高考数学压轴专题新备战高考《不等式》知识点总复习附解析

新数学《不等式》专题解析(1)
一、选择题
1．抛物线
的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足
23
AFB π
∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）
A 3
B 3
C 3
D 3【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M
是AB 中点，所以111
()2
MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF ∆中
222
AB AF BF =+22cos
3
AF BF π-22
AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2
AF BF +-2
3()4AF BF =+，所以
2
2
()43AF BF AB
+≤
，即233AF BF AB +≤，所以3
3
MN AB ≤，故选B ．
考点：抛物线的性质． 【名师点晴】
在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．
2．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数都有
()0f x ≥，则
(1)
'(0)
f f 的最小值为( ) A ．2 B ．
52
C ．3
D ．
32
【答案】A 【解析】
()22
0{,440
a f x ac
b b a
c >≥∴∴≥∆=-≤Q 恒成立，,且0,0c a >> 又()()()2,00,1f x ax b f b f a b c =+∴'='=>++，
()(
)11111120f a c f b +∴=+≥≥=+=' 当且仅当()
()
120f a c f ='时，不等式取等号，故
的最小值为
3．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）
①命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”；
②若正整数m 和n 满足m n ≤
2
n ； ③在ABC ∆中 ，A B >是sin sin A B >的充要条件；
④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；
⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m n k ++为定值. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】
①，命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，故①
错误.
②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -
≥，由基本不等式得
22
m n m n
+-=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即
sin sin A B A B >⇔>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确.
④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为
11,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则11
10221121
112AQ a b b k a ++⎧++=⎪⎪⎪+⎨
-⎪==+⎪
-⎪⎩，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即312321
y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1
m n k ++=-为定值，所以⑤正确. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.
4．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足
15150a S +=，则实数d 的取值范围是（ ）
A
．[； B
．(,-∞
C
．)
+∞
D
．(,)-∞⋃+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
由等差数列的前n 项和公式转化条件得1
1322
a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】
Q 数列{}n a 为等差数列，
∴15154
55102
a d d S a ⨯=+
=+，∴()151********a S a a d +++==， 由10a ≠可得1
1322
a d a =--， 当10a >
时，1111332222a a d a a ⎛⎫=--=-+≤-= ⎪⎝⎭
1a 时等号成立； 当10a <
时，1
1322a d a =--≥=
1a =立；
∴实数d
的取值范围为(,)-∞⋃+∞.
故选：D. 【点睛】
本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.
5．已知点P ，Q 分别是抛物线28x y =和圆22(2)1x y +-=上的动点，点(0,4)A ，则
2
||||
PA PQ 的最小值为( ) A ．10 B ．4
C
．2 D
．1
【答案】B 【解析】 【分析】
设出点P 的坐标()00,x y ，用0y 表示出PA ；根据圆上一点到定点距离的范围，求得PQ 的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值. 【详解】
设点()00,P x y ，因为点P 在抛物线上，所以()2
00080x y y =≥，
因为点(0,4)A ，则()()2
2
222
00000||48416PA x y y y y =+-=+-=+.
又知点Q 在圆22
(2)1x y +-=上，圆心为抛物线的焦点(0,2)F ，
要使2||||
PA PQ 的值最小，则||PQ 的值应最大，即0max 13PQ PF y =+=+.
所以()()2
2
2000
003632516||||33
y y y PA PQ y y +-+++==
++ ()
0025
36643
y y =++
-≥=+ 当且仅当02y =时等号成立.
所以2
||||
PA PQ 的最小值为4.
故选：B. 【点睛】
本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.
6．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
所表示平面区域上的任意一点，则
AB 的最小值为（ ）
A ．5
B ．
45
C ．5
D ．
25
【答案】C 【解析】 【分析】
作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点
B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值.
【详解】
作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
所表示的平面区域如下图所示：
联立0260x y x y -=⎧⎨
+-=⎩，解得2
2
x y =⎧⎨=⎩，
由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离， 所以AB ()()
22
42325-+-=
故选：C ． 【点睛】
本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．
7．已知x，y满足约束条件
1,
22,
326,
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
-≥-
⎨
⎪+≤
⎩
，若22
x y z
+≥恒成立，则实数z的最大值为
（）
A．
2
2
B．
25 C．
1
2
D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
画出约束条件所表示的平面区域，根据22
x y+的几何意义，结合平面区域求得原点到直线10
x y
+-=的距离的平方最小，即可求解．
【详解】
由题意，画出约束条件
1
22
326
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
-≥-
⎨
⎪+≤
⎩
所表示的平面区域，如图所示，
要使得22
x y z
+≥恒成立，只需()
22
min
z x y
≥+，
因为22
x y+表示原点到可行域内点的距离的平方，
结合平面区域，可得原点到直线10
x y
+-=的距离的平方最小，
其中最小值距离为
22
12
11
d
-
==
+
，则2
1
2
d=，即
1
2
z≤
所以数z的最大值
1
2
．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出约束条件所表示的平面区域，结合22
x y+的几何意义求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力．
8．若，
，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：用特殊值法，令
，，得，选项A 错误，
，选项B 错误，
，选项D 错误，
因为
选
项C 正确，故选C ． 【考点】
指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】
比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
9．已知点(2,0)M ，点P 在曲线2
4y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2
||||1
PM PF -的最
小值为（ ） A 3B ．51)
C ．45
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设
(),P x y ，0x >，则
2||4
||1PM x PF x
=+-，利用均值不等式得到答案. 【详解】
如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，
设(),P x y ，0x >，则
()()2
2
2
22224||||4
4||1x y x x PM P P M x F x Q P x x
-+-+====+≥-，
当
4 x
x
=，即2
x=时等号成立.
故选：D.
【点睛】
本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
10．已知函数
2
4
,0
()
(2)1,0
x x
f x x
x x
⎧
+>
⎪
=⎨
⎪+-≤
⎩
，若方程()20
f x m
-=恰有三个不同的实数根，
则实数m的取值范围是（）
A．(2,)
+∞B．(4,)
+∞C．(2,4)D．(3,4)
【答案】A
【解析】
【分析】
画出函数()
f x的图象,再根据基本不等式求解
4
y x
x
=+的最小值,数形结合求解即可.
【详解】
画出函数()
f x的图象,如图所示.当0
x>时,
4
()4
f x x
x
=+….设()2
g x m
=,则方程
()20
f x m
-=恰有三个不同的实数根,即()
f x和()2
g x m
=的图象有三个交点.由图象可知,24
m>,即2
m>,故实数m的取值范围是(2,)
+∞.
故选：A 【点睛】
本题考查分段函数的性质和图象以及函数的零点,考查数形结合以及化归转化思想.
11．已知,a b 都是正实数，则222a b
a b a b
+++的最大值是（ ） A
．23
-
B
．3-
C
．1
D ．
43
【答案】A 【解析】 【分析】
设2,2m a b n a b =+=+，将222a b a b a b
+++，转化为2222233a b n m
a b a b m n +=--++，
利用基本不等式求解. 【详解】
设2,2m a b n a b =+=+， 所以22,33
m n n m
a b --==，
所以
2222222333
a b n m a b a b m n +=--≤-=-
++， 当且仅当233n m
m n
=时取等号. 所以
222a b a b a b +++
的最大值是23
-. 故选：A 【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
12．若变量x ，y 满足2,
{239,0,
x y x y x +≤-≤≥则x 2+y 2的最大值是
A ．4
B ．9
C ．10
D ．12
【答案】C 【解析】
试题分析：画出可行域如图所示，点A （3，-1）到原点距离最大，所以
22max ()10x y +=，选C.
【考点】简单线性规划
【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.
13．在区间[]0,1内随机取两个数m ､n ，则关于x 的方程20x nx m -+=
有实数根的概率为（ ） A ．
18
B ．
17
C ．
16
D ．
15
【答案】A 【解析】 【分析】
根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果. 【详解】
若方程20x nx m -+=有实数根，则40n m ∆=-≥.
如图，40
0101
n m m n -≥⎧⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
表示的平面区域与正方形0101m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积之比即为所求的概率，
即111124118
S P S ⨯⨯==
=⨯阴影正方形
. 故选：A .
【点睛】
本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.
14．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】
【分析】
通过列举，和推理证明可以推出充要性.
【详解】
若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞
； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞；
故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】
本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．
15．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ）
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7 【答案】B
【解析】
【分析】 由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.
【详解】
由2x y xy +=得：211x y
+=
()212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号）
2x y ∴+的最小值为9
故选：B
【点睛】
本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应
用，配凑成符合基本不等式的形式.
16．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )
A．16
9
π
B．
8
9
π
C．
16
27
π
D
．
8
27
π
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．
【详解】
解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，
则由题意可得
3
23
r x
-
=，
3
3
2
x r
∴=-，
∴圆柱的体积为23
()(3)(02)
2
V r r r r
π
=-<<，
则3
333
3
163331616
442
()(3)()
9442939
r r r
V r r r r
ππ
π
++-
=-=
g g g g
…．
当且仅当
33
3
42
r r
=-，即
4
3
r=时等号成立．
∴圆柱的最大体积为
16
9
π
，
故选：A．
【点睛】
本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．
17．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322
()
:16
C x y x y
=
+恰好是四叶玫瑰线.
给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是
( )
A ．①③
B ．②④
C ．①②③
D ．②③④ 【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.
【详解】
()2223222216162x y x y
x y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭， 解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；
将224x y +=和()322
2216x y x y +=联立，解得222x y ==， 即圆224x y +=与曲线C 相切于点2,2，(2,2-，(2,2，2,2-， 则①和③都错误；由0xy <，得④正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.
18．已知实数x y ，满足1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩
，则()22(4)2z x y =-+-的最小值为（ ） A 5B ．5 C ．3 D ．52
【解析】
【分析】
由题意作出其平面区域，22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，求阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方最小值即可．
【详解】
解：由题意作出实数x ，y 满足1030350x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩
……
„平面区域， 22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，
则22(4)(2)z x y =-+-的最小值为P 到350x y --=的距离的平方， 解得，222
2523(1)d -⎛⎫+ ⎪= ⎝⎭=⎪； 所以min 52
z =
故选：D ．
【点睛】
本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．
19．若x 、y 满足约束条件4200x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
，目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解仅
为(1,3)，则a 的取值范围为（ ）
A ．(1,1)-
B ．(0,1)
C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞
D ．(1,0]-
【答案】A
【分析】
结合不等式组，绘制可行域，判定目标函数可能的位置，计算参数范围，即可．
【详解】
结合不等式组，绘制可行域，得到：
目标函数转化为y ax z =-+，当0a -≥时，则<1a -，此时a 的范围为(]1,0-
当0a -<时，则1a ->-，此时a 的范围为()0,1，综上所述，a 的范围为()1,1-，故选A ．
【点睛】
本道题考查了线性规划问题，根据最值计算参数，关键明白目标函数在坐标轴上可能的位置，难度偏难．
20．以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A 为顶点，以面BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．7
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意补全几何图形为长方体，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值.
【详解】
将以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：
长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径，
设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，
因为三棱锥外接球的表面积为8π，
则284R π=π， 解得2R =，所以体对角线为2， 所以2228x y z ++=，
111222
S yz xy xz =++侧面积 由于()()()()222
222240x y z S x y y x x z ++-=-+-+-≥， 所以416S ≤，故4S ≤，
即三棱锥的侧面积之和的最大值为4，
故选：B.
【点睛】
本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.。