专升本高数模拟题3

专升本高等数学模拟题
一、填空题（每题3分，共30分） 1. =+→x
x x a 10
)sin 1(lim __________.
2. 3sin )
23()3(lim
0=--→x
x f f x ，则=)3('f __________.
3. 若常数b a ,使得5)(cos sin lim 20=--→b x a e x
x x ，则=b _____________.
4. 设⎩⎨⎧+=+=t t y t x arctan )1ln(，则==1|t dx dy
_____________.
5. )(x f y =是0122=--y x 所确定的隐函数，求=dx
dy
_____________. 6. 函数2
1x x
y +=
，则其单调递增区间是______________. 7. 若C e dx x f x +=⎰2
)(，则=)(x f ______________. 8. 求⎰
+∞
=e
dx x x 2
)(ln 1
______________.
9. 曲线2,1,2===x y x y 所围成的面积是_________________. 10. 微分方程0'2''=+-y y y 的通解是________________. 二、选择题（每题3分，共15分）
1. 设⎪⎩⎪
⎨⎧>≤=0,sin 0,)(x x x x x x f ，则)(x f 在)1,1(-上( )
A. 可去间断点
B. 每一个点处都连续
C. 跳跃间断点
D. 第二类间断点
2. 当0→x 时，x x x cos sin -是2x 的_______无穷小.
A. 低阶无穷小
B. 等价无穷小
C. 同阶无穷小
D. 高阶无穷小 3. 对于函数)(x f y =，0)(0=x f ，0)(''0<x f ，0)
(lim
=-→x x x f x x ，则0x x =是( ) A. 极大值点 B. 极小值点 C. 不是极值点 D. 拐点 4. 设)(x f y =在],[b a 上连续，则结论不正确的是( ) A. 若0)(2=⎰dx x f b
a ，则在],[
b a 上0)(=x f ；
B. )()2()(2x f x f dx x f dx d x
x
-=⎰，其中],[2,b a x x ∈； C. 若0)()(<b f a f ，则在],[b a 内存在一点ξ，使0)(=ξf ； D. 设函数)(x f y =在],[b a 上有最大值
M ，最小值m ，则
)()()(a b M dx x f a b m b
a -≤≤-⎰。

5. 下列级数绝对收敛的是( )
A. ∑∞
=-+-0
1
1)1(n n n B.
∑∞
=-+-1
1
)1ln()1(n n n C. ∑
∞
=+1
39
cos n n n D.
∑∞
=11
n n
三、解答题（每题5分，共30分）
1. 求)
sin 1ln(lim 0x e e x
x x +--→；
2. 设x x y )sin 1(+=，求函数)(x y 在π=x 处的微分；
3. 求dx x ⎰
-π50
2cos 1；
4. 求dx x ⎰arctan ；
5. 求dx x x
x x
x ⎰-++-1
12
)1cos 45(
； 6. 设⎩⎨⎧>+≤+=0),1ln(0
,2)(x ax x b x x f ，求常数b a ,的值，使)(x f 在0=x 处可导。

四、解答题（每题6分，共18分）
1. 过点)1,2,1(-A 且平行于平面0732=-+-z y x 且与直线L ：⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=-=t z t y t x 231
相交的直
线方程。

2. 1323
1
)(23++-=x x x x f ，求(1))(x f 的极值；(2))(x f 的拐点。

3. 根据
∑∞
=-=+0
)1(11
n n n x x ，(1)将)1ln(x +展开成x 的幂级数。

并指出收敛域；(2)将)3ln(x +展开成2-x 的幂级数，并指出收敛域。

五、证明题（7分）
)(x f 在],[b a 上连续，二阶可导，过))(,()),(,(b f b a f a 直线与曲线)(x f y =相交于
)()),(,(b c a c f c <<，证明：
(1) 在),(b a 内存在两点21,ξξ，使)(')('21ξξf f =； (2) 在),(b a 内存在一点ξ，使0)(''=ξf 。

参考答案：
一、填空题（每题3分，共30分） 1. a e 2.
23 3.9- 4. 3 5. y x 6. [-1,1] 7. 22x xe 8. 1 9. 3
4
10. )(21x C C e y x +=
二、选择题（每题3分，共15分）
1. C
2. C
3. A
4. B
5. C
三、解答题（每题5分，共30分）
1. 21
lim lim sin lim )sin 1ln(lim
0000=+=-=-=+--→-→-→-→x
x x x x x x x x x x x e e x e e x e e x e e ； 2. π-=++++=dy x
x
x x x dy x ],sin 1cos )1[ln()sin 1(
3. 10sin 5|sin |cos 10
50
50
2
===-⎰⎰⎰
dx x dx x dx x ππ
π
；
4. 设,2,,2tdt dx t x t x ===
dt t t t t t d t dt t t dx x ⎰⎰⎰⎰+-===22
2
2
1arctan )(arctan arctan 2arctan
C t t t t dt t
t t ++-=+-
-=⎰arctan arctan )111(arctan 2
2
2 C x x x x ++-=arctan arctan
5. 设,2
1
,45,452tdt dx t x t x -=-==- 61
4521452145132132
1
1
=--=⋅--=-⎰⎰⎰
-dt t dt t t t dx x
x
6. 20
)1ln(lim )0(,202lim
)0(00=--+==--+=→+→-x b
ax f x b b x f x x
0,0])1[ln(lim 0
==-=-+→b b b ax x
200
lim 0
)1ln(lim
00==--=--+→→a x ax x b ax x x
四、解答题（每题6分，共18分） 1. 解：L 上的一点B(-1,3,0),则)1,2,0(-=AB ,
k j i k
j
i
n 25211120--=-=
k j i k j i
s 13971
3
2215
---=---=
13
1
9271-=
-=+z y x 2.1323
1
)(23++-=x x x x f ，)3)(1(34)('2--=+-=x x x x x f ，
0)('30)('31;0)('1>><<<><x f x x f x x f x 时，；当时，当时，当
所以，极大值7)3(,3
5
)1(==-==f f f f 极小极大
)3
5
,2(,2,042)(''拐点为==-=x x x f
3.解：(1)
11)1(11
<<--=+∑∞
=x x x n n n ， ∑⎰⎰∞=-=+000)1(11n x n n x
dx x dx x ，∑∞=++-=+0111)1()1ln(n n n
x n x 当1-=x 时，发散；当1=x 时，收敛。

所以收敛域为]1,1(-。

(2))5
2
1ln(5ln )521(5ln )]2(5ln[)3ln(-++=-+
=-+=+x x x x ∑∑∞
=+--∞
=+-+-+=-+-+=0
1101)2(15)1(5ln )52(11)1(5ln n n n n n n n
x n x n , 收敛域为：73,15
2
1≤<-≤-<
-x x 即 五、证明题（7分） 证明：(1)因为)(x f 在],[b a 上连续，二阶可导，所以)(x f 在],[c a 上连续，),(c a 上可导，由拉格朗日中值定理可得，至少存在一点),(1c a ∈ξ，使得
a
c a f c f f --=
)
()()('1ξ。

同理，至少存在一点),(2b c ∈ξ，使得c
b c f b f f --=)
()()('2ξ。

因为))(,()),(,(b f b a f a ))(,(,c f c 在一条直线上，所以a c a f c f --)()(c b c f b f --=
)
()(，故)(')('21ξξf f =.
(2)由已知，在],[b a 上函数)('x f 可导，即)(''x f 存在，又由(1)可得存在满足
)(')('21ξξf f =的点21,ξξ),(b a ∈，由罗尔定理可得，至少存在一点
ξ),(),(21b a ⊂∈ξξ，使0)(''=ξf 。