(陕西)中考数学 第一章 数与式 1

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【思路点拨】 本题考查科学记数法表示大数．科学记 数 法 的 表 示 形 式 为 a×10n 的 形 式 ， 其 中 1≤|a| ＜ 10 ， n 为 整 数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少 位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】 将300 000用科学记点 无理数的认识
【例7】 实数 3 27 ， 0，－π，
16 ，
1 3
，0.101
001
000 1…(相邻两个1之间依次多一个0)，其中无理数有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【错解】 D
【错解分析】 本题考生易错之处有以下几点：一是对 无限循环小数和无限不循环小数是不是无理数不清楚，题中 0.101 001 000 1…(相邻两个 1 之间依次多一个 0)是一个无限 不循环小数，它是一个无理数；二是对含根号的数理解不清， 不是所有带根号的数都是无理数，要通过化简后才能说明，
►知识点二 实数的相关概念
1．数轴 (1)规定了___原__点___、_正__方__向___和_单__位__长__度___的一条直线 叫做数轴． (2)实数和数轴上的点是__一__一____对应的． 2．倒数 (1)若a、b两个实数互为倒数，则ab＝___1_____. (2)除___零_____没有倒数外，其他任何有理数都有倒数， 1的倒数是___1_____.倒数等于它本身的数是___±__1___.
3．利用作差法比较大小 设a、b是任意两实数，若a－b＞0，则___a_＞__b__；若a－ b＝0，则__a_＝__b___；若a－b＜0，则__a_＜__b___.
4．利用商值比较大小 设 a、b 是两正实数，若ab＞1，则 a＞b; 若ab＝1, 则 a＝ b；若ab＜1，则 a＜b.
►知识点四 实数的运算
2．近似数 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确 到哪一位．
►知识点七 二次根式
1．定义：形如__a_(_a_≥__0_)__的式子叫二次根式． 【注意】a可以代表一个数或式，但a必须为非负数． 2．最简二次根式满足的两个条件 (1)__被__开__方__数__不__含__开__得__尽__方__的__因__数__或__因__式_____． (2)__被__开__方__数__的__因__数__是__整__数__，__因__式__是__整__式_____．
2．有理数和无理数 (1)有理数：整数与___分__数___统称为有理数．
(2)无理数：无限不循环小数叫做无理数．
常见无理数的四种形式：①含π的数，如π，π2等；
②开方开不尽的数，如
2，
3，
5 2
等；③某些三角函数
型的数，如sin60°，cos45° ，tan30°等；④除以上三种特殊形
式外，还有例如1.010 010 001…这样的数，也是无理数的一种
(－2)2＝4， (－3)3＝－27.
3.有理数混合运算的顺序 (1)先乘方，再乘除，最后加减． (2)同级运算，从左到右进行． (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、 大括号依次进行．
►知识点五 平方根、算术平方根与立方根
开方：求平方根的运算叫开方．乘方与开方互为逆运算.
名称 被开方数a
3．二次根式的性质
(1) a___≥_____0. (2)( a)2＝___a_____(a≥0)．
(3)
a2＝__|a_|_____＝
a －a
a≥0， a＜0.
(4) ab＝___a_·_b___(a≥0，b≥0)．
b (5) ba＝____a____(a＞0，b≥0)．
4．二次根式的化简运算 (1) a· b＝___a_·b____ (a≥0, b≥0)；
5．非负数的性质 几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0. 若|a|＋b2＋ c＝0，则a＝b＝c＝0.
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实数的相关概念
【例 2】 (2015·陕西)计算：(－23)0＝( A )
A．1
B．－32
C．0
D．23
【思路点拨】 本题考查实数的相关概念及运算．根据
1．运算法则 (1)加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相 加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等 时，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小 的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数．如－1－3＝－(1＋ 3)＝－4.
(2)减法：减去一个数等于加上这个数的相反数． (3)乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，再将两数的 绝对值相乘．任何数同0相乘，仍得0.如(－2)×3＝－(2×3) ＝___－__6___. (4) 除 法 ： 除 以 一 个 不 为 0 的 数 ， 等 于 乘 以 这 个 数 的 倒 数．
第一部分 教材同步复习
第一章 数与式
1.1 实 数(含二次根式)
知识要点 ·归纳
►知识点一 实数及其分类
1．正数和负数 (1) 正 数 和 负 数 ： 大 于 0 的 数 叫 做 正 数 ， 在 正 数 前 面 加 “－”的数叫做负数． (2)正负数的意义：用来表示具有相反意义的量，如“比 0高的得分与比0低的得分”，“零上温度与零下温度”， “盈利额与亏损额”，“收入与支出”都是具有相反意义的 量．如向东走10米记作＋10米，则向西走5米记作_－__5__米．
零指数幂的概念即可求解．
【解答】 (－23)0＝1.
实数的大小比较 (热频考点)
【例 3】 (2015·陕西)将实数 5，π，0，－6 由小到大 用“＜”号连起来，可表示为__－__6_＜___0_＜____5_＜___π___.
【思路点拨】 本题考查了实数大小比较的方法. 正实 数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个 负实数比较，绝对值大的反而小，据此判断即可．
实数的运算
(热频考点)
【例 4】 (2014·陕西)计算：(－13)－2＝____9____. 【思路点拨】 本题考查实数的幂运算．根据负整数指 数幂运算法则即可得到答案． 【解答】 (－13)－2＝－1132＝119＝9.
实数的幂运算常以零次幂，负整数次幂的形式出现.将 这些数按照零次幂，负整数次幂运算法则进行运算.
【解答】 5≈2.236，π≈3.14， ∵－6＜0＜2.236＜3.14， ∴－6＜0＜ 5＜π.
比较实数大小的方法有多种，选用哪种方法简便要看 题目的具体情况.对于两个数比较大小可以直接观察或运用 求差法与作商比较法，两个无理数需平方后再比较；对于 多个数比较大小，一般选用数轴法，即将这些数在数轴上 描出大概位置，再比较.
平方根 算术平方根
a≥0 a≥0
正数 ±a
a
结果 0 0 0
负数 没有 没有
立方根 a为实数
3a
0
3a
【注意】平方根与立方根最根本的区别是：负数没有平 方根，但有立方根，而且任何数的立方根都只有一个．
用计算器求平方根或立方根：1.求一个数的算术平方根
的按键顺序：先按
键，再输入被开方数，最后按 ＝
键.2.求一个数的立方根的按键顺序：先按 3 被开方数，最后按 ＝ .)
如题中3 27＝3， 16＝4，所以这两个数都是有理数；三是对 π 及含 π 的数理解不清，π 是无限不循环小数，是无理数， 所以化简后含 π 的数也都是无理数．
【正解】 ∵3 27＝3， 16＝4，都是有理数，∴无理数 有－π，0.101 001 000 1…(相邻两个 1 之间依次多一个 0)共 2 个．故选 B．
，再输入
►知识点六 科学记数法及近似数
1．科学记数法 把一个数写成a×10n的形式(其中1≤|a|＜10，n为整数)， 这种记数法叫做科学记数法． (1)当原数的绝对值大于或等于1时，n等于__原__数__的__整__数__ __位__数__减__1____. (2)当原数的绝对值小于1时，n是负整数，它的绝对值等 于原数中__左______起第一位非零数字前零的个数(含小数点前 的0)．
4．绝对值
对于任意实数a有：|a|＝
a 0
a＞0 a＝0
－a a＜0
(1)数轴上表示数a的点与原点的距离记作|a|.
(2)任何实数的绝对值都是一个非负数．
►知识点三 实数的大小比较
1．利用数轴比较大小 因为数轴上右边的点表示的数总是比左边的点表示的数 大，所以负数___小__于__0,0___小__于__正数，负数__小__于___正数． 2．利用绝对值比较大小 两个正数比较大小，绝对值大的较___大_____； 两个负数 比较大小，绝对值大的反而__小______．
平方根与立方根
【例 5】 (2014·陕西)4 的算术平方根是( B )
A．－2
B．2
C．－12
D．12
【思路点拨】 本题主要考查算术平方根的定义．根据
一个正数的平方根有2个，互为相反数，其中正的平方根是
它的算术平方根．
【解答】 ∵22＝4，∴4的算术平方根是2.
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3．相反数 (1)只有__符__号____不同的两个数互为相反数． (2)实数a的相反数是__－__a____；相反数是它本身的数是 ___0_____. (3)若a、b互为相反数，则a＋b＝___0_____，且|a|＝|b|. (4)数轴上表示相反数的两个点在原点两边，且到原点的 距离相等，这两个点关于原点__对__称____．
类型．
(3)实数：有理数和无理数统称为实数．
【注意】并不是所有含有根号的数就是无理数，如 4 ＝ 2， 9 ＝3都是有理数；并不是所有的含有锐角三角函数的数 就是无理数，如sin30°＝12，tan45°＝1都是有理数．
用有理数估算一个含根式的无理数时，一般先对根式平 方(立方)，找出与平方(立方)后所得数字相邻的两个开得尽 方的整数对其进行平方(立方)，就可以确定这个根式在哪两 个整数之间，例如，估算 7 在哪两个整数之间时，先对 7 平方，找出与7相邻的两个开得尽方的整数4和9，因为4＜7 ＜9，所以 4＜ 7＜ 9，即2＜ 7＜3.)
2．常见运算及法则
运算
法则
举例
50＝1，
零次幂
a0＝1(a≠0) (－ 3)0＝__1_____，
(π－3)0＝1.
负整数 指数幂
3－1＝13，
a－p＝a1p(a≠0，p 为整 数)
1 (12)－2＝___12_2_＝4，
(－15)－1＝__－__5___.
负数的奇 偶次幂
负数的奇数次幂为 负数，负数的偶数次 幂为正数
a (2) ab＝_____b___(a≥0, b＞0)． (3)进行二次根式的加减运算时，先把各个二次根式化为 最简二次根式，再把____同__类__项__合__并_____，非同类二次根式不 能合并．
(4)二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与 实数的运算顺序相同，有理数的加法交换律、加法结合律、 乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律，以及多项 式的乘法公式，都适用于二次根式运算．
3．实数的分类
有理数整数
正整数 0
负整数
自然数
有限小数 或无限循
实数
分数
正分数 负分数
环小数
无理数
正 负无 无理 理数 数无限不循环小数
【注意】(1)所有的分数都是小数，所有的有限小数和 无限循环小数都是有理数，所有的无限不循环小数都是无理 数；(2)π是一个无理数，所有化简后含π的数都是无理数， 如32π；(3)形如 22的数是无理数而不是分数．