3.2 第二课时 一元二次不等式及其解法习题课
3.2 一元二次不等式及其解法(第二课时)
∴－35<a<1.
综上，当－35<a≤1时，不等式恒成立．
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第三章 3.2 第二课时
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第三章 3.2 第二课时
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例1 解关于x的不等式axx－－21>1(a>0)．
【解析】
ax－1 x－2
－1>0⇒ a－1x－x＋2 2－a >0⇒[(a－1)x＋2－
D．(－∞，－1]∪(0，＋∞)
【答案】 A
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第三章 3.2 第二课时
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(2)a>0，b>0.不等式－b<1x<a的解集为________． A．{x|x<－1b或x>1a} B．{x|－1a<x<1b} C．{x|x<－1a或x>1b} D．{x|－1b<x<0或0<x<1a}
－a－ {x|x<
2a2－16或x>－a＋
2a2－16}．
(2)原不等式可化为(x＋a)(x＋a2)＞0.
①当－a＞－a2，即a＞1或a＜0时，原不等式的解集为{x|x＞
－a或x＜－a2}．
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第三章 3.2 第二课时
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②当－a＝－a2，即a＝0时，解集为{x|x≠0}；a＝1时，解集 为{x|x≠－1}．
探究3 为什么对(1)进行分类讨论？就是由于a是式子(ax－2) 中x的系数，要求出ax－2＝0的根，就要对a进行讨论；要比较2 与2a的大小，就必须讨论a值．
高中数学第三章不等式3.2第二课时一元二次不等式的解法及其应用(习题课)高一5数学
解决不等式恒成立问题的2种思路 (1)转化成含有参数的不等式，借助对应函数图象，找到满 足题目要求的条件，构造含参数的不等式(组)，求得参数范围； (2)分离参数，通过求函数的最值，进而确定参数的范围．
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(2)当a＝1时，2＝2a，原不等式解集为{x|x≠2}；
(3)当a>1时，两根的大小顺序为2>
2 a
，原不等式的解集为
xx<2a或x>2
.
综上所述，
当0<a<1时，原不等式解集为xx>2a或x<2
；
当a＝1时，原不等式解集为{x|x≠2}；
当a>1时，原不等式解集为xx<2a或x>2
.
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不等式的恒成立问题 [典例] 对任意x∈R，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值总 为非负，则m的取值范围为________． [解析] 由题意知Δ＝(m－4)2－4(4－2m)≤0，得m＝0. [答案] {0}
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[一题多变] 1．[变条件]对任意x∈R，函数f(x)＝mx2＋(m－4)x＋4－2m的值恒
解：由题意知(x－2)m＋x2－4x＋4>0，(x－2)m>－x2＋4x
－4，因为x∈[－1,1]，所以x－2<0，所以m<
－x2＋4x－4 x－2
＝－(x－2)，所以m<1.即m的取值范围为(－∞，1)．
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3．[变条件、变设问]对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋ 4－2m的值恒大于零，求x的取值范围． 解：由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，令g(m) ＝(x－2)m＋x2－4x＋4. 由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零， 所以gg－ 1＝1＝x－x－ 2×2× 1＋－x2－1＋4xx＋2－4>40x，＋4>0， 解得x<1或x>3. 故当x<1或x>3时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
高中数学《一元二次不等式及其解法习题课》课件
(1)求矩形 ABCD 的面积 S 关于 x 的函数解析式；
(2)要使仓库占地 ABCD 的面积不少于 144 平方米，则
AB 的长度应在什么范围内？
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解
(1)根据题意，得△NDC
与△NAM
相似，所以DC＝ AM
ND，即 x ＝20－AD，解得 NA 30 20
∵x∈[－2,2]，x－212＋34max＝7，
∴x2－6x＋1min＝67，∴m<67.
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拓展提升
有关不等式恒成立问题的等价转化方式
(1)不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是全体实数(或恒成立)
的条件是当 a＝0 时，b＝0，c>0；
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(2)将 f(x)<－m＋5 变换成关于 m 的不等式：m(x2－x＋ 1)－6<0.则命题等价于：m∈[－2,2]时，g(m)＝m(x2－x＋1) －6<0 恒成立．
∵x2－x＋1>0，∴g(m)在[－2,2]上单调递增． ∴只要 g(2)＝2(x2－x＋1)－6<0，即 x2－x－2<0， ∴－1<x<2.∴x 的取值范围为－1<x<2.
①式的解集为 x≤－2 或 0≤x≤3.由②式知 x≠3， ∴原不等式的解集为{x|x≤－2 或 0≤x<3}．
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2020学年高中数学3.2一元二次不等式及其解法第2课时一元二次不等式及其解法习题课练习人教A版必修5
第2课时 一元二次不等式及其解法习题课1.不等式2x ＋1x≤0的解集为A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[0，＋∞)D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0，＋∞) 解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧（2x ＋1）x ≤0x ≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤0x ≠0，即－12≤x ＜0.故原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0. 答案 B2.若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 A.(－2，2] B.[－2，2] C.(2，＋∞)D.(－∞，2]解析 当a －2＝0，即a ＝2时，符合题意；当a －2≠0时，需满足a －2＜0且Δ＝4(a －2)2＋4(a －2)×4＜0，即－2＜a ＜2，故选A.答案 A3.已知集合P ＝{0，m }，Q ＝{x |2x 2－5x ＜0，x ∈Z}，若P ∩Q ≠∅，则m 等于 A.1 B.2 C.1或25D.1或2解析 因为Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜52，x ∈Z )＝{1，2}，所以m ＝1或2. 答案 D4.若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈[0，1]恒成立，则实数m 的取值范围是________.解析 设f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4， 所以f (x )在x ∈[0，1]上单调递减，所以当x ＝1时，函数f (x )取得最小值f (1)＝－3. 所以要使x 2－4x ≥m 对于任意x ∈[0，1]恒成立， 则需m ≤－3. 答案 (－∞，－3]5.某商品每件成本价80元，售价为100元，每天售出100件，若售价降x 成，售出商品数量就增加850x ，且售价不低于成本价.(1)设该商店一天营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围.解析 (1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x ，因售价不低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，所以y ＝20(10－x )(50＋8x )， 定义域为[0，2].(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134，所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.不等式x －43－2x＜0的解集是A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |32≤x ＜4) B.{x |3＜x ＜4}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜32或x ＞4)D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |32＜x ＜4) 解析 不等式x －43－2x ＜0等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32(x －4)＞0，∴不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜32或x ＞4).答案 C2.若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 A.(－1，1)B.(－2，2)C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式Δ>0，即m 2－4>0，解得m <－2或m >2.答案 C3.关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －2＞0的解集是A.(－∞，0)∪(1，＋∞)B.(－1，2)C.(1，2)D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 ∵ax －b ＞0的解集为(1，＋∞)， ∴a ＝b ＞0，∴ax ＋b x －2＞0⇔a （x ＋1）x －2＞0， ∴x ＜－1或x ＞2. 答案 D4.若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是 A.{a |0<a <4} B.{a |0≤a <4} C.{a |0<a ≤4}D.{a |0≤a ≤4}解析 ∵集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅， ∴不等式ax 2－ax ＋1<0的解集为∅. 若a ＝0，则ax 2－ax ＋1<0⇔1<0， 其解集为∅，符合题意.若a ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，解之得：0<a ≤4. 综上0≤a ≤4. 答案 D5.某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式为y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240，x ∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是A.100台B.120台C.150台D.180台解析 3 000＋20x －0.1x 2≤25x ⇔x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≤－200(舍去)或x ≥150. 答案 C6.(能力提升)对任意a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是A.(1，3)B.(－∞，1)∪(3，＋∞)C.(1，2)D.(－∞，1)∪(2，＋∞)解析 f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4. 令g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4. 当a ∈[－1，1]时，其图象是一条线段. 由题意当a ∈[－1，1]时，g (a )>0恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，g （－1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0， 解之，得x >3或x <1. 答案 B二、填空题(每小题5分，共15分)7.不等式x ＋5（x －1）2≥2的解为________.解析 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧2（x －1）2≤x ＋5，x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－5x －3≤0，x ≠1， 解之，得－12≤x <1或1<x ≤3.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3] 8.已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为________. 解析 由题意，知Δ＝4－4×1×(k 2－1)<0，即k 2>2， ∴k >2或k <－ 2.答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)9.(能力提升)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________.解析 由题可得f (x )＜0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝2m 2－1＜0，f （m ＋1）＝2m 2＋3m ＜0，解得－22＜m ＜0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.解析 若m 2－2m －3＝0，则m ＝－1或m ＝3，当m ＝－1时，原不等式为4x －1<0对一切x ∈R 不恒成立，不合题意；当m ＝3时，原不等式为－1<0对一切x ∈R 恒成立，符合题意.若m 2－2m －3≠0，设f (x )＝(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3<0，Δ＝[－（m －3）]2＋4（m 2－2m －3）<0， 解得－15<m <3，综上所述，实数m 的取值范围是－15<m ≤3.11.(12分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2，2]，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围.解析 设函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a 在x ∈[－2，2]时的最小值为g (a )，则(1)当对称轴x ＝－a 2＜－2，即a ＞4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，与a ＞4矛盾，不符合题意.(2)当－a 2∈[－2，2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝3－a －a 24≥0，解得－6≤a ≤2，此时－4≤a ≤2.(3)当－a2＞2，即a ＜－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，此时－7≤a ＜－4. 综上，a 的取值范围为－7≤a ≤2.12.(12分)(能力提升)某摩托车生产企业，上年度生产车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆，本年度为适应市场需要，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x ，同时预计年销量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 之间的关系式；(2)为使本年度的利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解析 (1)每辆车投入成本增加的比例为x ，则每辆车投入成本为1×(1＋x )万无，出厂价为 1.2×(1＋0.75x )万元，年销量为 1 000×(1＋0.6x )辆.所以y ＝[1.2×(1＋0.75x )－1×(1＋x )]×1 000×(1＋0.6x )， 即y ＝－60x 2＋20x ＋200(0＜x ＜1). (2)欲保证本年度的利润比上年度有所增加，则⎩⎪⎨⎪⎧y －（1.2－1）×1 000＞0，0＜x ＜1， 即⎩⎪⎨⎪⎧－60x 2＋20x ＞0，0＜x ＜1. 所以0＜x ＜13.即为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13范围内.。
3.2.3一元二次不等式的解法(习题课)
一元二次不等式的实际应用
某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1 万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市 场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本
增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时 预计年销售量增加的比例为0.6x.设年利润＝(出厂价－投入成本)× 年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系 式；
(2)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的 比例x应在什么范围内？
第16页，共24页。
解析：(1)依题意，得 y＝[1.2(1＋0.75x)－(1＋x)]×1000(1＋0.6x) ＝1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)，
第23页，共24页。
第24页，共24页。
解析：由题意得
70×(100－10R)×R%≥112， 化简得 R2－10R＋16≤0， 解得 2≤R≤8.
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一、选择填空题
1．不等式4x2≥4x－1的解是( )
A．全体实数
C．x≠ 1 2
B．∅
D．x＝ 1 2
解析：4x2≥4x－1⇒4x2－4x＋1≥0⇒(2x－1)2 ≥0⇒x∈R. 故选A.
f－2＜0， 即－m21－2m4m＋－695＞＜00，， ∴－1＜m＜5.
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一元二次不等式恒成立问题
已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1＜0对于所有的实数x
都成立，求a的取值范围．
解析：若a＝0，原不等式为一次不等式，可化为－x－1
＜0，
显然它对于任意的x不都成立，所以a＝0不符合题目要
高中数学课件：3.2-2《一元二次不等式及其解法》
(2)若 a2－1≠0，即 a≠±1 时，原不等式解集为 R 的条件 是 a2－1<0 Δ＝a－12＋4a2－1<0 解得－35<a<1. 综上所述，当－35<a≤1 时，原不等式解集为全体实数．
[点评] (1)不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是全体实数(或恒成 立)的条件是当 a＝0 时，b＝0，c>0；
②logaf(x)>logaφ(x)⇔f(x)>φ(x)>0(a>1)； 或0<f(x)<φ(x)(0<a<1)．
2．不等式(x2－7x＋12)(x2＋x＋1)>0的解
集为
()
A．(－∞，－4)∪(－3，＋∞)
B．(－∞，3)∪(4，＋∞)
C．(－4，－3)
D．(3,4)
解析：∵x2＋x＋1>0恒成立，∴原不等式等 价于x2－7x＋12>0，∴x<3或x>4.故选B.
答案：B
3．若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－ 4<0的 解 为 一 切 实 数 ， 则 a 的 取 值 范 围 为 ()
即 k>23或k<－4， k>2或k<－4，
解得 k<－4 或 k>2. 故所求的实数 k 的取值范围是 k<－4 或 k>2.
[点评] 解决这类一元二次方程两实根正负 性的讨论问题，只需抓住判别式和韦达定 理，由它们构建关于参数的一元二次不等 式组，解之即可．
迁移变式3 m为何值时，关于x的方程(m ＋1)x2＋2(2m＋1)x＋(1－3m)＝0有两个异 号的实根．
[分析] 由A∩B＝A⇒A⊆B，又因为B是可解 集合，因此可以求出B集合．对于A集合， 要明确不等式的解集，需判断对应方程两 根的大小，故要就两根的大小对参数a加以 讨论，再借助数轴由A，B两集合的关系， 求出a的具体取值范围．
高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第2课时 一元二次不等式及其解法(习题课)
第2课时 一元二次不等式及其解法（习题课）[课时作业] [A 组 基础巩固]1．已知A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |x －a >0}，A ∩B ＝∅，则a 的取值范围是( ) A ．a ＝3 B ．a ≥3 C ．a <3D ．a ≤3解析：A ＝{x |x 2－x －6≤0}＝{x |(x －3)(x ＋2)≤0}＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x －a >0}＝{x |x >a }，因为A ∩B ＝∅，所以a ≥3.故选B. 答案：B2．已知x ＝2是不等式m 2x 2＋(1－m 2)x －4m ≤0的解，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由题意知，4m 2＋(1－m 2)·2－4m ≤0， ∴m 2－2m ＋1≤0. 即(m －1)2≤0，∴m ＝1. 答案：A3．已知关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax －bx －2>0的解集是( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |－1<x <2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x >2}解析：依题意，a >0且－b a＝1.ax －b x －2>0⇔(ax －b )(x －2)>0⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b a (x －2)>0， 即(x ＋1)(x －2)>0⇒x >2或x <－1. 答案：A4．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1＜2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x ＜－2或x ＞2}解析：∵x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34＞0，原不等式⇔x 2－2x －2＜2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4＞0⇔(x＋2)2＞0，∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}． 答案：A5．设集合P ＝{m |－1<m <0}，Q ＝{m ∈R|mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立}，则下列关系式中成立的是( ) A ．P Q B ．Q P C ．P ＝QD ．P ∩Q ＝∅解析：当m ＝0时，－4<0对任意实数x ∈R 恒成立；当m ≠0时，由mx 2＋4mx －4<0对任意实数x ∈R 恒成立可得．⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16m 2＋16m <0，解得－1<m <0，综上所述，Q ＝{m |－1<m ≤0}， ∴PQ ，故选A.答案：A6．若关于x 的不等式x －ax ＋1＞0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝________. 解析：x －ax ＋1＞0⇔(x ＋1)( x －a )＞0⇔(x ＋1)(x －4)＞0， ∴a ＝4. 答案： 47．若不等式－x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵Δ＝4－4a ≤0，∴a ≥1. 答案：[1，＋∞)8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份增长x %，八月份销售额比七月份增长x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．解析：由题意，得3 860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2≥7 000，化简得(x %)2＋3·x %－0.64≥0，解得x %≥0.2或x %≤－3.2(舍去)，所以x ≥20，即x 的最小值为20. 答案：209．解关于x 的不等式mx 2mx －1－x >0.解析：原不等式可化为xmx －1>0，即x (mx －1)>0. 当m >0时，解得x <0或x >1m； 当m <0时，解得1m<x <0；当m ＝0时，解得x <0.综上，当m >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎪⎪x⎭⎬⎫x <0或x >1m ；当m <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎪⎪x⎭⎬⎫1m<x <0；当m ＝0时，不等式的解集为{x |x <0}．10．若关于x 的不等式ax 2＋2x ＋2>0在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．解析：当a ＝0时，原不等式可化为2x ＋2>0，其解集不为R ，故a ＝0不满足题意，舍去； 当a ≠0时，要使原不等式的解集为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝22－4×2a <0，解得a >12.综上，所求实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. [B 组 能力提升]1．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( ) A ．1＜x ＜3 B ．x ＜1或x ＞3 C ．1＜x ＜2D ．x ＜1或x ＞2解析：设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )＞0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧g＝x 2－3x ＋2＞0g－＝x 2－5x ＋6＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1或x ＞2x ＜2或x ＞3⇔x ＜1或x ＞3.答案：B2．已知f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a <b )，且α，β(α<β)是方程f (x )＝0的两根，则α，β，a ，b 的大小关系是( ) A ．a <α<β<b B ．a <α<b <β C ．α<a <b <βD ．α<a <β<b解析：因为α，β为方程f (x )＝0的两根，所以α，β为f (x )＝(x －a )(x－b )＋2与x 轴交点的横坐标．a ，b 为 (x －a )(x －b )＝0的根，令g (x )＝(x －a )(x －b )，所以a ，b 为g (x )与x 轴交点的横坐标．如图可知f (x )的图象可由g (x )的图象向上平移2个单位得到，由图知选A.答案：A3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为________． 解析：易知函数f (x )＝e x －1的值域为(－1，＋∞)，因此要使得f (a )＝g (b )，必须有－x 2＋4x －3>－1，即x 2－4x ＋2<0.解得2－2<x <2＋ 2. 答案：(2－2，2＋2)4．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，如果使f (x )≤kx 对任意实数x ∈(1，m ]都成立的m 的最大值是5，则实数k ＝________.解析：设g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，由题意知g (x )≤0对任意实数x ∈(1，m ]都成立的m 的最大值是5，所以x ＝5是方程g (x )＝0的一个根，将x ＝5代入g (x )＝0，可以解得k ＝365(经检验满足题意)． 答案：3655．已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x －4，是否存在实数a ，使得对任意x ∈[－3,1]，f (x )<0恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在说明理由．解析：若对任意x ∈[－3,1]，f (x )<0恒成立，则满足题意的函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x －4的图象如图所示．由图象可知，此时a 应该满足⎩⎪⎨⎪⎧f －，f，－3<2－a <1，即⎩⎪⎨⎪⎧17－6a <0，2a <7，1<a <5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >176，a <72，1<a <5.⇒176<a <72. 即存在实数a ∈⎝⎛⎭⎪⎫176，72，满足对任意x ∈[－3,1]，f (x )<0恒成立．6．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若对任意a ∈[－1,1]，f (x )>4恒成立，求实数x 的取值范围． 解析：(1)对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，即x 2＋2x ＋a x>0对x ∈[1，＋∞)恒成立，亦即x 2＋2x ＋a >0对x ∈[1，＋∞)恒成立， 即a >－x 2－2x 对x ∈[1，＋∞)恒成立， 即a >(－x 2－2x )max (x ∈[1，＋∞))． ∵－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1，∴当x ＝1时，(－x 2－2x )max ＝－3(x ∈[1，＋∞))， ∴a >－3.(2)∵当a ∈[－1,1]时，f (x )>4恒成立，则x 2＋2x ＋a x－4>0对a ∈[－1,1]恒成立，即x 2－2x ＋a >0对a ∈[－1,1]恒成立． 把g (a )＝a ＋(x 2－2x )看成a 的一次函数，则g (a )>0对a ∈[－1,1]恒成立的条件是g (－1)>0， 即x 2－2x －1>0，解得x <1－2或x >2＋1. 又∵x ≥1，∴x >2＋1.。
3-2第2课时 一元二次不等式及其解法习题课
第3章 3.2 第2课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．不等式ax 2＋5x ＋c ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13＜x ＜12，则a ，c 的值为( )A ．a ＝6，c ＝1B ．a ＝－6，c ＝－1C ．a ＝1，c ＝1D ．a ＝－1，c ＝－6解析： 由已知得⎩⎨⎧a ·⎝⎛ 13)2＋5×13＋c ＝0，a ·⎝⎛⎭⎫122＋5×12＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，c ＝－1.答案： B2．关于x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m ＜x 2＋1对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞C ．(－∞，0]D ．(－∞，0]∪⎝⎛⎭⎫－43，＋∞ 解析： 原不等式等价于mx 2＋mx ＋m －1＜0对x ∈R 恒成立， 当m ＝0时，0·x 2＋0·x －1＜0对x ∈R 恒成立． 当m ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0Δ＝m 2－4m (m －1)＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＜03m 2－4m ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0m ＜0或m ＞43⇔m ＜0.综上，m 的取值范围为(－∞，0]． 答案： C3．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，12 D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析： 由题意知－12，－13是ax 2－bx －1＝0的两实根，∴⎩⎨⎧－12⎝⎛⎭⎫－13＝b a－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝5.∴x 2－bx －a ＜0⇔x 2－5x ＋6＜0⇔2＜x ＜3. 答案： A4．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 恒成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析： 因为(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，又不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 恒成立，所以(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 恒成立，所以Δ＝(－1)2－4(－a 2＋a ＋1)＜0，解得－12＜a ＜32，故选C.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是________．解析： 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＝(－a )2－4a ＜0，∴0＜a ＜4. 当a ＝0时，A ＝{x |1＜0}＝∅，符合题意． 答案： [0,4) 6．函数f (x )＝1ax 2＋3ax ＋1的定义域是R ，则实数a 的取值范围为________．解析： 由已知f (x )的定义域是R . 所以不等式ax 2＋3ax ＋1＞0恒成立．(1)当a ＝0时，不等式等价于1＞0，显然恒成立；(2)当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0Δ＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0(3a )2－4a ＜0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0a (9a －4)＜0⇔0＜a ＜49.由(1)(2)知，0≤a ＜49.即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，49.答案： ⎣⎡⎭⎫0，49三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋4x －5＜0的解集为B ， (1)求A ∪B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集是A ∪B ，求ax 2＋x ＋b ＜0的解集． 解析： (1)解不等式x 2－2x －3＜0，得A ＝{x |－1＜x ＜3}． 解不等式x 2＋4x －5＜0，得B ＝{x |－5＜x ＜1}． ∴A ∪B ＝{x |－5＜x ＜3}．(2)由x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |－5＜x ＜3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 25－5a ＋b ＝09＋3a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－15. ∴2x 2＋x －15＜0.∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3＜x ＜52. 8．某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围． 解析： (1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)万元．依题意：y ＝200a (1＋2x %)(10－x )%＝150a (100＋2x )(10－x )(0＜x ＜10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)． 依题意得：150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得，x 2＋40x －84≤0， ∴－42≤x ≤2.又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2. ∴x 的取值范围是{x |0＜x ≤2}． 尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)设0＜b ＜1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2＞(ax )2的解集中的整数恰有3个，求a 的取值范围．解析： 由(x －b )2＞(ax )2， 得(x －b )2－(ax )2＞0， 即[(1＋a )x －b ][(1－a )x －b ]＞0.若－1＜a ＜0，则x ＞b 1＋a 或x ＜b 1－a 可知不止3个整数解；若0＜a ＜1，则x ＞b1－a或x ＜b1＋a，可知不止3个整数解； 若a ＞1，则(x －b )2＞(ax )2， 即[(1＋a )x －b ][(a －1)x ＋b ]＜0， 则－b a －1＜x ＜b 1＋a. 又0＜b ＜1＋a ，所以不等式的解集中的整数为－2，－1,0， 故－3≤－ba －1＜－2，则2a －2＜b ≤3a －3， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＜b ＜a ＋13a －3≥b ＞0，解得1＜a ＜3.。
高中数学新人教A版必修5第三章 3.2 第二课时 一元二次不等式及其解法(习题课)
第二课时 一元二次不等式及其解法(习题课)解简单的分式不等式[典例] 解下列不等式： (1)x ＋23－x ≥0；(2)2x －13－4x>1. [解] (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)(3－x )≥0，3－x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)(x －3)≤0，x ≠3⇒－2≤x <3. ∴原不等式的解集为{x |－2≤x <3}． (2)原不等式可化为2x －13－4x －1>0，即3x －24x －3<0.等价于(3x －2)(4x －3)<0. ∴23<x <34. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <34.(1)解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，要注意含等号的分式不等式的分母不为零．(2)分式不等式的4种形式及解题思路 ①f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )>0； ②f (x )g (x )<0⇔f (x )g (x )<0； ③f (x )g (x )≥0⇔f (x )g (x )≥0且g (x )≠0⇔f (x )g (x )>0或f (x )＝0； ④f (x )g (x )≤0⇔f (x )g (x )≤0且g (x )≠0⇔f (x )g (x )<0或f (x )＝0. (3)不等式与不等式组的同解关系①f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )≥0，g (x )≥0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )≤0，g (x )≤0， ②f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )≥0，g (x )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )≤0，g (x )≥0， ③f (x )g (x )>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，g (x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<0，g (x )<0，④f (x )g (x )<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，g (x )<0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )<0，g (x )>0.[活学活用]1．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ＜0} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选B ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．2．已知关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax －bx －2>0的解集是( )A.{}x |x ＜－1或x ＞2B.{}x |－1＜x ＜2C.{}x |1＜x ＜2D.{}x |x ＞2解析：选A 依题意，a >0且－ba ＝1. ax －b x －2>0⇔(ax －b )(x －2)>0⇔⎝⎛⎭⎫x －ba (x －2)>0， 即(x ＋1)(x －2)>0⇒x >2或x <－1.不等式中的恒成立问题2取值范围．[解] 由题意可知，只有当二次函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象与直角坐标系中的x 轴无交点时，才满足题意，则其相应方程x 2＋2(a －2)x ＋4＝0此时应满足Δ＜0，即4(a －2)2－16＜0，解得0＜a ＜4.故a 的取值范围是(0,4)．对于x ∈[a ，b ]，f (x )＜0(或＞0)恒成立，应利用函数图象．1．已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，是否存在实数a ，使得对任意x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立．若存在求出a 的取值范围；若不存在说明理由．解：若对任意，x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立，则满足题意的函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象如图所示．由图象可知，此时a 应该满足⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)＜0，f (1)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧25－6a ＜0，1＋2a ＜0，解得⎩⎨⎧a ＞256，a ＜－12.这样的实数a 是不存在的，所以不存在实数a 满足：对任意x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立． 对此类问题，要弄清楚哪个是参数，哪个是自变量．2．已知函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立，试求x 的取值范围．解：原函数可化为g (a )＝2xa ＋x 2－4x ＋4，是关于a 的一元一次函数． 要使对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＜0，g (－3)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4＜0，x 2－10x ＋4＜0.因为x 2－2x ＋4＜0的解集是空集，所以不存在实数x ，使函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立．(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．分离参数法是解决不等式恒成立问题的一种行之有效的方法．a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max (f (x )存在最大值)； a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min (f (x )存在最小值)．(2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x 轴下方．一元二次不等式的实际应用[典例] 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？[解] (1)由题意，得y ＝[1.2×(1＋0.75x )－1×(1＋x )]×1 000×(1＋0.6x )(0<x <1)，整理得y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)．(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ y －(1.2－1)×1 000>0，0<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－60x 2＋20x >0，0<x <1，解不等式组，得0<x <13，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 的范围为⎝⎛⎭⎫0，13.用一元二次不等式解决实际问题的步骤(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； (3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．[活学活用]某校园内有一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解：设花卉带的宽度为x m(0<x <600)，则中间草坪的长为(800－2x )m ，宽为(600－2x )m.根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋600×100≥0，即(x －600)(x －100)≥0，所以0＜x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100]m.层级一 学业水平达标1．不等式x －1x ≥2的解集为( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,0)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1]∪(0，＋∞)解析：选B 不等式x －1x ≥2，即x －1x －2≥0，即－x －1x ≥0，所以x ＋1x ≤0，等价于x (x ＋1)≤0且x ≠0，所以－1≤x <0.2．不等式4x ＋23x －1＞0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞13或x ＜－12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12＜x ＜13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＞13 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－12 解析：选A4x ＋23x －1＞0⇔(4x ＋2)(3x －1)＞0⇔x ＞13或x ＜－12，此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞13或x ＜－12.3．若不等式x 2＋mx ＋m2>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(0,2)解析：选D ∵不等式x 2＋mx ＋m2>0，对x ∈R 恒成立，∴Δ<0即m 2－2m <0，∴0<m <2.4．某商品在最近30天内的价格f (t )与时间t (单位：天)的函数关系是f (t )＝t ＋10(0<t ≤20，t ∈N)；销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t ＋35(0<t ≤30，t ∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t 的范围为( )A ．[15,20]B ．[10,15]C ．(10,15)D ．(0,10]解析：选B 由日销售金额为(t ＋10)(－t ＋35)≥500， 解得10≤t ≤15.5．若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－3D ．3解析：选C 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3. 6．不等式5－x x ＋4≥1的解集为________．解析：因为5－x x ＋4≥1等价于1－2x x ＋4≥0，所以2x －1x ＋4≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(x ＋4)≤0，x ＋4≠0，解得－4<x ≤12.答案：⎝⎛⎦⎤－4，12 7．若不等式x 2－4x ＋3m <0的解集为空集，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意，知x 2－4x ＋3m ≥0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m ≤0，解得m ≥43.答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞8．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，则a 的取值范围是________．解析：根据定义得(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ，又(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，所以x 2－x ＋a ＋1－a 2>0对任意的实数x 都成立，所以Δ<0，即1－4(a ＋1－a 2)<0，解得－12<a <32.答案：⎝⎛⎭⎫－12，32 9．已知f (x )＝－3x 2＋a (5－a )x ＋b .(1)当不等式f (x )>0的解集为(－1,3)时，求实数a ，b 的值； (2)若对任意实数a ，f (2)<0恒成立，求实数b 的取值范围． 解：(1)由f (x )>0，得－3x 2＋a (5－a )x ＋b >0， ∴3x 2－a (5－a )x －b <0. 又f (x )>0的解集为(－1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋a (5－a )－b ＝0，27－3a (5－a )－b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝9.(2)由f (2)<0，得－12＋2a (5－a )＋b <0， 即2a 2－10a ＋(12－b )>0.又对任意实数a ，f (2)<0恒成立， ∴Δ＝(－10)2－4×2(12－b )<0，∴b <－12，∴实数b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. 10．某工厂生产商品M ，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P %(即每百元征收P 元)时，每年的销售量减少10P 万件，据此，问：(1)若税务部门对商品M 每年所收税金不少于96万元，求P 的范围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P 值；(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P 值． 解：税率为P %时，销售量为(80－10P )万件， 即f (P )＝80(80－10P )，税金为80(80－10P )·P %， 其中0<P <8.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧80(80－10P )·P %≥96，0<P <8，解得2≤P ≤6. 故P 的范围为[2,6]．(2)∵f (P )＝80(80－10P )(2≤P ≤6)为减函数， ∴当P ＝2时，厂家获得最大的销售金额， f (2)＝4 800(万元)． (3)∵0<P <8，g (P )＝80(80－10P )·P %＝－8(P －4)2＋128， ∴当P ＝4时，国家所得税金最高，为128万元．层级二 应试能力达标1．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解是( )A.⎣⎡⎦⎤－3，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，3 C.⎣⎡⎭⎫12，1∪(1,3]D.⎣⎡⎭⎫－12，1∪(1,3] 解析：选D x ＋5(x －1)2≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥2(x －1)2，x －1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，x ≠1，∴x ∈⎣⎡⎭⎫－12，1∪(1,3]． 2．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＋3x －1<0，N ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}等于( ) A ．M ∩N B ．M ∪N C ．∁R (M ∩N ) D ．∁R (M ∪N )解析：选Dx ＋3x －1<0⇔(x ＋3)(x －1)<0，故集合M 可化为{x |－3<x <1}，将集合M 和集合N 在数轴上表示出来(如图)，易知答案．3．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝x 2－3x ＋2>0，g (－1)＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2，x <2或x >3⇔x <1或x >3. 4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )A ．[15,30]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]解析：选C 设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y40，∴y ＝40－x ，∵xy ≥300，∴x (40－x )≥300，∴x 2－40x ＋300≤0，∴10≤x ≤30.5．若函数f (x )＝log 2(x 2－2ax －a )的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析：已知函数定义域为R ，即x 2－2ax －a ＞0对任意x ∈R 恒成立． ∴Δ＝(－2a )2＋4a ＜0. 解得－1＜a ＜0. 答案：(－1,0)6．现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值范围是________．解析：5%<x ·4%＋200·7%x ＋200<6%，解得x 的范围是(100,400)． 答案：(100,400)7．已知不等式mx 2－2x ＋m －2<0.(1)若对于所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；(2)设不等式对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．解：(1)对所有实数x ，都有不等式mx 2－2x ＋m －2<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x ＋m －2的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，－2x －2<0，显然对任意x 不能恒成立； 当m ≠0时，由二次函数的图象可知有⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4m (m －2)<0，解得m <1－2， 综上可知，m 的取值范围是(－∞，1－2)．(2)设g (m )＝(x 2＋1)m －2x －2，它是一个以m 为自变量的一次函数，由x 2＋1>0，知g (m )在[－2,2]上为增函数，则只需g (2)<0即可，即2x 2＋2－2x －2<0，解得0<x <1. 故x 的取值范围是(0,1)．8．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：(1)f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，必须且只需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2.∴a 的取值范围为[－6,2]． (2)f (x )＝x 2＋ax ＋3＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋3－a 24. ①当－a2<－2，即a >4时，f (x )min ＝f (－2)＝－2a ＋7， 由－2a ＋7≥a ，得a ≤73，∴a ∈∅.②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 24，由3－a 24≥a ，得－6≤a ≤2.∴－4≤a ≤2.③当－a2>2，即a <－4时，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋7，由2a ＋7≥a ，得a ≥－7，∴－7≤a <－4. 综上，可得a 的取值范围为[－7,2].。
高中数学《3.2 一元二次不等式及其解法(练习课)》教案 新人教A版必修5
3.2 一元二次不等式及其解法（练习课） 教学要求：掌握一元二次不等式的解法；能借助二次函数的图象及一元二次方程解决相应的不等式问题.教学重点：应用性问题.教学难点：综合应用.教学过程：一、复习准备：1、提问：实数比较大小的方法？2、讨论：不等式的性质有哪些？二、基础练习：1.一元二次不等式的解法.① 解不等式22370x x -++≥② 不等式(1)(2)0x x --≥的解集_______________2.实数比较大小的方法．① 比较233x x +与的大小，其中x R ∈．② 设x R ∈，比较111x x -+与的大小. 3.不等式性质的应用. ① 如果a R ∈，且20a a +<，那么22,,,a a a a --的大小关系是___________________② 已知1260,1536a b <<<<，则a a b b-及的取值范围分别是__________________ ③ 已知,a b c d ><，求证a c b d ->-三、巩固练习 1. 较大小：比较6421x x x ++与的大小，其中x R ∈2．若01a <<．则不等式1()()0a x x a -->的解是______________3．不等式||(13)0x x ->的解集是__________________4．若0a b >>，则()()0a bx ax b --≤的解集是___________________5. 已知221110,1,1,,211a A a B a C D a a -<<=+=-==+-，试将,,,A B C D 按大小顺序排列6. 已知22ππαβ-≤<≤，求2αβ-的范围*7.解关于x 的不等式22(1)40ax a x -++>*8 如果方程22(1)20x m x m +-+-=的两个不等实根均大于1，求实数m 的取值范围9. 若二次函数()y f x =的图象经过原点，且1(1)2,3(1)4f f ≤-≤≤≤，求(2)f -的取值范围.课后作业教材P91 B 1、2、3、4。
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第二课时一元二次不等式及其解法习题课练习含解析必修5
第二课时一元二次不等式及其解法习题课1.一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-1<x<},则ab的值为( D )(A)-5 (B)5 (C)-6 (D)6解析:由已知得-1,是一元二次方程ax2+bx+1=0的两根,且a<0,由根与系数的关系得解得所以ab=6.故选D.2.已知不等式ax2-5x+b>0的解集为{x|x<-或x>},则不等式bx2-5x+a>0的解集为( C )(A){x|-<x<} (B){x|x<-或x>}(C){x|-3<x<2} (D){x|x<-3或x>2}解析:因为ax2-5x+b>0的解集为{x|x<-或x>},所以ax2-5x+b=0的解是x1=-,x2=,由根与系数的关系,得x1+x2=-+=,x1x2=-×=,解得a=30,b=-5.则不等式bx2-5x+a>0⇔-5x2-5x+30>0,即x2+x-6<0,解得-3<x<2.故选C.3.已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是[-,-],则不等式x2-bx-a<0的解集是( A )(A)(2,3)(B)(-∞,2)∪(3,+∞)(C)(,)(D)(-∞,)∪(,+∞)解析:依题意知a<0且方程ax2-bx-1=0的两根是-和-.所以解得则不等式x2-bx-a<0即为x2-5x+6<0,故其解集为{x|2<x<3}.故选A.4.不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f(-x)的大致图象为( C )解析:由题意得解得a=-1,c=-2.则函数y=f(-x)=-x2+x+2,故选C.5.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当x ∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是( C )(A)(-∞,-1)(B)(2,+∞)(C)(-∞,-1)∪(2,+∞)(D)(-∞,-2)∪(1,+∞)解析:由f(1-x)=f(1+x),知f(x)的对称轴为x==1,故a=2.又f(x)开口向下,所以当x∈[-1,1]时,f(x)为增函数,f(x)min= f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,f(x)>0对x∈[-1,1]恒成立,即f(x)min=b2-b-2>0恒成立,解得b<-1或b>2.故选C.6.一元二次方程x2+(a2+1)x+a-2=0,有一个根比1大,另一个根比-1小,则a的取值范围是( C )(A){a|-3<a<1} (B){a|-2<a<0}(C){a|-1<a<0} (D){a|0<a<2}解析:令f(x)=x2+(a2+1)x+a-2,则f(1)<0且f(-1)<0,即解得-1<a<0.故选C.7.不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为( A )(A)[-1,4] (B)(-∞,-2]∪[5,+∞)(C)(-∞,-1]∪[4,+∞) (D)[-2,5]解析:因为x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以要使x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.故选A.8.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y= 3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( C )(A)100台 (B)120台 (C)150台 (D)180台解析:由3 000+20x-0.1x2≤25x得x2+50x-30 000≥0,解得x≥150或x≤-200(舍去).故选C.9.若关于x的不等式>0的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则实数a= .解析:注意到>0等价于(x-a)(x+1)>0,。
高中数学 3.2 一元二次不等式及其解法(第2课时)练习
【成才之路】2015版高中数学 3.2 一元二次不等式及其解法（第2课时）练习一、选择题1．(北京学业水平测试)不等式(x －1)(2x －1)<0的解集是( )A ．{x|1<x<2}B ．{x|x<1或x>2}C ．{x|x<12或x>1}D ．{x|12<x<1} [答案] D [解析] 方程(x －1)(2x －1)＝0的两根为x1＝1，x2＝12，所以(x －1)(2x －1)<0的解集为{x|12<x<1}，选D ．2．设集合M ＝{x|0≤x≤2}，N ＝{x|x2－2x －3<0}，则M∩N 等于( )A ．{x|0≤x<1}B ．{x|0≤x≤2}C ．{x|0≤x≤1}D ．{x|0≤x≤2}[答案] D[解析] ∵N ＝{x|x2－2x －3<0}＝{x|－1<x<3}，M ＝{x|0≤x≤2}，∴M∩N ＝{x|0≤x≤2}，故选D ．3．若{x|2<x<3}为x2＋ax ＋b<0的解集，则bx2＋ax ＋1>0的解集为( )A ．{x|x<2或x>3}B ．{x|2<x<3}C ．{x|13<x<12}D ．{x|x<13或x>12} [答案] D[解析] 由x2＋ax ＋b<0的解集为{x|2<x<3}，知方程x2＋ax ＋b ＝0的根分别为x1＝2，x2＝3. 由韦达定理，得x1＋x2＝－a ，x1·x2＝b ，即a ＝－5，b ＝6.所以不等式bx2＋ax ＋1>0，即6x2－5x ＋1>0，解集为{x|x<13，或x>12}，故选D ．4．不等式x －22x －3x ＋1<0的解集为( ) A ．{x|－1<x<2或2<x<3} B ．{x|1<x<3}C ．{x|2<x<3}D ．{x|－1<x<3}[答案] A[解析] 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －3x ＋1<0，x ＋1≠0，x －22≠0，解得－1<x<3，且x≠2，故选A ．5．若0＜t ＜1，则不等式x2－(t ＋1t )x ＋1＜0的解集是( )A ．{x|1t ＜x ＜t}B ．{x|x ＞1t 或x ＜t}C ．{x|x ＜1t 或x ＞t}D ．{x|t ＜x ＜1t }[答案] D[解析] 化为(x －t)(x －1t )＜0，∵0＜t ＜1，∴1t ＞1＞t ，∴t ＜x ＜1t .6．已知不等式x2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是( )A ．－4≤a≤4B ．－4＜a ＜4C ．a≤－4或a≥4D ．a ＜－4或a ＞4[答案] A[解析] 欲使不等式x2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则△＝a2－16≤0，∴－4≤a≤4.二、填空题7．关于x 的不等式：x2－(2m ＋1)x ＋m2＋m ＜0的解集是________．[答案] {x|m<x<m ＋1}[解析] 解法一：∵方程x2－(2m ＋1)x ＋m2＋m ＝0的解为x1＝m ，x2＝m ＋1，且知m ＜m ＋1.∴二次函数y ＝x2－(2m ＋1)x ＋m2＋m 的图象开口向上，且与x 轴有两个交点．∴不等式的解集为{x|m ＜x ＜m ＋1}．解法二：注意到m2＋m ＝m(m ＋1)，及m ＋(m ＋1)＝2m ＋1，可先因式分解，化为(x －m)(x －m －1)＜0，∵m ＜m ＋1，∴m ＜x ＜m ＋1.∴不等式的解集为{x|m<x<m ＋1}．8．若集合A ＝{x|ax2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是________．[答案] 0<a≤4[解析] ①若a ＝0，则1<0不成立，此时解集为空．②若a≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a2－4a≤0，a>0，∴0<a≤4. 三、解答题9．解下列不等式：(1)2x －13x ＋1>0； (2)ax x ＋1<0. [解析] (1)原不等式等价于(2x －1)(3x ＋1)>0，∴x<－13或x>12.故原不等式的解集为{x|x<－13或x>12}．(2)ax x ＋1<0⇔ax(x ＋1)<0.当a>0时，ax(x ＋1)<0⇔x(x ＋1)<0⇔－1<x<0，∴解集为{x|－1<x<0}；当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a<0时，ax(x ＋1)<0⇔x(x ＋1)>0⇔x>0或x<－1，∴解集为{x|x>0，或x<－1}．10．解关于x 的不等式x2－(a ＋a2)x ＋a3>0.[解析] 原不等式可化为(x －a)(x －a2)>0.则方程x2－(a ＋a2)x ＋a3＝0的两根为x1＝a ，x2＝a2，由a2－a ＝a(a －1)可知，(1)当a<0或a>1时，a2>a.∴原不等式的解集为x>a2或x<a.(2)当0<a<1时，a2<a ，∴原不等的解为x>a 或x<a2.(3)当a ＝0时，原不等式为x2>0，∴x≠0.(4)当a ＝1时，原不等式为(x －1)2>0，∴x≠1.综上可知：当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a 或x>a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a ＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当a ＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}.一、选择题1．若f(x)＝－x2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( )A ．m ＜－2或m ＞2B ．－2＜m ＜2C ．m≠±2D ．1＜m ＜3[答案] A[解析] ∵f(x)＝－x2＋mx －1有正值，∴△＝m2－4＞0，∴m ＞2或m ＜－2.2．若a ＜0，则关于x 的不等式x2－4ax －5a2＞0的解是( )A ．x ＞5a 或x ＜－aB ．x ＞－a 或x ＜5aC ．5a ＜x ＜－aD ．－a ＜x ＜5a[答案] B[解析] 化为：(x ＋a)(x －5a)＞0，相应方程的两根x1＝－a ，x2＝5a∵a ＜0，∴x1＞x2.∴不等式解为x ＜5a 或x ＞－a.3．函数y ＝－x2－3x ＋4x的定义域为( ) A ．[－4,1] B ．[－4,0)C ．(0,1]D ．[－4,0)∪(0,1][答案] D[解析] 要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧－x2－3x ＋4≥0x≠0，解得－4≤x≤1且x≠0，故定义域为[－4,0)∪(0,1]．4．如果不等式2x2＋2mx ＋m 4x2＋6x ＋3<1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(－∞，3)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，＋∞)[答案] A[解析] 由4x2＋6x ＋3＝(2x ＋32)2＋34>0对一切x ∈R 恒成立，从而原不等式等价于2x2＋2mx ＋m<4x2＋6x ＋3(x ∈R)⇔2x2＋(6－2m)x ＋(3－m)>0对一切实数x 恒成立⇔Δ＝(6－2m)2－8(3－m)＝4(m －1)(m －3)<0，解得1<m<3.二、填空题5．已知函数y ＝(m2＋4m －5)x2＋4(1－m)x ＋3对任意实数x ，函数值恒大于零，则实数m 的取值范围是__________．[答案] 1≤m<19[解析] ①当m2＋4m －5＝0时，m ＝－5或m ＝1，若m ＝－5，则函数化为y ＝24x ＋3.对任意实数x 不可能恒大于0.若m ＝1，则y ＝3＞0恒成立．②当m2＋4m －5≠0时，据题意应有，⎩⎪⎨⎪⎧ m2＋4m －5＞0161－m 2－12m2＋4m －5＜0 ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－5或m ＞11＜m ＜19，∴1＜m ＜19. 综上可知，1≤m ＜19.6．不等式[(a －1)x ＋1](x －1)＜0的解集为{x|x ＜1或x ＞2}，则a ＝________.[答案] 12[解析] 由题意x ＝2是方程(a －1)x ＋1＝0的根，且a －1＜0，∴a ＝12.三、解答题7．解关于x 的不等式：x2＋2x －3－x2＋x ＋6<0. [解析] 原不等式⇔x ＋3x －1x ＋2x －3>0⇔(x ＋3)(x ＋2)(x －1)(x －3)>0. 令(x ＋3)(x ＋2)(x －1)(x －3)＝0，则有x1＝－3，x2＝－2，x3＝1，x4＝3.如图．由图可知，原不等式的解集为{x|x<－3或－2<x<1或x>3}．8．当a 为何值时，不等式(a2－1)x2＋(a －1)x －1<0的解集是R?[解析] 由a2－1＝0，得a ＝±1.当a ＝1时，原不等式化为－1<0恒成立，∴当a ＝1时，满足题意．当a ＝－1时，原不等式化为－2x －1<0，∴x>－12，∴当a ＝－1时，不满足题意，故a≠－1.当a≠±1时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a2－1<0Δ＝a －12＋4a2－1<0，解得－35<a<1.综上可知，实数a 的取值范围是－35<a≤1.。
2019年高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法(第2课时)一元二次不等式的应用(习题课)
第2课时一元二次不等式的应用（习题课）[A 基础达标]1．已知集合A＝错误!，B＝{0，1,2，3｝,则A∩B＝（)A．｛1,2} B．{0,1，2｝C．｛1｝D．｛1，2，3}解析：选A。
由A中不等式变形得：x（x－2)≤0且x≠0,解得0<x≤2，即A＝(0,2］．因为B＝{0,1,2，3},所以A∩B＝{1,2｝．2．不等式错误!≥2的解集为( )A．[－1，＋∞)B．［－1,0）C．（－∞,－1］D．（－∞,－1]∪(0,＋∞)解析:选B.不等式错误!≥2，即错误!－2≥0，即错误!≥0，所以错误!≤0，等价于x(x＋1）≤0且x≠0，所以－1≤x〈0。
3．若产品的总成本y(万元)与产量x（台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x－0。
1x2(0<x<240)，每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是（) A．100台B．120台C．150台D．180台解析：选C 。
y －25x ＝－0.1x 2－5x ＋3 000≤0，即x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．4．(2019·临川一中月考）不等式x 2＋ax ＋4〈0的解集不是空集,则实数a 的取值范围是( )A ．（－∞,－4)∪(4，＋∞)B ．（－4，4)C ．（－∞，－4］∪［4，＋∞)D ．[－4，4]解析：选A.不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，即不等式x 2＋ax ＋4〈0有解，所以Δ＝a 2－4×1×4〉0，解得a 〉4或a <－4.5．关于x 的不等式ax －b 〉0的解集为(－∞，1），则不等式x －2ax －b〉0的解集为( )A ．（－1,2）B ．（－∞，1）∪(1,2)C ．(1，2）D ．（－∞，－1)∪(－1，2）解析：选C.因为关于x 的不等式ax －b >0的解集为(－∞，1）所以a <0，且b a＝1。
高中数学第三章不等式3.2.2一元二次不等式及其解法习题课学案新人教A版必修5
第2课时一元二次不等式及其解法习题课学习目标1.会利用一元二次不等式的解法解分式不等式.(逻辑推理、数学运算)2.掌握含参数的一元二次不等式的解法.(逻辑推理、数学运算)3.会解决一元二次不等式恒成立问题.(逻辑推理、数学运算)【关键能力·合作学习】类型一分式不等式的简单应用(逻辑推理、数学运算)1.不等式≥-1的解集为(A. B.C. D.【解析】选B.根据题意≥-1⇒≥0⇒(3x-2)(x-3)≥0,且x-3≠0,解得x≤或x>3,即原不等式的解集为.2.不等式>0的解集是.【解析】不等式>0等价于(x-2)(x+4)<0.解得-4<x<2.故解集为{x|-4<x<2}.答案:{x|-4<x<2}3.不等式≥5的解集是.【解析】原不等式⇔≥⇔≤0⇔解得0<x≤.答案:利用一元二次不等式解分式不等式(1)变形:移项使右侧为0,左侧通分成分式,x的系数为正;(2)等价转化:①>0⇔f(x)g(x)>0;<0⇔f(x)g(x)<0;②≥0⇔≤0⇔【补偿训练】1.不等式≤0的解集是(A.0<x<3B.(-∞,1]∪(3,+∞)C.[1,3)D.[1,3]【解析】选C.不等式≤0,等价于,解得1≤x<3,所以不等式的解集是[1,3).2.不等式≥1的解集是(A.[2,3]B.(2,3]C.(-∞,2)∪[3,+∞)D.(-∞,2]∪[3,+∞)【解析】选B.根据题意,≥1⇒≥0⇒≥0⇒(x-3)(x-2)≤0且x≠2,解得:2<x≤3, 即不等式的解集为(2,3].3.若关于x 的不等式>0的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则实数a=.【解析】>0⇔(x+1)(x-a)>0⇔(x+1)(x-4)>0,所以a=4.答案:4类型二含参数的一元二次不等式的解法(逻辑推理、数学运算)【典例】解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.四步内容理解题意条件: ax2-(a+1)x+1<0. 结论:解不等式.思路探求①对于二次项的系数a是否分a=0,a<0,a>0三类进行讨论?②当a≠0时,是否还要比较两根的大小?书写表达当a=0时,原不等式可化为x>1.当a≠0时,原不等式可化为(ax-1)(x-1)<0. 当a<0时,不等式可化为(x-1)>0, 因为<1,所以x<或x>1.当a>0时,原不等式可化为(x-1)<0. 若<1,即a>1,则<x<1;若=1,即a=1,则x∈⌀;若>1,即0<a<1,则1<x<.综上所述,当a<0时,原不等式的解集为;当a=0时,原不等式的解集为{x|x>1};当0<a<1时,原不等式的解集为;当a=1时,原不等式的解集为⌀;当a>1时,原不等式的解集为题后本题关键是找准讨论的切入点反思对于含参数的一元二次不等式常常要分情况讨论,分类讨论的标准有:(1)二次项系数(若二次项系数中含有字母);(2)判别式Δ;(3)两根x1,x2的大小关系.在解题时,要根据题目合理选择.解下列关于x的不等式.(1)x2-(a+2)x+2a>0;(2)x2+2x+a>0.【解析】(1)x2-(a+2)x+2a>0可化为(x-2)(x-a)>0.当a=2时,原不等式化为(x-2)2>0,得x≠2.当a>2时,不等式的解集为{x|x>a或x<2}.当a<2时,不等式的解集为{x|x<a或x>2}.综上所述,当a=2时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠2},当a>2时,原不等式的解集为{x|x<2或x>a},当a<2时,原不等式的解集为{x|x<a或x>2}. (2)因为x2+2x+a>0中的Δ=4-4a.当Δ=0,即a=1时,原不等式可化为(x+1)2>0,得x≠-1.当Δ=4-4a<0,即a>1时,x2+2x+a>0恒成立,原不等式的解集为R.当Δ=4-4a>0,即a<1时,因为x2+2x+a=0的两根x1=-1+,x2=-1-,所以原不等式的解集为{x|x>-1+或x<-1-}.综上所述,当a=1时,原不等式的解集为(-∞,-1)∪(-1,+∞),当a>1时,原不等式的解集为R,当a<1时,原不等式的解集为(-∞,-1-)∪(-1+,+∞). 【拓展延伸】解含参数的一元二次不等式的一般步骤注:对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并.【拓展训练】解关于x的不等式ax2-x-≥0(a∈R).【解析】当a=0时,-x-≥0,解得x≤-;当a≠0时,Δ=(-1)2-4a×=1+a;当a<-1时,Δ<0,不等式的解集为⌀;当a=-1时,Δ=0,不等式的解集为; 当-1<a<0时,Δ>0,不等式的解集为;当a>0时,Δ>0,不等式的解集为.综上所述,当a<-1时,不等式的解集为⌀;当a=-1时,不等式的解集为;当-1<a<0时,不等式的解集为;当a=0时,不等式的解集为;当a>0时,不等式的解集为.【补偿训练】1.解关于x的不等式 x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R).【解析】原不等式可化为(x-a)(x-a2)>0.所以当a<0时,a<a2,解集为{x|x<a或x>a2};当a=0时,a2=a,解集为{x|x≠0};当0<a<1时,a2<a,解集为{x|x<a2或x>a};当a=1时,a2=a,解集为{x|x≠1};当a>1时,a<a2,解集为{x|x<a或x>a2}.综上所述,当a<0或a>1时,解集为{x|x<a或x>a2};当0<a<1时,解集为{x|x<a2或x>a};当a=0时,解集为{x|x≠0};当a=1时,解集为{x|x≠1}.2.解关于x的不等式:(a+1)x2-(2a+3)x+2<0.【解析】(1)当a=-1时,原不等式变为-x+2<0,即x>2;(2)当a>-1时原不等式可转化为(x-2)<0,若-1<a<-,则>2,所以2<x<; 若a=-,则=2,所以x∈⌀;若a>-,则<2,所以<x<2;(3)当a<-1时原不等式可转化为(x-2)>0;因为a<-1,所以<2,所以x<或x>2.综上可知原不等式的解集为当a>-时,解集为;当a=-时,解集为⌀;当-1<a<-时,解集为.当a=-1时,解集为{x|x>2}.当a<-1时,解集为.类型三不等式恒成立问题(逻辑推理、数学运算)角度1 在实数集R上的恒成立问题【典例】若不等式ax2-x+a>0对一切实数x都成立,则实数a的取值范围为( )A.a<-或a>B.a>或a<0C.a>D.-<a<【思路导引】转化为不等式的解集为R,列方程组求范围.【解析】选C.不等式ax2-x+a>0对一切实数x都成立,即不等式的解集为R,a=0时不满足;则,即,解得a>,所以实数a的取值范围是a>.将本例中的条件改为“ax2-x+a<0”,其他条件不变,试求实数a的范围.【解析】不等式ax2-x+a<0对一切实数x都成立,即不等式的解集为R,则即解得a<-.角度2 在定区间上的恒成立问题【典例】1.当x∈[1,4]时,不等式x2-4x-2-a≥0恒成立,则实数a的取值范围是( A.(-∞,-2] B.[-2,+∞)C.[-6,+∞)D.(-∞,-6]【思路导引】利用不等式对应函数的最值解题.【解析】选D.令f(x)=x2-4x-2-a,x∈[1,4],f(x)=x2-4x-2-a=(x-2)2-6-a,所以f(x)min=-6-a≥0,所以a≤-6.2.已知不等式x2+2(a-2)x-4<0在[-3,1]上恒成立.则实数a的取值范围是.【思路导引】转化为相应的函数图象解题. 【解析】令f(x)=x2+2(a-2)x-4,若对任意x∈[-3,1]时,f(x)<0恒成立,f(x)的图象如图所示.由图象可知,此时a应该满足即解得<a<.答案:<a<处理恒成立问题的方法(1)转化为一元二次不等式的解集为Rax2+bx+c>0⇔ax2+bx+c<0⇔(2)利用函数的图象令f(x)=ax2+bx+c,区间D=[m,n],①a>0,ax2+bx+c<0在D上恒成立⇔②a<0,ax2+bx+c>0在D上恒成立⇔1.若函数f(x)=ax2+ax-1在R上满足f(x)<0恒成立,则实数a的取值范围是(A.a≤0B.a<-4C.-4<a<0D.-4<a≤0【解析】选D.当a=0时f(x)=-1在R上满足f(x)<0恒成立;当a≠0时,因为f(x)在R上满足f(x)<0恒成立,所以解得-4<a<0.综上所述,实数a的取值范围是-4<a≤0.2.已知f(x)=x2+ax+3-a,若x∈[-2,2],f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.【解析】设函数f(x)=x2+ax+3-a在x∈[-2,2]时的最小值为g(a),则(1)当对称轴x=-<-2,即a>4时,g(a)=f(-2)=7-3a≥0,解得a≤,与a>4矛盾,不符合题意.(2)当-∈[-2,2],即-4≤a≤4时,g(a)=3-a-≥0,解得-6≤a≤2,此时-4≤a≤2.(3)当->2,即a<-4时,g(a)=f(2)=7+a≥0,解得a≥-7,此时-7≤a<-4.综上,a的取值范围为-7≤a≤2.【拓展延伸】恒成立问题的解题技巧——分离参数法分离参数时,经常要用到以下简单结论(1)若f(x)有最大值f(x)max,则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max;(2)若f(x)有最小值f(x)min,则a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.【拓展训练】设x2-2x+a-8≤0对于任意x∈(1,3)恒成立,则a的取值范围是.【解析】原不等式x2-2x+a-8≤0转化为a≤-x2+2x+8对任意x∈(1,3)恒成立,设f(x)=-x2+2x+8,易知f(x)在[1,3]上的最小值为f(3)=5.所以a∈(-∞,5].答案: (-∞,5]【补偿训练】设函数f(x)=mx2-mx-1.(1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围;(2)对于任意x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围. 【解析】(1)要使mx2-mx-1<0恒成立,若m=0,显然-1<0,满足题意;若m≠0,⇒-4<m<0.所以-4<m≤0.(2)方法一:要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立.就要使m+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.令g(x)=m+m-6,x∈[1,3].当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,所以g(x)max=g(3)=7m-6<0,所以0<m<;当m=0时-6<0恒成立;当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,所以g(x)max=g(1)=m-6<0,得m<6,所以m<0.综上所述:m<.方法二:当x∈[1,3]时,f(x)<-m+5恒成立,即当x∈[1,3]时,m(x2-x+1)-6<0恒成立.因为x2-x+1=+>0,又m(x2-x+1)-6<0,所以m<.因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.【课堂检测·素养达标】1.不等式>0的解集是(A.(-3,2)B.(2,+∞)C.(-∞,-3)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(3,+∞)【解析】选C.不等式>0可化为(x-2)(x+3)>0得,x>2或x<-3.2.对任意的x∈R,x2-ax+1>0恒成立,则实数a的取值范围是(A.(-2,2)B.(-∞,2)∪(2,+∞)C.[-2,2]D.(-∞,2]∪[2,+∞)【解析】选A.由题意可知Δ=a2-4<0,解得-2<a<2.3.不等式≤-2的解集为.【解析】原不等式可化为≤0,故(4x+5)(x+3)≤0且x≠-3,故解集为.答案:4.若不等式-x2+2x-a≤0恒成立,则实数a的取值范围是.【解析】由题意得Δ=4-4a≤0,所以a≥1.答案:a≥15.解下列不等式:(1)≥0;(2)>1.【解析】(1)原不等式可化为解得所以x<-或x≥,所以原不等式的解集为.(2)方法一:原不等式可化为或解得或所以-3<x<-,所以原不等式的解集为.方法二:原不等式可化为>0,化简得>0,即<0,所以(2x+1)(x+3)<0解得-3<x<-.所以原不等式的解集为.【新情境·新思维】若不等式x2+x+m2<0的解集不是空集,则实数m的取值范围为(A. B.C. D.【解析】选B.不等式x2+x+m2<0的解集不是空集, 所以Δ=1-4m2>0,-<m<,所以实数m的取值范围是.。
高中数学 第三章 不等式 3.2.2 一元二次不等式的解法(第2课时)练习(含解析)新人教A版必修5
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3.2 《一元二次不等式的解法》（第2课时）一、选择题：1．不等式x2x＋1＜0的解集为( )A．(－1，0）∪（0，＋∞）B．（－∞。
－1)∪（0，1)C．(－1，0) D．(－∞,－1)【答案】B【解析】因为错误!＜0，所以x＋1＜0，即x＜－1.2．设m＋n＞0,则关于x的不等式（m－x)（n＋x)＞0的解是( )A．x＜－n或x＞m B．－n＜x＜mC．x＜－m或x＞n D．－m＜x＜n【答案】B【解析】方程（m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，因为m＋n＞0，所以m＞－n，结合函数y ＝（m－x)(n＋x）的图象，得原不等式的解是－n＜x＜m,故选B。
3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是错误!则不等式x2－bx－a＜0的解集是（）A．(2,3）B．(－∞，2）∪(3，＋∞)C.错误!D。
错误!∪错误!【答案】A【解析】由题意知－12，－错误!是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－错误!＋错误!＝错误!，－错误!×错误!＝－错误!.解得a＝－6，b＝5, 不等式x2－bx－a＜0即为x2－5x＋6＜0，解集为(2，3），4。
(整理版)高中学习资料§32 一元二次不等式及其解法(第二课时)
§ 3.2 一元二次不等式及其解法 （第二课时）(检测时间：90分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2－5ax ＋4a 2≤0}，A ∩B ＝{x |3<x ≤4}，则a 的值为 ( )A ．1B ．4C ．1或4D ．32．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两个正实根，则m 的取值范围是( ) A ．0≤m <1B ．0<m <1C ．0<m ≤1D ．0≤m ≤13．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x －2x ≤0，则A ∩B 等于 ( ) A ．{x |－1≤x <0}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1} 4．函数y ＝ x 2＋mx ＋m 2对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是 ( )A ．m >2B ．m <2C ．m <0或m >2D ．0≤m ≤25．已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．－2≤a <65 B ．－2≤a ≤56C ．－2≤a <1D ．－2≤a ≤16．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1 (i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是 ( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 3D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 3 7．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是 ( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <1或x >28．若方程7x 2－(k ＋13)x ＋k 2－k －2＝0有两个不等实根x 1，x 2，且0<x 1<1<x 2<2，则实数k 的取值范围是 ( )A ．－2＜k ＜－1B ．3＜k ＜4C ．－2＜k ＜4D ．－2＜k ＜－1或3＜k ＜4二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)9．若不等式|3x－b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为____．10．若关于x的不等式x－ax＋1>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝_____11．不等式x＋1x≤3的解集为_____________________________．12．设集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x ∈R}，则集合A∩Z中元素的个数是________．三、解答题(本大题共4个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)13．（本小题满分8分）若关于x的不等式x2－3kx－x＋2k2＋k<0的解集中只有一个整数1，求k的取值范围．14．（本小题满分8分）已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．15．（本小题满分8分）某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值；(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值．16．（本小题满分10分）解关于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0.四、探究与拓展（本题满分14分）17．已知不等式x2＋px＋1>2x＋p.(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的取值范围；(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的取值范围．答案1．A 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．B 8．D9．(5,7) 10．4 11．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <0或x ≥12 12．6 13．解：不等式化为x 2－(3k ＋1)x ＋k (2k ＋1)<0，由(2k ＋1)－k >0得k >－1.∴当k >－1时， k <x <2k ＋1，当k ＝－1时，不等式无解．当k <－1时，2k ＋1<x <k .∵不等式的解集中含有整数1，∴不等式的解为k <x <2k ＋1，∵不等式的解集中的整数只有1，∴⎩⎨⎧0≤k <11<2k ＋1≤2，∴0<k ≤12， 又k >－1，∴k 的取值范围是(0，12]． 14．－56<m <－1215．(1)2≤P ≤6 (2)P ＝2 (3)P ＝416．解：(1)a ＝0时，原不等式化为x －2＜0，∴x ＜2.∴原不等式解集为{x | x ＜2}．(2)当a ＜0时，原不等式化为(x －2)·(x －2a )＜0.方程(x －2)(x －2a )＝0的两根为2，2a， 又2＞2a ，∴原不等式解集为{x |2a＜x ＜2}． (3)当a ＞0时，原不等式化为(x －2)·(x －2a )＞0.方程(x －2)(x －2a )＝0的两根为2，2a. 当0＜a ＜1时2a ＞2，原不等式的解集为{x |x ＞2a或x ＜2}． 当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，解集为{x ∈R |x ≠2}．当a ＞1时，2＞2a ＞0，原不等式解集为{x |x ＞2或x ＜2a}． 综上所述，不等式解集为：a ＝0时，{x ∈R |x ＜2}；a ＝1时，{x ∈R |x ≠2}；a ＜0时，{x |2a＜x ＜2}；0＜a ＜1时，{x | x ＞2a 或x ＜2}；a ＞1时，{x |x ＞2或x ＜2a}． 17．(1)x >3或x <－1 (2)p >－1。
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第二课时一元二次不等式及其解法习题课1.一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-1<x<},则ab的值为( D )(A)-5 (B)5 (C)-6 (D)6解析:由已知得-1,是一元二次方程ax2+bx+1=0的两根,且a<0,由根与系数的关系得解得所以ab=6.故选D.2.已知不等式ax2-5x+b>0的解集为{x|x<-或x>},则不等式bx2-5x+a>0的解集为( C )(A){x|-<x<} (B){x|x<-或x>}(C){x|-3<x<2} (D){x|x<-3或x>2}解析:因为ax2-5x+b>0的解集为{x|x<-或x>},所以ax2-5x+b=0的解是x1=-,x2=,由根与系数的关系,得x1+x2=-+=,x1x2=-×=,解得a=30,b=-5.则不等式bx2-5x+a>0⇔-5x2-5x+30>0,即x2+x-6<0,解得-3<x<2.故选C.3.已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是[-,-],则不等式x2-bx-a<0的解集是( A )(A)(2,3)(B)(-∞,2)∪(3,+∞)(C)(,)(D)(-∞,)∪(,+∞)解析:依题意知a<0且方程ax2-bx-1=0的两根是-和-.所以解得则不等式x2-bx-a<0即为x2-5x+6<0,故其解集为{x|2<x<3}.故选A.4.不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f(-x)的大致图象为( C )解析:由题意得解得a=-1,c=-2.则函数y=f(-x)=-x2+x+2,故选C.5.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是( C )(A)(-∞,-1)(B)(2,+∞)(C)(-∞,-1)∪(2,+∞)(D)(-∞,-2)∪(1,+∞)解析:由f(1-x)=f(1+x),知f(x)的对称轴为x==1,故a=2.又f(x)开口向下,所以当x∈[-1,1]时,f(x)为增函数,f(x)min= f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,f(x)>0对x∈[-1,1]恒成立,即f(x)min=b2-b-2>0恒成立,解得b<-1或b>2.故选C.6.一元二次方程x2+(a2+1)x+a-2=0,有一个根比1大,另一个根比-1小,则a的取值范围是( C )(A){a|-3<a<1} (B){a|-2<a<0}(C){a|-1<a<0} (D){a|0<a<2}解析:令f(x)=x2+(a2+1)x+a-2,则f(1)<0且f(-1)<0,即解得-1<a<0.故选C.7.不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为( A )(A)[-1,4] (B)(-∞,-2]∪[5,+∞)(C)(-∞,-1]∪[4,+∞) (D)[-2,5]解析:因为x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以要使x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.故选A.8.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y= 3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( C )(A)100台 (B)120台 (C)150台 (D)180台解析:由3 000+20x-0.1x2≤25x得x2+50x-30 000≥0,解得x≥150或x≤-200(舍去).故选C.9.若关于x的不等式>0的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则实数a= .解析:注意到>0等价于(x-a)(x+1)>0,而解为x<-1或x>4,从而a=4.答案:410.不等式(x+2)(x2-x-12)>0的解集为 .解析:法一原不等式等价于或即或解得x>4或-3<x<-2.故原不等式的解集为{x|x>4或-3<x<-2}.法二原不等式可化为(x+3)(x+2)(x-4)>0.方程(x+3)(x+2)(x-4)=0的实数根为x1=-3,x2=-2,x3=4.将-3,-2,4标在数轴上,然后用一条光滑的曲线从x轴右端的上方起,依次穿过这些点,则不等式(x+3)(x+2)(x-4)>0的解即为曲线在x轴上方对应的x值,如图.故原不等式的解集为{x|-3<x<-2或x>4}.答案:(-3,-2)∪(4,+∞)11.若不等式x2-kx+k-1>0对x∈(1,2)恒成立,则实数k的取值范围是.解析:设f(x)=x2-kx+k-1,当x∈(1,2)时,不等式x2-kx+k-1>0恒成立,则①或②.解不等式组①得,k≤2;解不等式组②,无解.故k的取值范围是k≤2.答案:(-∞,2]12.设函数f(x)=mx2-mx-1,对于x∈[1,3],f(x)<-m+5有解,求m的取值范围.解:要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上有解,即m(x2-x+1)<6在x∈[1,3]上有解.于是问题转化为m<()max,当x∈[1,3]时,(x2-x+1)min=1,()max=6,所以只需m<6即可.综上,m的取值范围是(-∞,6).13.已知一元二次不等式x2+px+q<0的解集为,求不等式qx2+px+1>0的解集.解:因为x2+px+q<0的解集为,所以x1=-与x2=是方程x2+px+q=0的两个实数根.由根与系数的关系得解得所以不等式qx2+px+1>0即为-x2+x+1>0,整理得x2-x-6<0,解得-2<x<3.即不等式qx2+px+1>0的解集为{x|-2<x<3}.14.已知函数f(x)=kx2+kx+2(k∈R).(1)若k=-1,求不等式f(x)≤0的解集;(2)若不等式f(x)>0的解集为R,求实数k的取值范围.解:(1)若k=-1,则f(x)=-x2-x+2≤0,x2+x-2≥0,即x≤-2或x≥1, 所以不等式的解集为(-∞,-2]∪[1,+∞).(2)当k=0时,f(x)=2>0,显然恒成立,解集为R;当k≠0时,要使f(x)=kx2+kx+2>0的解集为R,则k>0且Δ=k2-8k<0,即0<k<8.综上所述,k∈[0,8).15.若实数α,β为方程x2-2mx+m+6=0的两根,则(α-1)2+(β-1)2的最小值为( A )(A)8 (B)14 (C)-14 (D)-解析:因为Δ=(-2m)2-4(m+6)≥0,所以m2-m-6≥0,所以m≥3或m≤-2.(α-1)2+(β-1)2=α2+β2-2(α+β)+2=(α+β)2-2αβ-2(α+β)+2=(2m)2-2(m+6)-2(2m)+2=4m2-6m-10=4(m-)2-,因为m≥3或m≤-2,所以当m=3时,(α-1)2+(β-1)2取最小值8.选A.16.对一切实数x,不等式x2+a|x|+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是( C )(A)(-∞,-2] (B)[-2,2](C)[-2,+∞) (D)[0,+∞)解析:令t=|x|,则t≥0,所以t2+at+1≥0对t≥0恒成立,当a≥0时,显然不等式恒成立.当a<0时,y=t2+at+1在[0,+∞)上的最小值为1-,由题意得1-≥0,解得-2≤a≤2,所以-2≤a<0,综上a≥-2,故选C.17.已知关于x的不等式ax+b>0的解集为(-∞,-),则关于x的不等式bx2-a>0的解集为.解析:因为ax+b>0的解集为(-∞,-),所以-a+b=0且a<0;故a=2b<0,故bx2-a>0可化为x2-2<0,故-<x<.答案:(-,)18.已知当-1≤a≤1时,x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则实数x的取值范围是.解析:设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),由于x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,所以g(a)>0恒成立,因此整理得解得x<1或x>3.答案:(-∞,1)∪(3,+∞)19.某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降价到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时.(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式;(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价)解:(1)设下调后的电价为x元/千瓦时,依题意知,用电量增至+a,电力部门的收益为y=(+a)(x-0.3)(0.55≤x≤0.75).(2)依题意,有整理,得解此不等式,得0.60≤x≤0.75.所以当电价最低定为0.60元/千瓦时时,仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.。