认识勾股定理 公开课获奖【一等奖教案】

第一章勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时认识勾股定理
第一环节：创设情境，引入新课
内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：
会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议
用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同
探索勾股定理．（板书课题）
第二环节：探索发现勾股定理
1．探究活动一
内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图
形：
问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
学生通过观察，归纳发现：
结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫.
效果：1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；2．通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望. 2．探究活动二
内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？
（1）观察下面两幅图：
（2）填表：
（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．）
图1 图2 图3 学生的方法可能有： 方法一：
如图1，将正方形C 分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，
131322
1
4=+⨯⨯⨯=C S ．
方法二：
如图
2，在正方形C 外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，13322
1452=⨯⨯⨯-=C S ．
方法三：
如图3，正方形C
中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，
13542=+⨯=C S ．
（4）分析填表的数据，你发现了什么？ 学生通过分析数据，归纳出：
结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C 的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.
效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C 的面积计算这一难点后得出结论2. 3．议一议
内容：（1）你能用直角三角形的边长a ，b ，c 来表示上图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+．
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）
意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.
效果：1．让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力；2．通过作图培养学生的动手实践能力.
第三环节：勾股定理的简单应用
内容：
例题 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下，树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？
弦股
勾
（教师板演解题过程） 练习：
1．基础巩固练习：
求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：
2．生活中的应用：
小明妈妈买了一部29 in （74 cm ）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58 cm 长和46 cm 宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
意图：练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识．
效果：例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.
第四环节：课堂小结
内容： 教师提问：
1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ 2．对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流． 在学生自由发言的基础上，师生共同总结：
1．知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果
用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么2
22c b a =+．
2．方法：（1） 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用； （2）“割、补、拼、接”法.
3．思想：（1） 特殊—一般—特殊； （2） 数形结合思想．
225100
x
15
17
意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动． 效果：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.
第五环节：布置作业
内容：布置作业：1．教科书习题1.1.
2．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足222c b a =+？
意图：课后作业设计包括了三个层面：作业1是为了巩固基础知识而设计；作业2是为了扩展学生的知识面；作业3是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进一步认识勾股定理的前提条件．
效果：学生进一步加强对本课知识的理解和掌握．
教学设计反思 （一）设计理念
依据“学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习．教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点.
（二）突出重点、突破难点的策略
为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理．
a b
c
a
b
c
4．4一次函数的应用
第1课时确定一次函数的表达式
1．会确定正比例函数的表达式；(重点)
2．会确定一次函数的表达式．(重点)
一、情境导入
某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信息求出y与x之间的关系式吗？你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？学习了本节的内容，你就知道了．
二、合作探究
探究点一：确定正比例函数的表达式
求正比例函数y＝(m－4)m2－15的表达式．
解析：本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．
解：由正比例函数的定义知m2－15＝1且m－4≠0，∴m＝－4，∴y＝－8x.
方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0.
探究点二：确定一次函数的表达式
【类型一】根据给定的点确定一次函数的表达式
已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．解析：先设一次函数的表达式为y＝kx＋b，因为它的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，所以当x＝0时，y＝5；当x＝2时，y＝－5.由此可以得到两个关于k、b的方程，通过解方程即可求出待定系数k和b的值，再代回原设即可．
解：设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，根据题意得，
∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝b ，－5＝2k ＋b.解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－5，b ＝5.∴一次函数的表达式为y ＝－5x ＋5. 方法总结：“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y ＝kx ＋b 中有两个待定系数k 、b ，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．
【类型二】 根据图象确定一次函数的表达式
正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B 为一次函数的
图象与y 轴的交点，且OA ＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．
解析：根据A(4，3)可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA 的长，从而可以求出点B 的坐标，根据A 、B 两点的坐标可以求出一次函数的表达式．
解：设正比例函数的表达式为y 1＝k 1x ，一次函数的表达式为y 2＝k 2x ＋b.∵点A(4，3)是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k 1，3＝4k 2＋b.∴k 1＝3
4，即正比例函数的表达
式为y ＝34x.∵OA ＝32＋42
＝5，且OA ＝2OB ，∴OB ＝52.∵点B 在y 轴的负半轴上，∴B 点的
坐标为(0，－52)．又∵点B 在一次函数y 2＝k 2x ＋b 的图象上，∴－5
2＝b ，代入3＝4k 2＋b 中，
得k 2＝118.∴一次函数的表达式为y 2＝118x －5
2
.
方法总结：根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，
然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．
【类型三】 根据实际问题确定一次函数的表达式
某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x 与售价y 的关系如下表所
示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.
数量x/千克
售价y/元 1 8＋0.4 2 16＋0.8 3 24＋1.2 4 32＋1.6 5 40＋2.0 …
…
解析：从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、…… 解：由表中信息，得y ＝(8＋0.4)x ＝8.4x ，即售价y 与数量x 的函数关系式为y ＝8.4x.
当x ＝2.5时，y ＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．
方法总结：解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．
三、板书设计
确定一次函数表达式⎩
⎪⎨⎪
⎧正比例函数y ＝kx （k≠0）一次函数y ＝kx ＋b （k≠0）
经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达
式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．
2．2 平方根 第1课时 算术平方根
1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；(重点) 2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；(重点) 3．了解算术平方根的性质．(难点)
一、情境导入
上一节课我们做过：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长
为a 的大正方形，那么有a 2
＝2，a ＝________，2是有理数，而a 是无理数．在前面我们学
过若x 2
＝a ，则a 叫做x 的平方，反过来x 叫做a 的什么呢？
二、合作探究
探究点一：算术平方根的概念
【类型一】 求一个数的算术平方根
求下列各数的算术平方根：
(1)64；(2)214
；(3)0.36；(4)412－402
.
解析：根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可．
解：(1)∵82
＝64，∴64的算术平方根是8；
(2)∵(32)2＝94＝214，∴214的算术平方根是32；
(3)∵0.62
＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6；
(4)∵412
－402
＝81，又92
＝81，∴81＝9，而32
＝9，∴412
－402
的算术平方根是3.
方法总结：(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求81与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．
(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．
【类型二】 利用算术平方根的定义求值
3＋a 的算术平方根是5，求a 的值．
解析：先根据算术平方根的定义，求出3＋a 的值，再求a.
解：因为52
＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a ＝25，所以a ＝22.
方法总结：已知一个数的算术平方根，可以根据平方运算来解题．
探究点二：算术平方根的性质
【类型一】 含算术平方根式子的运算
计算：49＋9＋16－225.
解析：首先根据算术平方根的定义进行开方运算，再进行加减运算． 解：49＋9＋16－225＝7＋5－15＝－3.
方法总结：解题时容易出现如9＋16＝9＋16的错误．
【类型二】 算术平方根的非负性
已知x ，y 为有理数，且x －1＋3(y －2)2
＝0，求x －y 的值．
解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性，即a ≥0，a 2
≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x 和y 的值，进而求得答案．
解：由题意可得x －1＝0，y －2＝0，所以x ＝1，y ＝2.所以x －y ＝1－2＝－1. 方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即a ≥0，|a|≥0，a 2
≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.
三、板书设计
算术平方根⎩⎨⎧概念：非负数a 的算术平方根记作
a 性质：双重非负性⎩⎨⎧a≥0，
a ≥0
让学生正确、深刻地理解算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化．概念的形成
过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有帮助的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．
4．4 一次函数的应用 第1课时 确定一次函数的表达式
1．会确定正比例函数的表达式；(重点) 2．会确定一次函数的表达式．(重点)
一、情境导入
某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信息求出y 与x 之间的关系式吗？你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？学习了本节的内容，你就知道了．
二、合作探究
探究点一：确定正比例函数的表达式
求正比例函数y ＝(m －4)m 2
－15的表达式．
解析：本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．
解：由正比例函数的定义知m 2
－15＝1且m －4≠0，∴m ＝－4，∴y ＝－8x.
方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0. 探究点二：确定一次函数的表达式
【类型一】 根据给定的点确定一次函数的表达式
已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．
解析：先设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，因为它的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，所以当x ＝0时，y ＝5；当x ＝2时，y ＝－5.由此可以得到两个关于k 、b 的方程，通过解方程即可求出待定系数k 和b 的值，再代回原设即可．
解：设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，根据题意得，
∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝b ，－5＝2k ＋b.解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－5，b ＝5.∴一次函数的表达式为y ＝－5x ＋5. 方法总结：“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y ＝kx ＋b 中有两个待定系数k 、b ，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．
【类型二】 根据图象确定一次函数的表达式
正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B 为一次函数的
图象与y 轴的交点，且OA ＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．
解析：根据A(4，3)可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA 的长，从而可以求出点B 的坐标，根据A 、B 两点的坐标可以求出一次函数的表达式．
解：设正比例函数的表达式为y 1＝k 1x ，一次函数的表达式为y 2＝k 2x ＋b.∵点A(4，3)
是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k 1，3＝4k 2＋b.∴k 1＝3
4，即正比例函数的表达
式为y ＝34x.∵OA ＝32＋42
＝5，且OA ＝2OB ，∴OB ＝52.∵点B 在y 轴的负半轴上，∴B 点的
坐标为(0，－52)．又∵点B 在一次函数y 2＝k 2x ＋b 的图象上，∴－5
2＝b ，代入3＝4k 2＋b 中，
得k 2＝118.∴一次函数的表达式为y 2＝118x －5
2
.
方法总结：根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，
然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．
【类型三】 根据实际问题确定一次函数的表达式
某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x 与售价y 的关系如下表所
示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.
数量x/千克
售价y/元 1 8＋0.4 2 16＋0.8 3 24＋1.2 4 32＋1.6 5 40＋2.0 …
…
解析：从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、…… 解：由表中信息，得y ＝(8＋0.4)x ＝8.4x ，即售价y 与数量x 的函数关系式为y ＝8.4x.当x ＝2.5时，y ＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．
方法总结：解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．
三、板书设计
确定一次函数表达式⎩
⎪⎨⎪⎧正比例函数y ＝kx （k≠0）
一次函数y ＝kx ＋b （k≠0）
经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达
式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．。