四川省攀枝花市第十五中学校2021届高三上学期第13次周考数学(理)试卷含答案

攀枝花市第十五中学校高2021届第13次周考试题
数学（理工类）
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合{|1,},A x x x R =≤∈{
}
2
|,B y y x x R ==∈，则A
B =（ ）
A ．{}|11x x -≤≤
B ．{}|0x x ≥
C ．{}|01x x ≤≤
D ．∅
2．已知复数2
(1)(1)
i z i i +=-，则下列结论正确的是（ ）
A ．z 的虚部为i
B ．2z =
C ．z 的共轭复数1z i =-+
D ．2z 为纯虚数 3．重庆奉节县柑橘栽培始于汉代，历史悠久.据统计，奉节脐橙的果实横径(单位：mm )服从正态分布(
)2
80,5
N ，则果实横径在[)75,90的概率为（ ）附：若()2
~,X N μσ，
则()0.6827P X μσμσ-<<+=；()220.9545P X μσμσ-<<+=. A ．0.6827
B ．0.8413
C ．0.8186
D ．0.9545
4．函数ln y x x =在x e =处的切线方程是（ ）
A ．2y x e =-
B ．y x e =-
C ．23y x e =-
D ．y x =
5．如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域.在正三角形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为
3
4
，则阴影区域的面积为（ ） A ．3 B ．23 C ．3
3 D ．43
6．3
4
(2)(2)x y x y -+的展开式中6
xy 的系数为（ ） A ．32-
B ．32
C ．64
D ．64-
7．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为
2π且()f x 的图象关于点,012π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称，下列正确的是( ） A ．要得到函数()f x 的图象，只需将2cos 2y x =
的图象向右平移6
π
个单位
B ．函数()f x 的图象关于直线512x π=
对称 C ．当,66x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为2- D ．函数()f x 在,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增 8．若直线220ax by +-=()0,0a b >>过函数1()21f x x =+-图象的对称中心，则41
a b
+最小值为（ ） A ．4
B ．6
C ．8
D ．9
9．在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足12BE BC =
，1
3
DF DC =．若λ=+BD AE μAF ，则实数λ＋μ的值为（ ）
A ．1
5
-
B ．
15
C ．75
-
D ．75
10．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58 A ．34
B ．35
C ．36
D ．37
11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线11A C 上，
F ，M 分别是AD ，CD 的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A ．BM ⊥平面1CC F
B ．三棱锥B CEF -的体积为定值
C ．11//FM AC
D ．存在点
E ，使得平面//BE
F 平面11CC D D
12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()()4f x x x =-，则方程
()()2f x f x =-的所有解的和为（ ）
A ．43+
B ．1
C ．3
D ．5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．袋中有5个大小完全相同的球，其中2个黑球，3个白球.不放回地连续取两次，则已
知在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为____.
14．已知实数x ，y 满足约束条件30
11x y x y +-≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
，则y z x =的最小值为______.
15．在数列{}n a 中，112a =，1n n a a n +=+，则
n
a n
的最小值为_________. 16．已知函数()2lg ,02,0
x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，若函数[]2
2()3()1y f x mf x =++有6个不同的
零点，则实数m 的范围是_______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为32,3
1
tan tan ,,,==
a C B c
b a ，4
1
sin sin =
C B . (1)求角C B A ,,的大小；(2)求ABC ∆的周长和面积．
18．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC BC ===，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =，设点M 在线段EF 上运动.
（1）证明：BC AM ⊥；（2）设平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ，求θ的最小值.
19．垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据)202,1)(,( =i y x i i ，其中i x 和i y 分别表示第
i 个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨）
，并计算得20
1
80i i x ==∑，20
1
4000i
i y
==∑，()20
2
1
80i i x x =-=∑，()20
2
18000i i y y =-=∑，()()20
1
700i i i x x y y =--=∑.（1）
请用相关系数说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合；（2）求y 关于
x 的线性回归方程；（3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，其中甲款机器每台售价100
万元，乙款机器每台售价80万元，下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限统计表：
根据以往经验可知，某县城每年可获得政府支持
的垃圾处理费用为50万元，若仅考虑购买机器的
成本和每台机器的使用年限（使用年限均为整年），以频率估计概率，该县城选择购买一台哪款垃圾处理机器更划算？
参考公式：相关系数()()
n
i
i
x x y y r --=
∑()(),1,2,3,
,i i x y i n =，其回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
()()
()
1
2
1
ˆn
i
i
i n
i i x x y y b
x x ==--=-∑∑，ˆˆa
y bx =-.
20．平面上两定点12(1,0),(1,0)F F -，动点P 满122PF PF a +=（a 为常数）
． （Ⅰ）说明动点P 的轨迹（不需要求出轨迹方程）；
（Ⅱ）当2a =时，动点P 的轨迹为曲线C ，过1F 的直线l 与C 交于,A B 两点，已知点
(4,0)M -，证明：11F MA F MB ∠=∠．
21．已知函数()ln(1)x
f x e x ax =++-（a R ∈）．（1）()
g x 为()f x 的导函数，讨论()
g x 的零点个数；（2）当0x ≥时，不等式2
1(1)ln(1)12
x
e x x ax ax +++≥
++恒成立，求实数a 的取值范围．
选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题记分。

22．在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为1,2,2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）
，以原点O 为极
点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2
212
3sin ρθ
=
+.
（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知()1,0F ，曲线1C 与2C 的交点为,A B ，求AF BF -的值.
23．已知0a >，0b >，0c >，函数()f x x a x b c =++-+的最小值为4． （1）求a b c ++的值；（2）求222
1149
a b c ++的最小值．
第13次周考理科参考答案
1~5：CDCAC 6~10:CADBD 11~12:DC 13．
34 14．12 15．225
16．1m <-
17．解：(1)若选择①：因为31tan tan =
C B ，41
sin sin =C B ，所以4
3cos cos =C B 所
以21sin sin cos cos )cos(=-=+C B C B C B ，因为),0(π∈+C B ，所以3
π
=+C B ，
32π=A 又因为1sin sin cos cos )cos(=+=-C B C B C B ，)3
,3(π
π-∈-C B ，所以0=-C B ，6
π
=
=C B
(2)由正弦定理知：
C c B b A a sin sin sin =
= 因为3
2π=A ，6π
==C B ，32=a ，所以2==c b 所以ABC ∆的周长为324+ 所以ABC ∆的面积3sin 2
1
==∆A bc S ABC
18．（1）证明：在梯形ABCD 中，因为//AB CD ，1===AD DC CB ，60ABC ∠=︒， 所以2AB =，所以2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=，所以222AB AC BC =+，所以BC AC ⊥.因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD AC =， 因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE .所以BC ⊥AM ；
（2）解：由（1）可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令()
03FM λλ=≤≤，则()0,0,0C ，(
)
3,0,0A
，()0,1,0B ，
(),0,1M λ.∴()
3,1,0AB =-，(),1,1BM λ=-.设(),,n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由00n AB n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得30,0,x y x y z λ⎧-+=⎪⎨-+=⎪
⎩，取1x =，则()
1,3,3n λ=-，
∵()1,0,0m =是平面FCB 的一个法向量
∴
(
)
()
2
2
||cos 1331
34
n m n m
θλλ⋅=
==
++
-⨯-+∵03λ≤≤，∴当3
λ=时，cos θ有最大值
1
2，θ的最小值为3
π.
19．解（1）由题意知相关系数()()
20
7
0.8758
i
i
x x y y r --=
=
==∑，
因为y 与x 的相关系数接近1，所以y 与x 之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合.
（2）由题意可得，()()
()
20
1
20
2
1
700
ˆ8.7580
i
i
i i i x x y y b
x x ==--==
=-∑∑， 400080ˆˆ8.752008.7541652020a
y bx =-=-⨯=-⨯=， 所以ˆ8.75165y
x =+. （3）以频率估计概率，购买一台甲款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用X （单位：万元）的分布列为：
()500.100.4500.31000.230E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）.
购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用Y （单位：万元）的分布列为：
()300.3200.4700.21200.125E Y =-⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）.
因为()()E X E Y >，所以该县城选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算.
20．（Ⅰ）由题意：当1a <时，动点P 不表示任何图形； 当1a =时，动点P 的轨迹是线段； 当1a >时，动点P 的轨迹是椭圆．
（Ⅱ）当2a =时，动点P 的轨迹方程为：22
143
x y +=．当l 与x 轴重合时，
110F MA F MB ∠=∠=当l 与x 轴垂直时，直线MF 恰好平分AMB ，则
11F MA F MB ∠=∠．
当l 与x 轴不重合也不垂直时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =+≠代入椭圆方程可得
()
2
2
2
2
3484120k x k x k +++-=设()()1122,,,A x y B x y ，则2
122
834k x x k
-+=+，2
122
41234k x x k -=+直线MA ，MB 的斜率之和为12
1
1244AM B y y
k k x x +=+++ ()()()()()()122112141444k x x k x x x x +++++=
++()()()
12121225844k x x x x x x +++⎡⎤⎣
⎦=++
因为2222412825803434k k k k ⎛⎫--⋅++= ⎪++⎝⎭
所以0MA MB K k +=，故直线MA ，MB 的倾斜角互补
即FMA FMB ∠=∠． 21．（1）()()1
'1
x
g x f x e a x ==+
-+，1x >-， ()()
2
1
'1x g x e x =-
+，()'00g =，且当()1,0x ∈-时，1x e <，
1
11x
>+，所以()'0g x <； 当()0,x ∈+∞时，1x e >，1
011x
<
<+，所以()'0g x >．于是()g x 在()1,0-递减，在()0,+∞递增，故()()min 02g x g a ==-，所以①2a <-时，因为
()()min 020g x g a ==->，所以()g x 无零点；②2a =时，()()min 020g x g a ==-=，()g x 有唯一零点0x =；③2a >时，()()min 020g x g a ==-<，
取()1111,0x a =-∈-，2ln 0x a =>，则()11
10a g x e -=>，()2101ln g x a
=
>+， 于是()g x 在()1,0x 和()20,x 内各有一个零点，从而()g x 有两个零点． （2）令()()()2
11ln 112
x
h x e x x ax ax =+++-
--，()00h =， ()()'ln 11x h x e x ax a =++-+-，()'02h a =-，()()1
''1
x h x g x e a x ==+
-+． ①当2a ≤时，由（1）知，()''0h x >，所以()'h x 在()0,+∞上递增，知
()()''020h x h a ≥=-≥，则()g x 在[)0,+∞上递增，所以()()00h x h ≥=，符合题意；
②当2a >时，据（1）知()g x 在[
)0,+∞上递增且存在零点0x ，当()00,x x ∈时
()()''0h x g x =<，所以()'h x 在()00,x 上递减，又()'020h a =-<，所以()h x 在()
20,x 上递减，则()()00h x h <=，不符合题意． 综上，2a ≤．
22．（1）曲线1C
的参数方程为1,
2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），其中2t y
，代入1x =+，
可得1:33
C y x =
-曲线2C 的极坐标方程为22
123sin ρθ=+，即22
3(sin )12ρρθ+= 可得2
2
2
3312x y y ++=，可得22
2:143
x y C +=.
（2）设,A B 对应的直线参数为12,t t ，
将1,2,2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入22143x y +=
得213360t +-=
，故12+t t =
， 当A 在x 轴上方，(
)1212=22AF BF a t a t t t ---+=--=
当A 在x
轴下方，=AF BF - 23．（1）因为()()()f x x a x b c x a x b c a b c =++-+≥+--+=++， 当且仅当a x b -≤≤时，等号成立．又0a >，0b >，所以a b a b +=+， 所以()f x 的最小值为a b c ++．又已知()f x 的最小值为4，所以4a b c ++=． （2）由（1）知4a b c ++=，由柯西不等式得
()()2
222211491231164923a b a b c c a b c ⎛⎫⎛⎫++++≥⨯+⨯+⨯=++= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
即222118497a b c ++≥．当且仅当11
32231
b a
c ==，即87a =，187b =，27c =时等号成立．
故2221142a b c ++的最小值为87
．。