河南省信阳市第一高级中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试卷(扫描版)

2018—2019学年上期期末考试 高中二年级数学（理科） 参考答案
二.填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13． 14．3- 15．5+ 16．②③④ 三.解答题
17．（本小题满分10分）
解：(1)当2=m 时，.21:<<-x q 又由已知得.14:≤≤-x p …………2分
因为命题“p q ∨”为真，所以p 真q 真，或p 真q 假，或p 假q 真，
所以⎩⎨⎧<<-≤≤-,21,14x x 或⎩⎨⎧≥-≤≤≤-,21,14x x x 或或⎩
⎨⎧<<->-<,21,14x x x 或
解得24<≤-x ，所以满足命题“p q ∨”为真的实数x 的取值范围是[)2,4-.……5分 (2) 由题意得p 对应的数集为[]1,4-=A ,q 对应的数集为B ，
因为p 是q 的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集，即14≤≤-m ， 故实数m 的取值范围是[]1,4-．…………10分 18．（本小题满分12分）
解：（1）∵()
.12*
∈-+=N n n n S n
∴当2n ≥时，2
1(1)(1)1n S n n -=-+-- …………2分
∴22
11[(1)(1)1]2n n n a S S n n n n n -=-=+---+--=；…………4分
又当1n =时，111a S ==，不满足上式. …………5分
∴1,1
2,2n n a n n =⎧=⎨
≥⎩
.…………6分
（2）当2n ≥时，111111
()22(1)41
n n n b a a n n n n +=
==⋅-⋅++…………8分 ∴211111111[()()()]4423341
1n n T b b b n n =+++=
+⋅-+-++-+L L 11131
(1)421844
n n =⋅+-=-
++；…………10分 ∵当1n =时，11211
4
1T b a a ===，满足上式；…………11分 ∴31
844
n T n =
-
+.…………12分 19．（本小题满分12分）
解：（1
）依题意得：1
sin 2(sin )2sin()223
π
C C C C C ==+=， 即sin()13
π
C +
=，…………3分 ∵0C π<<，∴4333
πππ
C <+<，
∴32ππC +=，∴6
π
C =；…………5分
（2）方案一：选条件①和③，…………6分
由余弦定理2222cos a b ab C c +-=
，有2
2
2
34b b +-=，…………8分 则2b =
，a =10分
所以111
sin 2222S ab C =
=⨯⨯=．…………12分 方案二：选条件②和③，…………6分 由正弦定理
sin sin c b C B =
，得sin sin B
b c C
=⋅=8分
∵A B C π++=，
∴sin sin()sin cos cos sin 4
A B C B C B C =+=+=
，…………10分
∴11sin 2122S bc A =
=⨯．…………12分 说明：
若选条件①和②，由a =
得，sin 1A B ==>，不成立，这样的三角形不存在．
20．（本小题满分12分）
解：（1）由题意可得处理污染项目投放资金为(100)x -百万元， 所以()0.2(100)N x x =-，…………2分
∴500.2(100),[0,100]10x
y x x x
=
+-∈+错误!未找到引用源。

．…………5分 （2）由（1）可得，505000.2(100)70()10105
x x
y x x x =+-=-+++，
5001072()722052105x
x +=-+≤-=+…………9分
当且仅当50010105
x
x +=
+，即40x =时等号成立． 此时1001004060x -=-=．…………11分
∴y 的最大值为52（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为40（百万元），60（百万元）．…………12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）取AB 中点O ，连接BD 、DO 、SO ，
在直角梯形ABCD 中，090BCD ∠=，060BAD ∠=，2AB =，1CD = ∴1OA OB ==，DO AB ⊥，3OD =；
∴BD AB =，又060BAD ∠= ∴ABD ∆为等边三角形． ∵SA SB ⊥，∴ 1
12
SO AB =
=． ∵2SD =，∴222OS OD SD +=．∴DO SO ⊥．
∵AB SO O =I ，∴DO ⊥平面SAB ．
∵DO ⊂平面ABCD ，∴平面SAB ⊥平面ABCD ．…………5分 （2）∵22222211(2)OS OA SA +=+==，∴SO AO ⊥． 由（1）知，平面SAB ⊥平面ABCD ，∴SO ⊥平面ABCD ，
∴直线,,OD OB OS 两两垂直．以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -，如图， 则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(3,0,0),(3,1,0),(0,0,1)O A B D C S -．
∴
(0,1,1),(3,0,1),(0,1,0)AS SD DC ==-=u u u r u u u r u u u r ． …………6分 设平面ASD 的法向量为(,,)x y z =m ，
由00
AS SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r
m m
，得00y z z +=⎧⎪-=，取1x =
，得(1,=m ，…………8分 设平面SCD 的法向量为(,,)x y z =n ，由00
SD DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r
n n
，得0
20z y -==⎪⎩，取1x =，
得=n ， …………10分
∴cos ,7
⋅<>==⋅m n m n m n ，…………11分
由图可知二面角A SD C --为钝二面角，
∴二面角A SD C --
的余弦值为7
-． …………12分
22．（本小题满分12分）
解：(1)
由题意知22224122a c b a b c
=⎧⎪⎪
⋅⋅=⎨⎪⎪=+⎩
2
1a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的方程是x 24＋y 2
3
＝1． …………4分
(2)由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0．…………6分
因为动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0， 即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*) 此时x 0＝－4km 4k 2＋3
＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3
m ，所以M ⎝⎛⎭⎫－4k m ，3m . 由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4，
y ＝kx ＋m 得N (4,4k ＋m )．…………8分 假设平面内存在定点P 满足条件，由图形对称性知，点P 必在x 轴上．
设P (x 1,0)，则0PM PN ⋅=u u u u r u u u r
对满足(*)式的m 、k 恒成立．
因为PM u u u u r ＝⎝⎛⎭⎫－4k m －x 1，3m ，PN u u u r ＝(4－x 1,4k ＋m )，由0PM PN ⋅=u u u u r u u u r ，…………10分
得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k
m
＋3＝0， 整理，得(4x 1－4)k m ＋x 21
－4x 1＋3＝0.(**) …………11分
由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
4x 1－4＝0，
x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1.
故存在定点P (1,0)，使得以MN 为直径的圆恒过点M . …………12分。