2020年中考数学小题专项训练(12)
2020年中考数学 中考专题训练——创新题型 (12)
中考数学创新题型复习指要新仟年伊始，伴随着新教材的推广使用，以新《课程标准》的颁布为标志，数学教育迎来了它的新时代。
新教材以培养学生的创新意识和创新精神为宗旨，要求学生要有探究、创新和实践的能力。
如何以新标准考察学生？各地的中考试题都作了大胆尝试，以下尝试对新试题的测试的改革思路做出分析，谨供考生参考。
一．开放题型的引入“开放型”试题是指试题的条件、结论、解题依据、和方法四个要素中缺少一个或两个要素的命题。
例如：1.同学们知道：只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等。
请你模仿方案（1），写出方案（2）、（3）、（4）。
解：设有两边和一角对应相等的两个三角形，方案（1）：若这角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等。
方案（2）：方案（3）：方案（4）：2.请写出一个含1这个根且增根为2的分式方程。
3.已知：平面直角坐标系内，点P的纵坐标是横坐标的3倍，请写出过点P的一次函数解析式（至少三个）。
4.老师给出一个函数y=f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当x<2时，y随x的增大而减小；丁：当x<2时，y>0。
已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数是。
5.在四边形ABCD中，给出下列条件：①AB∥CD，②AD=BC，③∠B=∠D，以其中两个作为题设，另一个作结论，用“如果……，那么……。
”的形式，写出一个真命题是。
6.小红同学编拟了这样一个数学命题：“如果在四边形ABCD中，AB=CD、AC=BD，那么四边形ABCD 一定是平行四边形”。
若你认为这个命题的结论成立，请予以证明；若这个命题的结论不一定成立，请画图举出反例予以说明。
二.归纳法的渗透利用归纳法，通过观察、猜想、推理，总结规律，得到结论，以考察学生的观察、创新能力。
2020年广东省深圳市中考数学试题及参考答案(word解析版)
深圳市2020年初中毕业生学业考试数学试卷（满分100分，考试时间90分钟）一、选择题（每小题3分，共12小题，满分36分）1．2020的相反数是（）A．2020 B．C．﹣2020 D．﹣2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．2020年6月30日，深圳市总工会启动“百万职工消费扶贫采购节”活动，预计撬动扶贫消费额约150000000元．将150000000用科学记数法表示为（）A．0.15×108B．1.5×107C．15×107D．1.5×1084．分别观察下列几何体，其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱柱D．正方体5．某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳．考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟）：247，253，247，255，263．这五次成绩的平均数和中位数分别是（）A．253，253 B．255，253 C．253，247 D．255，2476．下列运算正确的是（）A．a+2a＝3a2B．a2•a3＝a5C．（ab）3＝ab3D．（﹣a3）2＝﹣a67．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝40°，则∠2的大小是（）A．40°B．60°C．70°D．80°8．如图，在△ABC中，AB＝AC．在AB、AC上分别截取AP，AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．若BC＝6，则BD的长为（）A．2 B．3 C．4 D．59．以下说法正确的是（）A．平行四边形的对边相等B．圆周角等于圆心角的一半C．分式方程＝﹣2的解为x＝2 D．三角形的一个外角等于两个内角的和10．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（）A．200tan70°米B．米C．200sin 70°米D．米11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（）A．abc＞0 B．4ac﹣b2＜0 C．3a+c＞0 D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根12．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝12．将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H．给出以下结论：①EF⊥BG；②GE＝GF；③△GDK和△GKH的面积相等；④当点F与点C重合时，∠DEF＝75°，其中正确的结论共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13．分解因式：m3﹣m＝．14．一口袋内装有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，则摸出编号为偶数的球的概率是．15．如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（3，1），B（1，2）．反比例函数y＝（k≠0）的图象经过▱OABC的顶点C，则k＝．16．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB＝，＝，则＝．三、解答题（本题共7小题，共52分）17．（5分）计算：（）﹣1﹣2cos30°+|﹣|﹣（4﹣π）0．18．（6分）先化简，再求值：÷（2+），其中a＝2．19．（7分）以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题．（1）m＝，n＝．（2）请补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角是度；（4）若该公司新招聘600名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生有名．20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．21．（8分）端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？22．（9分）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D 在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．23．（9分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴的交点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接AD，DC，CB，将△OBC沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△O'B'C'，点O、B、C的对应点分别为点O'、B'、C'，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记△O'B'C'与四边形AOCD重合部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式；（3）如图2，过该抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：y＝作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME﹣MF＝？若存在，请求出F的坐标；若不存在，请说明理由．答案与解析一、选择题（每小题3分，共12小题，满分36分）1．2020的相反数是（）A．2020 B．C．﹣2020 D．﹣【知识考点】相反数．【思路分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答过程】解：2020的相反数是：﹣2020．故选：C．【总结归纳】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【知识考点】轴对称图形；中心对称图形．【思路分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答过程】解：A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．【总结归纳】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．2020年6月30日，深圳市总工会启动“百万职工消费扶贫采购节”活动，预计撬动扶贫消费额约150000000元．将150000000用科学记数法表示为（）A．0.15×108B．1.5×107C．15×107D．1.5×108【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．【解答过程】解：将150000000用科学记数法表示为1.5×108．故选：D．【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．分别观察下列几何体，其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱柱D．正方体【知识考点】简单几何体的三视图．【思路分析】分别得出圆锥体、圆柱体、三棱柱、正方体的三视图的形状，再判断即可．【解答过程】解：圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，而俯视图是圆，因此选项A不符合题意；圆柱体的主视图、左视图都是矩形，而俯视图是圆形，因此选项B不符合题意；三棱柱主视图、左视图都是矩形，而俯视图是三角形，因此选项C不符合题意；正方体的三视图都是形状、大小相同的正方形，因此选项D符合题意；故选：D．【总结归纳】本题考查简单几何体的三视图，明确圆锥、圆柱、三棱柱、正方体的三视图的形状和大小是正确判断的前提．5．某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳．考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟）：247，253，247，255，263．这五次成绩的平均数和中位数分别是（）A．253，253 B．255，253 C．253，247 D．255，247【知识考点】算术平均数；中位数．【思路分析】根据中位数、众数的计算方法，分别求出结果即可．【解答过程】解：＝（247+253+247+255+263）÷5＝253，这5个数从小到大，处在中间位置的一个数是253，因此中位数是253；故选：A．【总结归纳】本题考查中位数、众数的意义和计算方法，掌握中位数、众数的计算方法是正确计算的前提．6．下列运算正确的是（）A．a+2a＝3a2B．a2•a3＝a5C．（ab）3＝ab3D．（﹣a3）2＝﹣a6【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【思路分析】利用合并同类项、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法的计算法则进行计算即可．【解答过程】解：a+2a＝3a，因此选项A不符合题意；a2•a3＝a2+3＝a5，因此选项B符合题意；（ab）3＝a3b3，因此选项C不符合题意；（﹣a3）2＝a6，因此选项D不符合题意；故选：B．【总结归纳】本题考查合并同类项、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法的计算法则，掌握计算法则是正确计算的前提．7．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝40°，则∠2的大小是（）A．40°B．60°C．70°D．80°【知识考点】平行线的性质．【思路分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论．【解答过程】解：由题意得，∠4＝60°，∵∠1＝40°，∴∠3＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵AB∥CD，∴∠3＝∠2＝80°，故选：D．【总结归纳】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．8．如图，在△ABC中，AB＝AC．在AB、AC上分别截取AP，AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．若BC＝6，则BD的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【知识考点】等腰三角形的性质；作图—基本作图．【思路分析】依据等腰三角形的性质，即可得到BD＝BC，进而得出结论．【解答过程】解：由题可得，AR平分∠BAC，又∵AB＝AC，∴AD是三角形ABC的中线，∴BD＝BC＝×6＝3，故选：B．【总结归纳】本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．9．以下说法正确的是（）A．平行四边形的对边相等B．圆周角等于圆心角的一半C．分式方程＝﹣2的解为x＝2 D．三角形的一个外角等于两个内角的和【知识考点】分式方程的解；平行四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【思路分析】根据平行四边形的性质对A进行判断；根据圆周角定理对B进行判断；利用分式方程有检验可对C进行判断；根据三角形外角性质对D进行判断．【解答过程】解：A、平行四边形的对边相等，所以A选项正确；B、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以B选项错误；C、去分母得1＝x﹣1﹣2（x﹣2），解得x＝2，经检验原方程无解，所以C选项错误；D、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以D选项错误．故选：A．【总结归纳】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（）A．200tan70°米B．米C．200sin 70°米D．米【知识考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【思路分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．【解答过程】解：在Rt△PQT中，∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣70°＝20°，∴∠PTQ＝70°，∴tan70°＝，∴PT＝＝，即河宽米，故选：B．【总结归纳】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（）A．abc＞0 B．4ac﹣b2＜0 C．3a+c＞0 D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根【知识考点】根的判别式；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【思路分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B进行判断；x＝1时，y＜0，可对C进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c 与直线y＝n+1无交点，可对D进行判断．【解答过程】解：A．∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故A正确；B．∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故B正确；C．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，∴x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，∵b＝2a，∴3a+c＜0，故C错误；D．∵抛物线开口向下，顶点为（﹣1，n），∴函数有最大值n，∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，∴一元二次方程ax2+bx+c＝n+1无实数根，故D正确．故选：C．【总结归纳】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a ≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．12．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝12．将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H．给出以下结论：①EF⊥BG；②GE＝GF；③△GDK和△GKH的面积相等；④当点F与点C重合时，∠DEF＝75°，其中正确的结论共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【知识考点】三角形的面积；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【思路分析】连接BE，设EF与BG交于点O，由折叠的性质可得EF垂直平分BG，可判断①；由“ASA”可证△BOF≌△GOE，可得BF＝EG＝GF，可判断②；通过证明四边形BEGF是菱形，可得∠BEF＝∠GEF，由锐角三角函数可求∠AEB＝30°，可得∠DEF＝75°，可判断④，由题意无法证明△GDK和△GKH的面积相等，即可求解．【解答过程】解：如图，连接BE，设EF与BG交于点O，∵将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，∴EF垂直平分BG，∴EF⊥BG，BO＝GO，BE＝EG，BF＝FG，故①正确，∵AD∥BC，∴∠EGO＝∠FBO，又∵∠EOG＝∠BOF，∴△BOF≌△GOE（ASA），∴BF＝EG，∴BF＝EG＝GF，故②正确，∵BE＝EG＝BF＝FG，∴四边形BEGF是菱形，∴∠BEF＝∠GEF，当点F与点C重合时，则BF＝BC＝BE＝12，∵sin∠AEB＝＝＝，∴∠AEB＝30°，∴∠DEF＝75°，故④正确，由题意无法证明△GDK和△GKH的面积相等，故③错误；故选：C．【总结归纳】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13．分解因式：m3﹣m＝．【知识考点】提公因式法与公式法的综合运用．【思路分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答过程】解：m3﹣m＝m（m2﹣1），＝m（m+1）（m﹣1）．【总结归纳】本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．14．一口袋内装有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，则摸出编号为偶数的球的概率是．【知识考点】概率公式．【思路分析】用袋子中编号为偶数的小球的数量除以球的总个数即可得．【解答过程】解：∵从袋子中随机摸出一个球共有7种等可能结果，其中摸出编号为偶数的球的结果数为3，∴摸出编号为偶数的球的概率为，故答案为：．【总结归纳】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．15．如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（3，1），B（1，2）．反比例函数y＝（k≠0）的图象经过▱OABC的顶点C，则k＝．【知识考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．【思路分析】连接OB，AC，根据O，B的坐标易求P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出则C点坐标，根据待定系数法即可求得k的值．【解答过程】解：连接OB，AC，交点为P，∵四边形OABC是平行四边形，∴AP＝CP，OP＝BP，∵O（0，0），B（1，2），∴P的坐标（，1），∵A（3，1），∴C的坐标为（﹣2，1），∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，∴k＝﹣2×1＝﹣2，故答案为﹣2．【总结归纳】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，平行四边形的性质，求得C点的坐标是解答此题的关键．16．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB＝，＝，则＝．【知识考点】角平分线的性质；解直角三角形．【思路分析】通过作辅助线，得到△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，△ABC∽△DAN，进而得出对应边成比例，再根据tan∠ACB＝，＝，得出对应边之间关系，设AB＝a，DN＝b，表示BC，NA，MN，进而表示三角形的面积，求出三角形的面积比即可．【解答过程】解：如图，过点D作DM∥BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，∵DM∥BC，∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，∴＝＝tan∠ACB＝，＝＝，又∵∠ABC＝∠DAC＝90°，∴∠BAC+∠NAD＝90°，∵∠BAC+∠BCA＝90°，∴∠NAD＝∠BCA，∴△ABC∽△DAN，∴＝＝，设AB＝a，DN＝b，则BC＝2a，NA＝2b，MN＝4b，由＝＝得，DM＝a，∴4b+b＝a，即，b＝a，∴＝＝＝＝．故答案为：．【总结归纳】本题考查相似三角形的性质和判定，根据对应边成比例，设常数表示三角形的面积是得出正确答案的关键．三、解答题（本题共7小题，共52分）17．（5分）计算：（）﹣1﹣2cos30°+|﹣|﹣（4﹣π）0．【知识考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【思路分析】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行计算即可求解．【解答过程】解：原式＝3﹣2×+3﹣13﹣+﹣1＝2．【总结归纳】本题考查了实数的运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解决本题的关键是掌握特殊角的三角函数值．18．（6分）先化简，再求值：÷（2+），其中a＝2．【知识考点】分式的化简求值．【思路分析】先将分式进行化简，然后代入值即可求解．【解答过程】解：原式＝÷＝÷＝×＝当a＝2时，原式＝＝1．【总结归纳】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是进行分式的化简．19．（7分）以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题．（1）m＝，n＝．（2）请补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角是度；（4）若该公司新招聘600名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生有名．【知识考点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．【思路分析】（1）根据总线的人数和所占的百分比，可以求得m的值，然后即可计算出n的值；（2）根据（1）中的结果和硬件所占的百分比，可以求得硬件专业的毕业生，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角的度数；（4）根据统计图中的数据，可以计算出“总线”专业的毕业生的人数．【解答过程】解：（1）m＝15÷30%＝50，n%＝5÷50×100%＝10%，故答案为：50，10；（2）硬件专业的毕业生有：50×40%＝20（人），补全的条形统计图如右图所示；（3）在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角是360°×＝72°，故答案为：72；（4）600×30%＝180（名），即“总线”专业的毕业生有180名，故答案为：180．【总结归纳】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．【知识考点】三角形中位线定理；切线的性质．【思路分析】（1）证明：连接AC、OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC∥AD，所以∠OCB＝∠E，然后证明∠B＝∠E，从而得到结论；（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出AC＝8，再根据等腰三角形的性质得到CE＝BC＝6，然后利用面积法求出CD的长．【解答过程】（1）证明：连接AC、OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AE＝AB；（2）解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝＝8，∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∵CD•AE＝AC•CE，∴CD＝＝．【总结归纳】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．21．（8分）端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？【知识考点】一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．【思路分析】（1）设蜜枣粽的进货单价是x元，则肉粽的进货单价是（x+6）元，根据用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，可得出方程，解出即可；（2）设第二批购进肉粽y个，则蜜枣粽购进（300﹣y）个，获得利润为w元，根据w＝蜜枣粽的利润+肉粽的利润，得一次函数，根据一次函数的增减性，可解答．【解答过程】解：（1）设蜜枣粽的进货单价是x元，则肉粽的进货单价是（x+6）元，由题意得：50（x+6）+30x＝620，解得：x＝4，∴6+4＝10，答：蜜枣粽的进货单价是4元，则肉粽的进货单价是10元；（2）设第二批购进肉粽y个，则蜜枣粽购进（300﹣y）个，获得利润为w元，由题意得：w＝（14﹣10）y+（6﹣4）（300﹣y）＝2y+600，∵2＞0，∴w随y的增大而增大，∵y≤2（300﹣y），∴0＜y≤200，∴当y＝200时，w有最大值，w最大值＝400+600＝1000，答：第二批购进肉粽200个时，总利润最大，最大利润是1000元．【总结归纳】本题考查了一次函数，一元一次方程及一元一次不等式的知识，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系及等量关系，难度一般．22．（9分）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D 在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．【知识考点】相似形综合题．【思路分析】（1）由正方形的性质得出AE＝AF，∠EAG＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°，得出∠EAB＝∠GAD，证明△AEB≌△AGD（SAS），则可得出结论；（2）由菱形的性质得出AE＝AG，AB＝AD，证明△AEB≌△AGD（SAS），由全等三角形的性质可得出结论；（3）方法一：过点E作EM⊥DA，交DA的延长线于点M，过点G作GN⊥AB交AB于点N，求出AG＝6，AD＝12，证明△AME∽△ANG，设EM＝2a，AM＝2b，则GN＝3a，AN＝3b，则BN＝8﹣3b，可得出答案；方法二：证明△EAB∽△GAD，得出∠BEA＝∠AGD，则A，E，G，Q四点共圆，得出∠GQP ＝∠PAE＝90°，连接EG，BD，由勾股定理可求出答案．【解答过程】（1）证明：∵四边形AEFG为正方形，∴AE＝AF，∠EAG＝90°，又∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠EAB＝∠GAD，∴△AEB≌△AGD（SAS），∴BE＝DG；（2）当∠EAG＝∠BAD时，BE＝DG，理由如下：∵∠EAG＝∠BAD，∴∠EAB＝∠GAD，又∵四边形AEFG和四边形ABCD为菱形，∴AE＝AG，AB＝AD，∴△AEB≌△AGD（SAS），∴BE＝DG；（3）解：方法一：过点E作EM⊥DA，交DA的延长线于点M，过点G作GN⊥AB交AB于点N，由题意知，AE＝4，AB＝8，∵＝，∴AG＝6，AD＝12，∵∠EMA＝∠ANG，∠MAE＝∠GAN，∴△AME∽△ANG，设EM＝2a，AM＝2b，则GN＝3a，AN＝3b，则BN＝8﹣3b，∴ED2＝（2a）2+（12+2b）2＝4a2+144+48b+4b2，GB2＝（3a）2+（8﹣3b）2＝9a2+64﹣48b+9b2，∴ED2+GB2＝13（a2+b2）+208＝13×4+208＝260．方法二：如图2，设BE与DG交于Q，∵，AE＝4，AB＝8∴AG＝6，AD＝12．∵四边形AEFG和四边形ABCD为矩形，∴∠EAG＝∠BAD，∴∠EAB＝∠GAD，∵，∴△EAB∽△GAD，∴∠BEA＝∠AGD，∴A，E，G，Q四点共圆，∴∠GQP＝∠PAE＝90°，∴GD⊥EB，连接EG，BD，∴ED2+GB2＝EQ2+QD2+GQ2+QB2＝EG2+BD2，∴EG2+BD2＝42+62+82+122＝260．【总结归纳】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键．23．（9分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴的交点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接AD，DC，CB，将△OBC沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△O'B'C'，点O、B、C的对应点分别为点O'、B'、C'，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记△O'B'C'与四边形AOCD重合部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式；（3）如图2，过该抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：y＝作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME﹣MF＝？若存在，请求出F的坐标；若不存在，请说明理由．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）将点A（﹣3，0）、B（1，0）代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组即可；（2）分三种情况：①0＜t＜1时，②1≤t＜时，③≤t≤3时，可由面积公式得出答案；（3）令F（﹣1，t），则MF＝，ME＝﹣n，得出，可求出n＝．则得出答案．【解答过程】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）①0＜t＜1时，如图1，若B'C'与y轴交于点F，∵OO'＝t，OB'＝1﹣t，∴OF＝3OB'＝3﹣3t，∴S＝×（C'O'+OF）×OO'＝×（3+3﹣3t）×t＝﹣+3t，②1≤t＜时，S＝；③≤t≤3时，如图2，C′O′与AD交于点Q，B′C′与AD交于点P，过点P作PH⊥C′O′于H，∵AO＝3，O'O＝t，∴AO'＝3﹣t，O'Q＝6﹣2t，∴C'Q＝2t﹣3，∵QH＝2PH，C'H＝3PH，∴PH＝C'Q＝（2t﹣3），∴S＝（2t﹣3），∴S＝﹣，综合以上可得：S＝．（3）令F（﹣1，t），则MF＝，ME＝﹣n，∵ME﹣MF＝，∴MF＝ME﹣，∴，∴m2+2m+1+t2﹣2nt＝﹣．∵n＝﹣m2﹣2m+3，∴+（2+4n﹣17）m+1+t2﹣6t+﹣＝0．当t＝时，上式对于任意m恒成立，∴存在F（﹣1，）．【总结归纳】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，两点间的距离公式，平移的性质，三角形的面积等知识．熟练运用方程的思想方法，正确进行分类是解题的关键．。
2020年山东省枣庄市中考数学试卷 (解析版)
2020年山东省枣庄市中考数学试卷一、选择题（共12小题）.1．﹣的绝对值是（）A．﹣B．﹣2C．D．22．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（）A．10°B．15°C．18°D．30°3．计算﹣﹣（﹣）的结果为（）A．﹣B．C．﹣D．4．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（）A．|a|＜1B．ab＞0C．a+b＞0D．1﹣a＞15．不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是（）A．B．C．D．6．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC ＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（）A．8B．11C．16D．177．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（）A．ab B．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b28．如图的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（）A．B．C．D．9．对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝．则方程x⊗（﹣2）＝﹣1的解是（）A．x＝4B．x＝5C．x＝6D．x＝710．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB ＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（）A．（﹣，3）B．（﹣3，）C．（﹣，2+）D．（﹣1，2+）11．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是（）A．3B．4C．5D．612．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论：①ac＜0；②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＝0．其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共6小题，满分24分．只填写最后结果，每小题填对得4分．13．若a+b＝3，a2+b2＝7，则ab＝．14．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝．15．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P ＝36°，则∠B＝．16．人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若AB，AC的长都为2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）17．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是．18．各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S＝a+b﹣1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S＝．三、解答题：本大题共7小题，满分60分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19．解不等式组并求它的所有整数解的和．20．欧拉（Euler，1707年～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V （Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flatsurface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：名称三棱锥三棱柱正方体正八面体图形顶点数V468棱数E612面数F458（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：．21．2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．学生立定跳远测试成绩的频数分布表分组频数1.2≤x＜1.6a1.6≤x＜2.0122.0≤x＜2.4b2.4≤x＜2.810请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：（1）表中a＝，b＝；（2）样本成绩的中位数落在范围内；（3）请把频数分布直方图补充完整；（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有多少人？22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，OB，求△ABO的面积．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F 在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．24．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AC 交于点M，DE与BC交于点N．（1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF；（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中，试证明CD2＝CE•CF恒成立；（3）若CD＝2，CF＝，求DN的长．25．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC 于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．1．﹣的绝对值是（）A．﹣B．﹣2C．D．2【分析】根据绝对值的定义直接计算即可解答．解：﹣的绝对值为．故选：C．2．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（）A．10°B．15°C．18°D．30°【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD＝60°，进而得出答案．解：由题意可得：∠EDF＝45°，∠ABC＝30°，∵AB∥CF，∴∠ABD＝∠EDF＝45°，∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°．故选：B．3．计算﹣﹣（﹣）的结果为（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】根据有理数的减法法则计算即可．解：﹣﹣（﹣）＝＝﹣．故选：A．4．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（）A．|a|＜1B．ab＞0C．a+b＞0D．1﹣a＞1【分析】直接利用a，b在数轴上位置进而分别分析得出答案．解：A、|a|＞1，故本选项错误；B、∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，故本选项错误；C、a+b＜0，故本选项错误；D、∵a＜0，∴1﹣a＞1，故本选项正确；故选：D．5．不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是（）A．B．C．D．【分析】列举出所有可能出现的结果，进而求出“两次都是白球”的概率．解：用列表法表示所有可能出现的情况如下：共有9种可能出现的结果，其中两次都是白球的有4种，∴P（两次都是白球）＝，故选：A．6．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC ＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（）A．8B．11C．16D．17【分析】在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC ＝6，AC＝5，则△ACE的周长为解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC＝5+6＝11．故选：B．7．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（）A．ab B．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b2【分析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b，则面积是（a﹣b）2．故选：C．8．如图的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（）A．B．C．D．【分析】根据平移，旋转的性质判断即可．解：由题意，选项A，C，D可以通过平移，旋转得到，选项B可以通过翻折，平移，旋转得到．故选：B．9．对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝．则方程x⊗（﹣2）＝﹣1的解是（）A．x＝4B．x＝5C．x＝6D．x＝7【分析】所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．解：根据题意，得＝﹣1，去分母得：1＝2﹣（x﹣4），解得：x＝5，经检验x＝5是分式方程的解．故选：B．10．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB ＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（）A．（﹣，3）B．（﹣3，）C．（﹣，2+）D．（﹣1，2+）【分析】如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．解直角三角形求出′H，B′H即可．解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°＝，∴OH＝2+1＝3，∴B′（﹣，3），故选：A．11．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据折叠的性质得到AF＝AB，∠AFE＝∠B＝90°，根据等腰三角形的性质得到AF＝CF，于是得到结论．解：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，∴AF＝AB，∠AFE＝∠B＝90°，∴EF⊥AC，∵∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE，∴AF＝CF，∴AC＝2AB＝6，故选：D．12．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论：①ac＜0；②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＝0．其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点，综合进行判断即可．解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴为x＝﹣＝1，因此b＞0，与y轴交于正半轴，因此c＞0，于是有：ac＜0，因此①正确；由x＝﹣＝1，得2a+b＝0，因此③不正确，抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，②正确，由对称轴x＝1，抛物线与x轴的一个交点为（3，0），对称性可知另一个交点为（﹣1，0），因此a﹣b+c＝0，故④正确，综上所述，正确的结论有①②④，故选：C．二、填空题：本大题共6小题，满分24分．只填写最后结果，每小题填对得4分．13．若a+b＝3，a2+b2＝7，则ab＝1．【分析】根据完全平方公式，可得答案．解：（a+b）2＝32＝9，（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9．∵a2+b2＝7，∴2ab＝2，ab＝1，故答案为：1．14．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝﹣1．【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝0代入原方程得到关于a的一元二次方程，解得a＝±1，然后根据一元二次方程的定义确定a的值．解：把x＝0代入（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，解得a＝±1，∵a﹣1≠0，∴a＝﹣1．故答案为﹣1．15．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P ＝36°，则∠B＝27°．【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP＝90°，再利用三角形内角和定理得出∠AOP ＝54°，结合圆周角定理得出答案．解：∵PA切⊙O于点A，∴∠OAP＝90°，∵∠P＝36°，∴∠AOP＝54°，∴∠B＝∠AOP＝27°．故答案为：27°．16．人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若AB，AC的长都为2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 1.5m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【分析】在Rt△ADC中，求出AD即可．解：∵AB＝AC＝2m，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴AD＝AC•sin50°＝2×0.77≈1.5（m），故答案为1.5．17．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是8．【分析】连接BD交AC于点O，则可证得OE＝OF，OD＝OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，可证得四边形BEDF为菱形；根据勾股定理计算DE的长，可得结论．解：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，∵AE＝CF＝2，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形，∴DE＝DF＝BE＝BF，∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝＝2，由勾股定理得：DE＝＝＝2，∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×＝8，故答案为：8．18．各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S＝a+b﹣1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S＝6．【分析】分别统计出多边形内部的格点数a和边界上的格点数b，再代入公式S＝a+b ﹣1，即可得出格点多边形的面积．解：∵a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积，∴a＝4，b＝6，∴该五边形的面积S＝4+×6﹣1＝6，故答案为：6．三、解答题：本大题共7小题，满分60分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19．解不等式组并求它的所有整数解的和．【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后找出整数求和即可．解：，由①得，x≥﹣3，由②得，x＜2，所以，不等式组的解集是﹣3≤x＜2，所以，它的整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，所以，所有整数解的和为﹣5．20．欧拉（Euler，1707年～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V （Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flatsurface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：名称三棱锥三棱柱正方体正八面体图形顶点数V4686棱数E691212面数F4568（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：V+F ﹣E＝2．【分析】（1）根据图形数出顶点数，棱数，面数，填入表格即可；（2）根据表格数据，顶点数与面数的和减去棱数等于2进行解答．解：（1）填表如下：名称三棱锥三棱柱正方体正八面体图形顶点数V4686棱数E691212面数F4568（2）∵4+4﹣6＝2，6+5﹣9＝2，8+6﹣12＝2，6+8﹣12＝2，…，∴V+F﹣E＝2．即V、E、F之间的关系式为：V+F﹣E＝2．故答案为：6，9，12，6，V+F﹣E＝2．21．2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．学生立定跳远测试成绩的频数分布表分组频数1.2≤x＜1.6a1.6≤x＜2.0122.0≤x＜2.4b2.4≤x＜2.810请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：（1）表中a＝8，b＝20；（2）样本成绩的中位数落在 2.0≤x＜2.4范围内；（3）请把频数分布直方图补充完整；（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有多少人？【分析】（1）由频数分布直方图可得a＝8，由频数之和为50求出b的值；（2）根据中位数的意义，找出第25、26位的两个数落在哪个范围即可；（3）求出b的值，就可以补全频数分布直方图；（4）样本估计总体，样本中立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的占，因此估计总体1200人的是立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的人数．解：（1）由统计图得，a＝8，b＝50﹣8﹣12﹣10＝20，故答案为：8，20；（2）由中位数的意义可得，50个数据从小到大排列处在中间位置的两个数在2.0≤x＜2.4组内，故答案为：2.0≤x＜2.4；（3）补全频数分布直方图如图所示：（4）1200×＝240（人），答：该校1200名学生中立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有240人．22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，OB，求△ABO的面积．【分析】（1）联立y＝x+5①和y＝﹣2x并解得：，故点A（﹣2.4），进而求解；（2）S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝OC•AM OC•BN，即可求解．解：（1）联立y＝x+5①和y＝﹣2x并解得：，故点A（﹣2.4），将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4＝，解得：k＝﹣8，故反比例函数表达式为：y＝﹣②；（2）联立①②并解得：x＝﹣2或﹣8，当x＝﹣8时，y＝x+5＝1，故点B（﹣8，1），设y＝x+5交x轴于点C（﹣10，0），过点A、B分别作x轴的垂线交于点M、N，则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝OC•AM OC•BN＝．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F 在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF＝90°，于是得到结论；（2）过C作CH⊥BF于H，根据勾股定理得到BF＝＝＝2，根据相似三角形的性质得到CH＝，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠1+∠2＝90°．∵AB＝AC，∴2∠1＝∠CAB．∵∠BAC＝2∠CBF，∴∠1＝∠CBF∴∠CBF+∠2＝90°即∠ABF＝90°∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线；（2）解：过C作CH⊥BF于H，∵AB＝AC，⊙O的直径为4，∴AC＝4，∵CF＝6，∠ABF＝90°，∴BF＝＝＝2，∵∠CHF＝∠ABF，∠F＝∠F，∴△CHF∽△ABF，∴＝，∴＝，∴CH＝，∴HF＝＝＝，∴BH＝BF﹣HF＝2﹣＝，∴tan∠CBF＝＝＝．24．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AC 交于点M，DE与BC交于点N．（1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF；（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中，试证明CD2＝CE•CF恒成立；（3）若CD＝2，CF＝，求DN的长．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠ACD＝∠BCD＝45°，证明△DCF≌△DCE，根据全等三角形的对应边相等证明结论；（2）证明△FCD∽△DCE，根据相似三角形的性质列出比例式，整理即可证明结论；（3）作DG⊥BC，根据等腰直角三角形的性质求出DG，由（2）的结论求出CE，证明△ENC∽△DNG，根据相似三角形的性质求出NG，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中线，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ACF＝∠BCE＝90°，∴∠DCF＝∠DCE＝135°，在△DCF和△DCE中，，∴△DCF≌△DCE（SAS）∴DE＝DF；（2）证明：∵∠DCF＝135°，∴∠F+∠CDF＝45°，∵∠FDE＝45°，∴∠CDE+∠CDF＝45°，∴∠F＝∠CDE，∵∠DCF＝∠DCE，∠F＝∠CDE，∴△FCD∽△DCE，∴＝，∴CD2＝CE•CF；（3）解：过点D作DG⊥BC于G，∵∠DCB＝45°，∴GC＝GD＝CD＝，由（2）可知，CD2＝CE•CF，∴CE＝＝2，∵∠ECN＝∠DGN，∠ENC＝∠DNG，∴△ENC∽△DNG，∴＝，即＝，解得，NG＝，由勾股定理得，DN＝＝．25．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC 于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）PN＝PQ sin45°＝（﹣m2+m）＝﹣（m﹣2）2+，即可求解；（3）分AC＝CQ、AC＝AQ、CQ＝AQ三种情况，分别求解即可．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；（2）由抛物线的表达式知，点C（0，4），由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4；设点M（m，0），则点P（m，﹣m2+m+4），点Q（m，﹣m+4），∴PQ＝﹣m2+m+4+m﹣4＝﹣m2+m，∵OB＝OC，故∠ABC＝∠OCB＝45°，∴∠PQN＝∠BQM＝45°，∴PN＝PQ sin45°＝（﹣m2+m）＝﹣（m﹣2）2+，∵﹣＜0，故当m＝2时，PN有最大值为；（3）存在，理由：点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），则AC＝5，①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，则CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，解得：m＝±（舍去负值），故点Q（，）；②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或0（舍去0），故点Q（1，3）；③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m＝（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：m＝（舍去）；综上，点Q的坐标为（1，3）或（，）．。
2020年天津市中考数学试卷(解析版)
2020年天津市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算（﹣3）+5的结果等于（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣82．cos60°的值等于（）A．B．1 C．D．3．在一些美术字中，有的汉子是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A． B． C．D．4．据《天津日报》报道，天津市社会保障制度更加成熟完善，截止2017年4月末，累计发放社会保障卡12630000张．将12630000用科学记数法表示为（）A．0.1263×108 B．1.263×107C．12.63×106D．126.3×1055．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C． D．6．估计的值在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间7．计算的结果为（）A．1 B．a C．a+1 D．8．方程组的解是（）A．B．C．D．9．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（）A．∠ABD=∠E B．∠CBE=∠C C．AD∥BC D．AD=BC10．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y311．如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）A．BC B．CE C．AD D．AC12．已知抛物线y=x2﹣4x+3与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（）A．y=x2+2x+1 B．y=x2+2x﹣1 C．y=x2﹣2x+1 D．y=x2﹣2x﹣1二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．计算x7÷x4的结果等于．14．计算的结果等于．15．不透明袋子中装有6个球，其中有5个红球、1个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．16．若正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，则k的值可以是（写出一个即可）．17．如图，正方形ABCD 和正方形EFCG 的边长分别为3和1，点F ，G 分别在边BC ，CD 上，P 为AE 的中点，连接PG ，则PG 的长为 ．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上． （1）AB 的长等于 ；（2）在△ABC 的内部有一点P ，满足S △PAB ：S △PBC ：S △PCA =1：2：3，请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明） ．三、解答题（本大题共7小题，共66分。
【中考冲刺】2020中考数学题型专项(十二)几何综合题
题型专项（十二）几何综合题几何综合题是近年来中考的热点题型，2019年云南中考（全省统考）第23题，2018年云南中考第23题，2018年昆明中考第23题，2017年云南中考（全省统考）第23题，都是几何综合题作为压轴题．几何综合题通常把三角形、四边形、圆、方程和函数等知识综合起来，辅以平移、旋转、轴对称等变换，或实践操作探究，或类比探究，对有关数学问题进行证明和计算，考查同学们应用所学数学知识解决综合问题的能力．题目往往综合性较强，计算量较大，很容易造成同学们丢分，复习时应予以重视．类型1 与“三点定圆”有关的几何综合题【例1】 （2019·云南T23·12分）如图，AB 是⊙C 的直径，M ，D 两点在AB 的延长线上，E 是⊙C 上的点，且DE 2＝DB ·DA.延长AE 至F ，使AE ＝EF ，设BF ＝10，cos ∠BED ＝45.（1）求证：△DEB ∽△DAE ；【思路点拨】 由∠D ＝∠D ，DE 2＝DB ·DA ，根据“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，证得△DEB ∽△DAE.证明：∵DE 2＝DB ·DA ， ∴DE DA ＝DBDE.1分 又∵∠BDE ＝∠EDA ， ∴△DEB ∽△DAE.3分 （2）求DA ，DE 的长；【思路点拨】 先利用圆周角定理的推论、线段垂直平分线的性质、三角函数的概念等，求出AB ，AE ，BE 的长，然后根据△DEB ∽△DAE 得出对应边成比例而列出关于DA ，DE 的方程组求解．解：∵AB 是⊙O 的直径，E 是⊙C 上的点， ∴∠AEB ＝90°，即BE ⊥AF.又∵AE ＝BF ，BF ＝10，∴AB ＝BF ＝10. ∵△DEB ∽△DAE ，cos ∠BED ＝45，∴∠EAD ＝∠BED ，cos ∠EAD ＝cos ∠BED ＝45.在Rt △ABE 中，由AB ＝10，cos ∠EAD ＝45，得AE ＝AB ·cos ∠EAD ＝8， ∴BE ＝AB 2－AE 2＝6.5分 ∵△DEB ∽△DAE ， ∴DE DA ＝DB DE ＝EB AE ＝68＝34. ∵DB ＝DA －AB ＝DA －10，∴⎩⎪⎨⎪⎧DE DA ＝34，DA －10DE ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧DA ＝1607，DE ＝1207.经检验，⎩⎪⎨⎪⎧DA ＝1607，DE ＝1207是⎩⎪⎨⎪⎧DE DA ＝34，DA －10DE ＝34的解．∴⎩⎪⎨⎪⎧DA ＝1607，DE ＝1207.8分【一题多解】 解法2：∵AB 是⊙C 的直径，E 是⊙C 上的点， ∴∠AEB ＝90°，即BE ⊥AF. 又∵AE ＝EF ，BF ＝10， ∴AB ＝BF ＝10.∵△DEB ∽△DAE ，cos ∠BED ＝45，∴∠EAD ＝∠BED.∴cos ∠EAD ＝cos ∠BED ＝45.在Rt △ABE 中，由AB ＝10，cos ∠EAD ＝45，得AE ＝AB ·cos ∠EAD ＝8，BE ＝AB 2－AE 2＝6.连接CE ，设ED 与BF 交于点G.∵∠DBF ＝∠A ＋∠AFB ＝2∠A ，∠DCE ＝2∠A ， ∴∠DBF ＝∠DCE.∴BF ∥CE.∵∠CED ＝∠CEB ＋∠BED ＝∠CEB ＋∠A ＝∠CEB ＋∠AEC ＝90°，∴∠BGE ＝∠CED ＝90°. 在Rt △BEG 中，sin ∠BED ＝sin ∠EAD ＝BG BE ＝BE AB ＝610＝35，∴BG ＝185.∵BF ∥CE ，∴△DBG ∽△DCE.∴BG CE ＝DB DC ，即1855＝DB DB ＋5.解得DB ＝907. 经检验，DB ＝907是1855＝DBDB ＋5的解．∴DA ＝907＋10＝1607.∴DE 2＝907×1607.∴DE ＝1207.（3）若点F 在B ，E ，M 三点确定的圆上，求MD 的长．【思路点拨】 由于点F 在B ，E ，M 三点确定的圆上，所以F ，B ，E ，M 四点共圆，而∠BEF ＝90°，所以可知B ，E ，F 三点在以BF 为直径的圆上，所以M 也在以BF 为直径的圆上．要求MD 的长，由于MD ＝AD －AM ，需先求AM ，这可通过解Rt △AMF 得出．解：连接FM.∵BE ⊥AF ，即∠BEF ＝90°，∴BF 是B ，E ，F 三点确定的圆的直径．∵点F 在B ，E ，M 三点确定的圆上，即四点F ，E ，B ，M 在同一个圆上． ∴点M 在以BF 为直径的圆上． ∴FM ⊥AB.10分在Rt △AMF 中，由cos ∠FAM ＝AMAF，得AM ＝AF ·cos ∠FAM ＝2AE ·cos ∠EAB ＝2×8×45＝645.11分∴MD ＝DA －AM ＝1607－645＝35235.∴MD ＝35235.12分（1）求线段长度的方法有：①将线段放到直角三角形中利用勾股定理和三角函数概念求解；②将线段放到相似三角形中求解；③通过设未知量构造方程（组）求解．（2）“三点定圆”问题：①不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心为顺次连接三点所形成的三角形三边垂直平分线的交点．锐角三角形外接圆的圆心在三角形内部，直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处，钝角三角形外接圆的圆心在三角形外部；②解决“三点定圆”问题，通常先根据已知三点确定圆的圆心和直径（或半径），再由第四点也在该圆上用圆周角定理及其推论，以及其他知识解决问题．1．（2018·云南）如图，在▱ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是BC 边上的点，AF ＝AD ＋FC ，▱ABCD 的面积为S ，由A ，E ，F 三点确定的圆的周长为l.（1）若△ABE 的面积为30，直接写出S 的值； （2）求证：AE 平分∠DAF ；（3）若AE ＝BE ，AB ＝4，AD ＝5，求l 的值．解：（1）S ＝60.（2）证明：延长AE 与BC 的延长线交于点H. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∴∠ADE ＝∠HCE ，∠DAE ＝∠CHE. ∵点E 为CD 的中点，∴CE ＝ED. ∴△ADE ≌△HCE （AAS ）．∴AD ＝HC ，AE ＝HE.∴AD ＋FC ＝HC ＋FC ，即AF ＝FH. ∴∠FAE ＝∠CHE. 又∵∠DAE ＝∠CHE ，∴∠DAE ＝∠FAE.∴AE 平分∠DAF. （3）连接EF. ∵AE ＝BE ，AE ＝HE ， ∴AE ＝BE ＝HE.∴∠BAE ＝∠ABE ，∠HBE ＝∠BHE. ∵∠DAE ＝∠CHE ，∴∠BAE ＋∠DAE ＝∠ABE ＋∠HBE ，即∠DAB ＝∠CBA. ∵∠DAB ＋∠CBA ＝180°.∴∠CBA ＝90°.∴AB 2＋BF 2＝AF 2，即16＋（5－FC ）2＝（FC ＋AD ）2＝（FC ＋5）2，解得FC ＝45.∴AF ＝FC ＋AD ＝45＋5＝295.∵AE ＝HE ，AF ＝FH ，∴FE ⊥AH. ∴AF 是△AEF 的外接圆的直径． ∴△AEF 的外接圆的周长l ＝29π5. 2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，E ，F 分别为AD ，BC 边上的点，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A 落在BC 边的点G 处，点B 落在点H 处，AG 与EF 交于点O.（1）如图1，求证：以A ，F ，G ，E 为顶点的四边形是菱形；（2）如图2，当△ABG 的外接圆与CD 相切于点P 时，求证：点P 是CD 的中点； （3）如图2，在（2）的条件下，求AGEF的值．解：（1）证明：连接AF.由折叠性质可知，OA ＝OG ，EA ＝EG ，FA ＝FG ，∠AOE ＝∠GOF ＝90°. ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC.∴∠AEO ＝∠GFO. 在△AEO 和△GFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEO ＝GFO ，∠AOE ＝∠GOF ＝90°，OA ＝OG ，∴△AEO ≌△GFO （AAS ）．∴EA ＝FG. ∴EA ＝EG ＝FA ＝FG.∴四边形AFGE 是菱形． （2）证明：连接OP.∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝∠D ＝∠C ＝90°.∵OA ＝OG ，∴点O 是Rt △ABG 的外接圆圆心． ∵⊙O 与CD 相切于点P ，∴OP ⊥CD. ∴ED ∥OP ∥FC.∴OE OF ＝PD PC .∵△AEO ≌△GFO ，∴OE ＝OF. ∴PD ＝PC ，即点P 是CD 的中点．（3）延长PO 交AB 于点Q ，则AQ ＝QB ＝12AB ＝2，∠AQO ＝90°.设⊙O 的半径为x ，则OG ＝OA ＝OP ＝x ，OQ ＝8－x. 在Rt △AQO 中，AQ 2＋OQ 2＝OA 2， ∴22＋（8－x ）2＝x 2.解得x ＝174.∴OA ＝OG ＝OP ＝174，AG ＝172，OQ ＝154.∵OP ∥FC ，∴∠AOQ ＝∠FGO.又∵∠AQO ＝∠FOG ＝90°，∴△AQO ∽△FOG.∴AQ OF ＝OQ OG .∴2OF ＝154174，解得OF ＝3415. ∴EF ＝6815.∴AG EF ＝158.3．【发现】如图1，∠ACB ＝∠ADB ＝90°，那么点D 在经过A ，B ，C 三点的圆上．【思考】如图2，如果∠ACB ＝∠ADB ＝α（α≠90°）（点C ，D 在AB 的同侧），那么点D 还在经过A ，B ，C 三点的⊙O 上吗？我们知道，如果点D 不在经过A ，B ，C 三点的圆上，那么点D 要么在⊙O 外，要么在⊙O 内，以下该同学的想法说明了点D 不在⊙O 外．请结合图4证明点D 也不在⊙O 内．【结论】综上可得结论，如果∠ACB ＝∠ADB ＝α（点C ，D 在AB 的同侧），那么点D 在经过A ，B ，C 三点的圆上，即A ，B ，C ，D 四点共圆．【应用】利用上述结论解决问题：如图5，已知△ABC 中，∠C ＝90°，将△ACB 绕点A 顺时针旋转α（α为锐角）得△ADE ，连接BE ，CD ，延长CD 交BE 于点F.（1）用含α的代数式表示∠ACD 的度数； （2）求证：点B ，C ，A ，F 四点共圆； （3）求证：点F 为BE 的中点．解：【思考】证明：如图，假设点D 在⊙O 内，延长AD 交⊙O 于点E ，连接BE ，则∠AEB ＝∠ACB ，∵∠ADB 是△BDE 的外角，∴∠ADB ＞∠AEB. ∴∠ADB ＞∠ACB ，这与条件∠ACB ＝∠ADB 矛盾．∴点D 也不在⊙O 内．∴点D 即不在⊙O 内，也不在⊙O 外，点D 在⊙O 上． 【应用】（1）由题意可知，AC ＝AD ，∠CAD ＝α， ∴∠ACD ＝90°－12α.（2）证明：∵AB ＝AE ，∠BAE ＝α， ∴∠ABE ＝90°－12α.∴∠ACD ＝∠ABE.∴B ，C ，A ，F 四点共圆．（3）证明：∵B ，C ，A ，F 四点共圆， ∴∠BFA ＋∠BCA ＝180°.又∵∠ACB ＝90°，∴∠BFA ＝90°.∴AF ⊥BE. ∵AB ＝AE ，∴BF ＝EF ，即点F 为BE 的中点．类型2 与图形变换有关的几何综合题【例2】 （2019·昆明模拟）在矩形ABCD 中，AB ＝8，P 是AB 边上一点，把△PBC 沿直线PC 折叠，顶点B 的对应点是点G ，CG 交AD 于点E ，且BE ∥PG ，BE 交PC 于点F.（1）如图1，若点E 是AD 的中点，求证：△AEB ≌△DEC ；【思路点拨】 由AB ＝DC ，∠A ＝∠D ＝90°，AE ＝DE ，即可证明△AEB ≌△DEC. 【自主解答】 证明：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB ＝DC ，∠A ＝∠D. 又∵E 为AD 的中点， ∴AE ＝DE.∴△AEB ≌△DEC （SAS ）．（2）如图2，请判断△PBF 的形状，并说明理由；【思路点拨】 结论：△PBF 为等腰三角形，证明∠BPF ＝∠BFP. 【自主解答】 解：△PBF 为等腰三角形．理由如下： 在矩形ABCD 中，∠ABC ＝90°， ∵△BPC 沿PC 折叠得到△GPC ， ∴∠BPF ＝∠GPF .∵BE ∥PG ， ∴∠GPF ＝∠BFP. ∴∠BPF ＝∠BFP. ∴BP ＝BF.∴△PBF 为等腰三角形．（3）如图2，①当AD ＝20时，求BP 的长；②当BP ＝5时，求BE ·EF 的值．【思路点拨】 ①根据△ABE ∽△DEC 得出比例式，列方程求出AE ，DE 的长，继而求出CE ，BE 的长，再由△ECF ∽△GCP 得出比例式，列方程求出BP 的长．②连接FG ，证出△GEF ∽△EAB ，得出比例式EF GF ＝ABBE ，从而把求BE ·EF转化为求AB ·GF.【自主解答】 解：①∵BE ∥PG ，∴∠BEC ＝∠PGC ＝90°. ∴∠AEB ＋∠CED ＝90°.∵∠AEB ＋∠ABE ＝90°，∴∠CED ＝∠ABE. 又∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DEC. ∴AB AE ＝DE DC. 设AE ＝x ，则DE ＝20－x.∴8x ＝20－x8.解得x 1＝4，x 2＝16.经检验，x 1＝4和x 2＝16是原方程的解． ∵P 在AB 上，当P 与A 重合时AE 最大为11.6. 当G 在AD 上时，G 与E 重合，AE 最小为20－421， ∴AE ＝4，DE ＝16. ∴CE ＝85，BE ＝4 5. 由折叠的性质得，BP ＝PG ， ∴BP ＝BF ＝PG.∵BE ∥PG ，∴△ECF ∽△GCP. ∴EF PG ＝ECGC. 设BP ＝BF ＝PG ＝y ，∴45－y y ＝8520.∴y ＝205－40.∴BP ＝205－40. ②连接FG ，∵BF ∥PG ，BF ＝PG ，∴四边形BFGP 为平行四边形． ∴BP ＝GF ，BP ∥GF. ∴∠GFE ＝∠ABE.又∵∠GEF ＝∠BAE ＝90， ∴△GEF ∽△EAB.∴EF GF ＝ABBE.∴BE ·EF ＝AB ·GF ＝AB ·BP ＝8×5＝40.与图形变换有关的几何综合题，常涉及特殊三角形和特殊四边形的判定，线段之间的数量关系和位置关系探究，图形之间的关系探究等，解决这类问题，首先应熟练掌握图形的平移、旋转及轴对称的性质，明确图形变换前后哪些是不变的量，哪些是变化的量，然后用全等、相似、解直角三角形、方程和函数等数学模型求解．1．（2018·昆明T23·12分）如图1，在矩形ABCD 中，P 为CD 边上一点（DP<CP ），∠APB ＝90°.将△ADP 沿AP 翻折得到△AD ′P ，PD ′的延长线交边AB 于点M ，过点B 作BN ∥MP 交DC 于点N.（1）求证：AD 2＝DP ·PC ；（2）请判断四边形PMBN 的形状，并说明理由；（3）如图2，连接AC ，分别交PM ，PB 于点E ，F.若DP AD ＝12，求EFAE的值．解：（1）证明：在矩形ABCD 中， ∵AD ＝BC ，∠C ＝∠D ＝90°， ∴∠DAP ＋∠APD ＝90°. ∵∠APB ＝90°， ∴∠CPB ＋∠APD ＝90°. ∴∠DAP ＝∠CPB.∴△ADP ∽△PCB.∴AD PC ＝DPCB .∴AD ·CB ＝DP ·PC. ∵AD ＝BC ，∴AD 2＝DP ·PC.（2）四边形PMBN 为菱形，理由如下： 在矩形ABCD 中，CD ∥AB. ∵BN ∥PM ，∴四边形PMBN 为平行四边形． ∵△ADP 沿AP 翻折得到△AD ′P.∴∠APD ＝∠APM.∵CD ∥AB ，∴∠APD ＝∠PAM. ∴∠APM ＝∠PAM.∵∠APB ＝90°，∴∠PAM ＋∠PBA ＝90°， ∠APM ＋∠BPM ＝90°. ∴∠PBA ＝∠BPM. ∴PM ＝MB.∴四边形PMBN 为菱形． （3）解法一： ∵∠APM ＝∠PAM.∴PM ＝AM.∵PM ＝MB ，∴AM ＝MB. ∵四边形ABCD 为矩形， ∴CD ∥AB 且CD ＝AB. 设DP ＝a ，则AD ＝2DP ＝2a ， 由AD 2＝DP ·PC ，得PC ＝4a ， ∴DC ＝AB ＝5a.∴MA ＝MB ＝5a2.∵CD ∥AB ，∴∠ABF ＝∠CPF ，∠BAF ＝∠PCF. ∴△BFA ∽△PFC. ∴AF CF ＝AB CP ＝5a 4a ＝54.∴AF AC ＝59. 同理△MEA ∽△PEC. ∴AE CE ＝AM CP ＝5a24a ＝58. ∴AE AC ＝513. ∴EF AC ＝AF AC －AE AC ＝59－513＝20117. ∵EF AC ∶AE AC ＝EF AE ， ∴EF AE ＝20117∶513＝49. 解法二：图3如图3，过点F 作FG ∥PM 交MB 于点G.∵∠APM ＝∠PAM.∴PM ＝AM.∵PM ＝MB ，∴AM ＝MB.∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ∥AB 且CD ＝AB.设DP ＝a ，则AD ＝2DP ＝2a ，由AD 2＝DP ·PC ，得PC ＝4a ，∴DC ＝AB ＝5a.∴MA ＝MB ＝5a 2. ∵CD ∥AB ，∴∠CPF ＝∠ABF ，∠PCF ＝∠BAF.∴△PFC ∽△BFA.∴PF BF ＝CP AB ＝4a 5a ＝45. ∵FG ∥PM ，∴MG BG ＝PF BF ＝45. ∴MG MB ＝49. ∵AM ＝MB ，∴MG AM ＝49. ∵FG ∥PM ，∴EF AE ＝MG AM ＝49.2．（2019·曲靖麒麟区模拟）已知，正方形ABCD 中，∠MAN ＝45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点M ，N ，AH ⊥MN 于点H.（1）如图1，当∠MAN 绕点A 旋转到BM ＝DN 时，请你直接写出AH 与AB 的数量关系：AH ＝AB ；（2）如图2，当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时，（1）中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？如果不成立，请写出理由，如果成立，请证明；（3）如图3，已知∠MAN ＝45°，AH ⊥MN 于点H ，且MH ＝2，NH ＝3，求AH 的长．（可利用（2）得到的结论）解：（2）数量关系成立．理由如下：延长CB 至E ，使BE ＝DN.∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠D ＝∠ABE ＝90°.在Rt △AEB 和Rt △AND 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABE ＝∠ADN ，BE ＝DN ，∴Rt △AEB ≌Rt △AND （SAS ）．∴AE ＝AN ，∠EAB ＝∠NAD.∵∠DAN ＋∠BAM ＝45°，∴∠EAB ＋∠BAM ＝∠EAM ＝45°.∴∠EAM ＝∠NAM.在△AEM 和△ANM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AN ，∠EAM ＝∠NAM ，AM ＝AM ，∴△AEM ≌△ANM （SAS ）．∴S △AEM ＝S △ANM ，EM ＝MN.∵AB ，AH 是△AEM 和△ANM 对应边上的高，∴AB ＝AH.（3）分别沿AM ，AN 翻折△AMH 和△ANH ，得到△ABM 和△AND ，∴BM ＝2，DN ＝3，AB ＝AH ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°.∵∠BAM ＝∠MAH ，∠HAN ＝∠DAN ，∴∠BAD ＝2∠MAH ＋2∠HAN ＝2∠MAN ＝90°.分别延长BM 和DN 相交于点C ，可得正方形ABCD ，∴AH ＝AB ＝BC ＝CD ＝AD.设AH ＝x ，则MC ＝x －2，NC ＝x －3，在Rt △MCN 中，由勾股定理，得MN 2＝MC 2＋NC 2，∴52＝（x －2）2＋（x －3）2.解得x 1＝6，x 2＝－1（不符合题意，舍去）．∴AH ＝6.3．（2019·天津）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （6，0），点B 在y 轴的正半轴上，∠ABO ＝30°.矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在OA ，AB ，OB 上，OD ＝2.（1）如图1，求点E 的坐标；（2）将矩形CODE 沿x 轴向右平移，得到矩形C ′O ′D ′E ′，点C ，O ，D ，E 的对应点分别为C ′，O ′，D ′，E ′.设OO ′＝t ，矩形C ′O ′D ′E ′与△ABO 重叠部分的面积为S.①如图2，当矩形C ′O ′D ′E ′与△ABO 重叠部分为五边形时，C ′E ′，E ′D ′分别与AB 相交于点M ，F ，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围； ②当3≤S ≤53时，求t 的取值范围（直接写出结果即可）．解：（1）∵点A （6，0），∴OA ＝6.∵OD ＝2，∴AD ＝OA －OD ＝6－2＝4.∵四边形CODE 是矩形，∴CE ∥OD ，CE ＝OD ＝2，DE ∥OC.∴∠AED ＝∠ABO ＝30°.在Rt △AED 中，AE ＝2AD ＝8，ED ＝AE 2－AD 2＝82－42＝4 3.∴点E 的坐标为（2，43）．（2）①由平移的性质得O ′D ′＝2，E ′D ′＝43，ME ′＝OO ′＝t ，D ′E ′∥O ′C ′∥OB ，∴∠E ′FM ＝∠ABO ＝30°.∴在Rt △MFE ′中，MF ＝2ME ′＝2t ，FE ′＝MF 2－ME ′2＝（2t ）2－t 2＝3t.∴S △MFE ′＝12ME ′·FE ′＝12×t ×3t ＝3t 22. ∵S 矩形C ′O ′D ′E ′＝O ′D ′·E ′D ′＝2×43＝83，∴S ＝S 矩形C ′O ′D ′E ′－S △MFE ′＝83－3t 22. ∴S ＝－32t 2＋83，其中t 的取值范围是0＜t ＜2. ②当2≤t<4时，如图3所示，O ′A ＝6－t ，D ′A ＝6－t －2＝4－t.∴O ′G ＝3（6－t ），D ′F ＝3（4－t ）．∴S ＝12[3（6－t ）＋3（4－t ）]×2＝－23t ＋10 3. ∵－23<0，∴S 随t 增大而减小，∴23<S ≤6 3.∴令S ＝53，即－23t ＋103＝5 3.解得t ＝52. ∴当52≤t<4时，23<S ≤53；当4≤t<6时，如图4所示，O ′A ＝OA －OO ′＝6－t.∵∠AO ′F ＝90°，∠AFO ′＝∠ABO ＝30°，∴O ′F ＝3O ′A ＝3（6－t ）．∴S ＝12（6－t ）×3（6－t ）＝32（t －6）2（4≤t<6）． 又∵当4≤t<6时，S 随t 增大而减小，∴0<S ≤2 3. ∴令S ＝3，即32（t －6）2＝ 3. 解得t 1＝6－2，t 2＝6＋2（舍去）．∴t ＝6－ 2.∴当4≤t ≤6－2时，3≤S ≤2 3.综上所述，当3≤S ≤53时，t 的取值范围为52≤t ≤6－ 2.拓展类型 其他问题1．（2019·眉山）如图，正方形ABCD 中，AE 平分∠CAB ，交BC 于点E ，过点C 作CF ⊥AE ，交AE 的延长线于点G ，交AB 的延长线于点F.（1）求证：BE ＝BF ；（2）如图2，连接BG ，BD ，求证：BG 平分∠DBF ；（3）如图3，连接DG 交AC 于点M ，求AE DM的值．解：（1）证明：在正方形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，∴∠EAB ＋∠AEB ＝90°.∵AG ⊥CF ，∴∠BCF ＋∠CEG ＝90°.又∵∠AEB ＝∠CEG ，∴∠EAB ＝∠BCF.在△ABE 和△CBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAB ＝∠BCF ，AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBF ，∴△ABE ≌△CBF （ASA ）．∴BE ＝BF.（2）∵AE 平分∠CAB ，CF ⊥AE 于G ，∴∠CAG ＝∠FAG ＝22.5°，∠AGC ＝∠AGF.在△AGC 和△AGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CAG ＝∠FAG ，AG ＝AG ，∠AGC ＝∠AGF ，∴△AGC ≌△AGF （ASA ）．∴CG ＝GF ，∠ACG ＝∠AFG.又∵∠CBF ＝90°，∴GB ＝GC ＝GF ，∠GBF ＝∠GFB ＝90°－∠GAF ＝90°－22.5°＝67.5°.∴∠DBG ＝180°－67.5°－45°＝67.5°，即∠GBF ＝∠DBG.∴BG平分∠DBF.（3）连接BG.∵∠DCG＝90°＋22.5°＝112.5°，∠ABG＝180°－67.5°＝112.5°，∴∠DCG＝∠ABG.又∵DC＝AB，CG＝BG，∴△DCG≌△ABG（SAS）．∴∠CDG＝∠GAB＝22.5°.∴∠CDG＝∠CAE.又∵∠DCM＝∠ACE＝45°，∴△DCM∽△ACE.∴AEDM＝ACDC＝ 2.2．（2019·红河弥勒市二模）问题背景：折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法，最著名的是由日本学者芳贺和夫发现的三种折法，现在被数学界称之为芳贺折纸三定理．其中，芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下（如图1）：操作1：将正方形ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合．再将正方形ABCD展开，得到折痕EF；操作2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边BC翻折至B′E的位置，得到折痕MN，B′E与AB交于点P，则P即为AB的三等分点，即AP∶PB＝2∶1.解决问题（1）在图1中，若EF与MN交于点Q，连接CQ.求证：四边形EQCM是菱形；（2）设正方形边长为1，求线段MC的长度；（3）利用线段MC的长度，证明P点是AB的三等分点（即证明AP∶PB＝2∶1）．发现感悟若改变E点在正方形纸片ABCD的边AD上的位置，重复“问题背景”中操作2的折纸过程，请你根据上面得到的结论，思考并解决如下问题：（不写过程，直接回答）（4）如图2.若DE∶AE＝2∶1，则AP∶PB＝4∶1；（5）如图3，若DE∶AE＝3∶1，则AP∶PB＝6∶1；解：（1）证明：由折叠可得，CM＝EM，CQ＝EQ，∠CMQ＝∠EMQ，四边形CDEF是矩形，∴CD ∥EF.∴∠CMQ ＝∠EQM.∴∠EQM ＝∠EMQ.∴ME ＝EQ.∴CM ＝ME ＝EQ ＝CQ.∴四边形EQCM 是菱形．（2）设CM ＝x ，则EM ＝x ，DM ＝1－x ，在Rt △DEM 中，由勾股定理得EM 2＝ED 2＋DM 2，即x 2＝（12）2＋（1－x ）2.解得x ＝58.∴MC ＝58. （3）设正方形边长为1，由（2）得CM ＝58，则DM ＝38. ∵∠PEM ＝∠D ＝90°，∴∠AEP ＋∠DEM ＝90°，∠DEM ＋∠EMD ＝90°.∴∠AEP ＝∠DME.又∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△AEP ∽△DME.∴AP AE ＝DE DM ，即AP 12＝1238.解得AP ＝23. ∴PB ＝13.∴AP ∶PB ＝2∶1.3．（2019·昆明西山区二模）如图1，已知△ABC 中，AB ＝10 cm ，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，如果点P 由B 出发沿PA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2 cm/s ，连接PQ ，设运动的时间为t （单位：s ）（0≤t ≤4），解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ ∥BC?（2）设△APQ 面积为S （单位：cm 2），当t 为何值时，S 取得最大值？并求出最大值；（3）是否存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；（4）如图2，把△AQP 沿AP 翻折，得到四边形AQPQ ′，那么是否存在某时刻t ，使四边形AQPQ ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．解：∵AB ＝10 cm ，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，∴由勾股定理逆定理得△ABC 为直角三角形，∠C 为直角．（1）BP ＝AQ ＝2t ，则AP ＝10－2t.∵PQ ∥BC ，∴AP AB ＝AQ AC ，即10－2t 10＝2t 8，解得t ＝209. ∴当t ＝209s 时，PQ ∥BC.答图1（2）如答图1所示，过点P 作PD ⊥AC 于点D.∴PD ∥BC.∴AP AB ＝PD BC ，即10－2t 10＝PD 6，解得PD ＝6－65t. S ＝12×AQ ·PD ＝12×2t ×（6－65t ） ＝－65t 2＋6t ＝－65（t －52）2＋152. ∴当t ＝52 s 时，S 取得最大值，最大值为152cm 2. （3）假设存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分，则有S △AQP ＝12S △ABC ，而S △ABC ＝12AC ·BC ＝24， ∴此时S △AQP ＝12.由（2）可知，S △AQP ＝－65t 2＋6t ， ∴－65t 2＋6t ＝12，化简得t 2－5t ＋10＝0. ∵Δ＝（－5）2－4×1×10＝－15<0，此方程无解，∴不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分．答图2（4）方法1，假设存在时刻t ，使四边形AQPQ ′为菱形，则有AQ ＝PQ ＝BP ＝2t.如答图2所示，过P 点作PD ⊥AC 于点D ，则有PD ∥BC ，∴AP AB ＝PD BC ＝AD AC ，即10－2t 10＝PD 6＝AD 8. 解得PD ＝6－65t ，AD ＝8－85t.∴QD ＝AD －AQ ＝8－85t －2t ＝8－185t. 在Rt △PQD 中，由勾股定理得QD 2＋PD 2＝PQ 2，即（8－185t ）2＋（6－65t ）2＝（2t ）2， 化简得13t 2－90t ＋125＝0，解得t 1＝5，t 2＝2513. ∵t ＝5 s 时，AQ ＝10 cm>AC ，不符合题意，舍去，∴t ＝2513s. 由（2）可知，S AQP ＝－65t 2＋6t ， ∴S 菱形AQPQ ′＝2S △AQP ＝2×（－65t 2＋6t ）＝2×[－65×（2513）2＋6×2513]＝2 400169（cm 2）． ∴当t ＝2513 s 时，四边形AQPQ ′为菱形，此时菱形的面积为2 400169cm 2. （或连接QQ ′交AB 于N ，利用相似三角形的性质，求出QN ，菱形的面积等于△AQN 面积的4倍）答图3方法2，如答图3.过点Q 作QH ⊥AB 于H ，∵四边形AQPQ ′是菱形，∴AQ ＝PQ ＝2t.∴AH ＝12AP ＝12（10－2t ）＝5－t. ∵∠AHQ ＝∠ACB ＝90°，∠HAQ ＝∠CAB ，∴△AHQ ∽△ACB.∴AH AC ＝AQ AB ＝QH BC. ∴5－t 8＝2t 10＝QH 6. ∴t ＝2513，QH ＝3013. ∴S 菱形AQPQ ′＝2S △AQP ＝2×12（10－2×2513）×3013＝2 400169（cm 2）． ∴当t ＝2513 s 时，四边形AQPQ ′为菱形，此时菱形的面积为2 400169cm 2.。
2020年广西北海市中考数学试卷 (解析版)
2020年广西北海市中考数学试卷一、选择题（共12小题）.1．下列实数是无理数的是（）A．B．1C．0D．﹣52．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．2020年2月至5月，由广西教育厅主办，南宁市教育局承办的广西中小学“空中课堂”是同期全国服务中小学学科最齐、学段最全、上线最早的线上学习课程，深受广大师生欢迎．其中某节数学课的点击观看次数约889000次，则数据889000用科学记数法表示为（）A．88.9×103B．88.9×104C．8.89×105D．8.89×1064．下列运算正确的是（）A．2x2+x2＝2x4B．x3•x3＝2x3C．（x5）2＝x7D．2x7÷x5＝2x2 5．以下调查中，最适合采用全面调查的是（）A．检测长征运载火箭的零部件质量情况B．了解全国中小学生课外阅读情况C．调查某批次汽车的抗撞击能力D．检测某城市的空气质量6．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定7．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°8．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（）A．B．C．D．9．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（）A．15B．20C．25D．3010．甲、乙两地相距600km，提速前动车的速度为vkm/h，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，提速后行车时间比提速前减少20min，则可列方程为（）A．﹣＝B．＝﹣C．﹣20＝D．＝﹣2011．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸12．如图，点A，B是直线y＝x上的两点，过A，B两点分别作x轴的平行线交双曲线y ＝（x＞0）于点C，D．若AC ＝BD，则3OD2﹣OC2的值为（）A．5B．3C．4D．2二、填空题（共6小题）.13．如图，在数轴上表示的x的取值范围是．14．计算：﹣＝．15．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20401002004001000“射中9环以上”的次数153378158231801“射中9环以上”的频率（结果保留小数点后两位）0.750.830.780.790.800.80根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是（结果保留小数点后一位）．16．如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有8排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是．17．以原点为中心，把点M（3，4）逆时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为．18．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠C＝60°，点E，F分别是AB，AD上的动点，且AE＝DF，DE与BF交于点P．当点E从点A运动到点B时，则点P的运动路径长为．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．计算：﹣（﹣1）+32÷（1﹣4）×2．20．先化简，再求值：÷（x﹣），其中x＝3．21．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．22．小手拉大手，共创文明城．某校为了了解家长对南宁市创建全国文明城市相关知识的知晓情况，通过发放问卷进行测评，从中随机抽取20份答卷，并统计成绩（成绩得分用x表示，单位：分），收集数据如下：90 82 99 86 98 96 90 100 89 83 87 88 81 90 93 100 100 96 92 100整理数据：80≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x＜10034a8分析数据：平均分中位数众数92b c根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表格中a，b，c的值；（2）该校有1600名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于90分的人数是多少？（3）请从中位数和众数中选择一个量，结合本题解释它的意义．23．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？24．倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人，已知2台A型机器人和5台B型机器人同时工作2h共分拣垃圾3.6吨，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作5h共分拣垃圾8吨．（1）1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？（2）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设购买A型机器人a台（10≤a≤45），B型机器人b 台，请用含a的代数式表示b；（3）机器人公司的报价如下表：型号原价购买数量少于30台购买数量不少于30台A型20万元/台原价购买打九折B型12万元/台原价购买打八折在（2）的条件下，设购买总费用为w万元，问如何购买使得总费用w最少？请说明理由．25．如图，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D，连接AD，且∠DAE＝∠ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与⊙O相切于点B．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）连接AB交OP于点F，求证：△FAD∽△DAE；（3）若tan∠OAF＝，求的值．26．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：x＝﹣2相交于点D，点A 是直线l2上的动点，过点A作AB⊥l1于点B，点C的坐标为（0，3），连接AC，BC．设点A的纵坐标为t，△ABC的面积为s．（1）当t＝2时，请直接写出点B的坐标；（2）s关于t的函数解析式为s＝，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出a与b的值；（3）在l2上是否存在点A，使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和△ABC的面积；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）1．下列实数是无理数的是（）A．B．1C．0D．﹣5【分析】无限不循环小数是无理数，而1，0，﹣5是整数，也是有理数，因此是无理数．解：无理数是无限不循环小数，而1，0，﹣5是有理数，因此是无理数，故选：A．2．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．3．2020年2月至5月，由广西教育厅主办，南宁市教育局承办的广西中小学“空中课堂”是同期全国服务中小学学科最齐、学段最全、上线最早的线上学习课程，深受广大师生欢迎．其中某节数学课的点击观看次数约889000次，则数据889000用科学记数法表示为（）A．88.9×103B．88.9×104C．8.89×105D．8.89×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值是易错点，由于889000有6位，所以可以确定n＝6﹣1＝5．解：889000＝8.89×105．故选：C．4．下列运算正确的是（）A．2x2+x2＝2x4B．x3•x3＝2x3C．（x5）2＝x7D．2x7÷x5＝2x2【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．解：A、2x2+x2＝3x2，故此选项错误；B、x3•x3＝x6，故此选项错误；C、（x5）2＝x10，故此选项错误；D、2x7÷x5＝2x2，正确．故选：D．5．以下调查中，最适合采用全面调查的是（）A．检测长征运载火箭的零部件质量情况B．了解全国中小学生课外阅读情况C．调查某批次汽车的抗撞击能力D．检测某城市的空气质量【分析】利用全面调查、抽样调查的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．解：检测长征运载火箭的零部件质量情况适合用全面调查，而“了解全国中小学生课外阅读情况”“调查某批次汽车的抗撞击能力”“检测某城市的空气质量”则不适合用全面调查，宜采取抽样调查，故选：A．6．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【分析】先根据方程的一般式得出a、b、c的值，再计算出△＝b2﹣4ac的值，继而利用一元二次方程的根的情况与判别式的值之间的关系可得答案．解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝1，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0，∴有两个相等的实数根，故选：B．7．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ACB的度数，观察作图过程可得，进而可得∠DCE 的度数．解：∵BA＝BC，∠B＝80°，∴∠A＝∠ACB＝（180°﹣80°）＝50°，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝130°，观察作图过程可知：CE平分∠ACD，∴∠DCE＝ACD＝65°，∴∠DCE的度数为65°故选：B．8．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（）A．B．C．D．【分析】由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观察图可得：它有6种路径，且获得食物的有2种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案．解：∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，∴它有6种路径，∵获得食物的有2种路径，∴获得食物的概率是＝，故选：C．9．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（）A．15B．20C．25D．30【分析】设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，易证四边形EHDN是矩形，则DN＝x，根据正方形的性质得出EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可得解．解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，∵四边EFGH是正方形，∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°，∴四边形EHDN是矩形，∴DN＝EH＝x，∵△AEF∽△ABC，∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），∵BC＝120，AD＝60，∴AN＝60﹣x，∴＝，解得：x＝40，∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．故选：B．10．甲、乙两地相距600km，提速前动车的速度为vkm/h，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，提速后行车时间比提速前减少20min，则可列方程为（）A．﹣＝B．＝﹣C．﹣20＝D．＝﹣20【分析】直接利用总时间的差值进而得出等式求出答案．解：因为提速前动车的速度为vkm/h，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，所以提速后动车的速度为1.2vkm/h，根据题意可得：﹣＝．故选：A．11．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．解：过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r，则AB＝2r，DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故选：C．12．如图，点A，B是直线y＝x上的两点，过A，B两点分别作x轴的平行线交双曲线y ＝（x＞0）于点C，D．若AC＝BD，则3OD2﹣OC2的值为（）A．5B．3C．4D．2【分析】延长CA交y轴于E，延长BD交y轴于F．设A、B的横坐标分别是a，b，点A、B为直线y＝x上的两点，A的坐标是（a，a），B的坐标是（b，b）．则AE＝OE＝a，BF＝OF＝b．根据AC＝BD得到a，b的关系，然后利用勾股定理，即可用a，b表示出所求的式子从而求解．解：延长CA交y轴于E，延长BD交y轴于F．设A、B的横坐标分别是a，b，∵点A、B为直线y＝x上的两点，∴A的坐标是（a，a），B的坐标是（b，b）．则AE＝OE＝a，BF＝OF＝b．∵C、D两点在交双曲线y＝（x＞0）上，则CE＝，DF＝．∴BD＝BF﹣DF＝b﹣，AC＝﹣a．又∵AC＝BD，∴﹣a＝（b﹣），两边平方得：a2+﹣2＝3（b2+﹣2），即a2+＝3（b2+）﹣4，在直角△ODF中，OD2＝OF2+DF2＝b2+，同理OC2＝a2+，∴3OD2﹣OC2＝3（b2+）﹣（a2+）＝4．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）13．如图，在数轴上表示的x的取值范围是x＜1．解：在数轴上表示的x的取值范围是x＜1，故答案为：x＜1．14．计算：﹣＝．【分析】先化简＝2，再合并同类二次根式即可．解：＝2﹣＝．故答案为：．15．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20401002004001000“射中9环以上”的次数153378158231801“射中9环以上”的频率0.750.830.780.790.800.80（结果保留小数点后两位）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8（结果保留小数点后一位）．【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．解：根据表格数据可知：根据频率稳定在0.8，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8．故答案为：0.8．16．如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有8排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是556个．【分析】根据题意可得前区最后一排座位数为：20+2（8﹣1）＝34，所以前区座位数为：（20+34）×8÷2＝216，后区的座位数为：10×34＝340，进而可得该礼堂的座位总数．解：因为前区一共有8排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加两个座位，所以前区最后一排座位数为：20+2（8﹣1）＝34，所以前区座位数为：（20+34）×8÷2＝216，以为前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，所以后区的座位数为：10×34＝340，所以该礼堂的座位总数是216+340＝556个．故答案为：556个．17．以原点为中心，把点M（3，4）逆时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为（﹣4，3）．【分析】如图，根据点M（3，4）逆时针旋转90°得到点N，则可得点N的坐标为（﹣4，3）．解：如图，∵点M（3，4）逆时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为（﹣4，3）．故答案为：（﹣4，3）．18．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠C＝60°，点E，F分别是AB，AD上的动点，且AE＝DF，DE与BF交于点P．当点E从点A运动到点B时，则点P的运动路径长为π．【分析】如图，作△CBD的外接圆⊙O，连接OB，OD．利用全等三角形的性质证明∠DPB＝120°，推出B，C，D，P四点共圆，利用弧长公式计算即可．解：如图，作△CBD的外接圆⊙O，连接OB，OD．∵四边形ABCD是菱形，∵∠A＝∠C＝60°，AB＝BC＝CD＝AD，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，∴BD＝AD，∠BDF＝∠DAE，∵DF＝AE，∴△BDF≌△DAE（SAS），∴∠DBF＝∠ADE，∵∠ADE+∠BDE＝60°，∴∠DBF+∠BDP＝60°，∴∠BDP＝120°，∵∠C＝60°，∴∠C+∠DPB＝180°，∴B，C，D，P四点共圆，由BC＝CD＝BD＝2，可得OB＝OD＝2，∵∠BOD＝2∠C＝120°，∴点P的运动的路径的长＝＝π．故答案为π．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．计算：﹣（﹣1）+32÷（1﹣4）×2．【分析】直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案．解：原式＝1+9÷（﹣3）×2＝1﹣3×2＝1﹣6＝﹣5．20．先化简，再求值：÷（x﹣），其中x＝3．【分析】先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，最后约分即可化简原式，继而将x的值代入计算可得答案．解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．21．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．【分析】（1）证出BC＝EF，由SSS即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得出∠B＝∠DEF，证出AB∥DE，由AB＝DE，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；（2）证明：由（1）得：△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF，∴AB∥DE，又∵AB＝DE，∴四边形ABED是平行四边形．22．小手拉大手，共创文明城．某校为了了解家长对南宁市创建全国文明城市相关知识的知晓情况，通过发放问卷进行测评，从中随机抽取20份答卷，并统计成绩（成绩得分用x表示，单位：分），收集数据如下：90 82 99 86 98 96 90 100 89 83 87 88 81 90 93 100 100 96 92 100整理数据：80≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x＜10034a8分析数据：平均分中位数众数92b c根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表格中a，b，c的值；（2）该校有1600名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于90分的人数是多少？（3）请从中位数和众数中选择一个量，结合本题解释它的意义．【分析】（1）将数据从小到大重新排列，再根据中位数和众数的概念求解可得；（2）用总人数乘以样本中不低于90分的人数占被调查人数的比例即可得；（3）从众数和中位数的意义求解可得．解：（1）将这组数据重新排列为：81，82，83，86，87，88，89，90，90，90，92，93，96，96，98，99，100，100，100，100，∴a＝5，b＝＝91，c＝100；（2）估计成绩不低于90分的人数是1600×＝1040（人）；（3）中位数，在被调查的20名学生中，中位数为91分，有一半的人分数都是再91分以上．23．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？【分析】（1）过B作PM⊥AB于C，解直角三角形即可得到结论；（2）在Rt△BCM中，解直角三角形求得∠CBM＝60°，即可求得∠CBG＝45°，BC ＝40nmile，即可得到结论．解：（1）过B作BM⊥AC于M，由题意可知∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°，在Rt△ABM中，∵∠BAM＝45°，AB＝40nmile，∴BM＝AM＝AB＝20nmile，∴渔船航行20nmile距离小岛B最近；（2）∵BM＝20nmile，MC＝20nmile，∴tan∠MBC＝＝＝，∴∠MBC＝60°，∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，在Rt△BCM中，∵∠CBM＝60°，BM＝20nmile，∴BC＝＝2BM＝40nmile，故救援队从B处出发沿点B的南偏东45°的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是40nmile．24．倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人，已知2台A型机器人和5台B型机器人同时工作2h共分拣垃圾3.6吨，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作5h共分拣垃圾8吨．（1）1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？（2）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设购买A型机器人a台（10≤a≤45），B型机器人b 台，请用含a的代数式表示b；（3）机器人公司的报价如下表：型号原价购买数量少于30台购买数量不少于30台A型20万元/台原价购买打九折B型12万元/台原价购买打八折在（2）的条件下，设购买总费用为w万元，问如何购买使得总费用w最少？请说明理由．【分析】（1）1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾x吨和y吨，根据题意列出方程即可求出答案．（2）根据题意列出方程即可求出答案．（3）根据a的取值，求出w与a的函数关系，从而求出w的最小值．解：（1）1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾x吨和y吨，由题意可知：，解得：，答：1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾0.4吨和0.2吨．（2）由题意可知：0.4a+0.2b＝20，∴b＝100﹣2a（10≤a≤45）．（3）当10≤a＜30时，此时40≤b≤80，∴w＝20×a+0.8×12（100﹣2a）＝0.8a+960，当a＝10时，此时w有最小值，w＝968万元，当30≤a≤35时，此时30≤b≤40，∴w＝0.9×20a+0.8×12（100﹣2a）＝﹣1.2a+960，当a＝35时，此时w有最小值，w＝918万元，当35＜a≤45时，此时10≤b＜30，∴w＝0.9×20a+12（100﹣2a）＝﹣6a+1200当a＝45时，w有最小值，此时w＝930，答：选购A型号机器人35台时，总费用w最少，此时需要918万元．25．如图，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D，连接AD，且∠DAE＝∠ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与⊙O相切于点B．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）连接AB交OP于点F，求证：△FAD∽△DAE；（3）若tan∠OAF＝，求的值．【分析】（1）由AC为直径得∠ADC＝90°，再由直角三角形两锐角互余和已知条件得∠DAC+∠DAE＝90°，进而结出结论；（2）由切线长定理得PA＝PB，∠OPA＝∠OPB，进而证明△PAD≌△PBD，得AD＝BD，得△BAD＝△BDA，再由圆周角定理得∠DAF＝∠EAD，进而便可得：△FAD∽△DAE；（3）证明△AOF∽△POA，得AP＝2OA，再△AFD∽△CAE，求得的值使得的值．解：（1）∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵∠DAE＝∠ACE，∴∠DAC+∠DAE＝90°，即∠CAE＝90°，∴AP是⊙O的切线；（2）连接DB，如图1，∵PA和PB都是切线，∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB，PO⊥AB，∵PD＝PD，∴△DPA≌△DPB（SAS），∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD，∵∠ACD＝∠ABD，又∠DAE＝∠ACE，∴∠DAF＝∠DAF，∵AC是直径，∴∠ADE＝∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠AFD＝90°，∴△FAD∽△DAE；（3）∵∠AFO＝∠OAP＝90°，∠AOF＝∠POA，∴△AOF∽△POA，∴，∴，∴PA＝2AO＝AC，∵∠AFD＝∠CAE＝90°，∠DAF＝∠ABD＝∠ACE，∴△AFD∽△CAE，∴，∴，∵，不妨设OF＝x，则AF＝2x，∴，∴，∴，∴．26．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：x＝﹣2相交于点D，点A 是直线l2上的动点，过点A作AB⊥l1于点B，点C的坐标为（0，3），连接AC，BC．设点A的纵坐标为t，△ABC的面积为s．（1）当t＝2时，请直接写出点B的坐标；（2）s关于t的函数解析式为s＝，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出a与b的值；（3）在l2上是否存在点A，使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和△ABC的面积；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先根据t＝2可得点A（﹣2，2），因为B在直线l1上，所以设B（x，x+1），在Rt△ABG中，利用勾股定理列方程可得点B的坐标；（2）先把（7，4）代入s＝中计算得b的值，计算在﹣1＜t＜5范围内图象上一个点的坐标值：当t＝2时，根据（1）中的数据可计算此时s＝，可得坐标（2，），代入s＝a（t+1）（t﹣5）中可得a的值；（3）存在，设B（x，x+1），分两种情况：①当∠CAB＝90°时，如图4，②当∠ACB ＝90°时，如图5和图6，分别根据两点的距离公式和勾股定理列方程可解答．解：（1）如图1，连接AG，当t＝2时，A（﹣2，2），设B（x，x+1），在y＝x+1中，当x＝0时，y＝1，∴G（0，1），∵AB⊥l1，∴∠ABG＝90°，∴AB2+BG2＝AG2，即（x+2）2+（x+1﹣2）2+x2+（x+1﹣1）2＝（﹣2）2+（2﹣1）2，解得：x1＝0（舍），x2＝﹣，∴B（﹣，）；（2）如图2可知：当t＝7时，s＝4，把（7，4）代入s＝中得：+7b﹣＝4，解得：b＝﹣1，如图3，过B作BH∥y轴，交AC于H，由（1）知：当t＝2时，A（﹣2，2），B（﹣，），∵C（0，3），设AC的解析式为：y＝kx+b，则，解得，∴AC的解析式为：y＝x+3，∴H（﹣，），∴BH＝﹣＝，∴s＝＝＝，把（2，）代入s＝a（t+1）（t﹣5）得：a（2+1）（2﹣5）＝，解得：a＝﹣；（3）存在，设B（x，x+1），分两种情况：①当∠CAB＝90°时，如图4，∵AB⊥l1，∴AC∥l1，∵l1：y＝x+1，C（0，3），∴AC：y＝x+3，∴A（﹣2，1），∵D（﹣2，﹣1），在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，即（x+2）2+（x+1﹣1）2+（x+2）2+（x+1+1）2＝22，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2（舍），∴B（﹣1，0），即B在x轴上，∴AB＝＝，AC＝＝2，∴S△ABC＝＝＝2；②当∠ACB＝90°时，如图5，∵∠ABD＝90°，∠ADB＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝BD，∵A（﹣2，t），D（﹣2，﹣1），∴（x+2）2+（x+1﹣t）2＝（x+2）2+（x+1+1）2，（x+1﹣t）2＝（x+2）2，x+1﹣t＝x+2或x+1﹣t＝﹣x﹣2，解得：t＝﹣1（舍）或t＝2x+3，Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，即（﹣2）2+（t﹣3）2+x2+（x+1﹣3）2＝（x+2）2+（x+1﹣t）2，把t＝2x+3代入得：x2﹣3x＝0，解得：x＝0或3，当x＝3时，如图5，则t＝2×3+3＝9，∴A（﹣2，9），B（3，4），∴AC＝＝2，BC＝＝，∴S△ABC＝＝＝10；当t＝0时，如图6，此时，A（﹣2，3），AC＝2，BC＝2，∴S△ABC＝＝＝2．。
专题卷12合情推理与演绎推理-2020年中考数学复习核心考点专题卷(解析版)
2020年中考数学复习核心考点专题卷专题十二 合情推理与演绎推理本卷共5个大题，17个小题，满分100分，考试时间45分钟． 一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 1．如果“盈利5%”记作+5%，那么﹣3%表示（ ）A ．亏损3%B ．亏损8%C ．盈利2%D ．少赚3% 【答案】A【方法点拔】本题虽简单，但隐含着合情推理，“盈利”与“亏损”具有相反意义，由已知“盈利”为正，则类比推理可知“亏损”为负．2．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：b a -，y x -，y x +，b a +，22y x -，22b a -分别对应下列六个字：国、爱、我、中、游、美，现将222222)()(b y x a y x ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）A ．我爱美B ．中国游C ．爱我中国D ．美我中国 【答案】C【方法点拔】对代数式222222)()(b y x a y x ---进行因式分解，对比已知条件中的每一多项式，即可推断出密码信息的含义．这是一种合情推理．3．如图，AB ∥CD ，CE 平分∠BCD ，∠B =36°，则∠DCE 等于（ ） A ．18° B ．36° C ．45°D ．54°【答案】A【方法点拔】本题应用了平行线的性质定理和角平分线的性质进行推理，经两步推理即可得出结论．属于演绎推理．4．已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BC 的中点，以下说法错误．．的是（ ）A ．DC=2OEB ．OA=OC C ．∠BOE=∠OBAD ．∠OBE=∠OCE 【答案】D【方法点拔】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A 、B 、C 正确；由OB ≠OC ，得出∠OBE ≠∠OCE ，选项D 错误；即可得出结论．解答过程应用了相关定理性质进行多向、多步推理．5．如图，已知AB =A 1B ，A 1B 1=A 1A 2，A 2B 2=A 2A 3，A 3B 3=A 3A 4…，若∠A =70°，则∠A n 的度数为（ ）A ．1270-nB ．n 270C ．1270+nD ．2270+n【答案】C【方法点拔】本题属于规律探究问题，主要考查合情推理，根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B 1A 2A 1，∠B 2A 3A 2及∠B 3A 4A 3的度数，找出规律即可得出∠A n ﹣1A n B n ﹣1的度数．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）6．能够说明x =不成立”的x 的值是 （写出一个即可）． 【答案】﹣17．观察一组数：1，1，2，3，5，m …，根据其规律可知这组数中m 表示的数为 ． 【答案】88．如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，D 是线段BC 上的动点（不含端点B 、C ）．若线段AD 长为正整数，则AD 长为 ． 【答案】3或49．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是 ．【答案】3310．矩形ABCD 中，AD =2AB =4，点P 在AD 边上，若△PBC 是等腰三角形，则为∠PBC 的度数为 ． 【答案】45°或75°或30°三、（本大题共2小题，每小题7分，共14分）11．如图：点C 是AE 的中点，∠A =∠ECD ，AB=CD ，求证：∠B =∠D ．【答案】∵点C 是AE 的中点，∴AC =CE ，在△ABC 和△CDE 中，,,.AC CE A ECD AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△CDE ，∴∠B =∠D ．12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x 1，第二个三角形数记为x 2，…第n 个三角形数记为x n ． （1）第七个三角形数是 ；（2）求x n +x n +1的值． 【答案】（1）28；（2）∵ 1x +2x =1+3=4=22，2x +3x =3+6=9=23，3x +4x =6+10=16=24，4x +5x =10+15=25=25， 5x +6x =15+21=36=26，……∴n x +1n x + =()21n +．四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 13．已知关于x 的方程x 2+mx+m ﹣2=0． （1）若此方程的一个根为1，求m 的值；（2）求证：不论m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1）根据题意，将x =1代入方程x 2+mx +m ﹣2=0， 得：1+m +m ﹣2=0，解得：m =12； （2）∵△=m 2﹣4×1×（m ﹣2）=m 2﹣4m +8=（m ﹣2）2+4＞0， ∴不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．14．某校对七、八、九年级的学生进行体育水平测试，成绩评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级．为了解这次测试情况，学校从三个年级随机抽取200名学生的体育成绩进行统计分析．相关数据的统计图、表如下：根据以上信息解决下列问题：（1）在统计表中，a 的值为 ，b 的值为 ；（2）在扇形统计图中，八年级所对应的扇形圆心角为 度；（3）若该校三个年级共有2000名学生参加考试，试估计该校学生体育成绩不合格的人数．【答案】解：（1）由题意和扇形统计图可得，a=200×40%﹣20﹣24﹣8=80﹣20﹣24﹣8=28，b=200×30%﹣24﹣14﹣7=60﹣24﹣14﹣7=15，故答案为：28，15；（2）由扇形统计图可得，八年级所对应的扇形圆心角为：360°×（1﹣40%﹣30%）=360°×30%=108°，故答案为：108；（3）由题意可得，2000×200758++=200人，即该校三个年级共有2000名学生参加考试，该校学生体育成绩不合格的有200人．五、（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15．在□ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，求AB 的长．【答案】①如图1，在▱ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∵EF=2，∴BC=BE+CF=2AB﹣EF=8，∴AB=5；②在▱ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∵EF=2，∴BC =BE +CF =2AB +EF =8，∴AB =3；综上所述：AB 的长为3或5．16．如图，在平面直角坐标系中，点B 在x 轴正半轴上，OB 的长度为2m ，以OB 为边向上作等边三角形AOB ，抛物线l ：y =ax 2+bx +c 经过点O ，A ，B 三点．（1）当m =2时，a = ，当m =3时，a = ； （2）根据（1）中的结果，猜想a 与m 的关系，并证明你的结论．【答案】解：（1）如图1，∵点B 在x 轴正半轴上，OB 的长度为2m ，∴B （2m ，0）， ∵以OB 为边向上作等边三角形AOB ， ∴AMm ，OM =m ，∴A （mm ）， ∵抛物线l ：y =ax 2+bx +c 经过点O ，A ，B 三点∴22(2)200a m bm c am bm c c ⎧⨯++=⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，∴0a m b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩当m =2时，2a =-，当m =3时，3a =-，故答案为：2-3-； （2）a =． 理由：如图1，∵点B 在x 轴正半轴上，OB 的长度为2m ，∴B （2m ，0）， ∵以OB 为边向上作等边三角形AOB ， ∴AMm ，OM =m ，∴A （mm ）．∵抛物线l ：y =ax 2+bx +c 经过点O ，A ，B 三点，∴22(2)200a m bm c am bm c c ⎧⨯++=⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，∴0a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴a =．17．△ABC 中，∠BAC =90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD右侧作正方形ADEF ，连接CF ． 观察猜想如图1，当点D 在线段BC 上时， ①BC 与CF 的位置关系为： ．②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为： ；（将结论直接写在横线上） 数学思考如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． 拓展延伸如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE ．若已知AB=CD=14BC ，求GE 的长．【答案】观察猜想①正方形ADEF 中，AD =AF ， ∵∠BAC =∠DAF =90°， ∴∠BAD =∠CAF ．在△DAB与△F AC中，AD AFBAD CAF AB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAB≌△F AC．∴∠ABD=∠ACF．∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；故答案为：CF⊥BD；②△DAB≌△F AC，∴CF=BD．∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD．故答案为：BC=CF+CD；数学思考当点D在CB的延长线上时，结论①成立，结论②不成立，②的正确结论是：BC=CD－CF 理由如下：∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°．∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF．在△DAB与△F AC中，AD AFBAD CAF AB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAB≌△F AC．∴∠ABD=∠ACF=135°，CF=BD．∴∠DCF=∠ACF－∠ACB=135°－45°=90°．∴CF⊥BD．∵BC= CD－BD，∴BC= CD－CF．拓展延伸解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴BCAB=4，AH=12BC=2．∴CD=14BC=1，CH=12BC=2．∴DH=3．由（2）证得BC⊥CF，CF=BD=5，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=DE，∠ADE=90°．∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四边形CMEN是矩形，∴NE=CM，EM=CN，∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°．∴∠ADH=∠DEM．在△ADH与△DEM中，ADH DEMAHD DME AD DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADH≌△DEM．∴EM=DH=3，DM=AH=2．∴CN=EM=3，EN=CM=3．∵∠ABC=45°，∴∠BGC=45°．∴△BCG是等腰直角三角形．∴CG=BC=4．∴GN=1．∴EG。
山东省烟台市2020年中考数学试题(解析版)
2020年山东省烟台市中考数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）1．4的平方根是（）A．2B．﹣2C．±2D．2．下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的是（）A．a B．b C．c D．无法确定4．如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．B．C．D．5．如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据（）A．众数改变，方差改变B．众数不变，平均数改变C．中位数改变，方差不变D．中位数不变，平均数不变6．利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（）A．按键即可进入统计计算状态B．计算的值，按键顺序为：C．计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果D．计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0.333333333 7．如图，△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OA n的长度为（）A．（）n B．（）n﹣1C．（）n D．（）n﹣1 8．量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC 的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．85°9．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（）A．B．C．D．10．如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（）A．1.7B．1.8C．2.2D．2.411．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（）A．B．C．D．12．如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣1B．﹣0.5＜x＜0或x＞1C．0＜x＜1D．x＜﹣1或0＜x＜1二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）13．5G是第五代移动通信技术，其网络下载速度可以达到每秒1300000KB以上，正常下载一部高清电影约需1秒．将1300000用科学记数法表示为．14．已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为．15．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．16．按如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为﹣3，则输出y的结果为．17．如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），D（6，6），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为．18.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为﹣．其中正确结论的序号是．三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）19.先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝+1，y＝﹣1．20.奥体中心为满足暑期学生对运动的需求，欲开设球类课程，该中心随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”、“篮球”、“足球”、“排球”、“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了多少名学生？（2）将条形统计图补充完整；（3）我们把“羽毛球”“篮球”，“足球”、“排球”、“乒乓球”分别用A，B，C，D，E 表示．小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择不同项目的概率．21.新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店三月份共销售A，B两种型号的口罩9000只，共获利润5000元，其中A，B两种型号口罩所获利润之比为2：3．已知每只B型口罩的销售利润是A型口罩的1.2倍．（1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；（2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍，设购进A型口罩m只，这1000只口罩的销售总利润为W元．该药店如何进货，才能使销售总利润最大？22.如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝2，求的长（结果保留π）．23.今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：测量对象男性（18～60岁）女性（18～55岁）抽样人数（人）20005000200002000500020000平均身高（厘米）173175176164165164根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用176厘米，女性应采用厘米；（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．（参考数据表）#DLQZ计算器按键顺序计算结果（近计算器按键顺序计算结果（近似值）似值）0.178.70.284.31.7 5.73.511.3 24.如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．25.如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x ＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA 于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．2020年山东省烟台市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．4的平方根是（）A．2B．﹣2C．±2D．【分析】根据平方根的定义，求数4的平方根即可．【解答】解：4的平方根是±2．故选：C．2．下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：A．3．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的是（）A．a B．b C．c D．无法确定【分析】根据有理数大小比较方法，越靠近原点其绝对值越小，进而分析得出答案．【解答】解：有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，这三个数中，实数a离原点最远，所以绝对值最大的是：a．故选：A．4．如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．B．C．D．【分析】结合三视图确定各图形的位置后即可确定正确的选项．【解答】解：结合三个视图发现，这个几何体是长方体和圆锥的组合图形．故选：B．5．如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据（）A．众数改变，方差改变B．众数不变，平均数改变C．中位数改变，方差不变D．中位数不变，平均数不变【分析】由每个数都减去5，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少5，方差不变，据此可得答案．【解答】解：如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少5，方差不变，故选：C．6．利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（）A．按键即可进入统计计算状态B．计算的值，按键顺序为：C．计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果D．计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0.333333333【分析】根据计算器的按键写出计算的式子．然后求值．【解答】解：A、按键即可进入统计计算状态是正确的，故选项A不符合题意；B、计算的值，按键顺序为：，故选项B符合题意；C、计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果是正确的，故选项C不符合题意；D、计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0.333333333是正确的，故选项D不符合题意；故选：B．7．如图，△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OA n的长度为（）A．（）n B．（）n﹣1C．（）n D．（）n﹣1【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案．【解答】解：∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，∴OA2＝；∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴OA3＝2＝；∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴OA4＝2＝．∵△OA4A5为等腰直角三角形，∴OA5＝4＝，……∴OA n的长度为（）n﹣1．故选：B．8．量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC 的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．85°【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝140°，∴∠A＝∠B＝（180°﹣140°）＝20°，∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°，故选：C．9．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（）A．B．C．D．【分析】先求出最小的等腰直角三角形的面积＝××42＝1cm2，可得平行四边形面积为2cm2，中等的等腰直角三角形的面积为2cm2，最大的等腰直角三角形的面积为4cm2，再根据阴影部分的组成求出相应的面积即可求解．【解答】解：最小的等腰直角三角形的面积＝××42＝1（cm2），平行四边形面积为2cm2，中等的等腰直角三角形的面积为2cm2，最大的等腰直角三角形的面积为4cm2，则A、阴影部分的面积为2+2＝4（cm2），不符合题意；B、阴影部分的面积为1+2＝3（cm2），不符合题意；C、阴影部分的面积为4+2＝6（cm2），不符合题意；D、阴影部分的面积为4+1＝5（cm2），符合题意．故选：D．10．如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（）A．1.7B．1.8C．2.2D．2.4【分析】由已知条件得EF是三角形的中位线，进而根据三角形中位线定理求得EF的长度．【解答】解：∵点G为△ABC的重心，∴AE＝BE，BF＝CF，∴EF＝＝1.7，故选：A．11．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（）A．B．C．D．【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD ＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程即可得到x，进一步得到EF的长，再根据余弦函数的定义即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，BF＝＝＝4，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，∴DE＝EF＝3﹣x＝，∴tan∠DAE＝＝＝，故选：D．12．如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣1B．﹣0.5＜x＜0或x＞1C．0＜x＜1D．x＜﹣1或0＜x＜1【分析】根据图象，找出双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方的部分对应的自变量x的取值范围即可．【解答】解：由图象可知，当x＜﹣1或0＜x＜1时，双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方，即y3＞y1＞y2，所以若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1．故选：D．二．填空题13．5G是第五代移动通信技术，其网络下载速度可以达到每秒1300000KB以上，正常下载一部高清电影约需1秒．将1300000用科学记数法表示为 1.3×106．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：将数据1300000用科学记数法可表示为：1.3×106．故答案为：1.3×106．14．已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为1260°．【分析】利用任意多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出它的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．【解答】解：正n边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得＝40°，解得n＝9．（9﹣2）×180°＝1260°，即这个正多边形的内角和为1260°．故答案为：1260°．15．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m＞0且m≠1．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，解得m＞0且m≠1．故答案为：m＞0且m≠1．16．按如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为﹣3，则输出y的结果为18．【分析】根据﹣3＜﹣1确定出应代入y＝2x2中计算出y的值．【解答】解：∵﹣3＜﹣1，∴x＝﹣3代入y＝2x2，得y＝2×9＝18，故答案为：18．17．如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），D（6，6），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（4，2）．【分析】画出平面直角坐标系，作出新的AC，BD的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心．【解答】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2）．故答案为（4，2）．18.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为﹣．其中正确结论的序号是．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x＝1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由二次函数的图象开口向上可得a＞0，对称轴在y轴的右侧，b＜0，∴ab＜0，故①错误；②由图象可知抛物线与x轴的交点为（1，0），与y轴的交点为（0，﹣1），∴c＝﹣1，∴a+b﹣1＝0，故②正确；③∵a+b﹣1＝0，∴a﹣1＝﹣b，∵b＜0，∴a﹣1＞0，∴a＞1，故③正确；④∵抛物线与与y轴的交点为（0，﹣1），∴抛物线为y＝ax2+bx﹣1，∵抛物线与x轴的交点为（1，0），∴ax2+bx﹣1＝0的一个根为1，根据根与系数的关系，另一个根为﹣，故④正确；故答案为②③④．三.解答题19.先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝+1，y＝﹣1．【分析】根据分式四则运算的顺序和法则进行计算，最后代入求值即可．【解答】解：（﹣）÷，＝[﹣]÷，＝×，＝，当x＝+1，y＝﹣1时，原式＝＝2﹣．20.奥体中心为满足暑期学生对运动的需求，欲开设球类课程，该中心随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”、“篮球”、“足球”、“排球”、“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了多少名学生？（2）将条形统计图补充完整；（3）我们把“羽毛球”“篮球”，“足球”、“排球”、“乒乓球”分别用A，B，C，D，E 表示．小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择不同项目的概率．【分析】（1）用羽毛球的人数除以所占的百分比即可得出答案；（2）用总人数减去其他项目的人数求出足球的人数，从而补全统计图；（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和他俩选择不同项目的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）此次共调查的学生有：40÷＝200（名）；（2）足球的人数有：200﹣40﹣60﹣20﹣30＝50（人），补全统计图如下：（3）根据题意画树状图如下：共用25种等可能的情况数，其中他俩选择不同项目的有20种，则他俩选择不同项目的概率是＝．21.新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店三月份共销售A，B两种型号的口罩9000只，共获利润5000元，其中A，B两种型号口罩所获利润之比为2：3．已知每只B型口罩的销售利润是A型口罩的1.2倍．（1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；（2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍，设购进A型口罩m只，这1000只口罩的销售总利润为W元．该药店如何进货，才能使销售总利润最大？【分析】（1）设销售A型口罩x只，销售B型口罩y只，根据“药店三月份共销售A，B 两种型号的口罩9000只，共获利润5000元，其中A，B两种型号口罩所获利润之比为2：3”列方程组解答即可；（2）根据题意即可得出W关于m的函数关系式；根据题意列不等式得出m的取值范围，再结合根据一次函数的性质解答即可．【解答】解：设销售A型口罩x只，销售B型口罩y只，根据题意得：，解答，经检验，x＝4000，y＝5000是原方程组的解，∴每只A型口罩的销售利润为：（元），每只B型口罩的销售利润为：0.5×1.2＝0.6（元）．答：每只A型口罩和B型口罩的销售利润分别为0.5元，0.6元．（2）根据题意得，W＝0.5m+0.6（10000﹣m）＝﹣0.1m+6000，10000﹣m≤1.5m，解得m≥4000，∵0.1＜0，∴W随m的增大而减小，∵m为正整数，∴当m＝4000时，W取最大值，则﹣0.1×4000+6000＝5600，即药店购进A型口罩4000只、B型口罩6000只，才能使销售总利润最大，增大利润为5600元．22.如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝2，求的长（结果保留π）．【分析】（1）证明：连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝60°，求得∠BAC＝30°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO＝∠OAB＝30°，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH 是矩形，解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝60°，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°，∵BE＝AB，∴∠E＝∠BAE，∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝60°，∴∠E＝∠BAE＝30°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB＝30°，∴∠OBC＝30°+60°＝90°，∴OB⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，∴OH＝BC＝2，∴OA＝＝4，∠AOM＝2∠AOH＝60°，∴的长度＝＝．23.今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：测量对象男性（18～60岁）女性（18～55岁）抽样人数（人）20005000200002000500020000平均身高（厘米）173175176164165164根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用176厘米，女性应采用164厘米；（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．（参考数据表）#DLQZ计算器按键顺序计算结果计算器按键顺序计算结果（近似值）（近似值）0.178.70.284.31.7 5.73.511.3【分析】（1）根据样本平均数即可解决问题．（2）利用等腰三角形的性质求出∠BAC即可．【解答】解：（1）用表格可知，男性应采用176厘米，女性应采用164厘米．故答案为176，164．（2）如图2中，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝FC＝50cm，∠F AC＝∠F AB，由题意FC＝10cm，∴tan∠F AC ＝＝＝5，∴∠F AC＝78.7°，∴∠BAC＝2∠F AC＝157.4°，答：两臂杆的夹角为157.4°24.如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【分析】【问题解决】在CD上截取CH＝CE，易证△CEH是等边三角形，得出EH＝EC ＝CH，证明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH＝CF，即可得出结论；【类比探究】过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD （SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．【解答】【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，在△DEH和△FEC中，，∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，∵△EDF为等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD和△FCD中，，∴△EGD≌△FCD（SAS），∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．25.如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA 于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），则x＝＝（2t﹣t），即可求解；（2）点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，即可求解；（3）以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则，即＝2或，即可求解．【解答】解：（1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），则x＝＝（2t﹣t），解得：t＝1，故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2），由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，∵﹣1＜0，故DF有最大值，此时m＝1，点D（1，2）；（3）存在，理由：点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OD＝m，DE＝﹣m2+m+2，以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则，即＝2或，即＝2或，解得：m＝1或﹣2（舍去）或或（舍去），故m＝1或．。
2020年中考数学冲刺专题卷专题12 压轴题(解析版)
2020年中考数学冲刺专题卷12 压轴题一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（2019·江苏中考真题）如图，△ABC 中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC 绕点A 逆时针旋转α(0<α<120°)得到AB C ''∆，''B C 与BC ，AC 分别交于点D ，E.设CD DE x +=，AEC ∆'的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】连接B′C ，作AH ⊥B′C′，垂足为H ，∵AB=AC ，∠B=30°，∴∠C=∠B=30°，∵△ABC 绕点A 逆时针旋转α(0<α<120°)得到AB C ''∆，∴AB′=AB=AC=AC′=2，∠AB′C′=∠C′=30°，∴AH=12AC′=1， ∴223AC AH '-=∴3，∵AB′=AC ，∴∠AB′C=∠ACB′，∵∠AB′D=∠ACD=30°，∴∠AB′C -∠AB′D=∠ACB′-∠ACD ，即∠DB′C=∠DCB′，∴B′D=CD ，∵CD+DE=x ，∴B′D+DE=x ，即B′E=x ，∴C′E=B′C′-B′E=23-x ，∴y=12C E AH 'g =12×(23-x)×1=132x -+， 观察只有B 选项的图象符合题意，故选B.2．（2019·四川中考真题）如图，抛物线2144y x =-与x 轴交于A 、B 两点，P 是以点C （0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ .则线段OQ 的最大值是（ ）A ．3B ．412C ．72D ．4 【答案】C【解析】∵抛物线2144y x =-与x 轴交于A 、B 两点 ∴A （-4,0），B （4,0），即OA=4.在直角三角形COB 中BC=2222345+=+=OC OB∵Q 是AP 上的中点，O 是AB 的中点∴OQ 为△ABP 中位线，即OQ=12BP 又∵P 在圆C 上，且半径为2，∴当B 、C 、P 共线时BP 最大，即OQ 最大此时BP=BC+CP=7OQ=12BP=72. 3．（2019·山东中考真题）如图，点A 的坐标是(-2,0)，点B 的坐标是(0,6)，C 为OB 的中点，将△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后得到A B C '''∆．若反比例函数k y x=的图象恰好经过A B '的中点D ，则k 的值是（ ）A ．9B ．12C ．15D ．18【答案】C【解析】作A H y '⊥轴于H ．∵90AOB A HB ABA ∠=∠'=∠'=︒，∴90ABO A BH ∠+∠'=︒，90ABO BAO ∠+∠=︒，∴BAO A BH ∠=∠'，∵BA BA ='，∴()AOB BHA AAS 'V V ≌，∴OA BH =，OB A H ='，∵点A 的坐标是()2,0-，点B 的坐标是()0,6，∴2OA =，6OB =，∴2BH OA ==，6A H OB '==，∴4OH =，∴()6,4A '，∵BD A D ='，∴()3,5D ，∵反比例函数k y x =的图象经过点D ， ∴15k =．故选：C ．4．（2019·四川中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AB DC P ，90ADC ∠=o ，5AB =，3CD AD ==，点E 是线段CD 的三等分点，且靠近点C ，FEG ∠的两边与线段AB 分别交于点F 、G ，连接AC 分别交EF 、EG 于点H 、K ．若32BG =，45FEG ∠=o ，则HK =( )A ．223B ．526C ．322D ．1326【答案】B【解析】∵90ADC ∠=o ，3CD AD ==，∴32AC =∵5AB =，32BG =，∴72AG =， ∵AB DC P ，∴CEK AGK ∆∆:，∴CE CK EK AG AK KG ==， ∴172CK EK AK KG ==，∴27CK EK AK KG ==， ∵32CK AK +=，∴22CK =， 过E 作EM AB ⊥于M ，则四边形ADEM 是矩形，∴3EM AD ==，2AM DE ==，∴32MG =， ∴2235EG EM MG =+=， ∵27EK KG =，∴53EK =， ∵45HEK KCE ∠=∠=o ，EHK CHE ∠=∠，∴HEK HCE ∆∆:，∴55HE EC HK EK ===，∴设3HE x =，5HK x =，∵HEK HCE ∆∆:，∴EH HK HC EH=， ∴532253x x x =+，解得：106x =，∴526HK =， 故选：B ．5．（2019·辽宁中考真题）如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点C ，D ，E 在同一条直线上，顶点B ，C ，G 在同一条直线上．O 是EG 的中点，∠EGC 的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接FH 交EG 于点M ，连接OH ．以下四个结论：①GH ⊥BE ；②△EHM ∽△GHF ；③2BC CG =﹣1；④HOM HOG S S V V ＝2﹣2，其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ 【答案】A【解析】如图，∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，∴BC ＝CD ，CE ＝CG ，∠BCE ＝∠DCG ，在△BCE 和△DCG 中，BC CDBCE DCG CE CG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△DCG （SAS ），∴∠BEC ＝∠BGH ，∵∠BGH+∠CDG ＝90°，∠CDG ＝∠HDE ，∴∠BEC+∠HDE ＝90°，∴GH ⊥BE ．故①正确；∵△EHG 是直角三角形，O 为EG 的中点，∴OH ＝OG ＝OE ，∴点H 在正方形CGFE 的外接圆上，∵EF ＝FG ，∴∠FHG ＝∠EHF ＝∠EGF ＝45°，∠HEG ＝∠HFG ，∴△EHM ∽△GHF ，故②正确；∵△BGH ≌△EGH ，∴BH ＝EH ，又∵O 是EG 的中点，∴HO ∥BG ，∴△DHN ∽△DGC ，DN HN DC CG∴= 设EC 和OH 相交于点N ．设HN ＝a ，则BC ＝2a ，设正方形ECGF 的边长是2b ，则NC ＝b ，CD ＝2a ，222b a a a b-∴= 即a 2+2ab ﹣b 2＝0，解得：a ＝b ＝（﹣b ，或a ＝（﹣1b （舍去），212a b∴=1BC CG∴= 故③正确；∵△BGH ≌△EGH ，∴EG ＝BG ，∵HO 是△EBG 的中位线，∴HO ＝12BG ， ∴HO ＝12EG ， 设正方形ECGF 的边长是2b ，∴EG ＝b ，∴HOb ，∵OH ∥BG ，CG ∥EF ，∴OH ∥EF ，∴△MHO △MFE ，∴OM OH EM EF 2b 2===， ∴EMOM ，∴1OM OE ===，∴1HOM HOES S ∆∆= ∵EO ＝GO ，∴S △HOE ＝S △HOG ，∴1HOM HOGS S ∆∆= 故④错误，故选：A ．6．（2019·湖北中考真题）抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =-，且过点（1，0）.顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①0ab >且0c <；②420a b c -+>；③8>0+a c ；④33c a b =-；⑤直线22y x =+与抛物线2y ax bx c =++两个交点的横坐标分别为12x x 、，则12125x x x x ++⋅=-.其中正确的个数有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】C【解析】 ∵对称轴在y 轴左侧，图象与y 轴交于y 轴正半轴，∴ab>0，c>0，故①错误，∵图象过点（1，0），对称轴为x=-1，∴图象与x 轴的另一个交点为（-3，0），∵抛物线的开口向下， ∴a<0，∴x=-2时，4a-b+c>0，故②正确，∵对称轴x=2b a -=-1， ∴b=2a ，∵x=1时，a+b+c=0，∴3a+c=0，∴8a+c=5a<0，故③错误，∵3a+c=0，∴c=-3a ，∴3a-3b=3a-3×2a=-3a=c ，故④正确， ax 2+bx+c=2x+2，整理得：ax 2+(b-2)x+c-2=0，∵直线22y x =+与抛物线2y ax bx c =++两个交点的横坐标分别为12x x 、，∴x 1+x 2+x 1⋅x 2=2b a --+2c a -=22(3)2a a a-++--=-5，故⑤正确，综上所述：正确的结论为②④⑤，共3个.故选C.7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是A．CE=3DE B．CE=2DEC．CE=3DE D．CE=2DE【答案】B【解析】过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵AD=1，BC=2，∴CH=1，根据勾股定理可得DH=AB=2222DC CH-=，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠A=90°，∴∠AED+∠ADE=90°，又∵DE⊥CE，∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠ADE=∠BEC，∴Rt△ADE∽Rt△BEC，∴AD AE DE BE BC CE==，设BE=x，则AE22x=-，即122xx-=，解得x=2，∴2DECE=，即CE=2DE，故选B．8．（2019·山东中考真题）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF、有以下结论：①AN＝EN，②当AE＝AF时，BEEC＝22，③BE+DF＝EF，④存在点E、F，使得NF＞DF，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【解析】①如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°，∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，∴△AMN∽△BME，∴AM MN BM EM，∵∠AMB＝∠EMN，∴△AMB∽△NME，∴∠AEN＝∠ABD＝45°∴∠NAE＝∠AEN＝45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AN＝EN，故①正确；②在△ABE和△ADF中，∵AB ADABE ADF90AE AF︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∵BC＝CD，∴CE＝CF，假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x，如图2，连接AC，交EF于H，∵AE＝AF，CE＝CF，∴AC是EF的垂直平分线，∴AC⊥EF，OE＝OF，Rt△CEF中，OC＝12EF＝22x，△EAF中，∠EAO＝∠FAO＝22.5°＝∠BAE＝22.5°，∴OE＝BE，∵AE＝AE，∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL），∴AO＝AB＝1，∴AC2＝AO+OC，∴1+22x2，x＝22，∴BEEC＝1(22)22---＝(21)(22)-+＝2；故②不正确；③如图3，∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，∵∠EAF＝45°＝∠DAF+∠BAE＝∠HAE，∵∠ABE＝∠ABH＝90°，∴H、B、E三点共线，在△AEF和△AEH中，AE AEFAE HAEAF AH=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AEH（SAS），∴EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，故③正确；④△ADN中，∠FND＝∠ADN+∠NAD＞45°，∠FDN＝45°，∴DF＞FN，故存在点E、F，使得NF＞DF，故④不正确；故选B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）9．若数a使关于x 的不等式组2122224x x x a-⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩有且仅有四个整数解，且使关于y 的分式方程2a y +- 22y-=2有非负数解，则满足条件的整数a 的值是__________． 【答案】-2【解析】解不等式组2122224x x x a -⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩，可得342x a x ≤⎧⎪⎨+>-⎪⎩，∵不等式组有且仅有四个整数解， ∴-1≤42a +-<0，∴-4<a ≤-2，解分式方程222a y y +--=2，可得y =22a +， 又∵分式方程有非负数解，∴y ≥0，且y ≠2，即22a +≥0，22a +≠2，解得a ≥-2且a ≠2，∴-2≤a ≤3，且a ≠2， ∴满足条件的整数a 的值为-2，故答案为：-2．10．（2019·江苏中考真题）如图，过点C(3,4)的直线2y x b =+交x 轴于点A ，∠ABC=90°，AB=CB ，曲线0k y x x=>（）过点B ，将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上，则a 的值为________．【答案】4【解析】分别过点B 、点C 作y 轴和x 轴的平行线，两条平行线相交于点M ，与x 轴的交点为N ，则∠M=∠ANB=90°，把C(3,4)代入2y x b =+，得4=6+b ，解得：b=-2，所以y=2x-2，令y=0，则0=2x-2，解得：x=1，所以A(1，0)，∵∠ABC=90°，∴∠CBM+∠ABN=90°，∵∠ANB=90°，∴∠BAN+∠ABN=90°，∴∠CBM=∠BAN ，又∵∠M=∠ANB=90°，AB=BC ，∴△ABN ≌△BCM ，∴AN=BM ，BN=CM ，∵C(3，4)，∴设AN=m ，CM=n ，则有413m n m n +=⎧⎨+-=⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩， ∴ON=3+1=4，BN=1，∴B(4，1)，∵曲线0k y x x =>（）过点B ，∴k=4，∴4y x=， ∵将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上，此时点A 移动后对应点的坐标为(1，a)， ∴a=4，故答案为：4.11．（2019·四川中考真题）如图，反比例函数()0k y x x=>的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别交AB ，BC 于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为12，则k 的值为______．【答案】4【解析】∵E 、M 、D 位于反比例函数图象上，∴12OCE S k ∆=，12OAD S k ∆=， 过点M 作MG y ⊥轴于点G ，作MN x ⊥轴于点N ，∴四边形ONMG 是矩形，∴ONMG S k =矩形，∵M 为矩形ABCO 对角线的交点，∴44ABCO ONMG S S k ==矩形矩形，∵函数图象在第一象限，∴0k >，∴ABCO S =矩形OCE S ∆+OAD S ∆+S 四边形ODBE =12422k k k ++=， 解得：4k =．故答案为：412．（2019·辽宁中考真题）如图，直线113y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，过点A 作AB AM ⊥，交x 轴于点B ，以AB 为边在AB 的右侧作正方形ABCA 1，延长A 1C 交x 轴于点B 1，以A 1B 1为边在A 1B 1的右侧作正方形A 1B 1C 1A 2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA 1，A 1B 1C 1A 2，…，111n n n n A B C A ---中的阴影部分的面积分别为S 1，S 2，…，S n ，则S n 可表示为_____．【答案】42223n n -． 【解析】在直线113y x =+中，当0x =时，1y =；当0y =时，3x =-； ∴1OA =，3OM =，∴1tan 3AMO ∠=， ∵90OAB OAM ︒∠+∠=，90AMO OAM ︒∠+∠=，∴OAB AMO ∠=∠， ∴1tan 3OB OAB OA ∠==，∴13OB =． ∵正方形ABCA 1中的四个小正方形都与△AOB 全等， ∴第一个阴影正方形的边长为：12133-=， ∴212439S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，同理：111tan tan 3B C CBB OAB BC ∠==∠=， ∴11111333B C BC AC AB ===， ∴1143A B AB =， ∴221141639S S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 同理可得2321161699S S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，3431161699S S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，…，11116164999n n n S S --⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭142442422222222222233333n n n n n ----⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：42223n n -． 三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．（2019·山西中考真题）综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)233642y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】 (1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0)，B(4,0)，∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ， ∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2，由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC=6，∴S △OAC =1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △BCD =34S △AOC ， ∴S △BCD =39642⨯=， 设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的函数表达式为362y x =-+， ∴点G 的坐标为3(,6)2m m -+， ∴2233336(6)34224DG m m m m m =-++--+=-+， ∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB=4，∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅， ∴S △BCD =22133346242m m m m -+⨯=-+（）， ∴239622m m -+=， 解得11m =(舍)，23m =，∴m 的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以BD 为边时，有3种情况， ∵D 点坐标为15(3,)4，∴点N 点纵坐标为±154， 当点N 的纵坐标为154时，如点N 2， 此时233156424x x -++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215(1,)4N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为154-时，如点N 3，N 4， 此时233156424x x -++=-，解得：12114,114x x ==∴315(114,)4N +-，415(114,)4N -， ∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合， ∵115(1,)4N -，D(3，154)， ∴N 1D=4，∴BM 1=N 1D=4，∴OM 1=OB+BM 1=8，∴M 1(8，0)， 综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(14(14M M M M -，，，，，，，.14．（2019·广东中考模拟）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB；（2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB=3，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．【答案】（1）详见解析；（2）∠BDE=20°．【解析】（1）如图1，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠DEA=∠ABC，∴BC∥DF，∴∠F=∠PBC，∵四边形BCDF是圆内接四边形，∴∠F+∠DCB=180°，∵∠PCB+∠DCB=180°，∴∠F=∠PCB ，∴∠PBC=∠PCB ，∴PC=PB ；（2）如图2，连接OD ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC=90°，∵BG ⊥AD ，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB ，∴BG ∥DC ， ∵BC ∥DE ，∴四边形DHBC 是平行四边形，∴BC=DH=1，在Rt △ABC 中，3tan ∠ACB=3AB BC ∴∠ACB=60°，∴BC=12AC=OD ， ∴DH=OD ，在等腰△DOH 中，∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°，设DE 交AC 于N ，∵BC ∥DE ，∴∠ONH=∠ACB=60°，∴∠NOH=180°﹣（∠ONH+∠OHD ）=40°，∴∠DOC=∠DOH ﹣∠NOH=40°，∵OA=OD ，∴∠OAD=12∠DOC=20°， ∴∠CBD=∠OAD=20°，∵BC ∥DE ，∴∠BDE=∠CBD=20°．15．（2019·广西中考真题）如图1，在正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一个动点（点E 与点,A B 不重合），连接CE ，过点B 作BF CE ⊥于点G ，交AD 于点F ．（1）求证：ABF BCE ∆∆≌；（2）如图2，当点E 运动到AB 中点时，连接DG ，求证：DC DG =；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C 作CM DG ⊥于点H ，分别交,AD BF 于点,M N ，求MN NH的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）54MN NH =. 【解析】（1）证明：∵BF CE ⊥，∴90CGB ∠=︒，∴90GCB CBG ∠+∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴90,CBE A BC AB ∠=︒=∠=，∴90FBA CBG ∠+∠=︒，∴GCB FBA ∠=∠，∴()ABF BCE ASA ∆∆≌；（2）证明：如图2，过点D 作DQ CE ⊥于Q ，设2AB CD BC a ===，∵点E 是AB 的中点， ∴12EA EB AB a ===， ∴5CE a =，在Rt CEB ∆中，根据面积相等，得BG CE CB EB ⋅=⋅， ∴25BG =， ∴2255CG CB BG a =-=， ∵90,90DCE BCE CBF BCE ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴DCE CBF ∠=∠，∵,90CD BC CQD CGB =∠=∠=︒，∴()CQD BGC AAS ∆∆≌，∴25CQ BG ==， ∴55GQ CG CQ a CQ =-==， ∵,90DQ DQ CQD GQD =∠=∠=︒，∴()DGQ DCQ SAS ∆∆≌，∴CD GD =；（3）解：如图3，过点D 作DQ CE ⊥于Q ，1122CDG S CG DQ CH DG ∆=⋅=⋅， ∴85CG DQ CH a DG ⋅==， 在Rt CHD ∆中，2CD a = ，∴2265DH CD CH a =-=， ∵90,90MDH HDC HCD HDC ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴MDH HCD ∠=∠，∴CHD DHM ∆∆∽，∴34DH HM H DH C ==， ∴910HM a =， 在Rt CHG ∆中，458,5CG CH a ==， ∴2245GH CG CH a =-=， ∵90,90NGH CGH HCG CGH ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴NGH HCG ∠=∠，∴NGH GCH ∆∆∽，∴HN HG HG CH=， ∴225HG HN a CH ==， ∴12MN HM HN a =-=，∴152245a MNNH a==。
2020年中考数学专项训练： 数与式的运算(含答案)
提分专练 数与式的运算|类型1| 实数的运算1.计算:|1-√2|+2-2-122+(√2-1)0.2.计算:12-1-√2cos45°+3×(2007-π)0.3.计算:(-1)2019+√83-13-2+√2sin45°.4.[2019·扬州高邮一模] 计算:|1-√3|+3tan30°-(π-3)0+-13-1.-1.5.[2019·南充]计算:(1-π)0+|√2-√3|-√12+√2|类型2|整式的化简求值6.[2019·常州]如果a-b-2=0,那么代数式1+2a-2b的值是.时,代数式x2+2xy+y2的值是.7.[2019·金华]当x=1,y=-138.[2019·常德]若x2+x=1,则3x4+3x3+3x+1的值为.9.化简:(1)(a-b)2+a(2b-a);(2)(a+b)(a-b)-a(a-b).10.[2019·淮安]计算:ab(3a-2b)+2ab2.11.已知a-b=√2,求(a-2)2+b(b-2a)+4(a-1)的值.12.[2019·吉林]先化简,再求值:(a-1)2+a(a+2),其中a=√2.13.若x+y=3,且(x+3)(y+3)=20.(1)求xy的值;(2)求x2+3xy+y2的值.|类型3|分式的化简求值14.[2019·大连]计算:2a-1÷2a-4a2-1+12-a.15.[2019·黄石]先化简,再求值:(3x+2+x-2)÷x2-2x+1x+2,其中|x|=2.16.[2019·荆门]先化简,再求值:a+ba-b 2·2a-2b3a+3b-4a2a2-b2÷3ab,其中a=√3,b=√2.17.[2019·遂宁]先化简,再求值:a2-2ab+b2a2-b2÷a2-aba-2a+b,其中a,b满足(a-2)2+√b+1=0.18.[2019·娄底]先化简,再求值:a2-2ab+b2a-b ÷1b-1a.其中a=√2-1,b=√2+1.【参考答案】1.解:原式=√2-1+14−14+1=√2. 2.解:原式=2-√2×√22+3×1=2-1+3=4. 3.解:(-1)2019+√83-13-2+√2sin45° =-1+2-9+√2×√22 =-7. 4.解:|1-√3|+3tan30°-(π-3)0+-13-1=√3-1+3×√33-1-3=√3-1+√3-1-3=2√3-5. 5.解:原式=1+√3−√2-2√3+√2=1-√3.6.57.498.4 [解析]3x 4+3x 3+3x +1=3x 2(x 2+x )+3x +1=3x 2+3x +1=3(x 2+x )+1=4.9.解:(1)原式=a 2-2ab +b 2+2ab -a 2=b 2.(2)原式=a 2-b 2-a 2+ab=-b 2+ab.10.解:ab (3a -2b )+2ab 2=3a 2b -2ab 2+2ab 2=3a 2b.11.解:原式=a 2-4a +4+b 2-2ab +4a -4=a 2-2ab +b 2=(a -b )2,当a -b=√2时,原式=(√2)2=2.12.解:原式=a 2-2a +1+a 2+2a=2a 2+1,当a=√2时,原式=2×(√2)2+1=2×2+1=5.13.解:(1)∵(x +3)(y +3)=20,∴xy +3x +3y +9=20,即xy +3(x +y )=11. 将x +y=3代入上式,得xy +9=11,∴xy=2.(2)当xy=2,x +y=3时,原式=(x +y )2+xy=32+2=9+2=11.14.解:原式=2a -1×(a -1)(a+1)2(a -2)−1a -2=a+1a -2−1a -2=a a -2.15.解:原式=x 2-1x+2÷(x -1)2x+2=(x+1)(x -1)x+2·x+2(x -1)2=x+1x -1. ∵|x|=2,∴x=±2, 由分式有意义的条件可知:x=2,∴原式=3.16.解:原式=2(a+b )3(a -b )−4ab 3(a+b )(a -b )=2(a+b )2-4ab 3(a+b )(a -b )=2(a 2+b 2)3(a+b )(a -b ). 当a=√3,b=√2时,原式=3(√3+√2)(√3-√2)=103. 17.解:原式=(a -b )2(a+b )(a -b )÷a (a -b )a −2a+b =a -ba+b ×1a -b −2a+b =-1a+b . ∵(a -2)2+√b +1=0,∴a=2,b=-1, ∴原式=-1.18.解:a 2-2ab+b 2a -b ÷1b −1a =(a -b )2a -b ÷a -bab=(a -b )·ab a -b=ab.当a=√2-1,b=√2+1时,原式=(√2-1)×(√2+1)=1.。
2019年、2020年山东省中考试题分类数学(12)——图形的变换(含答案)
2019年、2020年山东省数学中考试题分类（12）——图形的变换一．轴对称图形（共2小题）1．（2020•淄博）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2019•东营）下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．二．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题）3．（2020•菏泽）在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）向右平移3个单位得到点P'，则点P'关于x轴的对称点的坐标为（）A．（0，﹣2）B．（0，2）C．（﹣6，2）D．（﹣6，﹣2）三．轴对称-最短路线问题（共1小题）4．（2020•潍坊）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为（）A ．12B ．34C ．1D ．32 四．翻折变换（折叠问题）（共5小题）5．（2020•烟台）如图，在矩形ABCD 中，点E 在DC 上，将矩形沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．若AB ＝3，BC ＝5，则tan ∠DAE 的值为（ ）A ．12B ．920C ．25D ．13 6．（2020•青岛）如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点O ．若AE ＝5，BF ＝3，则AO 的长为（ ）A ．√5B ．32√5C ．2√5D ．4√57．（2020•枣庄）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，点E 在边BC 上，将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，若∠EAC ＝∠ECA ，则AC 的长是（ ）A ．3√3B ．4C ．5D ．68．（2020•滨州）如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平后再次折叠，使点A 落在EF 上的点A ′处，得到折痕BM ，BM 与EF 相交于点N ．若直线BA ′交直线CD 于点O ，BC ＝5，EN ＝1，则OD 的长为（ ）A ．12√3B ．13√3C ．14√3D ．15√39．（2020•威海）如图，四边形ABCD 是一张正方形纸片，其面积为25cm 2．分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上顺次截取AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝acm （AE ＞BE ），连接EF ，FG ，GH ，HE ．分别以EF ，FG ，GH ，HE 为轴将纸片向内翻折，得到四边形A 1B 1C 1D 1．若四边形A 1B 1C 1D 1的面积为9cm 2，则a ＝ ．五．图形的剪拼（共1小题）10．（2020•烟台）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm 的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm 2的是（ ）A ．B ．C ．D ．六．旋转的性质（共1小题）11．（2020•菏泽）如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转角α，得到△ADE ，若点E 恰好在CB 的延长线上，则∠BED 等于（ ）A ．α2B ．23αC ．αD ．180°﹣α七．中心对称图形（共7小题）12．（2020•潍坊）下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．13．（2020•烟台）下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（） A ． B ． C ． D ．14．（2020•青岛）下列四个图形中，中心对称图形是（ ）A ．B ．C．D．15．（2020•临沂）下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．16．（2020•德州）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．17．（2020•滨州）下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、圆，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数为（）A．1B．2C．3D．4 18．（2019•莱芜区）下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（）A．B．C．D．八．坐标与图形变化-旋转（共3小题）19．（2020•青岛）如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（0，4）B．（2，﹣2）C．（3，﹣2）D．（﹣1，4）20．（2020•枣庄）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（）A．（−√3，3）B．（﹣3，√3）C．（−√3，2+√3）D．（﹣1，2+√3）21．（2020•烟台）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），D（6，6），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为．九．利用旋转设计图案（共1小题）22．（2020•枣庄）如图的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（）A．B．C．D．一十．几何变换综合题（共1小题）23．（2020•东营）如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．（1）观察猜想．图1中，线段NM、NP的数量关系是，∠MNP的大小为．（2）探究证明把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请求出△MNP面积的最大值．一十一．相似三角形的判定与性质（共5小题）24．（2020•东营）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD 、BC 于点M 、N ．下列结论：①△APE ≌△AME ；②PM +PN ＝AC ；③PE 2+PF 2＝PO 2；④△POF ∽△BNF ；⑤点O 在M 、N 两点的连线上．其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．①②③⑤C ．①②③④⑤D ．③④⑤ 25．（2020•潍坊）如图，点E 是▱ABCD 的边AD 上的一点，且DE AE =12，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，若DE ＝3，DF ＝4，则▱ABCD 的周长为（ ）A ．21B ．28C ．34D ．4226．（2019•东营）如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 、BD 的交点，过点O 作射线OM 、ON 分别交BC 、CD 于点E 、F ，且∠EOF ＝90°，OC 、EF 交于点G ．给出下列结论：①△COE ≌△DOF ；②△OGE ∽△FGC ；③四边形CEOF 的面积为正方形ABCD 面积的14；④DF 2+BE 2＝OG •OC ．其中正确的是（ ）A．①②③④B．①②③C．①②④D．③④27．（2020•临沂）如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF 与DG的交点．若AC＝6，则DH＝．28．（2020•济宁）如图，在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C，D．AC与BD相交于点E，CD2＝CE•CA，分别延长AB，DC相交于点P，PB＝BO，CD＝2√2．则BO的长是．一十二．位似变换（共1小题）29．（2020•德州）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，1），以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′．若点A'恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数解析式为．一十三．相似形综合题（共1小题）30．（2020•枣庄）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．（1）如图1，若CE ＝CF ，求证：DE ＝DF ；（2）如图2，在∠EDF 绕点D 旋转的过程中，试证明CD 2＝CE •CF 恒成立；（3）若CD ＝2，CF =√2，求DN 的长．一十四．计算器—三角函数（共1小题）31．（2020•淄博）已知sin A ＝0.9816，运用科学计算器求锐角A 时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）A ．B ．C ．D ． 一十五．解直角三角形（共2小题）32．（2020•聊城）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin ∠ACB 的值为（ ）A ．3√55B ．√175C ．35D ．45 33．（2020•菏泽）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为AB 边的中点，连接CD ，若BC ＝4，CD ＝3，则cos ∠DCB 的值为 ．一十六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共6小题）34．（2019•日照）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（）A．11米B．（36﹣15√3）米C．15√3米D．（36﹣10√3）米35．（2020•济宁）如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1：√3，则斜坡AB的长是米．36．（2020•潍坊）某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，求桥AB的长度．37．（2020•威海）居家学习期间，小晴同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度．如图，她利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为45°，底部的俯角为38°；又用绳子测得测角仪距地面的高度AB为31.6m．求该大楼的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）38．（2020•德州）如图，无人机在离地面60米的C处，观测楼房顶部B的俯角为30°，观测楼房底部A的俯角为60°，求楼房的高度．39．（2020•聊城）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈l.43）．一十七．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）40．（2020•济宁）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（）A．15海里B．20海里C．30海里D．60海里41．（2019•济南）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（）（参考数据：tan37°≈3 4，tan53°≈4 3）A．225m B．275m C．300m D．315m 一十八．简单几何体的三视图（共1小题）42．（2020•威海）下列几何体的左视图和俯视图相同的是（）A．B．C．D．一十九．简单组合体的三视图（共4小题）43．（2020•潍坊）将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．44．（2020•青岛）如图所示的几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．45．（2020•德州）如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形．若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是（）A．主视图B．主视图和左视图C．主视图和俯视图D．左视图和俯视图46．（2019•烟台）如图所示的几何体是由9个大小相同的小正方体组成的，将小正方体①移走后，所得几何体的三视图没有发生变化的是（）A．主视图和左视图B．主视图和俯视图C．左视图和俯视图D．主视图、左视图、俯视图二十．由三视图判断几何体（共4小题）47．（2020•烟台）如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．B．C．D．48．（2020•菏泽）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为（）A．B．C．D．49．（2020•临沂）根据图中三视图可知该几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱50．（2019•济南）以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（）A．B．C．D．2019年、2020年山东省数学中考试题分类（12）——图形的变换参考答案与试题解析一．轴对称图形（共2小题）1．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．2．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．二．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题）3．【解答】解：∵将点P（﹣3，2）向右平移3个单位得到点P'，∴点P'的坐标是（0，2），∴点P'关于x轴的对称点的坐标是（0，﹣2）．故选：A．三．轴对称-最短路线问题（共1小题）4．【解答】解：如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小．∵CD⊥OB，∴∠DCB＝90°，又∠AOB＝90°，∴∠DCB ＝∠AOB ，∴CD ∥AO∴BC BO =CD AO∵OC ＝2，OB ＝4，∴BC ＝2，∴24=CD 3，解得，CD =32； ∵CD ∥AO ，∴EO EC =PO DC ，即24=PO 32，解得，PO =34 故选：B ．四．翻折变换（折叠问题）（共5小题）5．【解答】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ＝5，AB ＝CD ＝3，∵矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上的F 处，∴AF ＝AD ＝5，EF ＝DE ，在Rt △ABF 中，BF =√AF 2−AB 2=√25−9=4，∴CF ＝BC ﹣BF ＝5﹣4＝1，设CE ＝x ，则DE ＝EF ＝3﹣x在Rt △ECF 中，∵CE 2+FC 2＝EF 2，∴x 2+12＝（3﹣x ）2，解得x =43，∴DE ＝EF ＝3﹣x =53，∴tan ∠DAE =DE AD =535=13， 故选：D ．6．【解答】解：∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，AB ＝CD ，∴∠EFC ＝∠AEF ，由折叠得，∠EFC ＝∠AFE ，∴∠AFE ＝∠AEF ，∴AE ＝AF ＝5，由折叠得，FC＝AF，OA＝OC，∴BC＝3+5＝8，在Rt△ABF中，AB=√52−32=4，在Rt△ABC中，AC=√42+82=4√5，∴OA＝OC＝2√5，故选：C．7．【解答】解：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，∴AF＝AB，∠AFE＝∠B＝90°，∴EF⊥AC，∵∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE，∴AF＝CF，∴AC＝2AB＝6，故选：D．8．【解答】解一：∵EN＝1，∴由中位线定理得AM＝2，由折叠的性质可得A′M＝2，∵AD∥EF，∴∠AMB＝∠A′NM，∵∠AMB＝∠A′MB，∴∠A′NM＝∠A′MB，∴A′N＝2，∴A′E＝3，A′F＝2过M点作MG⊥EF于G，∴NG＝EN＝1，∴A′G＝1，由勾股定理得MG=√22−12=√3，∴BE＝DF＝MG=√3，∴OF：BE＝2：3，解得OF=2√3 3，∴OD=√3−2√33=√33．故选：B．解二：连接AA'．∵EN＝1，∴由中位线定理得AM＝2，∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，∴A'A＝A'B，∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，∴A'B＝AB，∠ABM＝∠A'BM，∴△ABA'为等边三角形，∴∠ABA′＝∠BA′A＝∠A′AB＝60°，又∵∠ABC＝∠BAM＝90°，∴∠ABM＝∠A'BM＝∠A'BC＝30°，∴BM＝2AM＝4，AB=√3AM＝2√3=CD．在直角△OBC中，∵∠C＝90°，∠OBC＝30°，∴OC＝BC•tan∠OBC＝5×√33=5√33，∴OD＝CD﹣OC＝2√3−5√33=√33．故选：B．9．【解答】解：∵四边形ABCD是一张正方形纸片，其面积为25cm2，∴正方形纸片的边长为5cm，∵AE＝BF＝CG＝DH＝acm，∴BE＝AH＝（5﹣a）cm，又∠A＝∠B＝90°，∴△AHE≌△BEF（SAS），同理可得△AHE≌△BEF≌△DGH≌CFG，由折叠的性质可知，图中的八个小三角形全等．∵四边形A1B1C1D1的面积为9cm2，∴三角形AEH的面积为（25﹣9）÷8＝2（cm2），12a（5﹣a）＝2，解得a1＝1（舍去），a2＝4．故答案为：4．五．图形的剪拼（共1小题）10．【解答】解：最小的等腰直角三角形的面积=18×12×42＝1（cm2），平行四边形面积为2cm2，中等的等腰直角三角形的面积为2cm2，最大的等腰直角三角形的面积为4cm2，则A、阴影部分的面积为2+2＝4（cm2），不符合题意；B、阴影部分的面积为1+2＝3（cm2），不符合题意；C、阴影部分的面积为4+2＝6（cm2），不符合题意；D、阴影部分的面积为4+1＝5（cm2），符合题意．故选：D．六．旋转的性质（共1小题）11．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADE，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ABE+∠ADE＝180°，∴∠BAD+∠BED＝180°，∵∠BAD＝α，∴∠BED＝180°﹣α．故选：D．七．中心对称图形（共7小题）12．【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．13．【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：A．14．【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，符合题意．故选：D．15．【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、是中心对称图形，符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意．故选：B．16．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项不合题意；B、是中心对称图形但不是轴对称图形．故此选项符合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故此选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项不合题意．故选：B．17．【解答】解：线段是轴对称图形，也是中心对称图形；等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；圆是轴对称图形，也是中心对称图形；则既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个．故选：B．18．【解答】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．八．坐标与图形变化-旋转（共3小题）19．【解答】解：如图，△A′B′C′即为所求，则点A的对应点A′的坐标是（﹣1，4）．故选：D．20．【解答】解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°=√3，∴OH＝2+1＝3，∴B′（−√3，3），故选：A．21．【解答】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2）．故答案为（4，2）．九．利用旋转设计图案（共1小题）22．【解答】解：由题意，选项A，C，D可以通过平移，旋转得到，选项B可以通过翻折得到．故选：B．一十．几何变换综合题（共1小题）23．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，∴MN=12BD，PN=12CE，MN∥AB，PN∥AC，∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBA，∠ENP＝∠AEB，∴∠MNE+∠ENP＝∠ABE+∠AEB，∵∠ABE+∠AEB＝180°﹣∠BAE＝60°，∴∠MNP＝60°，故答案为：NM＝NP；60°；（2）△MNP是等边三角形．理由如下：由旋转可得，∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．∴MN =12BD ，PN =12CE ，MN ∥BD ，PN ∥CE ，∴MN ＝PN ，∠ENM ＝∠EBD ，∠BPN ＝∠BCE ，∴∠ENP ＝∠NBP +∠NPB ＝∠NBP +∠ECB ，∵∠EBD ＝∠ABD +∠ABE ＝∠ACE +∠ABE ，∴∠MNP ＝∠MNE +∠ENP ＝∠ACE +∠ABE +∠EBC +∠EBC +∠ECB ＝180°﹣∠BAC ＝60°，∴△MNP 是等边三角形；（3）根据题意得，BD ≤AB +AD ，即BD ≤4，∴MN ≤2，∴△MNP 的面积=12MN ⋅√32MN =√34MN 2，∴△MNP 的面积的最大值为√3．一十一．相似三角形的判定与性质（共5小题）24．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形∴∠BAC ＝∠DAC ＝45°．∵在△APE 和△AME 中，{∠PAE =∠MAE AE =AE ∠AEP =∠AEM，∴△APE ≌△AME （SAS ），故①正确；∴PE ＝EM =12PM ，同理，FP ＝FN =12NP ．∵正方形ABCD 中AC ⊥BD ，又∵PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，∴∠PEO ＝∠EOF ＝∠PFO ＝90°，且△APE 中AE ＝PE∴四边形PEOF 是矩形．∴PF ＝OE ，∴PE +PF ＝OA ，又∵PE ＝EM =12PM ，FP ＝FN =12NP ，OA =12AC ，∴PM +PN ＝AC ，故②正确；∵四边形PEOF 是矩形，∴PE ＝OF ，在直角△OPF 中，OF 2+PF 2＝PO 2，∴PE 2+PF 2＝PO 2，故③正确．∵△BNF 是等腰直角三角形，而△POF 不一定是等腰直角三角形，故④错误； 连接OM ，ON ，∵OA 垂直平分线段PM ．OB 垂直平分线段PN ，∴OM ＝OP ，ON ＝OP ，∴OM ＝OP ＝ON ，∴点O 是△PMN 的外接圆的圆心，∵∠MPN ＝90°，∴MN 是直径，∴M ，O ，N 共线，故⑤正确．故选：B ．25．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CF ，AB ＝CD ，∴△ABE ∽△DFE ，∴DE AE =FD AB =12， ∵DE ＝3，DF ＝4，∴AE ＝6，AB ＝8，∴AD ＝AE +DE ＝6+3＝9，∴平行四边形ABCD 的周长为：（8+9）×2＝34．故选：C ．26．【解答】解：①∵四边形ABCD 是正方形，∴OC＝OD，AC⊥BD，∠ODF＝∠OCE＝45°，∵∠MON＝90°，∴∠COM＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；②∵△COE≌△DOF，∴OE＝OF，∵∠MON＝90°，∴∠OEG＝45°＝∠FCG，∵∠OGE＝∠FGC，∴△OGE∽△FGC，故②正确；③∵△COE≌△DOF，∴S△COE＝S△DOF，∴S四边形CEOF =S△OCD=14S正方形ABCD，故③正确；④∵△COE≌△DOF，∴OE＝OF，又∵∠EOF＝90°，∴△EOF是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°＝∠OCE，∵∠EOG＝∠COE，∴△OEG∽△OCE，∴OE：OC＝OG：OE，∴OG•OC＝OE2，∵OC=12AC，OE=√22EF，∴OG•AC＝EF2，∵CE＝DF，BC＝CD，∴BE＝CF，又∵Rt △CEF 中，CF 2+CE 2＝EF 2，∴BE 2+DF 2＝EF 2，∴OG •AC ＝BE 2+DF 2，故④错误，故选：B ．27．【解答】解：∵D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，∴BE ＝DE ＝AD ，BF ＝GF ＝CG ，AH ＝HF ，∴AB ＝3BE ，DH 是△AEF 的中位线，∴DH =12EF ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴EF AC =BE AB ，即EF 6=BE 3BE ，解得：EF ＝2，∴DH =12EF =12×2＝1，故答案为：1．28．【解答】解：连结OC ，如图，∵CD 2＝CE •CA ，∴CD CE =CA DC ，而∠ACD ＝∠DCE ，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC；设⊙O的半径为r，∵CD＝CB，∴CD̂=CB̂，∴∠BOC＝∠BAD，∴OC∥AD，∴PCCD =POOA=2rr=2，∴PC＝2CD＝4√2，∵∠PCB＝∠P AD，∠CPB＝∠APD，∴△PCB∽△P AD，∴PCPA =PBPD，即4√23r=6√2，∴r＝4（负根已经舍弃），∴OB＝4，故答案为4．一十二．位似变换（共1小题）29．【解答】解：∵点A的坐标是（﹣2，1），以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′，∴A′坐标为：（﹣4，2）或（4，﹣2），∵A'恰在某一反比例函数图象上，∴该反比例函数解析式为：y=−8 x．故答案为：y=−8 x．一十三．相似形综合题（共1小题）30．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中线，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ACF＝∠BCE＝90°，∴∠DCF ＝∠DCE ＝135°， 在△DCF 和△DCE 中，{CF =CE ∠DCF =∠DCE DC =DC，∴△DCF ≌△DCE （SAS ）∴DE ＝DF ；（2）证明：∵∠DCF ＝135°， ∴∠F +∠CDF ＝45°，∵∠FDE ＝45°，∴∠CDE +∠CDF ＝45°，∴∠F ＝∠CDE ，∵∠DCF ＝∠DCE ，∠F ＝∠CDE ， ∴△FCD ∽△DCE ，∴CF CD =CD CE ，∴CD 2＝CE •CF ；（3）解：过点D 作DG ⊥BC 于G ， ∵∠DCB ＝45°，∴GC ＝GD =√22CD =√2，由（2）可知，CD 2＝CE •CF ，∴CE =CD 2CF =2√2，∵∠ECN ＝∠DGN ，∠ENC ＝∠DNG ， ∴△ENC ∽△DNG ，∴CN NG =CE DG ，即√2−NG NG =√2√2， 解得，NG =√23，由勾股定理得，DN =√DG 2+NG 2=2√53．一十四．计算器—三角函数（共1小题）31．【解答】解：∵已知sin A＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0.9816，∴按下的第一个键是2ndF．故选：D．一十五．解直角三角形（共2小题）32．【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，∴AC=√AH2+CH2=√42+32=5，∴sin∠ACH=AHAC=45，故选：D．33．【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AC，又∵点D为AB边的中点，∴E是BC的中点，∴BE＝EC=12BC＝2，在Rt△DCE中，cos∠DCB=ECCD=23，故答案为：23．一十六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共6小题）34．【解答】解：过点A 作AE ⊥BD ，交BD 于点E ，在Rt △ABE 中，AE ＝30米，∠BAE ＝30°，∴BE ＝30×tan30°＝10√3（米），∴AC ＝ED ＝BD ﹣BE ＝（36﹣10√3）（米）．∴甲楼高为（36﹣10√3）米．故选：D ．35．【解答】解：如图所示：过点A 作AF ⊥BC 于点F ，∵斜面坡度为1：√3，∴tan ∠ABF =AF BF =1√3=√33， ∴∠ABF ＝30°，∵在P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°， ∴∠HPB ＝30°，∠APB ＝45°，∴∠HBP ＝60°，∴∠PBA ＝90°，∠BAP ＝45°，∴PB ＝AB ，∵PH ＝30m ，sin60°=PH PB =30PB =√32，解得：PB ＝20√3，故AB＝20√3（m），故答案为：20√3．36．【解答】解：如图示：过点C作CD⊥AB，垂足为D，由题意得，∠MCA＝∠A＝60°，∠NCB＝∠B＝45°，CD＝120（米），在Rt△ACD中，AD=CDtan60°=√3=40√3（米），在Rt△BCD中，∵∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝120（米），∴AB＝AD+BD＝（40√3+120）（米）．答：桥AB的长度为（40√3+120）米．37．【解答】解：过点A作AH⊥CD于H，如图：则四边形ABDH是矩形，∴HD＝AB＝31.6m，在Rt△ADH中，∠HAD＝38°，tan∠HAD=HD AH，∴AH=HDtan∠HAD=31.6tan38°=31.60.78≈40.51（m），在Rt△ACH中，∠CAH＝45°，∴CH＝AH＝40.51m，∴CD＝CH+HD＝40.51+31.6＝72.11≈72.1（m），答：该大楼的高度约为72.1m．38．【解答】解：过B作BE⊥CD交CD于E，由题意得，∠CBE＝30°，∠CAD＝60°，在Rt△ACD中，tan∠CAD＝tan60°=CDAD=√3，∴AD=60√3=20√3，∵∠BED＝∠BAD＝∠ADE＝90°，∴四边形ADEB是矩形，∴BE＝AD＝20√3，在Rt△BCE中，tan∠CBE＝tan30°=CEBE=√33，∴CE＝20√3×√33=20，∴ED＝CD﹣CE＝60﹣20＝40，∴AB＝ED＝40（米），答：楼房的高度为40米．39．【解答】解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，则AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，∠BEN＝∠DFN＝90°，EN＝AM，NF＝MC，则DF＝DC﹣CF＝16.6﹣1.6＝15，在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，∴NF＝DF＝15，∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20，在Rt△BEN中，∵tan∠BNE=BE EN，∴BE＝EN•tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43＝28.6，∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6≈30．答：居民楼AB的高度约为30米．一十七．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）40．【解答】解：如图．根据题意得：∠CBD＝84°，∠CAB＝42°，∴∠C＝∠CBD﹣∠CAB＝42°＝∠CAB，∴BC＝AB，∵AB＝15×2＝30（海里），∴BC＝30（海里），即海岛B到灯塔C的距离是30海里．故选：C．41．【解答】解：如图，作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．在Rt△ECB中，tan53°=ECEB，即43=xy，在Rt△AEC中，tan37°=ECAE，即34=x105+y，解得x＝180，y＝135，∴AC=√EC2+AE2=√1802+2402=300（m），故选：C．一十八．简单几何体的三视图（共1小题）42．【解答】解：选项A中的几何体的左视图和俯视图为：选项B中的几何体的左视图和俯视图为：选项C中的几何体的左视图和俯视图为：选项D中的几何体的左视图和俯视图为：因此左视图和俯视图相同的是选项D中的几何体．故选：D．一十九．简单组合体的三视图（共4小题）43．【解答】解：从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看不见的小正方形画为虚线，故选：D．44．【解答】解：从上面看是一个矩形，矩形的中间处有两条纵向的实线，实线的两旁有两条纵向的虚线．故选：A．45．【解答】解：图1主视图第一层三个正方形，第二层左边一个正方形；图2主视图第一层三个正方形，第二层右边一个正方形；故主视图发生变化；左视图都是第一层两个正方形，第二层左边一个正方形，故左视图不变；俯视图都是底层左边是一个正方形，上层是三个正方形，故俯视图不变．∴不改变的是左视图和俯视图．故选：D．46．【解答】解：将正方体①移走后，主视图不变，俯视图变化，左视图不变，故选：A．二十．由三视图判断几何体（共4小题）47．【解答】解：结合三个视图发现，这个几何体是长方体和圆锥的组合图形．故选：B．48．【解答】解：从正面看所得到的图形为．故选：A．49．【解答】解：根据图中三视图可知该几何体是三棱柱．故选：B．50．【解答】解：A、主视图是圆，俯视图是圆，故A不符合题意；B、主视图是矩形，俯视图是矩形，故B不符合题意；C、主视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D符合题意；故选：D．。
2020年贵州省遵义市中考数学试题及参考答案(word解析版)
遵义市2020年初中毕业生学业（升学）统一考试数学试题卷（全卷总分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．﹣3的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C．D．±32．在文化旅游大融合的背景下，享受文化成为旅游业的新趋势．今年“五一”假期，我市为游客和市民提供了丰富多彩的文化享受，各艺术表演馆、美术馆、公共图书馆、群众文化机构、非遗机构及文物机构累计接待游客18.25万人次，将18.25万用科学记数法表示为（）A．1.825×105B．1.825×106C．1.825×107D．1.825×1083．一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°4．下列计算正确的是（）A．x2+x＝x3B．（﹣3x）2＝6x2C．8x4÷2x2＝4x2D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2 5．某校7名学生在某次测量体温（单位：℃）时得到如下数据：36.3，36.4，36.5，36.7，36.6，36.5，36.5，对这组数据描述正确的是（）A．众数是36.5 B．中位数是36.7 C．平均数是36.6 D．方差是0.46．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（）A．5 B．10 C．11 D．137．如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（）A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600 B．（30﹣x）（40﹣x）＝600C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600 D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝6008．新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（）A．B．C．D．9．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（）A．B．C．4 D．10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（）A．+1 B．﹣1 C．D．11．如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（）A．9 B．12 C．15 D．1812．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（）①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本小题共4小题，每小题4分，共16分）13．计算：﹣的结果是．14．如图，直线y＝kx+b（k、b是常数k≠0）与直线y＝2交于点A（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为．15．如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．若CD＝5，则BE的长是．16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD 交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则DE 的长是．三、解答题（本题共有8小题，共86分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程成演算步骤）17．（8分）计算：（1）sin30°﹣（π﹣3.14）0+（﹣）﹣2；（2）解方程；＝．18．（8分）化简式子÷（x﹣），从0、1、2中取一个合适的数作为x的值代入求值．19．（10分）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2m，为了解自己的有效测温区间．身高1.6m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为18°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．（额头到地面的距离以身高计，计算精确到0.1m，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．21．（12分）遵义市各校都在深入开展劳动教育，某校为了解七年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：h）的情况，从该校七年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．课外劳动时间频数分布表：劳动时间分组频数频率0≤t＜20 2 0.120≤t＜40 4 m40≤t＜60 6 0.360≤t＜80 a 0.2580≤t＜100 3 0.15解答下列问题：（1）频数分布表中a＝，m＝；将频数分布直方图补充完整；（2）若七年级共有学生400人，试估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于60h的人数；（3）已知课外劳动时间在60h≤t＜80h的男生人数为2人，其余为女生，现从该组中任选2人代表学校参加“全市中学生劳动体验”演讲比赛，请用树状图或列表法求所选学生为1男1女的概率．22．（12分）为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况：时间销售数量（个）销售收入（元）（销售收入＝售价×销售数量）甲种型号乙种型号第一月22 8 1100第二月38 24 2460（1）求甲、乙两种型号水杯的售价；（2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个，这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下设购进甲种型号水杯a个，利润为w元，写出w与a的函数关系式，并求出第三月的最大利润．23．（12分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．（1）求证：EF＝DE；（2）当AF＝2时，求GE的长．24．（14分）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．答案与解析一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．﹣3的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C．D．±3【知识考点】绝对值．【思路分析】根据绝对值的概念可得﹣3的绝对值就是数轴上表示﹣2的点与原点的距离．进而得到答案．【解题过程】解：﹣3的绝对值是3，故选：A．【总结归纳】此题主要考查了绝对值，关键是掌握概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．2．在文化旅游大融合的背景下，享受文化成为旅游业的新趋势．今年“五一”假期，我市为游客和市民提供了丰富多彩的文化享受，各艺术表演馆、美术馆、公共图书馆、群众文化机构、非遗机构及文物机构累计接待游客18.25万人次，将18.25万用科学记数法表示为（）A．1.825×105B．1.825×106C．1.825×107D．1.825×108【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解题过程】解：18.25万＝182500，用科学记数法表示为：1.825×105．故选：A．【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°【知识考点】平行线的性质．【思路分析】根据平行线的性质即可得到结论．【解题过程】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠D＝45°，故选：B．【总结归纳】此题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．4．下列计算正确的是（）A．x2+x＝x3B．（﹣3x）2＝6x2C．8x4÷2x2＝4x2D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2【知识考点】整式的混合运算．【思路分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【解题过程】解：x2+x不能合并，故选项A错误；（﹣3x）2＝9x2，故选项B错误；8x4÷2x2＝4x2，故选项C正确；（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2，故选项D错误；故选：C．【总结归纳】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．5．某校7名学生在某次测量体温（单位：℃）时得到如下数据：36.3，36.4，36.5，36.7，36.6，36.5，36.5，对这组数据描述正确的是（）A．众数是36.5 B．中位数是36.7 C．平均数是36.6 D．方差是0.4【知识考点】算术平均数；中位数；众数；方差．【思路分析】根据众数、中位数的概念求出众数和中位数，根据平均数和方差的计算公式求出平均数和方差．【解题过程】解：7个数中36.5出现了三次，次数最多，即众数为36.5，故A选项正确，符合题意；将7个数按从小到大的顺序排列为：36.3，36.4，36.5，36.5，36.5，36.6，36.7，第4个数为36.5，即中位数为36.5，故B选项错误，不符合题意；＝×（36.3+36.4+36.5+36.5+36.5+36.6+36.7）＝36.5，故C选项错误，不符合题意；S2＝[（36.3﹣36.5）2+（36.4﹣36.5）2+3×（36.5﹣36.5）2+（36.6﹣36.5）2+（36.7﹣36.5）2]＝，故D选项错误，不符合题意；故选：A．【总结归纳】本题考查的是众数、平均数、方差、中位数，掌握它们的概念和计算公式是解题的关键．6．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（）A．5 B．10 C．11 D．13【知识考点】根与系数的关系．【思路分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，再利用完全平方公式得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．【解题过程】解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13．故选：D．【总结归纳】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝7．如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（）A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600 B．（30﹣x）（40﹣x）＝600C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600 D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600【知识考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【思路分析】设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解题过程】解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据题意得：（30﹣2x）（40﹣2x）＝600．故选：D．【总结归纳】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（）A．B．C．D．【知识考点】函数的图象．【思路分析】乌龟是匀速行走的，图象为线段．兔子是：跑﹣停﹣急跑，图象由三条折线组成；最后同时到达终点，即到达终点花的时间相同．【解题过程】解：A．此函数图象中，S2先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意；B．此函数图象中，S2第2段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追”不符，不符合题意；C．此函数图象中，S1、S2同时到达终点，符合题意；D．此函数图象中，S1先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意．故选：C．【总结归纳】本题考查了函数图形，行程问题，分析清楚时间与路程的关系是解本题的关键．9．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（）A．B．C．4 D．【知识考点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定与性质．【思路分析】由在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，利用菱形的性质以及勾股定理，求得OB的长，继而可求得BD的长，然后由菱形的面积公式可求得线段DE的长．【解题过程】解：如图．∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，OA＝AC＝3，BD＝2OB，∵AB＝5，∴OB＝＝4，∴BD＝2OB＝8，∵S菱形ABCD＝AB•DE＝AC•BD，∴DE＝＝＝．故选：D．【总结归纳】此题考查了菱形的性质、勾股定理．注意菱形的对角线互相垂直平分．10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（）A．+1 B．﹣1 C．D．【知识考点】分母有理化；含30度角的直角三角形；解直角三角形．【思路分析】在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，根据tan22.5°＝计算即可．【解题过程】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，∴tan22.5°＝＝＝﹣1，故选：B．【总结归纳】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角，属于中考常考题型．11．如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（）A．9 B．12 C．15 D．18【知识考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质．【思路分析】易证△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出．【解题过程】解：∵NQ∥MP∥OB，∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，∵M、N是OA的三等分点，∴＝，＝，∴＝，∵四边形MNQP的面积为3，∴＝，∴S△ANQ＝1，∵＝（）2＝，∴S△AOB＝9，∴k＝2S△AOB＝18，故选：D．【总结归纳】本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，正确的求出S ＝1是解题的关键．△ANQ12．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（）①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac．A．1个B．2个C．3个D．4个【知识考点】根的判别式；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．【思路分析】根据抛物线的对称轴可判断①；由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性以及由x ＝﹣1时y＞0可判断②，由抛物线与x轴有两个交点，且顶点为（﹣2，3），即可判断③；利用抛物线的顶点的纵坐标为3得到＝3，即可判断④．【解题过程】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，∴4a﹣b＝0，所以①正确；∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，∴x＝﹣1时y＞0，且b＝4a，即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，∴c＞3a，所以②错误；∵抛物线与x轴有两个交点，且顶点为（﹣2，3），∴抛物线与直线y＝2有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根，所以③正确；∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），∴＝3，∴b2+12a＝4ac，∵4a﹣b＝0，∴b＝4a，∴b2+3b＝4ac，∵a＜0，∴b＝4a＜0，∴b2+2b＞4ac，所以④正确；故选：C．【总结归纳】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）：抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（本小题共4小题，每小题4分，共16分）13．计算：﹣的结果是．【知识考点】实数的运算．【思路分析】首先化简，然后根据实数的运算法则计算．【解题过程】解：＝2﹣＝．故答案为：．【总结归纳】本题主要考查算术平方根的开方及平方根的运算，属于基础题．14．如图，直线y＝kx+b（k、b是常数k≠0）与直线y＝2交于点A（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为．【知识考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题．【思路分析】结合函数图象，写出直线y＝kx+2在直线y＝2下方所对应的自变量的范围即可．【解题过程】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝2交于点A（4，2），∴x＜4时，y＜2，∴关于x的不等式kx+b＜2的解集为x＜4．故答案为x＜4．【总结归纳】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．15．如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．若CD＝5，则BE的长是．【知识考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【思路分析】在Rt△A'BM中，解直角三角形求出∠BA′M＝30°，再证明∠ABE＝30°即可解决问题．【解题过程】解：∵将矩形纸片ABCD对折一次，使边AD与BC重合，得到折痕MN，∴AB＝2BM，∠A′MB＝90°，MN∥BC．∵将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．∴A′B＝AB＝2BM．在Rt△A′MB中，∵∠A′MB＝90°，∴sin∠MA′B＝，∴∠MA′B＝30°，∵MN∥BC，∴∠CBA′＝∠MA′B＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABA′＝60°，∴∠ABE＝∠EBA′＝30°，∴BE＝．故答案为：．【总结归纳】本题考查了翻折变换，锐角三角函数的定义，平行线的性质，熟练掌握并灵活运用翻折变换的性质是解题的关键．16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD 交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则DE的长是．【知识考点】勾股定理；垂径定理；三角形的外接圆与外心．【思路分析】连结OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，根据圆周角定理可得∠BOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得DG，AG，可求AD，再根据相交弦定理可求DE．【解题过程】解：连结OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BD＝4，CD＝1，∴BC＝4+1＝5，∴OB＝OC＝，∴OA＝，OF＝BF＝，∴DF＝BD﹣BF＝，∴OG＝，GD＝，在Rt△AGO中，AG＝＝，∴AD＝AG+GD＝，∴AD×DE＝BD×CD，DE＝＝．故答案为：．【总结归纳】考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，解题的难点是求出AD的长．三、解答题（本题共有8小题，共86分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程成演算步骤）17．（8分）计算：（1）sin30°﹣（π﹣3.14）0+（﹣）﹣2；（2）解方程；＝．【知识考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解分式方程；特殊角的三角函数值．【思路分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解题过程】解：（1）原式＝﹣1+4＝3；（2）去分母得：2x﹣3＝3x﹣6，解得：x＝3，经检验x＝3是分式方程的解．【总结归纳】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握运算法则及分式方程的解法是解本题的关键．18．（8分）化简式子÷（x﹣），从0、1、2中取一个合适的数作为x的值代入求值．【知识考点】分式的化简求值．【思路分析】直接利用分式的性质进行通分运算，进而结合分式的混合运算法则分别化简得出答案．【解题过程】解：原式＝÷＝•＝，∵x≠0，2，∴当x＝1时，原式＝﹣1．【总结归纳】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．19．（10分）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2m，为了解自己的有效测温区间．身高1.6m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为18°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．（额头到地面的距离以身高计，计算精确到0.1m，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）【知识考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【思路分析】延长BC交AD于点E，构造直角△ABE和矩形EDNB，通过解直角三角形分别求得BE、CE的长度，易得BC的值；然后根据矩形的性质知MN＝BC．【解题过程】解：延长BC交AD于点E，则AE＝AD﹣DE＝0.6m．BE＝≈1.875m，CE＝≈0.374m．所以BC＝BE﹣CE＝1.528m．所以MN＝BC≈1.5m．答：小聪在地面的有效测温区间MN的长度约为1.5m．【总结归纳】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【知识考点】角平分线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质．【思路分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【解题过程】解：（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴＝，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝2．【总结归纳】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质及圆中的相关计算是解题的关键．21．（12分）遵义市各校都在深入开展劳动教育，某校为了解七年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：h）的情况，从该校七年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．课外劳动时间频数分布表：劳动时间分组频数频率0≤t＜20 2 0.120≤t＜40 4 m40≤t＜60 6 0.360≤t＜80 a 0.2580≤t＜100 3 0.15解答下列问题：（1）频数分布表中a＝，m＝；将频数分布直方图补充完整；（2）若七年级共有学生400人，试估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于60h的人数；（3）已知课外劳动时间在60h≤t＜80h的男生人数为2人，其余为女生，现从该组中任选2人代表学校参加“全市中学生劳动体验”演讲比赛，请用树状图或列表法求所选学生为1男1女的概率．【知识考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；列表法与树状图法．【思路分析】（1）根据频数分布表所给数据即可求出a，m；进而可以补充完整频数分布直方图；（2）根据样本估计总体的方法即可估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于60h的人数；（3）根据题意画出用树状图即可求所选学生为1男1女的概率．【解题过程】解：（1）a＝（2÷0.1）×0.25＝5，m＝4÷20＝0.2，补全的直方图如图所示：故答案为：5，0.2；（2）400×（0.25+0.15）＝160（人）；（3）根据题意画出树状图，由树状图可知：共有20种等可能的情况，1男1女有12种，故所选学生为1男1女的概率为：P＝＝．【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、频数（率）分布直方图，解决本题的关键是掌握概率公式．22．（12分）为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况：时间销售数量（个）销售收入（元）（销售收入＝售价×销售数量）甲种型号乙种型号第一月22 8 1100第二月38 24 2460（1）求甲、乙两种型号水杯的售价；（2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个，这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下设购进甲种型号水杯a个，利润为w元，写出w与a的函数关系式，并求出第三月的最大利润．【知识考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．【思路分析】（1）根据表格中的数据可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得甲、乙两种型号水杯的销售单价；（2）根据题意，可以得到w与a的函数关系式．【解题过程】解：（1）设甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为x元、y元，，解得，，答：甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为30元、55元；（2）由题意可得，，解得：50≤a≤55，w＝（30﹣25）a+（55﹣45）（80﹣a）＝﹣5a+800，故当a＝50时，W有最大值，最大为550，答：第三月的最大利润为550元．【总结归纳】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．23．（12分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．（1）求证：EF＝DE；（2）当AF＝2时，求GE的长．【知识考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【思路分析】（1）要证明EF＝DE，只要证明△DME≌△ENF即可，然后根据题目中的条件和正方形的性质，可以得到△DME≌△ENF的条件，从而可以证明结论成立；（2）根据勾股定理和三角形相似，可以得到AG和CG、CE的长，然后即可得到GE的长．【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ECM＝45°，∵MN∥BC，∠BCM＝90°，∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，∴MC＝ME，∵CD＝MN，∴DM＝EN，∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠DEF＝90°，∴∠DEM+∠FEN＝90°，∴∠EDM＝∠FEN，在△DME和△ENF中，∴△DME≌△ENF（ASA），∴EF＝DE；（2）如图1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，∴ME＝NF，∵四边形MNBC是矩形，∴MC＝BN，又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，∴BN＝MC＝NF＝1，∵∠EMC＝90°，。
专题12 二次函数中的销售最值问题(学生版)-2021年中考数学复习重难点与压轴题型专项训练
备战2021年中考复习重难点与压轴题型专项训练专题12二次函数中的销售最值问题【专题训练】一、解答题1．(2020·浙江绍兴市·九年级其他模拟)某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套，故每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．(1)求y关于x的函数解析式(化为一般形式)．(2)当每套书降价多少元时，书店可获最大利润？最大利润为多少？2．(2020·浙江绍兴市·九年级其他模拟)我市某汽车销售商店销售某种型号的新能源汽车，每辆进货价为15.5万元，市场调查表明：当销售价为18万元时，平均每月能售出6辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每月能多售出2辆，如果设每辆汽车降价x万元，这种汽车平均每月的销售利润为y万元．(1)在保证商家不亏本的前提下，先写出x的取值范围；再求出y关于x的函数关系式；(2)当每辆这种新能源汽车的定价为多少万元时，平均每月的销售利润最大？最大利润是多少？3．(2020·浙江杭州市·八年级其他模拟)某商家经销一种绿茶，已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现，销量随销售单价的变化而变化，具体变化规律如下表：(1)请根据上述关系，完成表格．(2)用含有x的代数式表示月销售利润；并利用配方法求月销售利润最大值；(3)在第一个月里，按月销售利润取最大值时的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元；且加上其他费用3000元．若商家要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元?4．(2020·浙江九年级其他模拟)某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%．在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价每提高5元，则每天销售量减少50件．设销售单价为x元(销售单价不低于35元)(1)当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为多少件？(2)求这种儿童玩具每天获得的利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式；(3)当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？5．(2020·浙江九年级一模)某超市在端午节来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；(2)为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元，每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P(元)最大？最大利润是多少？6．(2020·湖北黄冈市·思源实验学校九年级月考)我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓。
2020年中考数学试题含答案 (12)
2020学年中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分）1.比1小2的数是A. B. C. D. 1【答案】A【解析】解：．故选：A．求比1小2的数就是求1与2的差．本题主要考查有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数这是需要熟记的内容．2.下列运算正确的是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：A、应为，故本选项错误；B、应为，故本选项错误；C、，正确；D、应为，故本选项错误．故选：C．根据同底数的幂的运算法则、合并同类项法则及完全平方公式计算．本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式，计算时要认真．3.长度单位1纳米米，目前发现一种新型病毒直径为25 100纳米，用科学记数法表示该病毒直径是A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】D【解析】解：米故选D．先将25100用科学记数法表示为，再和相乘．中，a的整数部分只能取一位整数，此题中的n应为负数．4.小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路囗都是绿灯，但实际这样的机会是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：画树状图，得共有8种情况，经过每个路口都是绿灯的有一种，实际这样的机会是，故选：B．列举出所有情况，看个路口都是绿灯的情况占总情况的多少即可．此题考查了树状图法求概率，树状图法适用于三步或三步以上完成的事件，解题时要注意列出所有的情形用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．5.一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“建”字对面是A. 和B. 谐C. 凉D. 山【答案】D【解析】解：对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可知，与“建”字相对的字是“山”．故选：D．本题考查了正方体的平面展开图，对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，据此作答．注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．6.一组数据：3，2，1，2，2的众数，中位数，方差分别是A. 2，1，B. 2，2，C. 3，1，2D. 2，1，【答案】B【解析】解：从小到大排列此数据为：1，2，2，2，3；数据2出现了三次最多为众数，2处在第3位为中位数平均数为，方差为，即中位数是2，众数是2，方差为．故选：B．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个利用方差公式计算方差．本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数、方差和众数的能力注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求如果是偶数个则找中间两位数的平均数．7.若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，分两种情况：当，时，正比例函数数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；当，时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合．故选：B．根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从，和，两方面分类讨论得出答案．本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．8.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选：D．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．9.如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在处，交AD于点E，则下到结论不一定成立的是A.B.C. ∽D.【答案】C【解析】解：A、，，，所以正确．B、，，EDB正确．D、，．故选：C．主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案．本题主要用排除法，证明A，B，D都正确，所以不正确的就是C，排除法也是数学中一种常用的解题方法．10.如图，是的外接圆，已知，则的大小为A.B.C.D.【答案】A【解析】解：中，，，，，故选：A．首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出的度数．本题主要考查了圆周角定理的应用，涉及到的知识点还有：等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．二、填空题（本大题共6小题，共24分）11.分解因式：______，______．【答案】；【解析】解：；．观察原式，找到公因式a后，发现符合平方差公式的形式，直接运用公式可得；观察原式，找到公因式2后，发现符合完全平方差公式的形式，直接运用公式可得．本题考查整式的因式分解一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．12.已知 ∽ 且：：2，则AB：______．【答案】1：【解析】解： ∽ ，：：：2，：：．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．本题的关键是理解相似三角形的面积比等于相似比的平方．13.有两名学员小林和小明练习射击，第一轮10枪打完后两人打靶的环数如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计小林和小明两人中新手是______．【答案】小林【解析】解：由于小林的成绩波动较大，根据方差的意义知，波动越大，成绩越不稳定，故新手是小林．故填小林．观察图象可得：小明的成绩较集中，波动较小，即方差较小；故小明的成绩较为稳定；根据题意，一般新手的成绩不太稳定，故新手是小林．本题考查方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．14.已知一个正数的平方根是和，则这个数是______．【答案】【解析】解：根据题意可知：，解得，所以，，故答案为：．由于一个非负数的平方根有2个，它们互为相反数依此列出方程求解即可．本题主要考查了平方根的逆运算，平时注意训练逆向思维．15.若不等式组的解集是，则______．【答案】【解析】解：由不等式得，，，，，，．故答案为．解出不等式组的解集，与已知解集比较，可以求出a、b的值，然后相加求出2009次方，可得最终答案．本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得零一个未知数．16.将绕点B逆时针旋转到，使A、B、在同一直线上，若，，，则图中阴影部分面积为______．【答案】【解析】解：，，，，，，，阴影部分面积扇形扇形．故答案为：．易得整理后阴影部分面积为圆心角为，两个半径分别为4和2的圆环的面积．本题利用了直角三角形的性质，扇形的面积公式求解．三、计算题（本大题共3小题，共24分）17.先化简，再选择一个你喜欢的数要合适哦代入求值：．【答案】解：，当时，原式．【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，再选取一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式的化简求值的计算方法．18.如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西方向上．是否穿过原始森林保护区，为什么？参考数据：若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划完成这项工程需要多少天？【答案】解：理由如下：如图，过C作于H．设，由已知有，，则，．在中，，在中，，，，解得米米．不会穿过森林保护区．设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要天．根据题意得：解得：．经检验知：是原方程的根．答：原计划完成这项工程需要25天．【解析】要求MN是否穿过原始森林保护区，也就是求C到MN的距离要构造直角三角形，再解直角三角形；根据题意列方程求解．考查了构造直角三角形解斜三角形的方法和分式方程的应用．19.我们常用的数是十进制数，如，数要用10个数码又叫数字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中等于十进制的数6，等于十进制的数那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？【答案】解：，所以二进制中的数101011等于十进制中的43．【解析】利用新定义得到，然后根据乘方的定义进行计算．本题考查了有理数的乘方：有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．四、解答题（本大题共7小题，共72分）20.计算：．【答案】解：原式．【解析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数幂的性质进而化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．21.观察表中的结果，你能发现、、之间有什么关系吗？请写出关系式．【答案】解：填表如下：根据上表中的规律判断，若一个棱柱的底面多边形的边数为，则它有个侧面，共有个面，共有2n个顶点，共有3n条棱；故a，b，c之间的关系：．【解析】结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表，根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知n棱柱一定有个面，2n个顶点和3n条棱，进而得出答案，利用前面的规律得出a，b，c之间的关系．此题主要考查了欧拉公式，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有个面，2n个顶点和3n条棱是解题关键．22.如图，在方格纸中请在方格纸上建立平面直角坐标系，使，，并求出B点坐标；以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形；计算的面积S．【答案】解：如图所示，即为所求的直角坐标系；；如图：即为所求；．【解析】直接利用A，C点坐标得出原点位置进而得出答案；利用位似图形的性质即可得出；直接利用中图形求出三角形面积即可．此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题的关键画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和关键点；根据位似比，确定位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．23.我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的作费用张先生以每股5元的价格买入“西昌电力”股票1000股，若他期望获利不低于1000元，问他至少要等到该股票涨到每股多少元时才能卖出？精确到元【答案】解：设涨到每股x元时卖出，根据题意得，分解这个不等式得，即分答：至少涨到每股元时才能卖出分【解析】根据关系式：总售价两次交易费总成本列出不等式求解即可．本题考查的是一元一次不等式在生活中的实际运用，解决本题的关键是读懂题意根据“总售价两次交易费总成本”列出不等关系式．24.已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球．求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求y与x之间的函数关系式．【答案】解：一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，从中随机抽取出一个黑球的概率是：；往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，，则．【解析】直接利用概率公式直接得出取出一个黑球的概率；直接利用从口袋中随机取出一个白球的概率是，进而得出答案函数关系式．此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．25.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，8为半径的圆与x轴交于A，B两点，过A作直线l与x轴负方向相交成的角，且交y轴于C 点，以点为圆心的圆与x轴相切于点D．求直线l的解析式；将以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，当第一次与外切时，求平移的时间．【答案】解：由题意得，点坐标为．在中，，．点的坐标为设直线l的解析式为，由l过A、C两点，得，解得直线l的解析式为：．如图，设平移t秒后到处与第一次外切于点P，与x轴相切于点，连接，．则．轴，，在中，．，，秒．平移的时间为5秒．【解析】求直线的解析式，可以先求出A、C两点的坐标，就可以根据待定系数法求出函数的解析式．设平移t秒后到处与第一次外切于点P，与x轴相切于点，连接，．在直角中，根据勾股定理，就可以求出，进而求出的长，得到平移的时间．本题综合了待定系数法求函数解析式，以及圆的位置关系，其中两圆相切时的辅助线的作法是经常用到的．26.如图，已知抛物线经过，两点，顶点为D．求抛物线的解析式；将绕点A顺时针旋转后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式；设中平移后，所得抛物线与y轴的交点为，顶点为，若点N在平移后的抛物线上，且满足的面积是 面积的2倍，求点N 的坐标．【答案】解： 已知抛物线 经过 ， ，， 解得， 所求抛物线的解析式为 ；， ，， ，可得旋转后C 点的坐标为 ，当 时，由 得 ，可知抛物线 过点 ，将原抛物线沿y 轴向下平移1个单位后过点C ．平移后的抛物线解析式为： ；点N 在 上，可设N 点坐标为，将 配方得，其对称轴为直线 ． 时，如图 ，，，此时 ，点的坐标为 ．当 时，如图 ，同理可得 ，，此时 ，点N 的坐标为 ．当 时，由图可知，N 点不存在，舍去．综上，点N 的坐标为 或 ．【解析】 利用待定系数法，将点A ，B 的坐标代入解析式即可求得；根据旋转的知识可得： ， ， ， ，可得旋转后C 点的坐标为 ，当 时，由 得 ，可知抛物线 过点 将原抛物线沿y 轴向下平移1个单位后过点 平移后的抛物线解析式为： ；首先求得 ， 的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想．此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要学生认真审题．此题考查了二次函数与一次函数的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．。
2018-2020年安徽省中考数学复习各地区模拟试题分类(合肥专版)(12)——图形的变换及答案
2018-2020年安徽省中考数学复习各地区模拟试题分类（合肥专版）（12）——图形的变换一．选择题（共6小题） 1．（2020•包河区二模）如图，在矩形ABCD 中，点H 为边BC 的中点，点G 为线段DH 上一点，且∠BGC ＝90°，延长BG 交CD 于点E ，延长CG 交AD 于点F ，当CD ＝4，DE ＝1时，则DF 的长为（ ）A ．2B ．32C ．√5D ．952．（2020•肥东县二模）如图，正方形ABCD 的边长为2，延长AB 至E ，使得AB ＝BE ，连接CE ，P 为CE 上一动点，分别连接P A 、PB ，则P A +PB 的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．2√2D ．2√53．（2020•肥东县二模）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6，D 是AC 中点，E 是BC 上一点，BE =52，∠AED＝∠B ，则CE 的长为（ ）A ．152B ．223C ．365D ．6494．（2020•包河区校级一模）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AA AA=AA AA，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于点D ，∠CBP 的平分线交CE 于点Q ，当CQ =14CE 时，EP +BP 的值为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．24 5．（2020•肥东县一模）用一些完全一样的小正方体搭成一个几何体，它的主视图、俯视图与左视图都是如图所示的图形，则小正方体的个数可能是（ ）A ．9B ．8C ．5D ．4 6．（2020•蜀山区校级模拟）如图，等边△ABC 的边长为4，点D 是边AC 上的一动点，连接BD ，以BD 为斜边向上作等腰Rt △BDE ，连接AE ，则AE 的最小值为（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．2√2−1 二．填空题（共14小题） 7．（2020•包河区二模）已知，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，点P 是AB 上一点，连接CP ，将∠B 沿CP 折叠，使点B 落在B ′处．以下结论正确的有 ． ①当AB ′⊥AC 时，AB ′的长为√2；②当点P 位于AB 中点时，四边形ACPB ′为菱形； ③当∠B 'P A ＝30°时，AA AA=12；④当CP ⊥AB 时，AP ：AB ′：BP ＝1：2：3．8．（2020•长丰县一模）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则AA AA的值是 ．9．（2019•蜀山区校级三模）如图，在矩形ABCD 中，AB ：BC ＝3：5，点E 是对角线AC 上一动点（不与点A ，C 重合），将矩形沿过点E 的直线MN 折叠，使得点A ，B 的对应点A 1，B 1分别落在直线AD 与BC 上，当△A 1CE 为直角三角形时，AN ：DN 的值为 ．10．（2019•庐阳区校级一模）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝8，AB ＝14，E 为DC 上的一个点，将△ADE 沿AE 折叠，使得点D 落在D '处，若以C 、B 、D '为顶点的三角形是等腰三角形，则DE 的长为 ．11．（2019•庐阳区校级模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 是AB 的中点，点P 是直线AC 上一点，将△ADP 沿DP 所在的直线翻折后，点A 落在A 1处，若A 1D ⊥AC ，则点P 与点A 之间的距离为 ．12．（2019•合肥模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，点E、F分别在AC、AB上，连接EF，将△ABC沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D处．若△DEF有一边垂直BC，则EF＝13．（2019•瑶海区二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P为边AC上一点，且AP ＝5cm．点Q为边AB上的任意一点（不与点A，B重合），若点A关于直线PQ的对称点A'恰好落在△ABC的边上，则AQ的长为cm．14．（2019•合肥二模）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，点M为边BC的中点，点N为边AB上的任意一点（不与点A，B重合）．若点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边△ABC的边上，则BN的长为cm．15．（2019•长丰县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝3：5，点E是对角线BD上一动点（不与点B，D重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A，B的对应点G，F分别在直线AD与BC上，当△DEF为直角三角形时，CN：BN的值为．16．（2018•包河区一模）如图，在△ABC中，已知：AB＝AC＝6，BC＝8，P是BC边上一点（P不与点B，C重合），∠DPE＝∠B，且DP边始终经过点A，另一边PE交AC于点F，当△APF为等腰三角形时，则PB的长为．17．（2018•包河区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝6，将矩形折叠，使A落在BC（含端点）上点M处，这时折痕EF与AD或边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，以A、M、F为顶点作△AMF，当△AMF的面积最大时，CM的长度为．18．（2018•长丰县一模）一个小球沿着坡度为1：3的坡面向下滚动了10米，此时小球下降的垂直高度为 米． 19．（2018•长丰县一模）如图，在△ABC 中，D 、E 分别为边AB 、AC 上的点．AA AA=AA AA，点F 为BC 边上一点，添加一个条件： ，可以使得△FDB 与△ADE 相似．（只需写出一个）20．（2018•蜀山区一模）如图示意图，A 点的坐标为（2，2），点C 在线段OA 上运动（点C 不与O 、A 重合），过点C 作CD ⊥x 轴于D ，再以CD 为一边在CD 右侧画正方形CDEF ．连接AF 并延长交x 轴于B ，连接OF ．若△BEF 与△OEF 相似，则点B 的坐标是 ．三．解答题（共14小题） 21．（2020•肥东县二模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC （顶点是网格线的交点）和格点O ．（1）平移△ABC ，使得点A 与点O 重合，画出平移后的△A ′B ′C ′； （2）画出△ABC 关于点O 对称的△DEF ；（3）判断△A ′B ′C ′与△DEF 是否成中心对称？22．（2020•包河区一模）如图，无人机在600米高空的P 点，测得地面A 点和建筑物BC 的顶端B 的俯角分别为60°和70°，已知A 点和建筑物BC 的底端C 的距离为286√3米，求建筑物BC 的高．（结果保留整数，参考数据：√3≈1.73，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）23．（2020•蜀山区一模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，已知点O 、A 、B 均为格点．（1）在给定的网格中，以点O 为位似中心将线段AB 放大为原来的2倍，得到线段A ′B ′．（点A 、B的对应点分别为点A ′、B ′），画出线段A ′B ′．（2）以线段A ′B ′为一边，作一个格点四边形A ′B ′CD ，使得格点四边形A ′B ′CD 是轴对称图形（作出一个格点四边形即可）．24．（2020•庐阳区校级一模）（1）【操作发现】如图1，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝40°，连接AC ，BD 交于点M ． ①AA AA的值为 ；②∠AMB 的度数为 ． （2）【类比探究】如图2，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠OAB ＝∠OCD ＝30°，连接AC 交BD 的延长线于点M ．计算AA AA的值及∠AMB 的度数；（3）【实际应用】在（2）的条件下，将△OCD 绕点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M ，若OD ＝1，OB =√7，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长．25．（2020•瑶海区一模）如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上．（1）将△ABC 向下平移5个单位再向右平移1单位后得到对应的△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1； （2）画出△A 1B 1C 1关于y 轴对称的△A 2B 2C 2；（3）P （a ，b ）是△ABC 的AC 边上一点，请直接写出经过两次变换后在△A 2B 2C 2中对应的点P 2的坐标．26．（2020•包河区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C的应点C₁的坐标为（4，﹣1），画出△A1B1C1并写出顶点A，B对应点A1，B1的坐标；（2）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．27．（2020•长丰县一模）通过学习锐角三角比，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图（1）在△ABC中，AB＝AC，底角B的邻对记作canB，这时canB=底边腰=AAAA，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的．根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30°＝；（2）如图（2），已知在△ABC中，AB＝AC，canB=85，S△ABC＝24，求△ABC的周长．28．（2019•包河区校级二模）如图，以AB为斜边作Rt△ABE和Rt△ACB，∠AEB＝∠ACB＝90°，EF⊥AB，垂足为点F，点D是线段BF上一点，连接AC分别交EF、ED、BE于P、H、Q，过点E作EG⊥DE，交BC延长线于点G，BF＝6，BG＝5．（1）求证：△AEH∽△BEG；（2）若EF＝3，求AH的长；（3）若cos∠FBG=35，FD=43，求线段EF的长．29．（2019•包河区校级二模）在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标是（4，4），请解答下列问题：（1）将△ABC向左平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标；（2）点O为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1相似，且△A2B2C2与△A1B1C1的位似比为1：1；（3）sin∠B2A2C2＝（直接写出答案）．30．（2019•包河区校级二模）广宇同学想测量一栋楼上竖立的旗杆的长（图中线段EF的长），已知直线EF 垂直于地面，垂足为点C，在地面A处测得点E的仰角为31°，在B处测得点E的仰角为61°、点F的仰角为45°，AB＝48米，且A、B、C三点在一条直线上，请你根据以上数据帮助广宇同学求旗杆EF的长（参考数据：sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60，sin61°＝0.87，cos61°＝0.48，tan61°＝1.80）31．（2019•庐江县模拟）某校九（1）班开展数学活动，李明和张华两位同学合作用测角仪测量学校旗杆的高度，李明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，张华站在D（D点在直线FB上）测得旗杆顶端E 点仰角为15°，已知李明和张华相距（BD）30米，李明的身高（AB）1.6米，张华的身高（CD）1.75米，求旗杆的高EF的长．（结果精确到0.1．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）32．（2019•合肥二模）在10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（三角形的顶点是网格线的交点）（1）画出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°得到的△A1B1C1；（2）求点A在（1）的图形变换过程中所经过的路径长．33．（2018•蜀山区一模）我们把菱形的顶点及其对称中心称作如图1所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有5个特征点．将此基本图不断复制并按如下方式摆放，使得相邻两个基本图的一个顶点重合，这样得到图2、图3，…，…（1）观察以上图形并完成下表：图形的名称基本图的个数特征点的个数图1 1 5图2 2 9图3 3 13图4 4………猜想：在图n中，特征点的个数为（用n的式子表示）；（2）如图n，将当菱形的一个锐角为60°时，将图n放在直角坐标系中（第一个基本图的两个顶点分别落在坐标轴上，且菱形较短的对角线与x轴垂直），设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为（x1，1），则x1＝；图2018的对称中心的横坐标为．34．（2018•合肥二模）在如图所示的网格中，每个小三角形均为等边三角形，点A、B、C、D都在格点上．（1）将△ADC向左平移，使点C与点B重合，画出平移后的△EFB；（2）将△ADC绕点C逆时针旋转60°，点D的对应点为点G，画出旋转后的三角形；（3）若点P是△ABC内一点，且满足P A2+PC2＝PB2，则∠APC＝°．2018-2020年安徽省中考数学复习各地区模拟试题分类（合肥专版）（12）——图形的变换参考答案与试题解析一．选择题（共6小题） 1．【解答】解：如图，延长AD ，BE 相交于点M ，∵DF ∥CH ，∴△DFG ∽△HCG ， ∴AA AA =AA AA ，∵DM ∥BH ，∴△DMG ∽△HBG ， ∴AA AA=AA AA，∵CH ＝BH ， ∴DF ＝DM ，又∵△MDE ∽△CDF ， ∴AA AA =AA AA ， ∴AA AA=AA AA，∴DF 2＝DE •CD ＝1×4＝4， ∴AA =√4=2． 故选：A ． 2．【解答】解：作点B 关于直线EC 的对称点T ，连接PT ，AT ．∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC ＝∠CBE ＝90°， ∵AB ＝BC ＝BE ＝2， ∴∠CEB ＝45°，∵EB ＝ET ，∠CEB ＝∠CET ＝45°， ∴∠AET ＝90°，∴AT =√AA 2+AA 2=√42+22=2√5， ∴PB ＝PT ，∴P A +PB ＝P A +PT ≥AT ， ∴P A +PB ≥2√5，∴P A +PB 的最小值为2√5， 故选：D ． 3．【解答】解：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ，∵∠AEC ＝∠AED +∠DEC ＝∠B +∠BAE ，∠AED ＝∠B ，∴∠DEC ＝∠BAE ，∴△BAE ∽△CED ，∴AA AA=AA AA ， ∵AB ＝AC ＝6，AD ＝DC ＝3，BE =52， ∴6AA =523， ∴CE =365，故选：C ． 4．【解答】解：如图，延长EF 交BQ 的延长线于G ． ∵AA AA =AA AA ，∴EG ∥BC ，∴∠G ＝∠GBC ，∵∠GBC ＝∠GBP ，∴∠G ＝∠PBG ，∴PB ＝PG ，∴PE +PB ＝PE +PG ＝EG ，∵CQ =14EC ， ∴EQ ＝3CQ ，∵EG ∥BC ，∴△EQG ∽△CQB ，∴AA AA =AA AA =3，∵BC ＝6，∴EG ＝18，∴EP +PB ＝EG ＝18，故选：C ．5．【解答】解：由俯视图易得最底层有4个小正方体，第二层最多有4个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体最多为4+2+2＝8个．故选：B ．6．【解答】解：如图，过点B 作BH ⊥AC 于H 点，作射线HE ，∵△ABC 是等边三角形，BH ⊥AC ，∴AH ＝2＝CH ，∵∠BED ＝∠BHD ＝90°，∴点B ，点D ，点H ，点E 四点共圆，∴∠BHE ＝∠BDE ＝45°，∴点E 在∠AHB 的角平分线上运动，∴当AE ⊥EH 时，AE 的长度有最小值，∵∠AHE ＝45°，∴AH =√2AE ＝2，∴AE 的最小值为√2，故选：B ．二．填空题（共14小题）7．【解答】解：①AC ＝1，∠B ＝30°可知BC =√3，由翻折可知：B ′C ＝BC =√3，因为AB '⊥AC ，由勾股定理可知：AB '=√A′A 2−AA 2=√2，正确．②当点P 位于AB 中点时，CP ＝PB ＝P A ＝AC ＝PB ′，∠B 'P A ＝P AC ＝60°，PB '∥AC ，所以四边形ACPB '是平行四边形，又PC ＝AC ，所以四边形ACPB '是菱形，正确．③当∠B 'P A ＝30°时，可知四边形BCB ′P 是菱形，BP ＝BC =√3；AP ＝2−√3，AA AA =12不成立，故不正确．④当CP ⊥AB 时，∠B '＝∠B 'CA ＝30°，AC ＝AB '，∠ACP ＝∠B ＝30°，设AP ＝a ，则AB '＝AC ＝2a ；AB ＝4a ，PB ＝3a ；所以：AP ：AB '：BP ＝a ：2a ：3a ＝1：2：3，正确．故答案为：①②④．8．【解答】解：设AC ＝BC ＝x ，则CD =AA AAAA =A√33=√3x ，∵∠BAC ＝∠ACD ＝90°，∴∠BAC +∠ACD ＝180°，∴AB ∥CD ，∴△ABE ∽△DCE ，∴AAAA =AA AA =√3A=√33， 故答案为：√33 9．【解答】解：∵AB ：BC ＝3：5，设AB ＝3x ，BC ＝5x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝3x ，AD ＝BC ＝5x ，分两种情况：①当∠CA 1E ＝90°时，△A 1CE 为直角三角形，如图1所示：∵∠DCA 1+∠DA 1C ＝∠DA 1C +∠EA 1N ＝90°，∴∠DCA 1＝∠EA 1N ，由折叠的性质得：AN ＝A 1N ，AE ＝A 1E ，∠EAN ＝∠EA 1N ，∴∠DCA 1＝∠DAC ，∵∠CDA 1＝∠ADC ＝90°，∴△CDA 1∽△ADC ，∴AA 1AA =AA AA ，即AA′3A =3A5A ， ∴DA 1=95x ，∴AN =5A −95A 2=85x ， DN =95x +85x =175x ，∴AN ：DN =817； ②当∠A 1CE ＝90°时，△A 1CE 为直角三角形，如图2所示：∵∠A 1CD +∠CA 1D ＝∠A 1CD +∠ACD ＝90°，∴∠CA 1D ＝∠ACD ，∵∠A 1DC ＝∠CDA ＝90°，∴△A 1DC ∽△CDA ，∴A 1A AA =AA AA ，即A 1A 3A =3A 5A ，∴A 1D =95x ，由折叠的性质得：AN ＝A 1N ，∴DN =12（A 1A ﹣2A 1D ）=12（95x +5x ﹣2×95x ）=85x ， AN ＝AD ﹣DN ＝5x −85x =175x ，∴AN ：DN =178，综上所述，AN ：DN 的值为817或178，故答案为：817或178．10．【解答】解：①：CD '＝BD '时，如图，由折叠性质，得AD ＝AD ′，∠DAE ＝∠D ′AE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠ABC ＝∠DCB ＝90°，∵△BCD ′为等腰三角形，∴D ′B ＝D ′C ，∠D ′BC ＝∠D ′CB ，∴∠DCD ′＝∠ABD ′，在△DD ′C 和△AD ′B 中，{AA =AAAAAA′=AAAA′AA′=AA′，∴△DD ′C ≌△AD ′B ，∴DD ′＝AD ′，∴DD ′＝AD ′＝AD ，∴△ADD ′是等边三角形，∴∠DAD ′＝60°，∴∠DAE ＝30°，∴DE =12AE ， 设DE ＝x ，则AE ＝2x ，（2x ）2﹣x 2＝82，解得：x =8√33，即DE =8√33．②：当CD '＝CB 时，如图，连接AC ，由于AD '＝8，CD '＝8，而AC =√142+82=2√65＞8+8；故这种情况不存在．③当BD '＝BC 时，如图过D '作AB 的垂线，垂足为F ，延长D 'F 交CD 于G ，由于AD '＝BD '，D 'F ＝D 'F ；易知AF ＝BF ，从而由勾股定理求得D 'F =√AA′2−AA 2=√82−72=√15，又易证△AD 'F ∽△D 'EG ，设DE ＝x ，D 'E ＝x ，∴A′A AA′=A′A AA ，即A 8=8−√157； 解得x =64−8√157， 故答案为：8√33或64−8√157．11．【解答】解：分两种情况：①若点A 1在AC 左侧，如图1所示：∵∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，∴AB =√AA 2+AA 2=√82+62=10，∵点D 是AB 的中点，∴AD =12AB ＝5，∵A 1D ⊥AC ，∠C ＝90°∴A 1D ∥BC∴AA AA =AA AA =AA AA =12， ∴AE ＝EC =12AC ＝4，DE =12BC ＝3， ∵将△ADP 沿DP 所在的直线翻折得△A 1DP ，∴A 1D ＝AD ＝5，A 1P ＝AP ，∴A 1E ＝A 1D ﹣DE ＝5﹣3＝2，∴在Rt △A 1PE 中，A 1P 2＝A 1E 2+PE 2，∴AP 2＝22+（4﹣AP ）2，∴AP =52；②若点A 1在AC 右侧，延长A 1D 交AC 于E ，如图2所示：则A 1E ＝DE +A 1D ＝3+5＝8，在Rt △EA 1P 中，A 1P 2＝A 1E 2+EP 2，∴AP 2＝82+（AP ﹣4）2，∴AP ＝10，故答案为：52或10．12．【解答】解：分两种情况：①当DF ⊥BC 时，如图1所示：则DF ∥AC ，∴∠DFE ＝∠AEF ，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，AB ＝5，∴BC ＝3，由折叠的性质得：∠DEF ＝∠AEF ，DE ＝AE ，DF ＝AF ，∴∠DFE ＝∠DEF ，∴DE ＝DF ，∴DE ＝DF ＝AF ＝AE ，设DE ＝DF ＝AF ＝AE ＝x ，∵DF ∥AC ，∴△BDF ∽△BCA ，∴AA AA =AA AA ， ∴AA 3=A 4，解得：BD =34x ，在Rt △CDE 中，由勾股定理得：（4﹣x ）2+（3−34x ）2＝x 2， 解得：x =209，或x ＝20（舍去）， ∴AF =209，BD =53， ∴CD ＝BC ﹣BD =43， 作FG ⊥AE 于G ，则FG ＝CD =43， ∴AG =√AA 2−AA 2=169， ∴EG ＝AE ﹣AG =209−169=49，∴EF =√AA 2+AA 2=4√109； ②当DE ⊥BC 时，如图2所示：此时D 与C 重合，E 为AC 的中点，F 为AB 的中点，∴EF 为△ABC的中位线， ∴EF =12BC =32；综上所述，若△DEF 有一边垂直BC ，则EF 为4√109或32； 故答案为：4√109或2．13．【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，AC ＝8cm ，∴BC ＝6cm ，①若点A '落在BC 上，如图：点A 关于直线PQ 的对称点A '，∵点A 关于直线PQ 的对称点A '，∴A 'Q ＝AQ ，AP ＝A 'P ，∵AP ＝5，∴PC ＝3，A 'C ＝4，A 'B ＝2，∴A 'A ＝4√5，作A 'H 垂直AB ，由勾股定理可得：{A ′A 2−AA 2=A′A 2A′A 2−AA 2=A′A 2A′A 2−AA 2=A′A 2，设AQ ＝AQ '＝x ，BH ＝y ，∴{4−A 2=(4√5)2−(10−A )2A 2−(10−A −A )2=4−A 2， 解得：{A =5011A =65， 故AQ 的长为5011．②若点A '落在AB 上，如图：∵点A 关于直线PQ 的对称点A '，∴PQ ⊥AB ，∴△APQ ～△ABC ，∴AA AA =AA AA ， ∴510=AA 8，∴AQ ＝4． 综上所述：若点A 关于直线PQ 的对称点A '恰好落在△ABC 的边上，则AQ 的长为5011或4cm ．故答案为5011或4．．14．【解答】解：如图1，当点B 关于直线MN 的对称点B '恰好落在等边三角形ABC 的边AB 上时， 则MN ⊥AB ，BN ＝B ′N ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∠ABC ＝60°，∵点M 为边BC 的中点，∴BM =12BC =12AB ＝2， ∴BN =12BM ＝1， 如图2，当点B 关于直线MN 的对称点B '恰好落在等边三角形ABC 的边AC 上时，则MN ⊥BB ′，四边形BMB ′N 是菱形，∵∠ABC ＝60°，点M 为边BC 的中点，∴BN ＝BM =12BC =12AB ＝2，故答案为：1或2．15．【解答】解：∵AB ：BC ＝3：5，设AB ＝3x ，BC ＝5x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝3x ，AD ＝BC ＝5x ，分两种情况：①如图所示，当∠DFE ＝90°时，△DEF 为直角三角形，∵∠CDF +∠CFD ＝∠EFN +∠CFD ＝90°，∴∠CDF ＝∠EFN ，由折叠可得，EF ＝EB ，∴∠EFN ＝∠EBN ，∴∠CDF ＝∠CBD ，又∵∠DCF ＝∠BCD ＝90°，∴△DCF ∽△BCD ，∴AA AA =AA AA ，即AA 3A =3A 5A ，∴CF =95x ， ∴FN =5A −95A 2=8A 5， ∴CN ＝CF +NF =95x +85x =175x ， ∴BN ＝5x −175x =85x ，∴CN ：BN =178； ②如图所示，当∠EDF ＝90°时，△DEF 为直角三角形，∵∠CDF +∠CDB ＝∠CDF +∠CBD ＝90°，∴∠CDF ＝∠CBD ，又∵∠DCF ＝∠BCD ＝90°，∴△DCF ∽△BCD ，∴AA AA =AA AA ，即AA 3A =3A 5A ，∴CF =95x ，∴NF =5A +95A 2=175x ， ∴CN ＝NF ﹣CF =85x ，∴BN ＝5x −85x =175x ， ∴CN ：BN =817， 综上所述，CN ：BN 的值为178或817，故答案为：178或817．16．【解答】解：①当AP ＝PF 时，易得△ABP ≌△PCF ，则PC ＝AB ＝6，故PB ＝2． ②当AF ＝PF 时，△ABC ∽△F AP ，∴AA AA =AA AA =68，即PC =92． ∴PB =72． ③当AF ＝AP 时，点P 与点B 重合，不合题意．综上所述，PB 的长为2或72．故答案是：2或72． 17．【解答】解：当点F 在AD 上时，S △AMF =12AF •AB =12×1×AF ，∴当AF 取最大值时，△AMF 的面积最大，∴AF ＝6即点F 与点D 重合．如图所示：由翻折的性质可知：FM ＝AF ＝6．在Rt △FMC 中，MC =√AA 2−AA 2=√62−12=√35．故答案为：√35．18．【解答】解：小球沿着坡面向下前进了10m 假设到A 处，过C 作CB ⊥AB ， ∵i ＝1：3，∴tan A =AA AA =13， 设BC ＝xcm ，AB ＝3xcm ，x 2+（3x ）2＝102，解得：x =√10或x =−√10（不合题意，舍去），故答案为：√10．19．【解答】解：DF ∥AC ，或∠BFD ＝∠A ．理由：∵∠A ＝∠A ，AA AA =AA AA ，∴△ADE ∽△ACB ，∴①当DF ∥AC 时，△BDF ∽△BAC ，∴△BDF ∽△EAD ．②当∠BFD ＝∠A 时，∵∠B ＝∠AED ，∴△FBD ∽△AED ．故答案为DF ∥AC ，或∠BFD ＝∠A ．20．【解答】解：要使△BEF 与△OFE 相似，设OD ＝t ， ∵∠FEO ＝∠FEB ＝90°，∴只要AA AA =AA AA 或AA AA =AA AA ，即：BE ＝2t 或AA =12t ， ①当BE ＝2t 时，BO ＝4t ，∵△BEF ～△OFE ，∴AA AA =AA AA ，∴2A 2−A =4A ，∴t 1＝0（舍去）或t 2＝1.5，∴B （6，0）．②当AA =12t 时， （ⅰ）当B 在E 的左侧时，AA =AA −AA =32A ， ∵△BEF ～△OFE ，∴AA AA =AA AA ， ∴2A 2−A =32A ，∴t 1＝0（舍去）或t 2=23．∴B （1，0）．（ⅱ）当B 在E 的右侧时，AA =AA +AA =52A ， ∵△BEF ～△OFE ，∴AA AA =AA AA ， ∴2A 2−A =52A ，∴t 1＝0（舍去）或t 2=65， ∴B （3，0）．综上，B （1，0）（3，0）（6，0）．故答案为：（1，0）（3，0）（6，0）．三．解答题（共14小题）21．【解答】解：（1）如图，△A ′B ′C ′即为所求．（2）如图，△DEF 即为所求．（3）△A ′B ′C ′与△DEF 成中心对称，对称中心是线段OD 与线段FC ′的交点．22．【解答】解：如图，过B 作BE ⊥PD 于E ，在Rt △APD 中，由tan60°=600AA，得AD ＝600÷tan60°＝200√3（米）， CD ＝BE ＝286√3−200√3=86√3（米），在Rt △PBE 中，由tan70°=AA AA 得，PE ＝86×1.73×2.75≈409.1（米），∴BC ＝600﹣409.1≈191（米），答：建筑物BC 的高为191米．23．【解答】解：（1）如图，线段A ′B ′即为所求．（2）如图，矩形A ′B ′CD 即为所求（答案不唯一）．24．【解答】解：（1）【问题发现】①如图1，∵∠AOB ＝∠COD ＝40°，∴∠COA ＝∠DOB ，∵OC ＝OD ，OA ＝OB ，∴△COA ≌△DOB （SAS ），∴AC ＝BD ，∴AA AA =1；②∵△COA ≌△DOB ，∴∠CAO ＝∠DBO ，∵∠AOB ＝40°，∴∠OAB +∠ABO ＝140°，在△AMB 中，∠AMB ＝180°﹣（∠CAO +∠OAB +∠ABD ）＝180°﹣（∠DBO +∠OAB +∠ABD ）＝180°﹣140°＝40°，故答案为：①1；②40°；（2）【类比探究】如图2，AA AA =√3，∠AMB ＝90°，理由是： Rt △COD 中，∠DCO ＝30°，∠DOC ＝90°， ∴AA AA =tan30°=√33， 同理得：AA AA =tan30°=√33， ∴AA AA =AA AA ，∵∠AOB ＝∠COD ＝90°，∴∠AOC ＝∠BOD ，∴△AOC ∽△BOD ，∴AA AA =AA AA =√3，∠CAO ＝∠DBO ，在△AMB 中，∠AMB ＝180°﹣（∠MAB +∠ABM ）＝180°﹣（∠OAB +∠ABM +∠DBO ）＝90°；（3）【实际应用】①点C 与点M 重合时，如图3，同理得：△AOC ∽△BOD ，∴∠AMB ＝90°，AA AA =√3，设BD ＝x ，则AC =√3x ，Rt △COD 中，∠OCD ＝30°，OD ＝1，∴CD ＝2，BC ＝x ﹣2，Rt △AOB 中，∠OAB ＝30°，OB =√7，∴AB ＝2OB ＝2√7，在Rt △AMB 中，由勾股定理得：AC 2+BC 2＝AB 2，∴（√3x ）2+（x ﹣2）2＝（2√7）2，x 2﹣x ﹣6＝0，∴（x ﹣3）（x +2）＝0，∴x 1＝3，x 2＝﹣2，∴AC ＝3√3；②点C 与点M 重合时，如图4，同理得：∠AMB ＝90°，AA AA =√3，设BD ＝x ，则AC =√3x ，在Rt △AMB 中，由勾股定理得：AC 2+BC 2＝AB 2，∴（√3x ）2+（x +2）2＝（2√7）2，∴x 2+x ﹣6＝0，∴（x +3）（x ﹣2）＝0，∴x 1＝﹣3，x 2＝2，∴AC ＝2√3；综上所述，AC 的长为3√3或2√3．25．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；（3）∵P（a，b）是△ABC的AC边上的一点，∴将△ABC向右平移1个单位再向下平移5个单位后得到对应的点的坐标为：（a+1，b﹣5），∴（a+1，b﹣5）关于y轴对称点的坐标为：（﹣a﹣1，b﹣5）．26．【解答】解：（1）△A₁B₁C₁如下图所示；A₁的坐标为（2，1），B₁的坐标为（3，﹣3）．（2）△A₂B₂C₂如下图所示：27．【解答】解：（1）过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵∠B ＝30°，∴cos ∠B =AA AA =√32， ∴BD =√32AB ，∵△ABC 是等腰三角形，∴BC ＝2BD =√3AB ，故can 30°=AA AA =√3；（2）过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵canB =85，则可设BC ＝8x ，AB ＝5x ，∴AE =√AA 2−AA 2=3x ，∵S △ABC ＝24，∴12BC ×AE ＝12x 2＝24， 解得：x =√2，故AB ＝AC ＝5√2，BC ＝8√2，从而可得△ABC 的周长为18√2．28．【解答】（1）证明：如图1，∵∠AEB ＝90°，EG ⊥DE ，∴∠AEB ＝∠DEG ＝90°，∴∠AEH ＝∠BEG ，∵BC ⊥AQ ，∴∠AEQ ＝∠BCQ ＝90°，∵∠AQE ＝∠BQC ，∴∠EAH ＝∠EBG ，∴△AEH ∽△BEG ；（2）解：∵∠BFE ＝∠AEB ＝90°，∴tan ∠EBF =AA AA =AA AA ， ∵△AEH ∽△BEG ， ∴AA AA =AA AA ， ∴AA AA=AA AA ∵BF ＝6，BG ＝5．EF ＝3， ∴36=AA 5，∴AH =52：（3）如图2，延长FE 、BC ，交于点M ，作GN ⊥EF 于点N ，∵BF ＝6，cos ∠FBG =35，∴cos ∠FBG =AA AA =35， ∴6AA =35 ∴BM ＝10，∴MF =√AA 2−AA 2=8，∵BG ＝5，∴点G 为BM 中点∴点N 为MF 的中点，∴NG =12BF =12×6=3，NF =12MF =12×8=4， ∵∠ENG ＝∠DEG ＝∠DFE ＝90°，∴∠NEG +∠NGE ＝90°，∠NEG +∠FED ＝90°，∴∠NGE ＝∠FED ，∴△ENG ∽△DFE ，∴AA AA=AA AA 设EF ＝a ， ∴3A =4−A AA∴DF =13A （4﹣a ）=43 解得a ＝2∴EF ＝2．29．【解答】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求，点A 的对应点A 1的坐标为（﹣1，4）（2）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求；（3）由题可得，△A 2B 2C 2中，A 2B 2边上的高为：√13=4√1313， ∴sin ∠B 2A 2C 2=4√1313√5=4√6565． 故答案为：4√6565．30．【解答】解：在R △BCF 中，∠CBF ＝45°，∴BC ＝FC ，在Rt △CBE 中，设BC ＝FC ＝x ，∵∠CBE ＝61°，∴CE ＝BC tan ∠CBE ＝1.8x ，在Rt △CAE 中，AAA ∠AAA =AAAA ，∵∠CAE ＝31°，AB ＝48，∴0.6=1.8A A +48， ∴x ＝24，∴EF ＝CE ﹣FC ＝0.8x ＝19.2（米），答：旗杆EF 的长为19.2米．31．【解答】解：过点A 作AM ⊥EF 于M ，过点C 作CN ⊥EF 于N ，∵AB ＝1.6米，CD ＝1.75米，∴MN ＝0.15米，∵∠EAM ＝45°，∴AM ＝ME ，设AM ＝ME ＝x 米，∵BD ＝30米∴CN ＝（x +30）米，EN ＝（x ﹣0.15）米，∵∠ECN ＝15°， ∴tan ∠ECN =AA AA =A −0.15A +30，解得：x ≈11.3，则EF ＝EM +MF ＝11.3+1.6＝12.9（米）． 答：旗杆的高EF 为12.9米．32．【解答】解：（1）如图所示：（2）点A 在（1）的图形变换过程中所经过的路径是一段圆弧，其半径为2√5，圆心角为90°， 所以长度为90⋅A ×2√5180=√5A ．33．【解答】解：（1）图4中，特征点的个数为17，在n 个图中，特征点个数为4n +1．故答案为17.4n +1．（2）由题意可知x 1=√3，x 2＝2√3，x 3＝3√3，…，x n ＝n √3，∴图2018的对称中心的横坐标为2018√3，故答案为√3，2018√3．34．【解答】解：（1）如图所示，△EFB 即为所求；（2）如图所示，△BCG 即为所求；（3）如图所示，将△ABP 绕点A 顺时针旋转60°得到△ACD ，连接PD ，∴△ADP 是等边三角形，CD ＝BP ，∴∠APD ＝60°，AP ＝DP ，∵P A 2+PC 2＝PB 2，∴PD 2+PC 2＝CD 2，∴△CPD 是直角三角形，∴∠CPD ＝90°，∴∠APC ＝∠APD +∠CPD ＝60°+90°＝150°．故答案为：150．。
2020年四川省凉山州中考数学试卷 (解析版)
2020年四川省凉山州中考数学试卷一、选择题（共12小题）.1．﹣12020＝（）A．1B．﹣1C．2020D．﹣20202．如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）A．B．C．D．3．点P（2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，2）4．已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（）A．﹣1B．3C．﹣1和3D．1和35．一元二次方程x2＝2x的根为（）A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝0或x＝﹣2 6．下列等式成立的是（）A．＝±9B．|﹣2|＝﹣+2C．（﹣）﹣1＝﹣2D．（tan45°﹣1）0＝17．若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（）A．m＞﹣B．m＜3C．﹣＜m＜3D．﹣＜m≤3 8．点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD 的长为（）A．10cm B．8cm C．10cm或8cm D．2cm或4cm 9．下列命题是真命题的是（）A．顶点在圆上的角叫圆周角B．三点确定一个圆C．圆的切线垂直于半径D．三角形的内心到三角形三边的距离相等10．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tan A的值为（）A．B．C．2D．211．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（）A．2：B．：C．：D．：212．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③3b﹣2c＜0；④am2+bm≥a+b（m为实数）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．函数y＝中，自变量x的取值范围是．14．因式分解：a3﹣ab2＝．15．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则▱ABCD的周长等于．16．如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积是π，则半圆的半径OA的长为．17．如图，矩形OABC的面积为，对角线OB与双曲线y＝（k＞0，x＞0）相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k的值为．三、解答题（本大题共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．解方程：x﹣＝1+．19．化简求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x+2）2+4（x+3），其中x＝．20．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？21．某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为；（2）补全条形统计图；（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．22．如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．（1）求证：DH是半圆的切线；（2）若DH＝2，sin∠BAC＝，求半圆的直径．四、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）23．若不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是．24．如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为．五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．26．如图，已知直线l：y＝﹣x+5．（1）当反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．（2）若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线1在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5＜的解集．27．如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）求证：＝＝＝2R；（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．28．如图，二次函数y＝ax2+bx+x的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD 于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．1．﹣12020＝（）A．1B．﹣1C．2020D．﹣2020【分析】根据有理数的乘方运算，即可得出答案．解：﹣12020＝﹣1．故选：B．2．如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）A．B．C．D．【分析】根据左视图是从物体左面看所得到的图形，分别得出四个几何体的左视图，即可解答．解：A、圆柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意；B、三棱锥的左视图是三角形，故本选项符合题意；C、三棱柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意；D、正方体的左视图是正方形，故本选项不符合题意．故选：B．3．点P（2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，2）【分析】关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．据此即可得出答案．解：点P（2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（2，﹣3）．故选：A．4．已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（）A．﹣1B．3C．﹣1和3D．1和3【分析】先根据算术平均数的定义列出关于x的方程，解之求出x的值，从而还原这组数据，再利用众数的概念求解可得．解：∵数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，∴1+0+3﹣1+x+2+3＝7×1，解得x＝﹣1，则这组数据为1，0，3，﹣1，﹣1，2，3，∴这组数据的众数为﹣1和3，故选：C．5．一元二次方程x2＝2x的根为（）A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝0或x＝﹣2【分析】移项后利用因式分解法求解可得．解：∵x2＝2x，∴x2﹣2x＝0，则x（x﹣2）＝0，∴x＝0或x﹣2＝0，解得x1＝0，x2＝2，故选：C．6．下列等式成立的是（）A．＝±9B．|﹣2|＝﹣+2C．（﹣）﹣1＝﹣2D．（tan45°﹣1）0＝1【分析】根据算术平方根的定义、绝对值的性质、负整数指数幂和零指数幂的规定逐一判断即可得．解：A．＝9，此选项计算错误；B．|﹣2|＝﹣2，此选项错误；C．（﹣）﹣1＝﹣2，此选项正确；D．（tan45°﹣1）0无意义，此选项错误；故选：C．7．若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（）A．m＞﹣B．m＜3C．﹣＜m＜3D．﹣＜m≤3【分析】根据题意得到关于m的不等式组，然后解不等式组即可．解：根据题意得，解得﹣＜m≤3．故选：D．8．点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD 的长为（）A．10cm B．8cm C．10cm或8cm D．2cm或4cm 【分析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论．解：∵C是线段AB的中点，AB＝12cm，∴AC＝BC＝AB＝×12＝6（cm），点D是线段AC的三等分点，①当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD＝BC+AC＝6+4＝10（cm）；②当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD′＝BC+AC＝6+2＝8（cm）．所以线段BD的长为10cm或8cm，故选：C．9．下列命题是真命题的是（）A．顶点在圆上的角叫圆周角B．三点确定一个圆C．圆的切线垂直于半径D．三角形的内心到三角形三边的距离相等【分析】根据圆周角定理、圆的条件、三角形内心以及切线的性质判断即可．解：A、顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角，原命题是假命题；B、不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题；C、圆的切线垂直于过切点的半径，原命题是假命题；D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，是真命题；故选：D．10．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tan A的值为（）A．B．C．2D．2【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根据三角函数的意义可求出tan A的值．解：如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，AD＝＝2，BD＝＝，∴tan A＝＝＝，故选：A．11．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（）A．2：B．：C．：D．：2【分析】连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，由垂径定理得出AH＝BH＝AB，证出△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH＝60°，AH＝BH＝AB，得出AD＝OA，AH＝OA，则AB＝2AH＝OA，进而得出答案．解：连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示：则AH＝BH＝AB，∵正方形ABCD和等边三角形AEF都内接于⊙O，∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°，∵OA＝OD＝OB，∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH＝×120°＝60°，∴AD＝OA，AH＝OA•sin60°＝OA，∴AB＝2AH＝2×OA＝OA，∴＝＝，故选：B．12．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③3b﹣2c＜0；④am2+bm≥a+b（m为实数）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定2a+b＝0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c；然后由图象顶点坐标确定am2+bm与a+b的大小关系．解：①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，∵c＜0∴abc＞0故①正确；②∵对称轴x＝﹣＝1，∴2a+b＝0；故②正确；③∵2a+b＝0，∴a＝﹣b，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴﹣b﹣b+c＞0∴3b﹣2c＜0故③正确；④根据图象知，当x＝1时，y有最小值；当m为实数时，有am2+bm+c≥a+b+c，所以am2+bm≥a+b（m为实数）．故④正确．本题正确的结论有：①②③④，4个；故选：D．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．函数y＝中，自变量x的取值范围是x≥﹣1．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．解：由题意得，x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．14．因式分解：a3﹣ab2＝a（a+b）（a﹣b）．【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．解：a3﹣ab2＝a（a2﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b）．15．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则▱ABCD的周长等于16．【分析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，证OE是△ABD的中位线，则AB＝2OE，AD＝2AE，求出AE+OE＝4，则AB+AD＝2AE+2OE＝8，即可得出答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，∵OE∥AB，∴OE是△ABD的中位线，∴AB＝2OE，AD＝2AE，∵△AOE的周长等于5，∴OA+AE+OE＝5，∴AE+OE＝5﹣OA＝5﹣1＝4，∴AB+AD＝2AE+2OE＝8，∴▱ABCD的周长＝2×（AB+AD）＝2×8＝16；故答案为：16．16．如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积是π，则半圆的半径OA的长为3．【分析】连接OC、OD，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，列式计算就可．解：连接OC、OD、CD．∵△COD和△CBD等底等高，∴S△COD＝S△BCD．∵点C，D为半圆的三等分点，∴∠COD＝180°÷3＝60°，∴阴影部分的面积＝S扇形COD，∵阴影部分的面积是π，∴＝π，∴r＝3，故答案为3．17．如图，矩形OABC的面积为，对角线OB与双曲线y＝（k＞0，x＞0）相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k的值为12．【分析】设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n），根据矩形OABC的面积即可求得mn的值，把D的坐标代入函数解析式y＝即可求得k的值．解：设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n）．∵矩形OABC的面积为，∴5m•5n＝，∴mn＝．把D的坐标代入函数解析式得：3n＝，∴k＝9mn＝9×＝12．故答案为12．三、解答题（本大题共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．解方程：x﹣＝1+．【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可．解：去分母，得：6x﹣3（x﹣2）＝6+2（2x﹣1），去括号，得：6x﹣3x+6＝6+4x﹣2，移项，得：6x﹣3x﹣4x＝6﹣6﹣2，合并同类项，得：﹣x＝﹣2，系数化为1，得：x＝2．19．化简求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x+2）2+4（x+3），其中x＝．【分析】先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则展开，再去括号、合并同类项即可化简原式，继而将x的值代入计算可得答案．解：原式＝4x2﹣9﹣（x2+4x+4）+4x+12＝4x2﹣9﹣x2﹣4x﹣4+4x+12＝3x2﹣1，当x＝时，原式＝3×（）2﹣1＝3×2﹣1＝6﹣1＝5．20．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？【分析】根据正方形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为xmm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．解：∵四边形EGFH为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴＝，∴＝，解得：x＝48．答：正方形零件的边长为48mm．21．某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品24件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为150°；（2）补全条形统计图；（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．【分析】（1）根据第一批所抽取的B班级的作品数量及其所占百分比可得征集作品的总数量，再求出C班级作品数量，从而用360°乘以C班级作品数所占比例即可得出答案；（2）根据以上所求结果即可补全条形图；（3）列表得出所有等可能结果，从中找到抽取的作品来自两个不同班级的结果数，再利用概率公式求解可得．解：（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品6÷25%＝24（件），则C班级作品数为24﹣（4+6+4）＝10（件），∴在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为360°×＝150°，故答案为：24、150°；（2）补全图形如下：（3）列表如下：A B B C C DA BA BA CA CA DAB AB BB CB CB DBB AB BB CB CB DBC AC BC BC CC DCC AC BC BC CC DCD AD BD BD CD CD由表可知，共有30种等可能结果，其中抽取的作品来自两个不同班级的有26种结果，∴抽取的作品来自两个不同班级的概率为＝．22．如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．（1）求证：DH是半圆的切线；（2）若DH＝2，sin∠BAC＝，求半圆的直径．【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠DAO＝∠ADO，根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠OAD，等量代换得到∠CAD＝∠ADO，求得AH∥OD，根据平行线的性质得到OD⊥DH，于是得到结论；（2）连接BC交OD于E，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，推出四边形CEDH是矩形，得到CE＝DH＝2，∠DEC＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ADO，∴AH∥OD，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH是半圆的切线；（2）解：连接BC交OD于E，∵AB是半圆AOB的直径，∴∠ACB＝90°，∴四边形CEDH是矩形，∴CE＝DH＝2，∠DEC＝90°，∴OD⊥BC，∴BC＝2CE＝4，∵sin∠BAC＝＝，∴AB＝12，即半圆的直径为12．四、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）23．若不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是﹣≤a＜﹣．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组有4个整数解可得关于a的不等式组，解不等式组可得a的范围．解：解不等式2x＜3（x﹣3）+1，得：x＞8，解不等式＞x+a，得：x＜2﹣4a，∵不等式组有4个整数解，∴12＜2﹣4a≤13，解得：﹣≤a＜﹣，故答案为：﹣≤a＜﹣．24．如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为10．【分析】先根据勾股定理计算ED的长，当E、P、D共线时，DP最小，即最短距离是此时PD的长．解：如图，连接PD，DE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝8，BE＝3，∴AE＝5，∵AD＝12，∴DE＝＝13，由折叠得：EB＝EP＝3，∵EP+DP≥ED，∴当E、P、D共线时，DP最小，∴DP＝DE﹣EP＝13﹣3＝10；故答案为：10．五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP即可；（2）先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝60°；（3）先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝120°．解：（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ与△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△ACM的外角，∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC∵∠BAC＝60°，∴∠QMC＝60°；（3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△APM的外角，∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°，即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．26．如图，已知直线l：y＝﹣x+5．（1）当反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．（2）若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线1在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5＜的解集．【分析】（1）由题意得：△＝25﹣4k≥0，即可求解；（2）设点A（m，﹣m+5），而x2﹣x1＝3，则点B（m+3，﹣m+2），点A、B都在反比例函数上，故m（﹣m+5）＝（m+3）（﹣m+2），即可求解．解：（1）将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：x2﹣5x+k＝0，由题意得：△＝25﹣4k≥0，解得：k≤，故k的取值范围0＜k≤；（2）设点A（m，﹣m+5），而x2﹣x1＝3，则点B（m+3，﹣m+2），点A、B都在反比例函数上，故m（﹣m+5）＝（m+3）（﹣m+2），解得：m＝1，故点A、B的坐标分别为（1，4）、（4，1）；将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝4×1＝4，观察函数图象知，当﹣x+5＜时，0＜x＜1或x＞4．27．如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）求证：＝＝＝2R；（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．【分析】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，根据三角函数的定义得到sin A＝sin E＝＝，求得＝2R，同理：＝2R，＝2R，于是得到结论；（2）由（1）得：＝，得到AB＝＝4，2R＝＝8，过B作BH⊥AC于H，解直角三角形得到AC＝AH+CH＝2（），根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，∴sin A＝sin E＝＝，∴＝2R，同理：＝2R，＝2R，∴＝＝＝2R；（2）解：由（1）得：＝，即＝＝2R，∴AB＝＝4，2R＝＝8，过B作BH⊥AC于H，∵∠AHB＝∠BHC＝90°，∴AH＝AB•cos60°＝4×＝2，CH＝BC＝2，∴AC＝AH+CH＝2（），∴sin∠B＝＝＝．28．如图，二次函数y＝ax2+bx+x的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD 于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．【分析】（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°，则OB中垂线（CD）与x负半轴的夹角为60°，故设CD的表达式为：y＝﹣x+b，而OB中点的坐标为（，），将该点坐标代入CD表达式，即可求解；（3）过点P作y轴额平行线交CD于点H，PH＝﹣x+﹣（x2﹣x）＝﹣x2﹣x+，即可求解．解：（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x；（2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°，则OB中垂线（CD）与x负半轴的夹角为60°，故设CD的表达式为：y＝﹣x+b，而OB中点的坐标为（，），将该点坐标代入CD表达式并解得：b＝，故直线CD的表达式为：y＝﹣x+；（3）过点P作y轴额平行线交CD于点H，设点P（x，x2﹣x），则点H（x，﹣x+），则PH＝﹣x+﹣（x2﹣x）＝﹣x2﹣x+，∵＜0，故PH有最大值，此时点P的坐标为（﹣，）．。
山东省聊城2020年中考数学试题(原卷版)
2020年山东省聊城初中毕业生学业考试数学试题卷一、选择题（本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1.在实数1-，2-，0，14中，最小的实数是（ ）． A. 1- B. 14 C. 0 D. 2- 2.如图所示的几何体的俯视图是（ ）A .B. C. D. 3.如图，在ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝65°，点D 是BC 边上任意一点，过点D 作DF ∥AB 交AC 于点E ，则∠FEC 的度数是（ ） A. 120° B. 130° C. 145° D. 150° 4.下列计算正确的是（ ）． A. 236a a a ⋅= B. 623a a a --÷= C. ()323628ab a b -=-D. 222(2)4a b a b +=+ 5.为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（ ） 成绩/分 84 88 92 96 100人数/人 2 4 9 10 5A. 92分，96分B. 94分，96分C. 96分，96分D. 96分，100分6.计算345335÷⨯的结果正确的是（）．A. 1B.53C. 5D. 97.如图，在45⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin ACB∠的值为（）．A.35B.17C.35D.458.用配方法解一元二次方程22310x x--=，配方正确的是（）．A.2317416x⎛⎫-=⎪⎝⎭B.23142x⎛⎫-=⎪⎝⎭C.231324x⎛⎫-=⎪⎝⎭D.231124x⎛⎫-=⎪⎝⎭9.如图，AB是O的直径，弦CD AB⊥，垂足为点M．连接OC，DB．如果OC//DB，23OC=，那么图中阴影部分的面积是（）．A. πB. 2πC. 3πD. 4π10.如图，有一块半径为1m，圆心角为90︒的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）．A. 1m 4B. 3m 4C. 15m 4D. 3m 211.人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n 个图形用图表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（ ）．…A. 150B. 200C. 355D. 50512.如图，在Rt ABC △中，2AB =，30C ∠=︒，将Rt ABC △绕点A 旋转得到Rt A B C '''∆，使点B 的对应点B '落在AC 上，在B C ''上取点D ，使2B D '=，那么点D 到BC 的距离等于（ ）．A. 321⎫+⎪⎪⎝⎭31+ 31 31 二、填空题13.因式分解：(2)2x x x --+=________．14.如图，在O 中，四边形OABC 为菱形，点D 在AmC 上，则ADC ∠的度数是________．15.计算：21 11aa a a⎛⎫+÷=⎪--⎝⎭________．16.某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是________．17.如图，在直角坐标系中，点(1,1)A，(3,3)B是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA CB=，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD 的周长最小，这个最小周长的值为________．三、解答题18.解不等式组131722324334x xx x x⎧+<-⎪⎪⎨--⎪≥+⎪⎩，并写出它的所有整数解．19.为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课．按照类别分为：A“剪纸”、B“沙画”、C“葫芦雕刻”、D“泥塑”、E“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量为________；统计图中的a=________，b=________；（2）通过计算补全条形统计图；（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．20.今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．21.如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，且AF＝AD，连接BF，求证：四边形ABFC是矩形．22.如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量．先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D 的仰角为45°．居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）23.如图，已知反比例函数kyx=的图象与直线y ax b=+相交于点(2,3)A-，(1,)B m．（1）求出直线y ax b =+的表达式；（2）在x 轴上有一点P 使得PAB △的面积为18，求出点P 的坐标．24.如图，在ABC 中，AB ＝BC ，以△ABC 边AB 为直径作⊙O ，交AC 于点D ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ．（1）试证明DE 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为5，AC ＝610，求此时DE 的长．25.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的图象与x 轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，其对称轴与线段BC 交于点E ．垂直于x 轴的动直线l 分别交抛物线和线段BC 于点P 和点F ，动直线l 在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x 轴正方向移动到B 点．（1）求出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4和BC 所在直线的表达式； （2）在动直线l 移动的过程中，试求使四边形DEFP 为平行四边形的点P 的坐标； （3）连接CP ，CD ，在移动直线l 移动的过程中，抛物线上是否存在点P ，使得以点P ，C ，F 为顶点的三角形与DCE 相似，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由．数学参考答案与解析 一、选择题（本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1.在实数1-，2-，0，14中，最小的实数是（ ）． A. 1-B. 14C. 0D. 2-【答案】D【解析】【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】∵10124>>->-， ∴在实数1-，2-，0，14中，最小的实数是2-， 故选：D ．【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2.如图所示的几何体的俯视图是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】找到从几何体的上面看所得到的图形即可．【详解】从上面看几何体所得到的图形为俯视图，其中看得见的轮廓画实线，选项C符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图所看的位置．3.如图，在ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（）A. 120°B. 130°C. 145°D. 150°【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，利用平行线的性质得到∠EDC＝∠B，利用三角形的外角性质即可求解．【详解】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝65°，∵DF∥AB，∴∠ EDC＝∠B＝65°，∴∠FEC ＝∠EDC ＋∠C ＝65°＋65°＝130°．故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角性质，需熟练掌握．4.下列计算正确的是（ ）．A. 236a a a ⋅=B. 623a a a --÷=C. ()323628ab a b -=- D. 222(2)4a b a b +=+ 【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式逐一分析即可．【详解】A ．23235a a a a +⋅==，该项不符合题意；B ．()86622a a a a ---÷==，该项不符合题意；C ．()()()33323236228ab a b a b -=-⋅⋅=-，该项符合题意； D ．222(2)44a b a ab b +=++，该项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式等内容，解题的关键是掌握运算法则．5.为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（ ）A. 92分，96分B. 94分，96分C. 96分，96分D. 96分，100分【答案】B【解析】【分析】根据中位数的定义和众数的定义分别求解即可．【详解】解：由统计表得共有30个数据，第15、16个数据分别是92,96，∴中位数是9296=942+；由统计表得数据96出现的次数最多，∴众数为96．故选：B【点睛】本题考查了求一组数据的中位数和众数．中位数是将一组数据由小到大（由大到小）排序后，位于中间位置的数据，当有偶数个数据时，取中间两数的平均数；众数是一组数据出现次数最多的数．6.）．A. 1B. 53C. 5D. 9【答案】A【解析】【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．÷=÷=1=，故选：A．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．7.如图，在45⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin ACB∠的值为（）．A. 35B. 17C. 35D. 45 【答案】D【解析】【分析】过点A 作AD BC ⊥于点D ，在Rt ACD △中，利用勾股定理求得线段AC 的长，再按照正弦函数的定义计算即可．【详解】解：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，则90ADC ∠=︒，∴225AC AD CD =+=，∴4sin 5AD ACB AC ∠==， 故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．8.用配方法解一元二次方程22310x x --=，配方正确的是（ ）．A. 2317416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B. 23142x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C. 231324x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D. 231124x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【答案】A【解析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案.【详解】解：22310x x --=移项得2231x x -=，二次项系数化1的23122x x -=， 配方得22233132424x x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即2317416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 故选：A【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．9.如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为点M ．连接OC ，DB ．如果OC//DB ，23OC =，那么图中阴影部分的面积是（ ）．A. πB. 2πC. 3πD. 4π 【答案】B【解析】【分析】根据AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，由垂径定理得CM DM =，再根据OC//DB 证得MCO CDB ∠=∠，即可证明OMC BMD ≅△△，即可得出OBC S S =阴影扇形．【详解】解：AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，90OMC ∴∠=︒，CM DM =．90MOC MCO ∴∠+∠=︒MCO CDB ∴∠=∠ 又12CDB BOC∠=∠ 1902MOC MOC ∴∠+∠=︒ 60MOC ∴∠=︒在OMC △和BMD 中， OCM BDM CM DMOMC BMD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩OMC BMD ∴≅△△，OMC BMD S S ∴=△△()260232360OBC S S ππ⨯⨯∴===阴影扇形故选：B【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的性质，全等三角形的判定，扇形的面积，等积变换，解此题的关键是证出OMC BMD S S =△△，从而将阴影部分的面积转化为扇形OBC 的面积，题目比较典型，难度适中．10.如图，有一块半径为1m ，圆心角为90︒的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）．A. 1m 4B. 3m 4 15 3 【答案】C【解析】【分析】首先利用扇形的弧长公式求得圆锥的底面周长，求得底面半径的长，然后利用勾股定理求得圆锥的高．【详解】解：设圆锥的底面周长是l ，则l=9011801802n r πππ⨯⨯==m ， 则圆锥的底面半径是：()1224ππ÷=m ， 则圆锥的高是：2211514⎛⎫-= ⎪⎝⎭m ． 故选：C ．【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．11.人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n 个图形用图表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（ ）．…A. 150B. 200C. 355D. 505【答案】C【解析】【分析】 由图形可知图①中白色小正方形地砖有12块，图②中白色小正方形地砖有12+7块，图③中白色小正方形地砖有12+7×2块，…，可知图中白色小正方形地砖有12+7(n-1)=7n+5，再令n=50，代入即可．【详解】解：由图形可知图中白色小正方形地砖有12+7(n-1)=7n+5（块）当n=50时，原式=7×50+5=355（块）故选：C【点睛】考查了规律型：图形的变化，解决这类问题首先要从简单图形入手，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．12.如图，在Rt ABC △中，2AB =，30C ∠=︒，将Rt ABC △绕点A 旋转得到Rt A B C '''∆，使点B 的对应点B '落在AC 上，在B C ''上取点D ，使2B D '=，那么点D 到BC 的距离等于（ ）．A. 3213⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭B. 313+ 31 31【答案】D【解析】【分析】 根据旋转的性质和30°角的直角三角形的性质可得AB '的长，进而可得B C '的长，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，过点B '作B E BC '⊥于点E ，B F DM '⊥于点F ，如图，则四边形B EMF '是矩形，解Rt △B EC '可得B E '的长，即为FM 的长，根据三角形的内角和易得30B DN C '∠=∠=︒，然后解Rt △B DF '可求出DF 的长，进一步即可求出结果．【详解】解：在Rt ABC △中，∵2AB =，30C ∠=︒，∴AC =2AB =4，∵将Rt ABC △绕点A 旋转得到Rt A B C '''∆，使点B 的对应点B '落在AC 上， ∴2AB AB '==，∴2B C '=，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，过点B '作B E BC '⊥于点E ，B F DM '⊥于点F ，交AC 于点N ，如图，则四边形B EMF '是矩形，∴FM B E '=，在Rt △B EC '中，1sin 30212B E BC ''=⋅︒=⨯=，∴FM =1， ∵90,DB N CMN B ND MNC ''∠=∠=︒∠=∠，∴30B DN C '∠=∠=︒，在Rt △B DF '中，3cos3023DF B D '=⋅︒=⨯=， ∴13DM FM DF =+=+，即点D 到BC 的距离等于31+．故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形、矩形的判定和性质以及旋转的性质等知识，正确作出辅助线、熟练掌握解直角三角形的知识是解题的关键．二、填空题13.因式分解：(2)2x x x --+=________．【答案】(2)(1)x x --【解析】【分析】先把二、三两项分为一组，提取一个负号，再提取公因式(2)x -即可．【详解】解：原式(2)(2)x x x =---(2)(1)x x =--【点睛】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．14.如图，在O 中，四边形OABC 为菱形，点D 在AmC 上，则ADC ∠的度数是________．【答案】60︒【解析】【分析】连接OB ，证明△OAB ，△OBC 都是等边三角形，得到∠AOC=120°，进而求出ADC ∠．【详解】解：连接OB ，∵四边形OABC 为菱形，OA=OB ，∴OA=OB=OC=AB=BC,∴△OAB ，△OBC 都是等边三角形，∴∠AOB=∠BOC=60°，∴∠AOC=120°，∵=AC AC ， ∴1602ADC AOC ∠=∠=︒ ．故答案为：60°【点睛】本题考查了菱形的性质，圆的半径都相等，圆周角定理，等边三角形性质，综合性较强．解题关键是连接OB ，得到△OAB ，△OBC 都是等边三角形．15.计算：2111a a a a ⎛⎫+÷= ⎪--⎝⎭________． 【答案】a -【解析】【分析】分式的混合运算，根据分式的加减乘除混合运算法则可以解答本题，括号里先通分运算，再进行括号外的除法运算，即可解答本题.【详解】解：2a 111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭=21a a 11a 1a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭－－ =2111a aa ÷-－ =()1×a a 11a－－ =−a故答案是：-a【点睛】本题考查的是分式的混合运算，能正确运用运算法则是解题的关键.16.某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是________．【答案】13【解析】【分析】先画出树状图求出所有等可能的结果数，再找出抽到同一类书籍的结果数，然后根据概率公式求解即可．【详解】解：“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍分别用A 、B 、C 表示，则所有可能出现的结果如下图所示：由上图可知：共有9种等可能的结果数，其中抽到同一类书籍的结果数有3种， ∴抽到同一类书籍的概率=3193=． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了求两次事件的概率，属于基础题型，熟练掌握画树状图或列表的方法是解题的关键．17.如图，在直角坐标系中，点(1,1)A ，(3,3)B 是第一象限角平分线上的两点，点C 的纵坐标为1，且CA CB =，在y 轴上取一点D ，连接AC ，BC ，AD ，BD ，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为________．【答案】425+【解析】【分析】先求出AC=BC=2，作点B 关于y 轴对称的点E ，连接AE ，交y 轴于D ，此时AE=AD+BD ，且AD+BD 值最小，即此时四边形ACBD 的周长最小；作FG ∥y 轴，AG ∥x 轴，交于点G ，则GF ⊥AG ，根据勾股定理求出AE 即可．【详解】解：∵(1,1)A ，点C 的纵坐标为1，∴AC ∥x 轴，∵点(1,1)A ，(3,3)B 是第一象限角平分线上的两点，∴∠BAC=45°，∵CA CB =，∴∠BAC=∠ABC=45°，∴∠C=90°，∴BC ∥y 轴，∴AC=BC=2，作点B 关于y 轴对称的点E ，连接AE ，交y 轴于D ，此时AE=AD+BD ，且AD+BD 值最小， ∴此时四边形ACBD 的周长最小，作FG ∥y 轴，AG ∥x 轴，交于点G ，则GF ⊥AG ，∴EG=2，GA=4，在Rt △AGE 中，22224225AE AG EG +=+=∴ 四边形ACBD 的周长最小值为2+2+2525．【点睛】本题考查了四条线段和最短问题．由于AC=BC=2,因此本题实质就是求AD+BD最小值，从而转化为“将军饮马”问题，这是解题关键．三、解答题18.解不等式组131722324334x xx x x⎧+<-⎪⎪⎨--⎪≥+⎪⎩，并写出它的所有整数解．【答案】该不等式组的解集是435x-≤<，它的所有整数解为0，1，2．【解析】【分析】分别求出两个不等式，确定不等式组的解集，写出整数解即可．【详解】解：131722324334x xx x x⎧+<-⎪⎪⎨--⎪≥+⎪⎩①②解不等式①，得3x<．解不等式②，得45x≥-．在同一数轴上表示出不等式①，②的解集：所以该不等式组的解集是43 5x-≤<．它的所有整数解为0，1，2．【点睛】本题考查了解不等式组，确定不等式组的解集可以借助数轴分别表示各不等式的解集，确定公共部分即可．19.为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课．按照类别分为：A“剪纸”、B “沙画”、C “葫芦雕刻”、D “泥塑”、E “插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量为________；统计图中的a =________，b =________；（2）通过计算补全条形统计图；（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．【答案】（1）120，12，36；（2）详见解析；（3）625【解析】【分析】（1）由A 所占的百分比及参加A 类活动课的人数可求得总人数，再由总人数及B 和D 所占的百分比即可求得a 和b 的值，（2）先求得E 类活动课参加的人数，再补全条形统计图即可；（3）先求出抽样调查中喜爱“葫芦雕刻”的学生所占的百分比，即可求得全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．【详解】解：（1）1815%120÷=，12010%12a =⨯=，12030%36b =⨯=， 故答案为：120，12，36；（2）E 类别的人数为：1201812303624----=（人）补全条形统计图如图所示：（3）C 类别所占的百分比为：3012025%÷=，302500625120⨯=（人） 答：全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数约为625人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图可以看出每个量所占的百分比．20.今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A ，B 两种树苗，每捆A 种树苗比每捆B 种树苗多10棵，每捆A 种树苗和每捆B 种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A 种树苗和每棵B 种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A 种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A 种树苗和B 种树苗各多少棵？并求出最低费用．【答案】（1）这一批树苗平均每棵的价格是20元；（2）购进A 种树苗3500棵，B 种树苗2000棵，能使得购进这批树苗的费用最低为111000元．【解析】【分析】（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x 元，分别表示出两种树苗的数量，根据“每捆A 种树苗比每捆B 种树苗多10棵”列方程即可求解；（2）设购进A 种树苗t 棵，这批树苗的费用为w ，得到w 与t 的关系式，根据题意得到t 的取值范围，根据函数增减性即可求解．【详解】解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x 元， 根据题意，得630600100.9 1.2x x -=， 解之，得20x． 经检验知，20x 是原分式方程的根，并符合题意． 答：这一批树苗平均每棵的价格是20元． （2）由（1）可知A 种树苗每棵价格为0.12098⨯=元，种树苗每棵价格为20 1.224⨯=元， 设购进A 种树苗t 棵，这批树苗的费用为w ，则 1824(5500)6132000w t t t =+-=-+． ∵w 是t 的一次函数，60k =-<，w 随着t 的增大而减小，3500t ≤， ∴当3500t =棵时，w 最小．此时，B 种树苗有550035002000-=棵，35001320060111000w ⨯+==-．答：购进A 种树苗3500棵，B 种树苗2000棵，能使得购进这批树苗的费用最低为111000元．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数实际应用，不等式应用等问题，根据题意得到相关“数量关系”，根据数量关系得到方程或函数解析式是解题关键．21.如图，已知平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE 并延长，交DC 的延长线于点F ，且AF ＝AD ，连接BF ，求证：四边形ABFC 是矩形．【答案】见解析【解析】【分析】先根据平行四边形的性质、平行线的性质得到两角一边对应相等，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AB CF =，然后根据平行四边形的判定可得四边形ABFC 是平行四边形，又根据等量代换可得BC AF =，最后根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形是矩形）可得四边形ABFC 是矩形．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形∴//,,AB CD AB CD AD BC ==∴,BAE CFE ABE FCE ∠=∠∠=∠∵E 为BC 的中点∴EB EC =∴()ABE FCE AAS ≅∴AB CF =∵//AB CF∴四边形ABFC 是平行四边形AF AD =BC AF∴=∴平行四边形ABFC是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、矩形的判定等知识点，熟练运用各判定与性质是解题关键．22.如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量．先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D 的仰角为45°．居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）【答案】约为30m【解析】【分析】过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，可得AE=MN=CF=1.6，EF=AC=35，再根据锐角三角函数可得BE的长，进而可得AB的高度．【详解】解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F．则AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，∠BEN＝∠DFN＝90°，EN＝AM，NF＝MC，则DF＝CD－CF＝16.6－1.6＝15．在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，∴NF ＝DF ＝15．∴EN ＝EF －NF ＝35－15＝20．在Rt △BEN 中，∵tan ∠BNE ＝BE EN， ∴BE ＝EN·tan∠BNE ＝20×tan55°≈20×1.43＝28.6°．∴AB ＝BE ＋AE ＝28.6＋1.6≈30．答：居民楼AB 的高度约为30m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．23.如图，已知反比例函数k y x=的图象与直线y ax b =+相交于点(2,3)A -，(1,)B m ．（1）求出直线y ax b =+的表达式；（2）在x 轴上有一点P 使得PAB △的面积为18，求出点P 的坐标．【答案】（1）33y x =--；（2）当点P 在原点右侧时，(3,0)P ，当点P 在原点左侧时，(5,0)P -．【解析】【分析】（1）通过点A 的坐标确定反比例函数的解析式，再求得B 的坐标，利用待定系数法将A ，B 的坐标代入，即可得到一次函数的解析式；（2）直线33y x =--与x 轴的交点为(1,0)E -，过点A ，B 作x 轴的垂线AC ，BD ，垂足分别为C ，D ，得到9182PAB S PE ==，即4PE =，分情况讨论即可解决． 【详解】解：（1）∵(2,3)A -在k y x =的图象上，∴32k =-，6k =-， 又点(1,)B m 在6y x -=的图象上，6m =-，即(1,6)B -． 将点A ，B 的坐标代入y ax b =+，得326a b a b =-+⎧⎨-=+⎩， 解得33a b =-⎧⎨=-⎩． ∴直线的表达式为33y x =--．（2）设直线33y x =--与x 轴的交点为E ，当0y =时，解得1x =-．即(1,0)E -．分别过点A ，B 作x 轴的垂线AC ，BD ，垂足分别为C ，D ．1136922222PAB S PE AC PE DB PE PE PE =⋅+⋅=+=． 又18PAB S =，即9182PE =，∴4PE =． 当点P 在原点右侧时，(3,0)P ，当点P 在原点左侧时，(5,0)P -．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的性质，解题的关键是掌握数形结合的思想.24.如图，在ABC 中，AB ＝BC ，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，交AC 于点D ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ．（1）试证明DE 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为5，AC ＝10，求此时DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）3【解析】【分析】（1）连接OD、BD，求出BD⊥AD，AD=DC，根据三角形的中位线得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；（2）先利用勾股定理求出BD的长，证得Rt△CDE和Rt△ABD，利用对应边成比例即可求解．【详解】（1）证明：连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴BD⊥AD，又∵AB=BC，△ABC是等腰三角形，∴AD=DC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，又DE⊥BC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）由（1）知，BD是AC边上的中线，10，得10∵⊙O半径为5，∴AB=10，在Rt △ABD 中，BD=()22221031010AB AD -=-=， ∵AB=BC ，∴∠A =∠C ， 在Rt △CDE 和Rt △ABD 中，∵∠DEC =∠ADB=90°，∠C=∠A ，∴Rt △CDE ∽Rt △ABD ，∴CD DE AB BD =，即3101010=， 解得：DE=3．【点睛】本题综合考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的判定与性质．解题的关键是熟练掌握和圆有关的各种性质定理，并且能够熟练运用．25.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的图象与x 轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，其对称轴与线段BC 交于点E ．垂直于x 轴的动直线l 分别交抛物线和线段BC 于点P 和点F ，动直线l 在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x 轴正方向移动到B 点．（1）求出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4和BC 所在直线的表达式；（2）在动直线l 移动的过程中，试求使四边形DEFP 为平行四边形的点P 的坐标；（3）连接CP ，CD ，在移动直线l 移动的过程中，抛物线上是否存在点P ，使得以点P ，C ，F 为顶点的三角形与DCE 相似，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y=-x 2＋3x ＋4，y=-x ＋4；（2）521,24⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）存在，1684,525⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）运用待定系数法，利用A ，B 两点的坐标构建二元一次方程组求解二次函数的表达式，利用B ，C 两点的坐标确定直线BC 的表达式；（2）先求得DE 的长，根据平行四边形的性质得到PF=DE ，点P 与点F 的横坐标相同，故利用抛物线与直线的解析式表示它们的纵坐标，根据其差等于DE 长构建一元二次方程求解；（3）结合图形与已知条件，易于发现若两三角形相似，只可能存在△PCF ∽△CDE 一种情况．△CDE 的三边均可求，（2）中已表示PF 的长，再构建直角三角形或借助两点间距离公式，利用勾股定理表示出CF 的长，这样根据比例式列方程求解，从而可判断点P 是否存在，以及求解点P 的值． 【详解】（1）由题意，将A(-1．0)，B(4．0)代入24y ax bx =++，得 4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩， ∴二次函数的表达式为234y x x =-++，当0x =时，y=4，∴点C 的坐标为(0，4)，又点B 的坐标为(4，0)，设线段BC 所在直线的表达式为y mx n =+，∴440n m n =⎧⎨+=⎩，解得14m n =-⎧⎨=⎩， ∴BC 所在直线的表达式为4y x =-+；（2）∵DE ⊥x 轴，PF ⊥x 轴，∴DE ∥PF ，只要DE=PF ，此时四边形DEFP 即为平行四边形．由二次函数y=-2x +3x +4=(x -32) 2+254，得D 的坐标为(32，254)， 将32x =代入4y x =-+，即y=-32+4=52，得点E 的坐标为(32，52)， ∴DE=254-52=154， 设点P 的横坐标为t ，则P(t ，-t 2+3t+4)，F(t ，-t+4)， PF=-t 2+3t+4-(-t+4)=-t 2+4t ，由DE=PF ，得-t 2+4t=154， 解之，得t 1=32 (不合题意，舍去)，t 2=52， 当t=52时，-t 2+3t+4=-(52)2+3×52+4=214， ∴P 的坐标为(52，214)； （3）由（2）知，PF ∥DE ，∴∠CED=∠CFP ， 又∠PCF 与∠DCE 有共同的顶点C ，且∠PCF 在∠DCE 的内部， ∴∠PCF≠∠DCE ，∴只有当∠PCF=∠CDE 时，△PCF ∽△CDE ，由D (32，254)，C(0，4)，E(32，52)，利用勾股定理，可得 2235324222⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，DE=25515424-=， 由（2）以及勾股定理知，PF=-t 2+4t ，F(t ，-t+4)， ()22442t t t ⎡⎤+--+=⎣⎦，∵△PCF ∽△CDE ， ∴PF CF CE DE =22153242t =， ∵t≠0，∴154(4t-+)=3，∴t=165，当t=165时，-t2+3t+4=-(165)2+3×165+4=8425．∴点P的坐标是(165，8425)．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了一次函数的性质，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是，学会用数形结合的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题31/ 31。
2020年中考数学一轮复习：二次函数综合提升训练解析版
2020年中考数学一轮复习：二次函数综合提升训练一．选择题（共12小题）1．抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1 2．抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标（）A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，﹣4）D．（3，4）3．已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（）A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2D．y2＞y1＞24．抛物线y＝（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y＝x2平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度5．下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的6．用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+7B．y＝（x﹣4）2﹣25C．y＝（x+4）2+7D．y＝（x+4）2﹣257．将抛物线y＝x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣8）2+5B．y＝（x﹣4）2+5C．y＝（x﹣8）2+3D．y＝（x﹣4）2+38．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（）A．b2＜4ac B．ac＞0C．2a﹣b＝0D．a﹣b+c＝09．若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），则2c﹣4b﹣9的值是（）A．5B．﹣1C．4D．1810．将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（）A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x+2）2﹣1C．y＝（x﹣2）2+1D．y＝（x﹣2）2﹣1 11．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac＝0；②a+b+c＞0；③2a﹣b＝0；④c﹣a＝3其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．412．函数y＝k（x﹣k）与y＝kx2，y＝（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）13．若抛物线y＝x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是．14．已知抛物线y＝2x2﹣5x+3与y轴的交点坐标是．15．已知二次函数y＝x2﹣8x+m的最小值为1，那么m的值等于．16．将抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为．17．抛物线y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标为．18．将y＝x2﹣2x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝．19．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．20．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是．三．解答题（共6小题）21．某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该土特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：x（元）152030…y（袋）252010…若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A 在点B的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．23．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝﹣．24．已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1．（1）求证：2a+b＝0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8＝0的一个根为4，求方程的另一个根．25．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣4，﹣3），与y轴交于点B，对称轴是x＝﹣3，请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式．（2）若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝﹣．26．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．一．选择题（共12小题）1．抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．【解答】解：∵y＝﹣3x2+6x+2＝﹣3（x﹣1）2+5，∴抛物线顶点坐标为（1，5），对称轴为x＝1．故选：C．2．抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标（）A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，﹣4）D．（3，4）【分析】根据顶点式直接可得顶点坐标．【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣3）2﹣4是抛物线的顶点式，∴顶点坐标为（3，﹣4）．∴则答案为C故选：C．3．已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（）A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2D．y2＞y1＞2【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断．【解答】解：当x＝1时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（1+1）2+2＝﹣2；当x＝2时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7；所以2＞y1＞y2．故选：A．4．抛物线y＝（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y＝x2平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度【分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．【解答】解：抛物线y＝x2顶点为（0，0），抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y＝x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的图象．故选：D．5．下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的【分析】A、由a＝1＞0，可得出抛物线开口向上，选项A不正确；B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x＝，选项B不正确；C、代入x＝0求出y值，由此可得出抛物线经过原点，选项C正确；D、由a＝1＞0及抛物线对称轴为直线x＝，利用二次函数的性质，可得出当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．综上即可得出结论．【解答】解：A、∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；B、∵﹣＝，∴抛物线的对称轴为直线x＝，选项B不正确；C、当x＝0时，y＝x2﹣x＝0，∴抛物线经过原点，选项C正确；D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x＝，∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．故选：C．6．用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+7B．y＝（x﹣4）2﹣25C．y＝（x+4）2+7D．y＝（x+4）2﹣25【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．【解答】解：y＝x2﹣8x﹣9＝x2﹣8x+16﹣25＝（x﹣4）2﹣25．故选：B．7．将抛物线y＝x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣8）2+5B．y＝（x﹣4）2+5C．y＝（x﹣8）2+3D．y＝（x﹣4）2+3【分析】直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案．【解答】解：y＝x2﹣6x+21＝（x2﹣12x）+21＝[（x﹣6）2﹣36]+21＝（x﹣6）2+3，故y＝（x﹣6）2+3，向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为：y＝（x﹣4）2+3．故选：D．8．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（）A．b2＜4ac B．ac＞0C．2a﹣b＝0D．a﹣b+c＝0【分析】根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称轴是x＝1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0，则可对D选项进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以B选项错误；∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴2a+b＝0，所以C选项错误；∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，所以D选项正确；故选：D．9．若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），则2c﹣4b﹣9的值是（）A．5B．﹣1C．4D．18【分析】把（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c可得﹣2b+c＝7，再将所求的式子变形，整体代入即可求出答案【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），∴﹣（﹣2）2﹣2b+c＝3，整理得，﹣2b+c＝7，∴2c﹣4b﹣9＝2（c﹣2b）﹣9＝2×7﹣9＝5，故选：A．10．将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（）A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x+2）2﹣1C．y＝（x﹣2）2+1D．y＝（x﹣2）2﹣1【分析】由抛物线平移不改变a的值，根据平移口诀“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是y＝（x﹣2）2+1．故选：C．11．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac＝0；②a+b+c＞0；③2a﹣b＝0；④c﹣a＝3其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．【解答】解：抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，故①错误；由于对称轴为x＝﹣1，∴x＝﹣3与x＝1关于x＝﹣1对称，∵x＝﹣3时，y＜0，∴x＝1时，y＝a+b+c＜0，故②错误；∵对称轴为x＝﹣＝﹣1，∴2a﹣b＝0，故③正确；∵顶点为B（﹣1，3），∴y＝a﹣b+c＝3，∴y＝a﹣2a+c＝3，即c﹣a＝3，故④正确；故选：B．12．函数y＝k（x﹣k）与y＝kx2，y＝（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）A．B．C．D．【分析】将一次函数解析式展开，可得出该函数图象与y轴交于负半轴，分析四个选项可知，只有C选项符合，由此即可得出结论．【解答】解：一次函数y＝k（x﹣k）＝kx﹣k2，∵k≠0，∴﹣k2＜0，∴一次函数与y轴的交点在y轴负半轴．A、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，A不正确；B、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，B不正确；C、一次函数图象与y轴交点在y轴负半轴，C可以；D、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，D不正确．故选：C．二．填空题（共8小题）13．若抛物线y＝x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是4．【分析】把抛物线化为顶点式可得出其顶点坐标，根据顶点在x轴上，可知顶点的纵坐标为0可求得c．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+c＝（x﹣2）2+c﹣4，∴其顶点坐标为（2，c﹣4），∵顶点在x轴上，∴c﹣4＝0，解得c＝4，故答案为：4．14．已知抛物线y＝2x2﹣5x+3与y轴的交点坐标是（0，3）．【分析】y轴上点的坐标特点为横坐标为0，纵坐标为y，把x＝0代入即可求得交点坐标为（0，3）．【解答】解：当x＝0时，y＝3，即交点坐标为（0，3）．15．已知二次函数y＝x2﹣8x+m的最小值为1，那么m的值等于17．【分析】将二次函数化为顶点式，即可建立关于m的等式，解方程求出m的值即可．【解答】解：原式可化为：y＝（x﹣4）2﹣16+m，∵函数的最小值是1，∴﹣16+m＝1，解得m＝17．故答案为：17．16．将抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为y ＝（x+2）2﹣3．【分析】先得到抛物线y＝x2的顶点坐标（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y ＝（x+2）2﹣3．故答案为y＝（x+2）2﹣3．17．抛物线y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标为（﹣1，﹣3）．．【分析】直接利用顶点式的特点可知顶点坐标．【解答】解：顶点坐标是（﹣1，﹣3）．故答案为：（﹣1，﹣3）．18．将y＝x2﹣2x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝（x﹣1）2+2．【分析】直接利用配方法把一般式配成顶点式即可．【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2．故答案为（x﹣1）2+2．19．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜5．【分析】先移项，整理为一元二次方程，让根的判别式大于0求值即可．【解答】解：由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，5），∴＝5，即b2﹣4ac＝﹣20a，∵ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，∴方程ax2+bx+c﹣k＝0的判别式△＞0，即b2﹣4a（c﹣k）＝b2﹣4ac+4ak＝﹣20a+4ak ＝﹣4a（5﹣k）＞0∵抛物线开口向下∴a＜0∴5﹣k＞0∴k＜5．故答案为：k＜5．20．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是①②④．【分析】根据图象分别求出a、b、c的符号，即可判断①；根据对称轴求出b＝2a，代入2a﹣b即可判断②；把x＝2代入二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可判断③；求出点（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标，根据对称轴判断y1和y2的大小，即可判断④．【解答】解：①∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，∴c＜0，∵对称轴是直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵b＝2a，∴2a﹣b＝0，故②正确；③∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（1，0）．∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∴当x＝2时y＞0，即4a+2b+c＞0，故③错误；④∵（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y1），又∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，3＞，∴y1＞y2，故④正确；故答案为：①②④．三．解答题（共6小题）21．某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该土特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：x（元）152030…y（袋）252010…若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式即可（2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．【解答】解：（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y ＝kx+b得，解得故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝﹣x+40（2）依题意，设利润为w元，得w＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x﹣400整理得w＝﹣（x﹣25）2+225∵﹣1＜0∴当x＝25时，w取得最大值，最大值为225故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A 在点B的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．【分析】（1）把y＝0代入二次函数的解析式中，求得一元二次方程的解便可得A、B两点的坐标，再根据函数图象不在x轴下方的x的取值范围得y≥0时x的取值范围；（2）根据题意写出B2，B3的坐标，再由对称轴方程列出n的方程，求得n，进而求得m 的值．【解答】解：（1）令y＝0，则﹣，解得，x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），由函数图象得，当y≥0时，﹣2≤x≤6；（2）由题意得，B1（6，m），B2（6﹣n，m），B3（﹣n，m），函数图象的对称轴为直线，∵点B2，B3在二次函数图象上且纵坐标相同，∴，∴n＝1，∴，∴m，n的值分别为，1．23．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝﹣．【分析】（1）由于抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，根据待定系数法可求抛物线的解析式；（2）先得到点E（2，﹣3），根据勾股定理可求BE，再根据直角三角形的性质可求线段HF的长；【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵点E（2，m）在抛物线上，∴m＝4﹣4﹣3＝﹣3，∴E（2，﹣3），∴BE＝＝，∵点F是AE中点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，即H为AB的中点，∴FH是三角形ABE的中位线，∴FH＝BE＝×＝．24．已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1．（1）求证：2a+b＝0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8＝0的一个根为4，求方程的另一个根．【分析】（1）直接利用对称轴公式代入求出即可；（2）根据（1）中所求，再将x＝4代入方程求出a，b的值，进而解方程得出即可．【解答】（1）证明：∵对称轴是直线x＝1＝﹣，∴2a+b＝0；（2）解：∵ax2+bx﹣8＝0的一个根为4，∴16a+4b﹣8＝0，∵2a+b＝0，∴b＝﹣2a，∴16a﹣8a﹣8＝0，解得：a＝1，则b＝﹣2，∴ax2+bx﹣8＝0为：x2﹣2x﹣8＝0，则（x﹣4）（x+2）＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣2，故方程的另一个根为：﹣2．25．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣4，﹣3），与y轴交于点B，对称轴是x＝﹣3，请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式．（2）若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝﹣．【分析】（1）把点A（﹣4，﹣3）代入y＝x2+bx+c得16﹣4b+c＝﹣3，根据对称轴是x ＝﹣3，求出b＝6，即可得出答案，（2）根据CD∥x轴，得出点C与点D关于x＝﹣3对称，根据点C在对称轴左侧，且CD＝8，求出点C的横坐标和纵坐标，再根据点B的坐标为（0，5），求出△BCD中CD边上的高，即可求出△BCD的面积．【解答】解：（1）把点A（﹣4，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：16﹣4b+c＝﹣3，c﹣4b＝﹣19，∵对称轴是x＝﹣3，∴﹣＝﹣3，∴b＝6，∴c＝5，∴抛物线的解析式是y＝x2+6x+5；（2）∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝﹣3对称，∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，∴点C的横坐标为﹣7，∴点C的纵坐标为（﹣7）2+6×（﹣7）+5＝12，∵点B的坐标为（0，5），∴△BCD中CD边上的高为12﹣5＝7，∴△BCD的面积＝×8×7＝28．26．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）利用待定系数法把A（1，0），C（0，﹣3）代入二次函数y＝x2+bx+c中，即可算出b、c的值，进而得到函数解析式是y＝x2+2x﹣3；（2）首先求出A、B两点坐标，再算出AB的长，再设P（m，n），根据△ABP的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）∵当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1；∴A（1，0），B（﹣3，0），∴AB＝4，设P（m，n），∵△ABP的面积为10，∴AB•|n|＝10，解得：n＝±5，当n＝5时，m2+2m﹣3＝5，解得：m＝﹣4或2，∴P（﹣4，5）（2，5）；当n＝﹣5时，m2+2m﹣3＝﹣5，方程无解，故P（﹣4，5）（2，5）；。
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2020年中考数学小题专项训练（12）
一、选择题（每小题4分，共32分） 1． 计算1-|-3|，结果正确的是【 】
A ．4
B ．2
C ．-2
D ．-4
2． 如图是某体育馆内的颁奖台，其左视图是【 】
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 三峡大坝是世界上最大的水利枢纽工程．据报道，三峡水电站年平均发电量为846.89亿度，用科学记数法
记作（保留三位有效数字）【 】
A ．8.47×1011
度 B ．8.46×1010
度 C ．8.47×109
度 D ．8.47×1010
度
A ．-1
B ．1
C ．-1或1
D ．1或2
6． 如图，在4×4的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角度，得到△M 1N 1P 1．则其旋转中心一定是【 】
A ．点E
B ．点F
C ．点G
D ．点H
A ．9
B ．10.5
C ．12
D ．15
8． 如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形相邻的两
边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，按A →B →C →D →A 的方向滑动到A 停止，同时点R 从点B 出发，按B →C →D →A →B 的方向滑动到B 停止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形面积为【 】 A ．2 B ．4-π C ．π D ．π-1 二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 如图，是我们生活中经常接触的小刀，刀柄的外形是一个直角梯形（下底挖去一个小半圆），刀片上、下是
平行的，转动刀片时会形成∠1和∠2，则∠1+∠2=__________．
第9题图 第10题图
10. 将半径为10，弧长为12π的扇形围成圆锥（接缝忽略不计），那么圆锥母线与圆锥高的夹角的余弦值是
__________．
2
1
11.已知M(a，b)是平面直角坐标系中的点，其中a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从1，2，3，4
四个数中任取的一个数．定义“点M(a，b)在直线x+y=n上”为事件Q n（2≤n≤7，n为整数），则当Q n的概率最大时，n的所有可能的值为__________．
14.如图，点A的坐标为(1，1)，点C是线段OA上的一个动点（不与O，A两点重合），过点C作CD⊥x轴，垂
足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，若以B，E，F 为顶点的三角形与△OFE相似，则点B的坐标是__________．。