【湘教版】八年级数学上期中模拟试题(带答案)

一、选择题
1．如图，在边长为9的等边△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，点E 、F 分别是边AB 、AC 上的两个点，且AE=CF=4cm ，在CD 上有一动点P ，则PE +PF 的最小值是（ ）
A ．4
B ．4.5
C ．5
D ．8 2．已知123n A A A A 、、中，1A 与2A 关于x 轴对称，2A 与3A 关于y 轴对称，3A 与4A 关于x 轴对称，4A 与5A 关于y 轴对称……，如果1A 在第二象限，那么100A 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．如图，点O 是ABC 的ABC ∠，ACB ∠的平分线的交点，//OD AB 交BC 于点D ，//O
E AC 交BC 于点E ，若ODE 的周长为9cm ，那么BC 的长为（ ）
A ．8cm
B ．9cm
C ．10cm
D ．11cm 4．下列图案是轴对称图形的是有（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．②③ 5．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交x 轴的负半轴和y 轴的正半轴于A 点，B 点，分别以点A ，点B 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧交于P 点，若点P 的坐标为(m ，n)，则下列结论正确的是（ ）
A ．m ＝2n
B ．2m ＝n
C ．m ＝n
D ．m ＝－n
6．如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等．若110BOC ∠=°，则A ∠的度数为
( )
A ．40︒
B ．45︒
C ．50︒
D ．55︒
7．如图，在ABC 中，AB 边上的高为（ ）
A ．CG
B ．BF
C ．BE
D ．AD 8．在尺规作图作一个角的平分线时的两个三角形全等的依据是（ ）
A ．SAS
B ．AAS
C ．SSS
D ．HL 9．如图，在四边形ABCD 中，//,AB CD A
E 是BAC ∠的平分线，且AE CE ⊥．若,AC a BD b ==，则四边形ABDC 的周长为（ ）
A ．1.5()a b +
B ．2a b +
C ．3a b -
D ．2+a b 10．在下列长度的四根木棒中，能与2m 、5m 长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A ．2m
B ．3m
C ．5m
D ．7m 11．下列说法正确的有（ ）个
①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；②连接C 、D 两点的线段叫两点之间的距离；③两点之间直线最短；④射线上点的个数是直线上点的个数的一半；⑤n 边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出()3n -条对角线，这些对角线把这个n 边形分成了()2n -个三角形．
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
12．内角和与外角和相等的多边形是（ ）
A ．六边形
B ．五边形
C ．四边形
D ．三角形
二、填空题
13．如图，点D 、E 是ABC 的边BC 上的点，且AED n ∠=︒，
::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，若点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，则n =________．
14．如图，在ABC 中，C 90∠=，A ∠、B ∠的平分线交于O ，OD AB ⊥于D ．若AC 3=，BC 4=，AB 5=，则AD =________．
15．如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，点A ，点C 均在格点上，点P 为x 轴上任意一点，则PAC △周长的最小值为________．
16．如图，在ABC 中，点D 是BC 上的一点，已知30DAC ∠=︒，75DAB ∠=︒，CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠=________度．
17．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ，MB ⊥OQ ，垂足为A ，B ，S △AOM =8cm 2，OA=4cm ，则MB=___．
18．如图，在ABC 中，80B ∠=︒，BAC ∠和BCD ∠的平分线交于点E ，则E ∠的度数是______．
19．如图所示，△ABC 中，∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的四等分线相交于D 、E 、F （其中∠CAD ＝3∠BAD ，∠ABE ＝3∠CBE ，∠BCF ＝3∠ACF ），且△DFE 的三个内角分别为∠DFE ＝60°、∠FDE ＝53°、∠FED ＝67°，则∠BAC 的度数为_________°．
20．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，AE BD ⊥．若30ABC ∠=︒，50C ∠=︒，则CAE ∠的度数为_______︒．
三、解答题
21．已知在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆如图所示，()()()5,2,5,2,1,4A B C ----．
（1）作出ABC ∆关于y 轴对称的图形''A B C '∆；
（2）求出ABC ∆的面积；
（3）在边BC 上找一点,D 连结AD ，使得BAD ABD ∠=∠．（请仅用无刻度直尺按要求画图）
22．如图1，在ABC 中，AB AC =，点D 是BC 的中点，连接AD ，点E 在AD 上．
（1）连接BE ，CE ，求证：BE CE =；
（2）如图2，若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF AC ⊥，45BAC ∠=︒，原题设其他条件不变．求证：AB BF EF =+．
23．如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，连接EF ．写出两个结论（∠BAD ＝∠CAD 和DE ＝DF 除外），并选择一个结论进行证明．
（1）____________；
（2）____________．
24．已知：如图，120AOB ∠=︒，过点O 作射线OP ，若OM 平分AOP ∠，ON 平分BOP ∠，AOP α∠=
（1）如图1，补全图形，直接写出MON ∠=____________︒
（2）如图2，若4BOM BON ∠=∠，求α的值．
25．如图，ABC 中，AD 平分BAC ∠，P 为AD 延长线上一点，PE BC ⊥于E ，已知80ACB ∠=︒，24B ∠=︒，求P ∠的度数．
26．已知：如图90MON ∠=︒，与点O 不重合的两点A 、B 分别在OM 、ON 上，BE 平分ABN ∠，BE 所在的直线与OAB ∠的平分线所在的直线相交于点C ．
（1）当点A 、B 分别在射线OM 、ON 上，且45BAO ∠=︒时，求ACB ∠的度数； （2）当点A 、B 分别在射线OM 、ON 上运动时，ACB ∠的大小是否发生变化？若不变，请给出证明；若发生变化，请求出ACB ∠的范围．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
作点E关于AD的对称点G，所以连接FG，与CD的交点即为P点．此时PF+PE=FG最小，通过计算证明△AFG是等边三角形，从而得出结果．
【详解】
作点E关于AD的对称点G，连接FG与CD的交点即为P点，如图：
∴PG=PE，
此时PF+PE=PF+ PG有最小值，最小值为FG，
∵△ABC是边长为9等边三角形，且CD⊥AB，AE=CF=4，
∴AD=BD=1
AB=4.5，AF=AC-CF=9-4=5，∠A=60 ，
2
∴ED=GD= AD- AE=4.5-4=0.5，
∴AG=AE+ED+GD=5= AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴FG= AF=5，
∴PF+PE的最小值是5，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了轴对称-最短路径问题，等边三角形的判定和性质，掌握轴对称－最短路径的确定方法是解题的关键．
2．A
解析：A
【分析】
根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，以及循环的规律就可以得到．
【详解】
解：A1与A2关于x轴对称，A2与A3关于y轴对称，A3与A4关于x轴对称，A4与A5关于y 轴对称，
A 1与A 5是同一个点，
四次一循环，
100÷4=25，
A 100与A 4重合，
即第一象限，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3．B
解析：B
【分析】
由OB ，OC 分别是△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的平分线和OD ∥AB 、OE ∥AC 可推出BD=OD ，OE=EC ，从而得出BC 的长等于△ODE 的周长即可．
【详解】
解：∵OD ∥AB ，OE ∥AC ，
∴∠ABO=∠BOD ，∠ACO=∠EOC ，
∵点O 是ABC 的ABC ∠，ACB ∠的平分线的交点，
∴∠ABO=∠OBD ，∠ACO=∠OCE ；
∴∠OBD =∠BOD ，∠EOC=∠OCE ；
∴BD=OD ，CE=OE ；
∴△ODE 的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC= BC
∵ODE 的周长为9cm ，
∴BC=9cm ．
故选：B ．
【点睛】 此题考查了平行线性质，角平分线定义以及等腰三角形的判定定理，熟练掌握相关知识是解题的关键，难度中等．
4．C
解析：C
【分析】
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：①是轴对称图形，②不是轴对称图形，③不是轴对称图形，④是轴对称图形． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．D
解析：D
【分析】
根据角平分线的性质及第二象限内点的坐标特点即可得出结论．
【详解】
解：∵由题意可知，点C 在∠AOB 的平分线上，∴m=-n ．
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是作图−基本作图，熟知角平分线的作法及其性质是解答此题的关键． 6．A
解析：A
【分析】
由条件可知BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ，利用三角形内角和可求得∠A ．
【详解】
解：∵点O 到ABC 三边的距离相等，
∴BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，
∴ ()180A ABC ACB ∠=︒-∠+∠
()1802OBC OCB =︒-∠+∠
()1802180BOC =︒-⨯︒-∠
()1802180110︒=︒-⨯-︒
40=︒．
故选A ．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．
7．A
解析：A
【分析】
在ABC 中，过C 点向AB 所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段是AB 上的高，由此可得答案．
【详解】
解：ABC 中，AB 边上的高为：.CG
故选：.A
【点睛】
本题考查的是三角形的高的含义，掌握钝角三角形的高是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
根据作图过程可知用到的三角形全等的判定方法是SSS．
【详解】
解：尺规作图-作一个角的角平分线的作法如下：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，交AO、BO于点F、E，
②再分别以F、E为圆心，大于1
2
EF长为半径画弧，两弧交于点M，
③画射线OM，射线OM即为所求．
由作图过程可得用到的三角形全等的判定方法是SSS．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，关键是掌握作一个角的平分线的基本作图方法．
9．B
解析：B
【分析】
在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明
△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形ABDC的周长．
【详解】
解：在线段AC上作AF=AB，
∵AE是BAC
的平分线，
∴∠CAE=∠BAE，
又∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，
∵AB∥CD，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠AFE+∠CFE=180°，
∴∠D=∠CFE，
∵AE CE
⊥，
∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，∴∠CEF=∠CED，
在△CEF和△CED中
∵
D CFE
CEF CED
CE CE
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
∴△CEF≌△CED（AAS）
∴CE=CF，
∴四边形ABDC的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=2a b+，
故选：B．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．10．C
解析：C
【分析】
判定三条线段能否构成三角形，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【详解】
解：设三角形的第三边为x m，则
5-2＜x＜5+2
即3＜x＜7，
∴当x=5时，能与2m、5m长的两根木棒钉成一个三角形，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
11．C
解析：C
【分析】
分别利用直线、射线、线段的定义、角的概念和角平分线的定义以及多边形对角线的求法分析得出即可．
【详解】
解：①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线，故原说法错误；
②连接C、D两点的线段的长度叫两点之间的距离，故原说法错误；
③两点之间线段最短，故原说法错误；
④射线上点的个数与直线上点的个数没有关系，故原说法错误；
n-条对角线，这些对角线把⑤n边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出()3
n-个三角形，此说法正确．
这个n边形分成了()2
所以，正确的说法只有1个，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了直线、射线、线段的定义以及角的概念和角平分线的定义等知识，正确把握相关定义是解题关键．
12．C
解析：C
【分析】
设这个多边形为n边形，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】
解：设这个多边形为n边形，由题意得
（n-2）180°=360°，
解得n=4，
所以这个多边形是四边形．
故选：C
【点睛】
本题考查多边形的内角和公式，多边形的外角和360°，熟知两个定理是解题关键．
二、填空题
13．80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得
∠DAC=∠C∠BEA=∠B再根据比例关系设根据三角形内角和定理可求得x再根据三角形外角的性质可得∠AED【详解】解：∵点D在边AC的垂直平分线上点
解析：80
【分析】
先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C，∠BEA=∠B，再根据比例关系设∠=∠=∠=，根据三角形内角和定理可求得x，再根据三角形外CAD x DAE x BAE x
,3,2
角的性质可得∠AED．
【详解】
解：∵点D在边AC的垂直平分线上，点E在边AB的垂直平分线上，
∴AD=CD，AE=BE，
∴∠DAC=∠C ，∠BAE=∠B ，
∵::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，
∴设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，
∴,2C x B x ∠=∠=，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴322180x x x x x ++++=︒，
解得20x =︒，
∴22480AED BAE B x x x ∠=∠+∠=+==︒，即n=80，
故答案为：80．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质．理解线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．
14．【分析】根据三角形角平分线的交点到边的距离相等再利用三角形面积公式解答即可【详解】解：过作于于∵的平分线交于于∴∵∴四边形是正方形∴∵的面积即解得：∴∴在与中∴∴故答案为：【点睛】本题考查了角平分线 解析：2
【分析】
根据三角形角平分线的交点到边的距离相等，再利用三角形面积公式解答即可．
【详解】
解：过O 作OE AC ⊥于E ，OF BC ⊥于F ，
∵A ∠、B ∠的平分线交于O ，OD AB ⊥于D ，
∴OD OE OF ==．
∵C 90∠=，
∴四边形ECFO 是正方形，
∴OE OF CE CF ===．
∵ABC 的面积1111AC BC AB OD AC OE BC OF 2222
=⋅=⋅+⋅+⋅， 即()1134OE 34522
⨯⨯=⨯++， 解得：1OE =，
∴CE OE 1==，
∴AE AC CE2
=-=．
在Rt AEO与Rt ADO中，
AO AO OE OD
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴Rt AEO Rt ADO
≅，
∴AD AE2
==．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．15．【分析】根据勾股定理可得AC的长度作点C关于x轴的对称点C′连接AC′与x轴交于点P利用勾股定理求出AP+PC的最小值从而得出答案【详解】AC=如图作点C关于x轴的对称点C′连接AC′与x轴交于点P
解析：21022
+
【分析】
根据勾股定理可得AC的长度，作点C关于x轴的对称点C′，连接AC′，与x轴交于点P，利用勾股定理求出AP+PC的最小值，从而得出答案．
【详解】
AC=22
2222
+=，
如图，作点C关于x轴的对称点C′，连接AC′，与x轴交于点P，
则AP+PC=AP+PC′=AC′，
此时AP+PC22
26210
+=
所以△PAC周长的最小值为21022
故答案为：21022．
【点睛】
本题主要考查了轴对称－最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．16．15【分析】过点E作EM⊥AC于MEN⊥AD于NEF⊥BC于H如图先计算出∠EAM=75°则AE平分∠EAD根据角平分线的性质得EM=EN再由CE平分∠ACB 得到EM=EH则EN=EH于是根据角平分
解析：15
过点E 作EM ⊥AC 于M ，EN ⊥AD 于N ，EF ⊥BC 于H ，如图，先计算出∠EAM=75°，则AE 平分∠EAD ，根据角平分线的性质得EM=EN ，再由CE 平分∠ACB 得到EM=EH ，则EN=EH ，于是根据角平分线定理的逆定理可判断DE 平分∠ADB ，则∠1=12∠ADB ，根据三角形外角性质得∠1=∠DEC+∠2，即∠1=∠DEC+
12∠ACB ，∠ADB=∠DAC+∠ACB ，所以∠DEC==12
∠DAC=15°． 【详解】
解：过点E 作EM AC ⊥于M ，EN AD ⊥于N ，EH BC ⊥于H ，如图．
∵ 30DAC ∠=，75DAB ∠=，∴ 75EAM ∠=，∴ AE 平分MAD ∠，∴ EM EN =．
∵ CE 平分ACB ∠，∴ EM EH =，∴ EN EH =，∴ DE 平分ADB ∠，∴
112
ADB ∠=∠． ∵ 12DEC ∠=∠+∠，而122ACB ∠=∠，∴ 112
DEC ACB ∠=∠+∠，而ADB DAC ACB ∠=∠+∠，
∴ 11301522
DEC DAC ∠=∠=⨯= ．故答案为：15．
【点睛】
本题考查了平分线的性质和三角形外角的性质，掌握性质是解题的关键．
17．4cm 【分析】根据求得AM 的长度利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解【详解】解：解得∵OM 平分∠POQ ∴故答案为：4cm 【点睛】本题考查角平分线的性质掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解
解析：4cm
【分析】
根据12
AOM S
OA AM =⋅求得AM 的长度，利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解．
解：
11
48
22
AOM
S OA AM AM
=⋅=⨯=，
解得4cm
AM=，
∵OM平分∠POQ，
∴4cm
MB AM
==，
故答案为：4cm．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．18．40°【分析】根据角平分线的性质可得∠EAC=∠BAC∠ECD=∠BCD最后根据三角形外角的性质解答即可【详解】解：∵∠BAC的平分线与∠BCD的平分线交于点E∴∠EAC=∠BAC∠ECD=∠BCD
解析：40°
【分析】
根据角平分线的性质可得∠EAC=1
2
∠BAC,∠ECD=1
2
∠BCD，最后根据三角形外角的性质解
答即可．
【详解】
解：∵∠BAC的平分线与∠BCD的平分线交于点E，
∴∠EAC=1
2∠BAC，∠ECD=1
2
∠BCD，
∵∠BCD-∠BAC=∠B=80°，
∴∠ECD-∠EAC=1
2
（∠BCD-∠BAC）=40°，
∵E
∠是△ACE的外角
∴∠E=∠ECD-∠EAC=40°．
故答案为40°．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角的性质等知识点，灵活利用三角形外角的性质是解答本题的关键．
19．72【分析】由∠CAD=3∠BAD∠ABE=3∠CBE∠BCF=3∠ACF易得各角与
∠ABC∠ACB∠BAC之间的关系由三角形外角等于不相邻的两个内角和列方程组求解即可得出结论【详解】解：∵∠CAD
解析：72
【分析】
由∠CAD=3∠BAD，∠ABE=3∠CBE，∠BCF=3∠ACF易得各角与∠ABC、∠ACB、∠BAC之间的关系，由三角形外角等于不相邻的两个内角和列方程组求解即可得出结论．
【详解】
解：∵∠CAD=3∠BAD，∠ABE=3∠CBE，∠BCF=3∠ACF，
∴∠CAD=3
4∠BAC，∠BAD=1
4
∠BAC，∠ABE=3
4
∠ABC，∠CBE=1
4
∠ABC，
∠BCF=3
4∠ACB，∠ACF=1
4
∠ACB．
∵∠DFE＝60°、∠FDE＝53°、∠FED＝67°，
∴
13
60 44
13
53
44
13
67 44
BAC ABC
ABC ACB
ACB BAC
⎧
∠+∠=
⎪
⎪
⎪
∠+∠=
⎨
⎪
⎪
∠+∠=
⎪
⎩
，
解得∠BAC=72°，∠ABC=56°，∠ACB=52°，
故答案为：72．
【点睛】
本题考查了三元一次方程组的应用，以及三角形外角的性质．解题的关键是由外角的性质列出方程组．本题属于中档题，难度不大，但在角的变化上稍显繁琐，一不注意就易失分，做形如此类题型时，牢牢把握等量关系是关键．
20．25【分析】依据角平分线的定义即可得到∠DBC的度数再根据三角形外角的性质即可得到∠CAE的度数【详解】解：∵∠ABC=30°BD平分
∠ABC∴∠DBC=∠ABC=×30°=15°又∵AE⊥BD∴∠
解析：25
【分析】
依据角平分线的定义即可得到∠DBC的度数，再根据三角形外角的性质，即可得到∠CAE 的度数．
【详解】
解：∵∠ABC=30°，BD平分∠ABC，
∴∠DBC=1
2∠ABC=1
2
×30°=15°，
又∵AE⊥BD，
∴∠BEA=90°-15°=75°，
∵∠AEB是△ACE的外角，
∴∠CAE=∠AEB-∠C=75°-50°=25°，
故答案为：25．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握三角形外角的性质．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
三、解答题
21．（1）见解析（2）8 （3）见解析
【分析】
（1）分别作出A ，B ，C 关于y 轴的对称点连接即可；
（2）根据三角形的面积，确定三角形的底和高计算即可；
（3）根据已知条件可知x 轴所在的直线为AB 线段的垂直平分线，判断即可；
【详解】
解:（1）∵()5,2A -，()5,2B --，()1,4C -，
∴关于y 轴对称的点为()5,2A '，()5,2B '-，()
1,4C '，如图，
（2）过点C 作CE AB ⊥，由题可知：()154CE =---=，()224AB =--=， ∴1144822
=⨯⨯=⨯⨯=S AB CE ； （3）根据已知条件可得到x 轴所在的直线为AB 线段的垂直平分线，即可得到点D 的位置，如图所示．
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系的知识点，结合等腰三角形的性质判断是解题的关键． 22．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）先根据等腰三角形的性质得出∠BAE=∠CAE ，再根据SAS 证明△ABE ≌△ACE 即可； （2）由BF ⊥AC ，∠BAC=45°就可以求出AF=BF ，在由条件证明△AEF ≌△BCF 就可以得出EF=CF ，结合已知AB=AC 即可得出结论．
【详解】
证明：（1）∵AB=AC ，D 是BC 的中点，
∴∠BAE=∠CAE ，
在△ABE 和△ACE 中，
AB AC BAE CAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABE ≌△ACE （SAS ），
∴BE=CE ；
（2）∵BF ⊥AF ，
∴∠AFB=∠CFB=90°．
∵∠BAC=45°，
∴∠ABF=45°，
∴∠ABF=∠BAC ，
∴AF=BF ．
∵AB=AC ，点D 是BC 的中点，
∴AD ⊥BC ，
∴∠EAF+∠C=90°，
∵BF ⊥AC ，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBF ，
在△AEF 和△BCF 中，
EAF CBF AF BF
AFE BFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△AEF ≌△BCF （ASA ）
∴EF=CF ．
∴AB=AC=AF+FC=BF+EF
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
23．（1）∠ADE=∠ADF ；证明见解析；（2）AE=AF ；证明见解析．
【分析】
（1）∠ADE=∠ADF ，根据DE ⊥AB ，DF ⊥AC 及AD 为∠BAC 的角平分线，即可证得∠ADE=∠ADF ；
（2）AE=AF ，根据（1）可知证明△AED ≌△AFD ，即可证得AE=AF ．
【详解】
（1）结论1：∠ADE=∠ADF ，证明如下：
∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴∠AED=∠AFD=90︒，
∵AD 为∠BAC 的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD ，
∴∠ADE=∠ADF ；
（2）结论2：AE=AF ，证明如下：
由（1）可知：△AED ≌△AFD ，
∴AE=AF ．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定和性质解决问题．
24．（1）图形见解析，60；（2）144︒
【分析】
（1）根据尺规作图，以点O 为圆心，任意长度为半径画弧，交角的两边于C 、D ，然后再分别以C 、D 为圆心，大于CD/2长度为半径用圆规画圆弧；即可得到点M ，连接OM ，BOP ∠的角平分线同理可得，由已知条件120AOB ∠=︒，然后根据角平分线的性质即可求得MON ∠的度数；
（2）根据题目已知条件可知120POB α∠=-︒，根据角平分线的性质可知2AOM POM α∠=∠=，112022
PON BON POB α-∠=∠=∠=，再根据 4BOM BON ∠=∠，120AOB ∠=︒即可求得α的值． 【详解】
（1）根据尺规作图，首先以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交AOP ∠两边于C 、D ，然后以C 为圆心，大于CD/2长度为半径用圆规画圆弧，接着以D 为圆心，同以上步骤一样的长度为半径用圆规画圆弧，最后两圆弧交于M 点，连接顶点O 和M ，OM 即为角平分线．BOP ∠的角平分线同理可得；
∵OM 平分AOP ∠，ON 平分BOP ∠，
∴12
POM AOM AOP ∠=∠=∠， 12
BON PON BOP ∠=∠=∠， ∵AOB AOP BOP ∠=∠+∠，
∵MON POM PON ∠=∠+∠，
∴11()6022
MON AOP BOP AOB ∠=∠+∠=∠=︒；
（2）∵AOP α∠=，120AOB ∠=︒，OM 平分AOP ∠，ON 平分BOP ∠，
∴120POB α∠=-︒，2AOM POM α
∠=∠=，
112022
PON BON POB α-∠=∠=∠=， ∵4BOM BON ∠=∠， ∴)1202120
4(2αα
+=-︒，
解得：144．
【点睛】 本题考查了尺规作图、角平分线的性质，解题的关键是找准等量关系列出方程． 25．28°
【分析】
在△ABC 中，利用三角形内角和定理可求出∠BAC 的度数，结合角平分线的定义可得出∠BAD 的度数，在△ABD 中，利用三角形外角性质可求出∠PDE 的度数，再在△PDE 中利用三角形内角和定理可求出∠P 的度数．
【详解】
解：在ABC 中，80ACB ∠=︒，24B ∠=︒，
18076BAC ACB B ∴∠=︒-∠-∠=︒． AD 平分BAC ∠，
1382
BAD BAC ∴∠=∠=︒． PDE ∠是ABD △的外角，
243862PDE B BAD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，
PE BC ⊥于E ，
90PED ∴∠=︒，
906228P ∴∠=︒-︒=︒．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出∠ADC 的度数是解题的关键．
26．（1）45°；（2）不变，45°
【分析】
（1）由题意，先求出135ABN ∠=︒，由角平分线的定义，求出67.5ABE ∠=︒，22.5∠︒=BAC ，由三角形外角的性质，即可求出答案；
（2）由三角形的外角性质，得ACB ABE BAC ∠=∠-∠，再根据角平分线的定义即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵90MON ∠=︒，即90AOB ∠=︒，45BAO ∠=︒，
∴135ABN AOB BAO ∠=∠+∠=︒，
∵BE 平分ABN ∠，AC 平分BAO ∠， ∴167.52
ABE ABN ∠=∠=︒，122.52BAC BAO ∠=∠=︒，
∴67.522.545ACB ABE BAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒．
（2）ACB ∠的大小不会发生变化，理由如下：
∵BE 平分ABN ∠，AC 平分BAO ∠， ∴12
ABE ABN ∠=∠，12BAC BAO ∠=∠， ∴ACB ABE BAC ∠=∠-∠1122ABN BAO =
∠-∠ ()12ABN BAO =
∠-∠12AOB =∠190452
=⨯︒=︒． 【点睛】 本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的得到角的关系．。