四川省内江六中高三数学上学期第三次月考试题 理(含解

四川省内江六中高2014届第三次月考
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.已知全集U =N ，集合P ={}，6，4，3，2，1Q={}1,2,3,5,9则()
P C Q =U I ( ) A ．{
}3,2,1 B ．{}9,5
C ．{}6,4
D {
}6,4,3,2,1
2.复数
1
1i -的共轭复数为( ) A.11+22i B. 1122i - C. 11+22i - D. 1122
i --
3.下列命题中错误的是( )
A ．命题 “若2
560x x -+=，则3x =”的逆否命题是“若3x ≠，则2
560x x -+≠” B ．若x 、y ∈R ，则“x y =”是2
(
)2
x y xy +≥成立的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假
D ．对命题p ：x R ∃∈，使2
20x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，则2
20x x ++≥
4.将函数()sin()f x x ωϕ=+的图象向左平移2
π
个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于（ ） A.4
B.6
C.8
D.12
5.已知命题p ：函数1
2+-=x a
y 恒过（1,2）点；命题q ：若函数)1(-x f 为偶函数，则()f x 的图像关
于直线1x =对称，则下列命题为真命题的是（ ）
A.p q ∧
B.p q ⌝∧⌝
C.p q ⌝∧
D.p q ∧⌝ 【答案】B 【解析】
试题分析：函数1
2+-=x a
y 恒过点（－1,2），所以命题P 是一个假命题. 函数)1(-x f 为偶函数，则
(1)(1)f x f x --=-，所以直线1x =-是它的对称轴.故命题Q 也是假命题.所以选B.
考点：1、函数的性质；2、命题与逻辑.
6.R 上的奇函数()f x 满足)()3(x f x f =+，当01x <≤时，()2x f x =，则(2012)f =（ ） A. 2- B. 2 C. 12-
D. 1
2
【解析】
试题分析：据题意得，这是一个周期为3的周期函数，且为奇函数.所以(2012)(1)(1)2f f f =-=-=-.选A.
考点：函数的性质.
7.函数2
lg ()=
x
f x x 的大致图像为（ ）
【答案】D 【解析】
试题分析：显然这是一个偶函数.当1x >时， ()0f x >.所以选D. 考点：函数的性质及图象.
8.某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），那么这位教师一天的课的所有排法有（ ） A ．474种 B ．77种 C ．462种 D ．79种
【答案】A
试题分析：从9节课中任选3节来排共有3
9A 种排法.其中3节连上的有53!⨯，所以符合条件的有
39A 53!474-⨯=种.选A.
考点：排列.
9.如图，菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=o ,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点（含边界），则
AM AN ⋅u u u u r u u u r
的最大值为（ ）
A.3
B. 23
C. 9
D.6
【答案】C
10.函数()f x 的定义域为A ,若存在非零实数t ，使得对于任意()x C C A ∈⊆有,x t A +∈且
()()f x t f x +≤，则称()f x 为C 上的t 度低调函数.已知定义域为[)0+∞，的函数()=3f x mx --，且()f x 为[)0+∞，上的6度低调函数，那么实数m 的取值范围是（ ）
A.[]0,1
B. [)+∞1，
C.(],0-∞
D.(][),01,-∞+∞U 【答案】D 【解析】
试题分析：由题意得，(6)()633f x f x mx m mx +≤⇒+-≥-对任意0x ≥都成立.当0m ≤时，
6330633m mx m mx -≤-<⇒+-≥-恒成立；当0m >时，结合图象可知，要
633mx m mx +-≥-对任意0x ≥都成立，只需0x =时633mx m mx +-≥-成立即可，即
6331
m m
-≥-⇒≥.选D.
考点：1、新定义函数；2、绝对值不等式.
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.函数
1
y x
x
=+的极大值为 .
12.阅读右侧程序框图，则输出的数据S为______.
i
13.设6
()x x
-
的展开式中3x 的系数为A ,二项式系数为B ,则:A B = .
14.在△ABC 中，0
60,23,C AB AB ∠==边上的高为
8
3
，则AC BC += . 【答案】11【解析】
试题分析:由面积相等得：
11832
sin 60232233
ab ab =⨯⇒=
o . 由余弦定理得：222
122cos 60()12344,211a b ab a b ab a b =+-⇒+=+=∴+=o 考点：解三角形.
15.设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:,f V V a V →∈，记a 的象为()f a 。

若映射:f V V →满足：
对所有a b V ∈、及任意实数,λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+，则f 称为平面M 上的线性变换。

现有下列命题：
①设f 是平面M 上的线性变换，a b V ∈、，则()()()f a b f a f b +=+；
②若e 是平面M 上的单位向量，对,()a V f a a e ∈=+设，则f 是平面M 上的线性变换； ③对,()a V f a a ∈=-设，则f 是平面M 上的线性变换；
④设f 是平面M 上的线性变换，a V ∈，则对任意实数k 均有()()f ka kf a =。

其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.函数()sin()16
f x A x π
ω=-
+(A ＞0,ω＞0)的最小值为-1，其图象相邻两个对称中心之间的距离为
2
π. （1）求函数()f x 的解析式
（2）设),0(π∈α，则()312
f α
=+，求α的值.
17.（本小题满分12分）某市职教中心组织厨师技能大赛，大赛依次设基本功（初赛）、面点制作（复赛）、热菜烹制（决赛）三个轮次的比赛，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是34，23，1
4
且各轮次通过与否相互独立．
（I ）设该选手参赛的轮次为ξ，求ξ的分布列和数学期望； （Ⅱ）对于（I ）中的ξ，设“函数()3sin
()2
x f x x R ξ
π+=∈是偶函数”为事件D ，求事件D 发生的概率．
即得事件D 发生的概率是.
试题解析：（I ）ξ可能取值为1，2，3． -------------------------------2分
记“该选手通过初赛”为事件A ，“该选手通过复赛”为事件B ，
31(1)()1,44
321
(2)
()()()(1),
434
P P A P P AB P A P B ξξ===-
=====⨯-=
321
(3)()()().432
P P AB P A P B ξ====⨯= --------------------------5分
ξ的分布列为：
ξ
1 2 3
P
14 14 12
ξ的数学期望123.4424
E ξ=⨯+⨯+⨯= -------------------------- 7分
18.已知函数3
2
()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-. （I ）求函数()f x 的解析式； （II ）设函数1
()()3
g x f x mx =+
，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值.
【答案】（ I ）3
2
()22f x x x x =-+-；（II ）(,1)∈-∞m 时，函数()g x 有极值；
当1(21)3=
-x m 时，()g x 有极大值；当1
(21)3
=+-x m 时，()g x 有极小值. 【解析】
试题分析：（ I ）涉及切线，便要求出切点.本题中切点如何求？函数3
2
()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-.说明切点就是直线510y x =-与x 轴交点，所以令0y =便得切点为(2,0).切点既在切线上又曲线，所以有(2)0f =,即430b c ++=.
函数在切点处的导数就是切线的斜率，所以由已知有(2)1285f b c '=++=即870b c ++=.这样便得一个方程组，解这个方程组求出 ,b c 便()f x 的解析式.
（II ）因为321()223
g x x x x mx =-+-+
令21
()34103
g x x x m '=-++
= 当函数有极值时，则0∆≥，方程21
34103
x x m -++=有实数解， 由4(1)0m ∆=-≥，得1m ≤.
①当1m =时，()0g x '=有实数23x =
，在2
3
x =左右两侧均有()0g x '>，故函数()g x 无极值
②当m <1时,g '(x )=0有两个实数根x 1=13 (2－1－m ), x 2=1
3
(2+1－m ), g (x ),g '(x ) 的情况如下
表：
x 1(,)x -∞
1x
12(,)x x
2x
2()x +∞
()g x ' + 0 - 0 + ()g x
↗
极大值
↘
极小值
↗
(,1)∈-∞m ()g x
当1(21)3=
--x m 时，()g x 有极大值；当1
(21)3
=+-x m 时，()g x 有极小值. 考点：导数的应用.
19.33=cos sin ),cos sin ),0,22222x x x x a b x π→
→⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
已知向量（，（，-且。

（1）求+a b a b →→→→
⋅及；
（2）()2-f x a b a b λλ→→
→
→
=⋅-+3
若的最小值是，求的值2
.
【答案】（1）cos 2a b x =r r g ；2cos a b x +=r r . (2)12
λ=. 【解析】
试题分析：（1）直接由向量的运算法则即可得.
(2)222()cos 24cos 2cos 14cos 2(cos )12f x x x x x x λλλλ=-=--=---.
(0,)2x π
∈Q ，所以0cos 1x ∴≤≤.
①当0λ<时，当且仅当cos 0x =时，()f x 取最小值－1，这与题设矛盾.
②当01λ≤≤时，当且仅当cos x λ=时，()f x 取最小值2
12λ--.由23122λ--=-得12
λ=. ③当1λ>时，当且仅当cos 1x =时，()f x 取最小值14λ--.由3142λ--=-得518
λ=<，故舍去.. 综上得：12λ=. 考点：1、向量的模及数量积；2、三角恒等变换；3、函数的最值.
20.设函数()f x 对任意,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，当0x ≠时，()()0,12xf x f <=-
（1）求证：()f x 是奇函数;
（2）试问：在n x n -≤≤时 ()n N *
∈，()f x 是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由.
（3）解关于x 的不等式()2211()()()(),022
f bx f x f b x f b b -≥->
试题解析：（1）设0x y ==可得()00f =，设y x =-，则()()()0f f x f x =+-
所以()f x 为奇函数.
（2）任取12x x <，则210x x ->，又()()()()2211211f x f x x x f x x f x =-+=-+⎡⎤⎣⎦ 所以()()()21210f x f x f x x -=-<
所以()f x 为减函数。

那么函数最大值为()f n -，()()12f n nf n -=-=，()()12f n nf n ==-
所以函数最大值为2n .
21.(14分)已知函数()e e x f x x =-．
(Ⅰ)求函数()f x 的最小值；
(Ⅱ)求证：11111231e 1n n n +++⋅⋅⋅++->+()n *∈N ；
(Ⅲ)对于函数()h x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数,k b ，使得()h x kx b ≥+和()g x kx b ≤+都成立，则称直线y kx b =+为函数()h x 与()g x 的“分界线”.设函数21()()e e 2
x h x f x x x =-++，()eln g x x =，()h x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出,k b 的值；若不存在，请说明理由.
的值.
（Ⅲ）设21()()()eln (0)2
F x h x g x x x x =-=->. 则2e e (e)(e)()x x x F x x x x x
-+-'=-==． 所以当0e x <<
()0F x '<；当e x >()0F x '>． 因此x e =()F x 取得最小值0，则()h x 与()g x 的图象在e x =1(e,e)2
．。