辽宁省抚顺市六校2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题-含答案

2017－2018学年度下学期六校协作体高二期末考试试题
数 学（理）
试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，时间为120分钟，满分150 分。

第I 卷（60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数
2
1
i -的共轭复数是 （ ） A. 1i - B. 1i + C. 1i -- D. 1i - 2．在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩～N(85,9)，若已知()35.08580=≤<X P ，则从哈尔滨市高中教师中任选一位教师，他的培训成绩大于90的概率为 （ ） A.0.85 B.0.65 C. 0.35 D. 0.15
3．用数学归纳法证明“*∈+=++++N n n n n ,2
3213
53
”
，则当1+=k n 时，应当在k n =时对应的等式的左边加上 （ ） A. 13
+k B. ()()3
3
3
12)1(++++++k k k C. ()3
1+k D.
()()2
113
6+++k k
4．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，()()(),64,1.2=<==X P X P X D 则=P （ ） A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.3
5．设26,37,2-=-==c b a ，则,,a b c 间的大小关系是 （ ） A. a b c >> B. b a c >> C. b c a >> D. a c b >>
6．由①安梦怡是高二(1)班的学生，②安梦怡是独生子女，③高二(1)班的学生都是独生子女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为 ( )
A. ②①③
B. ③①②
C. ①②③
D. ②③① 7．已知函数()()x e f x x f ln 2+'=，则()=e f ( ) A. e - B. e C. 1- D. 1
8. 某班准备从甲、乙、丙等6人中选出4人参加某项活动，要求甲、乙、丙三人中至少有两人参加，那么不同的方法有 （ ）
A. 18种
B. 12种
C. 432种
D. 288种 9．世界杯组委会预测2018俄罗斯世界杯中,巴西队获得名次可用随机变量X 表示，X 的概率分布规律为()()
()4,3,2,1,1=+==n n n a
n X P ，其中a 为常数，则a 的值为 （ ）
A.
32 B. 54 C. 45 D.6
5 10．从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于 （ ） A.
51 B. 41 C. 3
1 D.21 11.“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本”图．下列数表的构造思路就于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一
个
数
，
则
这
个
数
是
（ ）
2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1 4033 4031 4029…………11 9 7 5 3 8064 8060………………20 16 12 8 16124……………………36 28 20
………………………
A. 201620172⨯
B. 201520182⨯
C. 201520172⨯
D. 201620182⨯
12．已知函数()⎪⎩
⎪⎨⎧≥<-=1,ln 1
,12x x x x x x f ，若关于x 的方程()[]()()02-122
=-+m x f m x f 有5个不同
的实数解，则实数m 的取值范围是 （ ） A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧311-， B.()∞+，0 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e 10， D. ⎪⎭
⎫
⎝⎛e 11-，
第Ⅱ卷（90分）
二、填空题本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

13．已知复数满足（1+2i ）=3+4i ，则
等于 .
14．从一批含有13只正品,2只次品的产品中,不放回地抽取3次,每次抽一只,设抽取次品数为
ξ,则()15+ξE =____________.
15．《中国诗词大会》节目组决定把《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有 种.（用数字作答） 16．已知函数()2
12sin f x x =-在点,44f π
π⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线为l ，则直线l 、曲线()f x 以及y 轴所围成的区域的面积为__________．
三、解答题本大题共6小题，满分70分。

解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22,23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（满分12分）已知n
x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-22 ()
*∈N n 的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比
是10∶1.
(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含2
3
x 的项． 18．（满分12分）已知函数()()()
2212--=x x x f ． （1）求()x f 的单调区间和极值；
（2）若直线b x y +=4是函数()x f y =图象的一条切线，求b 的值．
19．（满分12分）高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：
在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取6名用户 ① 求抽取的6名用户中，男女用户各多少人；
② 从这6名用户中抽取2人，求既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率. （2）把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，填写下表，问能否在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“移动支付活跃用户”与性别有关？
20．（满分12分）新能汽车的春天了！2018年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，对购置的新能汽车免征车辆购置税.某人计划于2018年5月购买一辆某品牌新能汽车，他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如下表：
之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程a t b y
ˆˆˆ+=，并预测2018年5月份当地该品牌新能汽车的销量；
（2）2018年6月12日，中央财政和地方财政将根据新能汽车的最大续航里程（新能汽车的最大续航里程是指理论上新能汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程）对购车补贴进行新一轮调整.已知某地拟购买新能汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其
中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
人，记被抽取3人中对补贴金额的心理预期值不低于3万元的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望()ξE .
参考公式及数据：①回归方程a x b y
ˆˆˆ+=，其中()()
()
∑∑∑∑====--=
---=n
i i
n
i i
i n
i i
i n
i i
x n x
y
x n y
x x x
y y x x
b 1
2
21
1
2
1
ˆ，
x b y a ˆˆ-=，②8.185
1
=∑=i i
i y t ，.
21. （满分12分）已知函数()()R a x a x x f ∈-+=,1ln . （1）已知函数()x f 只有一个零点，求a 的取值范围；
（2）若存在()+∞∈,00x ，使得()220-≥a x f 成立，求实数a 的取值范围．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分。

22．在平面直角坐标系xoy 中,已知倾斜角为α的直线l 经过点()1,2-A .以坐标原点O 为极点,
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为
3
sin 21
θ
ρρ
+=
（1） 写出曲线C 的普通方程;
（2） 若直线l 与曲线C 有两个不同的交点N M ,,求AN AM +的取值范围.
23．已知()1
x
x
=ax
f.
1-
-
+
（1）当1
a时，求不等式()1>x f的解集；
=
（2）若()1,0
x时不等式()x
∈
f>成立，求a的取值范围.
x
2017－2018学年度下学期六校协作体高二期末考试试题
数学（理）答案
一、 ADBADB CBCDBC
二、 13、5 14、 3 15、36 16、
21162
π- 三、17、由题意知，第五项系数为()4
4
2-n
C ，第三项的系数为()2
22-n
C ，则有
()()1
10
222
2
44
=
--n
n C C ，化简得n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去)． ……6分 (1) 令＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1. ……8分 (2) 通项公式T r ＋1＝()
()r r
r r
r
r
r x C x x C
22
88288
22----=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-，令
2
3
228=--r r ，得r ＝1， 故展开式中含2
3x 的项为T 2＝2
316x -. ……12分 18、（1）因为()x f '4262++-=x x 令()x f '=0，得04262=++-x x ，解得x =3
2
-
或x =1．
所以()x f 的单调递增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,32，单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛
-∞-32,，()+∞,1
极小值为27
98
32-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-
f ，极大值为()11=f ． ……6分 （2）因为()x f '4262++-=x x ，
直线b x y +=4是()x f 的切线，设切点为()()00,x f x ， 则()442602
0=++-='x x x f ，解得3
1000==x x 或， 当00=x 时，()20-=x f ，代入直线方程得2-=b ，
当310=x 时，()27170-=x f ，代入直线方程得27
53
-=b ．
所以2-=b 或27
53
-=b . .……12分
19、（1）① 男2人，女4人； .……2分
② 158
157112
62
224=-=+-=C C C P . (6)
分
（2）由表格数据可得22⨯列联表如下：
()635.6249.845
556040201540251002
2
>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=χ ，
所以在犯错误概率不超过0.01的前提下，能认为“移动支付活跃用户”与性别有关. ..……12分 20、（1）易知3554321=++++=
t ，04.15
7
.14.116.05.0=++++=y ，
55
54321222225
1
2
=++++=∑=i i
t
，
32.0355504.1358.18ˆ2
=⨯-⨯⨯-=b ，08.0332.004.1ˆ=⨯-=a 则y 关于t 的线性回归方程为08.032.0ˆ+=t y
， …5分
当6=t 时，00.2ˆ=y
，即2018年5月份当地该品牌新能汽车的销量约为2万辆. …6分
（2）根据给定的频数表可知，任意抽取1名拟购买新能汽车的消费者，对补贴金额的心理
预期值不低于3万元的概率为
53200120=，
由题意可知ξ～⎪⎭
⎫
⎝⎛53,3B ，ξ的所有可能取值为0,1,2,3 ξ的分布列为：
()1258525303
03
=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ， ()12536525312
1
13=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ ()12554525321223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ， ()12527525330
333=⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ
所以()5
=
ξE ..……12分 21、（1）()a x
x f -=
'1
，定义域为()+∞,0 ① 若0≤a 则()0>'x f ，()x f 在()+∞,0上为增函数 因为()01=f ，有一个零点，所以0≤a 符合题意； ② 若0>a 令()0='x f ，得a x 1=
，此时⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0单调递增，⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,1a 单调递减 ()x f 的极大值为⎪⎭⎫ ⎝⎛a f 1，因为()x f 只有一个零点，所以01=⎪⎭
⎫
⎝⎛a f ，
即0111ln
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+a a a ，所以1=a 综上所述1=a 或0≤a . ..……6分 （2）因为()+∞∈∃,00x ，使得()220-≥a x f ，所以0
1ln 2x x a ++≤
令()()01ln 2>++=x x x
x g ，即()最大值x g a ≤，因为()()2
11
ln 1
x x x x g +--= 设()1ln 1--=
x x x h ，()01
12<--='x x
x h ，所以()x h 在()∞+，
0单调递减，又()01=h 故函数()x g 在()1,0单调递增，()+∞,1单调递减，()x g 的最大值为()1g ，()11=≤g a 故答案为：(]1,∞-. ..……12分 22、（1）由
3
sin 21
θ
ρρ
+=
得3sin 22=+θρρ，曲线C 的普通方程为03222=-++y y x
…5分
（2）将l 的参数方程⎩⎨⎧+=+-=α
α
sin 1cos 2t y t x 代入C 的方程03222=-++y y x
整理得()04sin cos 42=+--t t αα
因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点.所以0>∆,化简得0sin cos <αα 又πα<≤0，所以
παπ
<<2
，且0sin ,0cos ><αα
设方程的两根为21,t t ，则()04,0sin cos 42121>=<-=+t t t t αα
所以0,021<<t t 所以()()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=-=+-=+4sin 24cos sin 421παααt t AN AM
由
παπ
<<2
，得
434
4
ππ
απ
<
-
<.所以14sin 22≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-<πα，从而244sin 244≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-<πα 即AN AM +的取值范围是(]
24,4. ..……10分 23、（1）当1=a 时，()11--+=x x x f ，即()⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<-≤-=1,211,21
,2x x x x x f ，
故不等式()1>x f 的解集为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
>
21x x ． ..……5分 （2）当()1,0∈x 时x ax x >--+11成立，等价于当()1,0∈x 时11<-ax 成立． 若0≤a ，则当()1,0∈x 时11≥-ax ，不合题意舍去； 若0>a ，11<-ax 的解集为⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
<
<a x x 20，所以12
≥a
，故20≤<a ． 综上，a 的取值范围为(]2,0. ..……10分。