第四节、逆矩阵与转置矩阵

第四节、逆矩阵与转置矩阵
⼀、关于逆元
（这⾥看不懂可以跳过）
在群论中有“逆元”这⼀概念。

提到逆元就要提到另⼀个概念：单位元（⼳元，Identity）。

我们依次来介绍，简单来说，设G是⼀个⾮空集合，@是它的⼆元运算，若存在e∈G ，对任意a∈G，有a@e=e@a=a，则称e为单位元
举个例⼦，在实数集合的乘法运算中，1就是单位元，因为任何实数乘上1都等于它⾃⼰。

什么是逆元呢？
设a∈G，若存在b∈G，且ab=e，则称b是a的右逆元，若ba=e，则称b是a的左逆元，若ab=ba=e，则称b是a的逆元
举个例⼦：在实数集合的乘法运算中，1是单位元，任意实数a的逆元是1/a；在实数集合的加法运算中，0是单位元，任意实数a的逆元是-a。

接下来，我们来探讨⼀下矩阵中的逆元与单位元
⼆、单位矩阵
我们现在看看矩阵的单位元（单位矩阵）
对于⼀个n阶⽅阵（⾏数等于列数的矩阵叫做⽅阵），若其主对⾓线上的元素都是1，其他地⽅的元素都为0，则称该矩阵为n阶单位矩阵，⽤I n或E n表⽰（有时也简写为I或E，在后⾯的⽂章中我们统⼀⽤I表⽰单位阵）
如图是⼀个三阶单位矩阵I3=
单位阵的性质是任何矩阵乘上它都等于原矩阵，即AI=A,IA=A。

三、逆矩阵
　1.概念
设有⼀个⽅阵A，若存在⼀个⽅阵B，使得AB=I或BA=I，则称B是A的逆矩阵，⽤A-1表⽰（事实上若AB=I,则必有BA=I）。

注意：并不是所有矩阵都有逆矩阵。

　2.求逆矩阵（⾼斯-若尔当消元法）
设⼀个⽅阵A，我们已经知道，若其存在逆矩阵A-1，则有A-1A=I。

那么，该如何求得A-1呢？
先思考，之前我们提到过，在矩阵左边乘⼀个矩阵是对原矩阵作⾏变换，A-1A=I可以理解为A按照A-1进⾏变换变成了I，那么，如果I按照A-1进⾏变换，得到的是什么呢？
我们写出两个等式：
A-1A=I
A-1I=A-1
发现什么了么？
如果我们对I作与A相同的变换，那么我们得到的就是A-1
还记得之前学过的增⼴矩阵么？
我们假设A=，然后我们把单位阵写在A右边构成增⼴矩阵
现在，我们对A进⾏消元（连带着变换I）
向下消元的步骤就不演⽰了，消元的结果是
经过向下消元我们得到了上三⾓矩阵，然后，我们再从下往上进⾏消元，⽬的是消去除对⾓线外的所有元素
在这⾥简单写⼀下步骤：
先将-1个第三⾏与第⼆⾏进⾏线性组合，再将-2个第三⾏与第⼀⾏线性组合，消去第三列多余元素，得到：
然后将-1个第⼆⾏与第⼀⾏线性组合消去第⼆列多余元素，得到
现在，我们已经将A变成了I，⽽右边的I此时就是A的逆A-1，读者可以⾃⾏验证⼀下。

⽤⼀种简单的⽅式表达上⾯的过程： A-1[A I] = [I A-1]
这种⽅法我们称之为⾼斯-若尔当消元法
　3.不存在逆矩阵（不可逆）的情况
在这⾥讨论何种情况下矩阵不可逆。

我们对⽅阵A的⾏进⾏线性组合，如果能构成单位阵，则该矩阵可逆，若⽆论怎样都构不成单位阵，那么这个矩阵就不可逆。

什么样的矩阵⽆论怎样都构不成单位阵？
回想之前的列图像，如果我们拥有两个不共线的⼆维向量，那么我们可以⽤它们构成⼆维平⾯上的任⼀向量。

但是，如果两个向量共线，那么⽆论怎样，我们都只能得到与他们共线的向量，就像⼀条直线⽆法确定⼀个平⾯⼀样。

好了，回到矩阵，若⼀个⽅阵不可逆，则它必定是奇异的（⾏列式为0），⽽⽅阵奇异的条件是⽅阵中的⼀个列向量能从其他列向量的线性组合中得到。

也许上⾯的说法没学到后⾯的知识很难理解，在这⾥给出另⼀个解释。

如果可以找到⼀个⾮零向量X，使得AX=0，则⽅阵A不可逆（奇异）。

反之，如果⼀个⽅阵A不可逆，则必可以找到⼀个⾮零向量X，使得AX=0。

为什么呢？
我们可以⽤反证法证明：
设AX=0，且A可逆。

则有I=A-1A
有IX=(A-1A)X=A-1(AX)=A-10=0
显然，IX=X≠0
所以若AX=0，则A不可逆。

　4.乘积的逆
AB(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AA-1=I
(B-1A-1)AB=B(AA-1)B-1=BB-1=I
故：(AB)-1=B-1A-1
另：(A T)-1=(A-1)T
四、转置矩阵
　1.概念
何为转置矩阵？将原矩阵A的⾏与列交换得到的新矩阵就是转置矩阵，⽤A T表⽰。

⽐如的转置是，的转置是
　2.有事出门，回来再写……（2016.8.26）。