双参数指数分布的兴趣参数的广义置信区间

双参数指数分布的兴趣参数的广义置信区间
袁守成
【摘要】In the report,the generalized confidence intervals for the percentile and the reliability function of the two-parameter exponential distribution were investigated.Firstly,the concept of generalized pivotal quantity was used to propose the generalized confidence intervals of two interest parameters.Secondly,under the sense of frequency,their exact confidence levels were proved.At last,the numerical simulation experiment was performed,and the results confirmed the validity of the method.%研究了双参数指数分布的分位数和可靠度函数的广义置信区间问题.首先利用广义枢轴量给出2个兴趣参数的广义置信区间,并证明了在频率意义下2个兴趣参数的广义置信区间具有实际的置信水平,最后通过实例对上述方法进行了数值模拟,结果验证了该方法的有效性.
【期刊名称】《海南大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2017(035)001
【总页数】4页(P22-25)
【关键词】双参数指数分布;广义置信区间;广义枢轴量;Fiducial模型
【作者】袁守成
【作者单位】普洱学院数学与统计学院,云南普洱665000
【正文语种】中文
【中图分类】O211.3
双参数指数分布是一类应用非常广泛的分布，常常用于产品寿命的可靠性分析中，也用于各种经济模型和工程技术问题中.Epstein[1]指出对于有瑕疵的材料，其强度服从双参数指数分布；Easterling[2]建立的关于蒸汽发生器的模型是基于双指数分布测量误差的假定上的；Bain等[3]在研究水文站的洪水资料时也是利用2个独立的双参数指数分布的变量之差生成双参数指数分布.因此，双参数指数分布在许多
领域都有着广泛的应用.对双参数指数分布的兴趣参数的置信区间的研究从未停止，研究者们提出过很多方法，比如基于参数的最优线性同变估计、最优线性无偏估计和最大似然估计等方法确定未知参数的精确置信区间；采用条件分布的方法给出了兴趣参数的置信区间[4].Engelhardt等[5]在产品的可靠寿命问题中，给出了兴趣
参数的近似置信下限，但由于计算方法过于复杂而不便于使用.笔者运用Weemhandi[6]提出的广义枢轴量方法，给出了双参数指数分布分位数和可靠度
函数的精确置信区间，该方法解决了在求参数置信区间时，由于讨厌参数和兴趣参数同时存在，难以获得兴趣参数的精确置信区间的问题.
设R=r(X;x,ξ)是X,x,ξ的函数，其中ξ=(θ,η)，若R满足性质:
1) R的分布与ξ=(θ,η)无关；
2) R的观测值robs=r(x;x,ξ)不依赖于讨厌参数η；
设随机变量X服从双参数指数分布，其密度函数为
设X1,…,Xn是来自此总体的独立同分布样本，令
考虑双参数指数分布分位数的100(1-α)%广义置信区间,双参数指数分布的分位数
μ-σln(1-α)，故构造广义枢轴量
考虑双参数指数分布可靠度函数的100(1-α)%广义置信区间，在给定x0时，双参数指数分布的可靠度函数为}.不妨先求的广义置信区间，故构造广义枢轴量
主要研究了兴趣参数落在广义置信区间的覆盖概率，也就是广义置信区间的频率性
质.
引理1[7] 设X～Pθ，θ(E),E～Q是θ的Fiducial模型，g(θ)是θ的正规参数函数，在Q下(E))的分布是g(θ)的Fiducial分布.记F(G)x(g)为g(θ)的Fiducial分布函数，若
注：关于正规参数函数的定义参考文献[7].
定理1 双参数指数分布分位数μ-σln(1-α)的广义置信区间(1)具有频率意义下的实际置信水平1-α，即α.
证明
定理2 双参数指数分布可靠度函数的广义置信区间式(3)具有频率意义下的实际置
信水平1-α，即.
证明过程与定理1类似，故略.
由定理1和2可知，由广义枢轴量确定的双参数指数分布的分位数及可靠度函数
的广义置信区间的覆盖概率为1-α.
在数值模拟时，Monte Carlo方法提供了可行性保证.从而，计算双参数指数分布
的兴趣参数的广义置信区间，可按步骤进行：
步骤1 根据来自双参数指数分布的数据，计算
步骤2 设m是事先指定的一个比较大的数，E1,E2为式(1)中定义的随机变量，随机产生大小为m的与(E1,E2)独立同分布的样本
步骤3 将每个分别代入所求的广义枢轴量R中，得到其观测值.每一次代入后，都
将观测值按从小到大的顺序排列，并记作
步骤4 区间(R([mα/2]),R([m(1-α/2)]))可作为双参数指数分布兴趣参数的广义置信区间，其中[x]表示不超过x的最大整数.
例1[4] 己知军队运兵车在服务中失效的行驶里程服从双参数指数分布f(x;μ,σ)，现
随机抽取19辆军车的失效行驶里程记录为：
通过所给数据，容易算得可由矩估计法算得位置参数μ和尺度参数σ的估计值分
别为248.199，744.656，所以可以给出分位数的估计值为326.656 3和当
x0=706时可靠度的估计值为0.540 8.而通过本文方法，当模拟次数m=10 000，α=0.1时，分位数的广义置信区间为(102.422, 467.525)，可靠度的广义置信区间为(0.395, 0.670).
从模拟计算结果可知，当模拟次数m大于10 000时，兴趣参数的广义置信区间
趋于稳定，对估计参数有较为满意的覆盖，精度也令人满意，更可取的是计算简单，计算速度快，是在应用中值得借鉴的方法.。