-A′B′C′D′中，AB＝a，AD＝b，AA′
2×
| AD1 || DE |
2
所以 AD1 与 DE 所成角的余弦值为
10
.
10
11
练习巩固
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
→ → →
(1)若{OA，
OB，OC}不能构成空间的一个基底，则 O，A，B，C
√)
(2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则 a，b，c 全不是零向
量．
(
)
(逻辑推理)
思维导图
问题探究
如图1.2-1，设, , 是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点o，
对于任意一个空间向量 = ,设为在, 所确定的平面上的投影向量，则=+,又
向量，共线，因此存在唯一实数z，使得 + z，
从而=+ z ，而在i, j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数
发的三条棱所对应的向量作为基底.
典例解析
1
例2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且 = 3
(1)证明:EF⊥B1C;
(2)求EF与C1G所成角的余弦值.
思路分析选择一个空间基底,将 , 1 , 1 用基向量表示.(1)证明
→ →
AA1·AB＋AA1·AD－|AB|2－AB·AD＝0＋a2＋abcos 120°＋abcos 120°－
a2－0＝－ab.
→ →
|－ab|
|BD1·AC|
b
→ →
∴|cos〈BD1，AC〉|＝
＝
＝
2
2
2
2.
→ →
2a ＋b · 2a
4a ＋2b
|BD1||AC|
b
∴异面直线BD1和AC所成角的余弦值为
→ →
→ → → → → → →
〈AA1，
AD〉＝120°.又BD1＝AD＋AA1－AB，AC＝AB＋AD，
→
→
→
→
→ →
→ →
→ →
∴|BD1|2＝|AD|2＋|AA1|2＋|AB|2＋2AD·AA1－2AD·AB－2AA1·AB＝
a2＋b2＋a2＋2abcos 120°－0－2abcos 120°＝2a2＋b2，
(1)空间向量的基底是唯一的.(
)
(2)若a,b,c是空间向量的一个基底,则a,b,c均为非零向量.(
)
(3)已知A,B,M,N是空间四点,若, , 不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.(
(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.(
√
(3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．
(
×)
四点共面．
(
练习巩固
2．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b，
q＝a－b构成基底的向量是(
D)
A．a
B．b
C．a＋2b
D．a＋2c
练习巩固
3 如图，已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边
定理解析
空间向量基本定理
1.定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),
使得p=xa+yb+zc.
2.基底:我们把定理中的 , , 叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共
面的向量都可以构成空间的一个基底.
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底
对（x,y），使得=xi+ y.从而，=+ z = xi+ y + z.
因此，如果, , 是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个
空间向量p存在唯一有序实数组（x,y,z），使得p= xi+ y + z 。
我们称 xi, y, z分别为向量p在, , 上的分向量。
则 x=1 ,y=1 ,
z=,a+b+c=1 .
由于 A,B1,C,D1 四点不共面,可知向量 x,y,z 也不共面,
同理 b,c,z 和 x,y,a+b+c 也不共面,故选 C.
)
3.已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且=e1+2e2-e3, =-3e1+e2+2e3
＝0，这是其他一般基底所没有的．
例题解析
例 1 如图所示，正方体 ABCD-A 1B 1C1D1 的棱长为 1，E，
F，G，G1 分别是棱 CC1，BC，CD，A 1B 1 的中点．
(1)求证：AD1⊥G1G；
（2）求 DE 与 AD1 所成角的余弦值．
例题解析
(1)求证：AD1⊥G1G；
―→
―→
所以 ·1 =
1
1
1
1
1
1
2
2

+Leabharlann ·(-i-k)=|i|
+
|k|
=0,所以 EF⊥B1C.
2
2 2
2
2
1 1
1
(2)解: = i+ j- k,1 = 1 + =-k- j,
2 2 2
3
| |2
=
1
1
1
+ -
2
2 2
| |=√3,|1
叫做基向量．
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个
基底．
课堂探究
思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？
不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零
向量共面．
(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x，y，z)
是否唯一？
唯一确定．
课堂探究
2．正交分解
(1)单位正交基底
两两垂直 ，且长度都是
2.用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、
三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.
3.在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量
作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出
―→ ―→
所以 AD1 ⊥G1G ，所以 AD1⊥G1G.
例题解析
（2）求DE与AD1所成角的余弦值．
―→
―→
1
（2）解：因为 AD1 ＝b＋c， DE ＝a＋ c，
2
1
―→ ―→
a＋ c
AD1 ·DE
b＋c· 2
―→ ―→
10
所以 cos〈 AD1 ，DE 〉＝ ―→ ―→ ＝
5 ＝ 10 ，
本定理是怎样的？
什么样的向量可以成为空间向量的基底？
空间向量可以怎么样被表示？
课堂探究
1．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，
那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，
xa＋y b＋zc
y，z)，使得p＝___________.
基底
其中{a，b，c}叫做空间的一个____，a，b，c都
我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可
以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么用这三个向量表示空间中任意的向量呢？
学习目标
核心素养
1.掌握空间向量基本定理.
(数学抽象)
2.了解空间向量正交分解的含义.
(数学抽象)
3.会用空间向量基本定理解决有关问题.
长为 a 的正方形，侧棱 AA1 长为 b，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，求异
面直线 BD1 和 AC 所成角的余弦值．
练习巩固
→ → →
[解] {AB，
AD，AA1}可以作为空间的一个基底，
→
→
→
且|AB|＝a，|AD|＝a，|AA1|＝b，
→ →
→ →
〈AB，
AD〉＝90°，
〈AA1，AB〉＝120°，
=e1+e2-e3,试判断{, , }能否作为空间的一个基底.
解:设=x+y,则 e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3),
即 e1+2e2-e3=(y-3x)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3,
-3 = 1,
∴ + = 2,此方程组无解.