2019-2020学年人教A版数学必修二同步作业：综合卷2

模块综合测试卷(二)
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)
1．直线3x＋3y－1＝0的倾斜角为()
A．60°B．30°
C．120°D．150°
答案 C
2．设E，F，G分别为四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱有()
A．0条B．1条
C．2条D．3条
答案 C
3．直线3x＋4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是()
A．相离B．相交
C．相切D．无法判定
答案 C
4．已知A(0，8)，B(－4，0)，C(m，－4)三点共线，则实数m的值是()
A．－6 B．－2
C．2 D．6
答案 A
5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面．下列命题中正确的是() A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β
答案 B
6．下列说法中正确的个数有()
①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；
②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；
③两条直线被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例；
④如果夹在两平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面平行．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
答案 B
7．若a>0，b<0，c<0，则直线ax ＋by ＋c ＝0必不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
答案 B
8．直线l 1过A(3，0)，直线l 2过B(0，4)，且l 1∥l 2，用d 表示l 1与l 2间的距离，则( ) A ．d ≥5 B ．3≤d ≤5 C ．0≤d ≤5 D ．0<d ≤5 答案 D
9．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是( )
A ．(x －5)2＋y 2＝5
B ．(x ＋5)2＋y 2＝5
C ．(x －5)2＋y 2＝5
D ．(x ＋5)2＋y 2＝5 答案 D
10．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN|≥23，则k 的取值范围是( ) A ．[－3
4，0]
B ．(－∞，－3
4]∪[0，＋∞)
C ．[－
33，33
] D ．[－2
3，0]
答案 A
11．在正方体ABCD －A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E 、交CC′于F ，则以下结论中错误的是( )
A ．四边形BFD′E 一定是平行四边形
B ．四边形BFD′E 有可能是正方形
C ．四边形BFD′E 有可能是菱形
D ．四边形BFD′
E 在底面投影一定是正方形 答案 B
12.如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠A ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在( ) A ．直线AC 上 B ．直线AB 上 C ．直线BC 上 D ．△ABC 内部
答案 B
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a
3，过P ，
M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________． 答案
22
3
a 14．与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是________． 答案 10x ＋15y －36＝0
15．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm 3.
答案 144
16.如图所示，在三棱锥P －ABC 中，面PAC ⊥面ABC ，∠ABC ＝90°，PA ＝PC ＝32，BA ＝BC ＝2，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为________．
答案
81
4
π
解+析 如图，取AC 中点O ，连接BO ，PO. ∵BA ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°. ∴AC ＝22，且O 为△ABC 的外心． ∵PA ＝PC ，O 为AC 中点， ∴PO ⊥AC.
又∵面PAC ⊥面ABC ，面PAC ∩面ABC ＝AC ，
∴PO ⊥面ABC.
∴三棱锥P －ABC 外接球球心G 在PO 上，且为△PAC 的外心． 在△PAC 中，PO ＝4，∴sin ∠PAO ＝PO PA ＝22
3，
2R ＝PC sin ∠PAO ＝32223＝92
，R ＝94，S ＝4πR 2＝81
4π.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(本小题满分10分)如图所示，已知A(1，3)，B(－1
，－1)，C(2，1)．求△ABC 的BC 边上的高所在的直线方程．
解+析 如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，k BC ＝1－（－1）2－（－1）＝2
3，∵AD ⊥BC ，∴k AD ·k BC
＝－1，
∴k AD ＝－32.故BC 边上的高AD 所在直线斜率为－3
2，且过点A(1，3)．
∴直线方程为y －3＝－3
2
(x －1), 即3x ＋2y －9＝0.
18．(本小题满分12分)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是AD 1，BD 上
的点，且AP ＝BQ ，求证：PQ ∥平面DCC 1D 1.
证明 连接AQ 并延长交DC 于点E ，连接D 1E ，如图． 在正方体AC 1中，AD 1＝BD ， 又∵AP ＝BQ ，∴PD 1＝DQ. ∵AB ∥CD ，∴AQ QE ＝BQ QD ＝AP
PD 1
，
∴PQ ∥D 1E.又∵PQ ⊄平面DCC 1D 1
，D 1E ⊂平面DCC 1D 1.
∴PQ ∥平面DCC 1D 1.
19．(本小题满分12分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P(2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点．
(1)当直线l 过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长． 解+析 由题意得，圆C 的圆心C(1，0)，半径r ＝3. (1)当l 过圆心C 时，k ＝k CP ＝2－02－1＝2.
∴l 方程为y －0＝2(x －1)，即2x －y －2＝0. (2)当l 倾斜角为45°时，k ＝1，
此时直线方程为：y －2＝x －2，即x －y ＝0. 圆心C 到直线l 的距离d ＝|1－0|2＝22.
∴|AB|＝2
r 2－d 2＝2
9－1
2
＝34. 20．(本小题满分12分)直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 解+析 (1)若l 在两坐标轴上截距相等，则a ≠－1.
①当2－a ＝0，即a ＝2时，直线过原点，横纵截距离均为0，满足题意． ②当2－a ≠0时，将直线方程化为截距式，l ：x 2－a a ＋1
＋y
2－a
＝1.
∴2－a a ＋1
＝2－a ，即a ＝0. 综上：a ＝0或a ＝2.
(2)直线l 过定点(1，－3)，∴l 不经过第二象限，只需k ≥0，即－(a ＋1)≥0，∴a ≤－1.
21．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥面BCD ，P 为BD 上一点，AB ＝CD
＝1，BC ＝ 3.
(1)当BD等于多少时，面ABC⊥面ACD?
(2)在(1)的条件下，若三棱锥D－APC的体积等于
3
9时，求CP的长．
解+析(1)在平面ABC内过点B作BE⊥AC交AC于点E，若面ABC⊥面ACD，则BE⊥面ACD，又AD⊂面ACD，∴BE⊥AD，
∵AB⊥面BCD，CD⊂面BCD，
∴AB⊥CD，
∵AB⊂面ABC，BE⊂面ABC，AB∩BE＝B，
∴DC⊥面ABC.
又BC⊂面ABC，∴DC⊥BC，即∠BCD＝90°，
∵CD＝1，BC＝3，∴BD＝2.
即当BD＝2时，面ABC⊥ACD.
(2)由(1)可知∠BCD＝90°，∠BDC＝60°，
∴S△PCD＝1
2DC·DPsin60°＝
3
4DP，
∵AB⊥面BCD，
∴V D－APC＝V A－DPC＝1
3AB·S△DPC ＝3
12DP＝
3
9
，
∴DP＝4
3
，
∴在△PCD中，CP2＝DC2＋DP2－2DC·DPcos60°＝13
9
，
∴CP＝13
3.
22.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.
(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；
(2)求直线PC与平面ABM所成的角的正切值；
(3)求点O到平面ABM的距离．
解+析(1)证明：∵M点在以BD为直径的圆上，
∴BM⊥MD，即BM⊥PD.
∵PA ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，∴PA ⊥AB. ∵底面ABCD 为矩形，∴AB ⊥AD.
又PA ∩AD ＝A.∴AB ⊥面PAD ，又PD ⊂面PAD ， ∴AB ⊥PD.
又∵AB ∩BM ＝B ，∴PD ⊥面ABM ，PD ⊂面PCD. ∴平面ABM ⊥平面PCD.
(2)如图，过M 点作MN ∥CD 交PC 于点N ，连接BN. ∵AB ∥CD ，MN ∥CD ， ∴AB ∥MN.
∴PC 与平面ABM 的交点为N.
由(1)知PD ⊥面ABM ，∴MN 即为PN 在平面ABM 上的射影，∴∠PNM 即为PC 与平面ABM 所成角，且∠PNM ＝∠PCD. ∴tan ∠PNM ＝tan ∠PCD ＝PD
DC
＝2 2.
∴直线PC 与平面ABM 所成角的正切值为2 2.
(3)∵O 为BD 的中点，∴O 到平面ABM 的距离为D 到平面ABM 距离的一半，由(1)知，PD ⊥面ABM 于点M ，∴DM 即为点D 到平面ABM 的距离．在Rt △PAD 中，PA ＝AD ＝4.PD ⊥AM.∴M 为PD 中点，∴DM ＝1
2PD ＝2 2.
∴O 到平面ABM 的距离为 2.。