无锡市必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》检测(答案解析)

一、选择题
1．已知命题2:2,:2320p x q x x <--<，则p 是q 的（ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
2．下列命题中：①命题“若1l ：210ax y +-=与2l ：0x y -=垂直，则2a =”的逆否命题；②命题“若1a ≠，则210a -≠”的否命题；③命题“存在0ω<，函数
()sin y x ωϕ=+不存在最小正周期”的否定.其中真命题的个数为（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
3．以下四个命题中，真命题的是（ ）
A ．()0π,sin tan x x x ∃∈=，
B ．AB
C 中，sin sin cos cos A B A B +=+是2
C π
=
的充要条件
C ．在一次跳伞训练中，甲，乙两位同学各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是
“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示p q ∧ D ．∀∈θR ，函数()()sin 2f x x θ=+都不是偶函数 4．下列命题中，不正确．．．
的是（ ） A ．0x R ∃∈，2
00220x x -+≥
B ．设1a >，则“b a <”是“log 1a b <”的充要条件
C ．若0a b <<，则
11a b
> D ．命题“[]1,3x ∀∈，2430x x -+≤”的否定为“[]01,3x ∃∈，2
00430x x -+>”
5．已知实数0x >，0y >，则“1xy ≤”是“224x y +≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．m n 是两条不同的直线，α是平面，n α⊥，则//m α是m n ⊥的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．设集合{}125S x x x =-++>，{}
4T x x a =-≤，S T R ⋃=，则a 的取值范围为（ ） A ．2a ≤-或1a ≥ B ．21a -≤≤ C ．21a -<<
D ．2a <-或1a >
8．“1x >”是“12
log (2)0x +<”的 （ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要
条件
9．已知集合{}{}
2
|13,|4,P x R x Q x R x =∈≤≤=∈≥ 则()R P Q ⋃=
A ．[2,3]
B ．（ -2,3 ]
C ．[1,2）
D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞
10．非零向量,a b 满足4,2b a ==且a 与b 夹角为θ，则“23b a -=”是“3
π
θ=”的
（ ）
A ．必要而不充分条件
B ．充分而不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．下列命题错误的是（ ）
A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠ ，则2320x x -+≠”
B ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题
C ．对于命题p ：x ∃∈R ，使得210x x ++<，则p ⌝：x ∀∈R ，均有210x x ++≥
D ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 12．以下四个命题中错误．．的是（ ） A ．若样本1x 、2x 、、5x 的平均数是2，方差是2，则数据12x 、22x 、
、52x 的平
均数是4，方差是4
B ．ln 0x <是1x <的充分不必要条件
C ．样本频率分布直方图中的小矩形的面积就是对应组的频率
D ．抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于3”和事件“向上点数不小于4”是对立事件
二、填空题
13．已知条件:21p x ⌝-<<，条件:q x a ⌝>，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是_________. 14．有下列四个命题：
①“若a 2+b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2+b 2≠0” ②若事件A 与事件B 互斥，则P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）； ③在△ABC 中，“A ＜B ”是“sin A ＜sin B ”成立的充要条件；
④若α、β是两个相交平面，直线m ⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m 平行的直线． 上述命题中，其中真命题的序号是_____． 15．设集合{132}A x x x =-<-，集合1
{1}B x
x
=<，则A B =________. 16．定义全集U 的子集M 的特征函数()10M U x M
f x x C M ∈⎧=⎨∈⎩
，对于两个集合,M N ，定
义集合()(){}
*1M N M N x f x f x =+=，已知集合{}{}2,4,6,8,10,1,2,4,8,16A B ==，并用
S 表示有限集S 的元素个数，则对于任意有限集,**M M A M B +的最小值为________．
17．方程2
210ax x 至少有一个正实数根的充要条件是________；
18．已知命题，则为_______．
19．下列命题中，正确的是___________.(写出所有正确命题的编号)
①在中，
是
的充要条件；
②函数的最大值是
；
③若命题“，使得”是假命题，则； ④若函数，则函数
在区间
内必有零点. 20．函数
，若
恒成立的充分条件是
，则实数
的取值范围是 ．
三、解答题
21．设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<，(0)a >，命题:q 实数x 满足(3)(2)0x x --≥．
（1）若1a =，p q ∧为真命题，求x 的取值范围；（用区间表示）
（2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．（用区间表示） 22．设m R ∈，命题2:043p x x <-<，命题:(1)(3)0q x m x m -+--<. （1）若p 为真命题，求实数x 的取值范围；
（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 23．如果
():30p x x -<是:23q x m -<的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
24．设命题0:p x R ∃∈，2
020x -=；命题:q 函数22sin y x =在,62ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭上先增后减． （1）判断p ，q 的真假，并说明理由； （2）判断p q ∨，p q ∧，()p q ∧⌝的真假．
25．设集合U 为全体实数集，{ 2 5}M x x x =|≤-≥或，121{|}N x a x a =+≤≤-. （1）若3a =，求U M
C N ；
（2）若N M ⊆，求实数a 的取值范围. 26．已知1
:123
x p --
≤，()22:2100q x x m m -+-≤>，若p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围.
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一、选择题 1．C
解析：C 【分析】
求出q 成立的x 的范围，然后根据集合包含关系判断． 【详解】
2:2320q x x --<，(21)(2)0x x +-<，122x -<<，由于1,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
是(,2)-∞的真子
集，因此应是必要不充分条件． 故选：C ．
【点睛】
命题p 对应集合A ，命题q 对应的集合B ，则 （1）p 是q 的充分条件⇔A B ⊆； （2）p 是q 的必要条件⇔A B ⊇；
（3）p 是q 的充分必要条件⇔A B =；
（4）p 是q 的既不充分又不必要条件⇔集合,A B 之间没有包含关系．
2．D
解析：D 【分析】
根据原命题和逆否命题同真假来判断①是真命题，根据定义写出命题的否命题和命题的否定，再判断②③的真假即可. 【详解】
①中，若1l ：210ax y +-=与2l ：0x y -=垂直，则()1210a ⨯+⨯-=，则2a =.故该命题是真命题，其逆否命题也是真命题；
②中，命题“若1a ≠，则210a -≠”的否命题是：“若1a =，则210a -=”，易见若1a =，则21a =，则210a -=，故“若1a =，则210a -=”是真命题；
③中，命题“存在0ω<，函数()sin y x ωϕ=+不存在最小正周期”的否定是“对任意的
0ω<，函数()sin y x ωϕ=+存在最小正周期”， 对任意的0ω<，函数
()sin y x ωϕ=+存在最小正周期2T π
ω
=
，故命题“存在0ω<，函数()sin y x ωϕ=+不
存在最小正周期”的否定是真命题.故①②③均为真命题. 故选：D. 【点睛】 思路点睛：
一般互为逆否的两个命题判断真假时，可以选择容易的进行判断，则另一个就同真假.
3．B
解析：B 【分析】
分析()0π,sin tan x x x ∀∈≠，
即得A 错误；利用充要条件的定义判断B 正确；利用复合命题的定义判断C 错误；通过特殊值验证D 错误即可. 【详解】 选项A 中，,2x ππ⎛⎫∈
⎪⎝⎭
时，sin 0,tan 0x x ><，即sin tan x x ≠；2x π
=时，sin 1x =，
tan x 无意义；0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，设()sin tan sin sin cos x h x x x x x =-=
-，则()322
11cos cos 0cos cos x
h x x x x
-'=-=>，故()tan sin h x x x =-在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 故()()tan sin 00h x x x h =->=，即sin tan x x <；综上可知，
()0π,sin tan x x x ∀∈≠，，故A 错误；
选项B 中，ABC 中，若sin sin cos cos A B A B +=+，则
sin cos cos sin A A B B -=-，
44A B ππ⎛
⎫
⎛⎫-
=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，即sin sin 44A B ππ⎛⎫⎛⎫
-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，又33,,,444444A B π
ππ
πππ⎛⎫⎛⎫
-
∈--∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故44A B ππ-=-或44A B πππ⎛⎫⎛⎫
-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以2
A B π
+=
或A B π-=，ABC 中A B π-≠，故2
A B π
+=
，即2
C π
=
；
反过来，若2
C π
=
，则2A B π
+=
，结合诱导公式可知，sin sin cos 2A B B π⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
，
sin sin cos 2B A A π⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
，所以sin sin cos cos A B A B +=+；综上，
sin sin cos cos A B A B +=+是2
C π
=
的充要条件，故B 正确；
选项C 中，依题意，命题p ⌝是“甲没有降落在指定范围”， q ⌝是“乙没有降落在指定范围”，故复合命题()()p q ⌝∨⌝ 是“至少有一位学员没有降落在指定范围”，故C 错误；
选项D 中，存在2π
θ=时，函数()sin 2cos 22f x x x π⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭，满足()()f x f x -=，
即()f x 是偶函数，故D 错误. 故选：B. 【点睛】 方法点睛：
（1）证明或判断全称命题为真命题时，要证明对于,()x I p x ∀∈成立；证明或判断它是假
命题时，只需要找到一个反例，说明其不成立即可.
（2）证明或判断特称命题为真命题时，只需要找到一个情况，说明其成立即可；证明或判断它是假命题时，要证明对于,()x I p x ∀∈⌝成立.
4．B
解析：B 【分析】
由()2
200022110x x x -+=-+≥，可判断A ；由对数函数的定义域和对数函数的单调性得
充分性不一定成立，必要性成立，可判断B ；运用作差法，判断其差的符号可判断C ；根据全称命题的否定是特称命题可判断D. 【详解】
由()2
200022110x x x -+=-+≥，得A 为真命题；
由“b a <”不能推出“log 1a b <”，所以充分性不一定成立，由“log 1a b <”得“b a <”，所以必要性成立，故B 不正确；
由0a b <<，则
110b a
a b ab --=>，∴11a b
>，故C 正确； 根据全称命题的否定是特称命题知D 正确. 故选：B. 【点睛】
本题考查判断命题的真假，对数函数的定义域，单调性，全称命题与特称命题的关系，属于中档题．
5．B
解析：B 【分析】
通过举反例得到“1xy ≤”推不出“224x y +≤”；再由“224x y +≤”⇒“1xy ≤”.能求出结果． 【详解】 解：
实数0x >，0y >，∴当3x =，14
y =
时，134
22224x y +=+>， ∴“1xy ≤”推不出“224x y +≤”；
反之，实数0x >，0y >，由基本不等式可得22x y +≥
由不等式的基本性质得224x y ≤+≤，整理得24x y +≤，2x y ∴+≤，
由基本不等式得2
12x y xy +⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭
，即“224x y
+≤”⇒“1xy ≤”．
∴实数0x >，0y >，则“1xy ≤”是“224x y +≤”的必要不充分条件．
故选：B ． 【点睛】
本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．
6．A
解析：A 【分析】
根据线面平行的性质定理、线面垂直的定义结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】
当//m α时，过直线m 作平面β，使得l α
β=，则//m l ，
n α⊥，l α⊂，n l ∴⊥，m n ∴⊥，即//m m n α⇒⊥； 当m n ⊥时，由于n α⊥，则m α⊂或//m α，所以，//m n m α⊥⇒/.
综上所述，//m α是m n ⊥的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】
本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了空间点、线、面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.
7．B
解析：B 【解析】
{|32},[4,=4]S x x x T a a =-=-或 ，所以43
2142a a a -≤-⎧⇒-≤≤⎨
+≥⎩
，选A. 点睛：形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体；(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解.
8．B
解析：B 【详解】 试题分析：12
log (2)0
x +<211x x ⇒+>⇒>-，故正确答案是充分不必要条件，故选
B.
考点：充分必要条件.
9．B
解析：B 【解析】
有由题意可得：{}|22R C Q x x =-<< ， 则(
)R
P Q ⋃
= ( -2,3 ] .
本题选择B 选项.
10．C
解析：C 【分析】
由题意，若23b a -=，根据向量的数量积和模的计算公式，可得1
cos 2
θ=
，得到3
π
θ=
，；反之也可求得23b a -=，即可得到答案.
【详解】
由题意，非零向量,a b 满足4,2b a ==且a 与b 夹角为θ， 若23b a -=，即222
2()2164242cos 12b a b a b a a b θ-=-=+-⋅=+-⨯⨯=，
解得1cos 2
θ=，又因为[]0,θπ∈，可得3π
θ=，即充分性是成立的；
若3
πθ=
，由2
2
2
2
()2164242cos
123
b a b a b a a b π
-=-=+-⋅=+-⨯⨯=，可得
23b a -=，即必要性是成立的，
所以“23b a -=”是“3
π
θ=”的充分必要条件.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记向量的数量积的运算，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
11．B
解析：B 【分析】
由原命题与逆否命题的关系即可判断A ；由复合命题的真值表即可判断B ; 由特称命题的否定是全称命题即可判断C ；根据充分必要条件的定义即可判断D ；． 【详解】
A ．命题：“若p 则q ”的逆否命题为：“若￢q 则￢p ”，故A 正确；
B ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故B 错．
C ．由含有一个量词的命题的否定形式得，命题p ：∃x ∈R ，使得x 2+x +1＜0，则￢p 为：∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥0，故C 正确；
D ．由x 2﹣3x +2＞0解得，x ＞2或x ＜1，故x ＞2可推出x 2﹣3x +2＞0，但x 2﹣3x +2＞0推不出x ＞2，故“x ＞2”是“x 2﹣3x +2＞0”的充分不必要条件，即D 正确 故选B ． 【点睛】
本题考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系，充分必要条件的定义，复合命题的真假
和含有一个量词的命题的否定，这里要区别否命题的形式，本题是一道基础题．
12．A
解析：A 【分析】
利用平均数和方差公式可判断A 选项的正误；解不等式ln 0x <，利用集合的包含关系可判断B 选项的正误；根据频率直方图的概念可判断C 选项的正误；根据对立事件的概念可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
对于A 选项，样本1x 、2x 、
、5x 的平均数为12345
25
x x x x x x ++++=
=，
方差为()()()()()222221234522222225
x x x x x s ⎡⎤
-+-+-+-+-⎣
⎦==， 数据12x 、22x 、、52x 的平均数是12345
22222245
x x x x x x x ++++'=
==，
方差为
()()()()()2222212345224242424245
x x x x x s ⎡⎤
-+-+-+-+-⎣
⎦'=()()()()()22222
12345242222244285
x x x x x s ⎡⎤
-+-+-+-+-⎣
⎦===⨯=，A 选项错
误；
对于B 选项，解不等式ln 0x <，得01x <<，
{}01x x << {}1x x <，
所以，ln 0x <是1x <的充分不必要条件，B 选项正确；
对于C 选项，由频率分布直方图的概念可知，样本频率分布直方图中的小矩形的面积就是对应组的频率，C 选项正确；
对于D 选项，抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于3”即为：向上的点数为1或
2或3，
事件“向上点数不小于4”即为：向上的点数为4或5或6， 这两个事件互为对立事件，D 选项正确. 故选：A. 【点睛】
本题考查命题正误的判断，涉及平均数、方差的计算、充分不必要条件的判断、频率直方图和对立事件概念的理解，考查推理能力，属于中等题.
二、填空题
13．【分析】根据得出由是的充分不必要条件得出
根据包含关系得出的范围
【详解】由题设得或设或由得设因为是的充分不必要条件所以
因此故答案
为：【点睛】本题主要考查了由充分不必要条件求参数范围属于中档题
解析：(],2-∞-
【分析】
根据p ⌝，q ⌝得出,p q ，由q 是p 的充分不必要条件，得出Q P ，根据包含关系得出a 的范围. 【详解】
由题设:21p x ⌝-<<，得:1p x ≥或2x -≤，设{|1P x x =≥或}2x ≤- 由:q x a ⌝>，得:q x
a ，设{}|Q x x a =≤
因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此2a ≤-. 故答案为：(],2-∞- 【点睛】
本题主要考查了由充分不必要条件求参数范围，属于中档题.
14．②③【分析】写出原命题的逆否命题可判断①；通过与互斥判断（A ）（B ）的正误；由三角形中的边角关系正弦定理及充分必要条件判定方法判断③；由直线为两平面的交线时结论成立可判断④【详解】对于①则全为0的逆
解析：②③． 【分析】
写出原命题的逆否命题，可判断①；通过A 与B 互斥，判断()P A B P =（A ）P +（B ）
的正误；由三角形中的边角关系、正弦定理及充分必要条件判定方法判断③；由直线m 为
两平面的交线时，结论成立，可判断④． 【详解】
对于①，“220a b +=，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 不全为0，则
220a b +≠”，故①错误；
对于②，满足互斥事件的概率求和的方法，所以②为真命题；
对于③，在ABC ∆中，sin sin a b A B A B <⇔<⇔<，∴命题“在ABC ∆中，A B <是
sin sin A B <成立的充要条件，故③正确；
对于④，若直线m α⊂，当直线m 为两平面的交线时，在平面β内，一定存在与直线m
平行的直线，故④不正确； 故答案为：②③ 【点睛】
本题主要考查了命题的真假判断与应用，涉及互斥事件与对立事件，四种命题的逆否关系，以及概率的性质．充分必要条件的判定方法，考查空间线线和线面、面面的位置关系，属于中档题．
15．【分析】先解不等式再根据交集的定义求解即可【详解】由题因为则解得；又因为则即解得或则或即故答案为：【点睛】本题考查绝对值不等式分式
不等式的解法考查交集考查运算能力
解析：()4,013⎛⎫
-∞⋃ ⎪⎝⎭
，
【分析】
先解不等式,再根据交集的定义求解即可 【详解】
由题,因为132x x -<-,则23132x x x -<-<-,解得43
x <； 又因为
11x
<,则10x
x -<,即()10x x -<,解得0x <或1x >, 则{|0A B x x ⋂=<或413x <<},即()4,013⎛⎫
-∞⋃ ⎪⎝⎭
， 故答案为：()4,013⎛⎫
-∞⋃ ⎪⎝⎭
， 【点睛】
本题考查绝对值不等式、分式不等式的解法,考查交集,考查运算能力
16．4【分析】通过新定义及集合的并集与补集的运算求解计算即得结论【详解】由M*N 的定义可知fM （x ）+fN （x ）＝1则M*N ∈{x|x ∈M ∪N 且x ∉M∩N}即M*A ＝{x|x ∈M ∪A 且x ∉M∩A}M*B
解析：4 【分析】
通过新定义及集合的并集与补集的运算求解计算即得结论． 【详解】
由M *N 的定义可知，f M （x ）+f N （x ）＝1 ，则M *N ∈{x |x ∈M ∪N ，且x ∉ M ∩N } 即M *A ＝{x |x ∈M ∪A ，且x ∉M ∩A }，M *B ＝{x |x ∈M ∪B ，且x ∉M ∩B } 要使Card （M *A ）+Card （M *B ）的值最小，
则2，4，8一定属于集合M ，且M 不能含有A ∪B 以外的元素， 所以集合M 为{6，10，1，16}的子集与集合{2，4，8}的并集， 要使**M A M B +的值最小，M ={2，4，8}， 此时，**M A M B +的最小值为4， 故答案为：4 【点睛】
本题考查对集合运算的理解以及新定义的应用，考查计算能力．注意解题方法的积累，属于中档题．
17．【分析】讨论和三种情况计算得到答案【详解】当时方程为满足条件当时方程恒有两个解且两根一正一负满足条件当时即此时两根均为正数满足条件综上所述：故答案为：【点睛】本题考查了充要条件分类讨论是一个常用的方
解析：[)1,a ∈-+∞
【分析】
讨论0a =，0a >和0a <三种情况，计算得到答案. 【详解】
当0a =时，方程为1
210,2
x x -==满足条件. 当0a >时，2
210,
440ax
x a 方程恒有两个解，且121
0x x a
=-
<，两根一正一负，满足条件 当0a <时，2
210,4401ax
x a a ，即01a ，此时，
121
0x x a
=-
>， 122
0x x a
+=-
>，两根均为正数，满足条件 综上所述：1a ≥- 故答案为：[)1,a ∈-+∞ 【点睛】
本题考查了充要条件，分类讨论是一个常用的方法，需要同学们熟练掌握.
18．【解析】试题分析：根据全称命题的定义得为故答案为考点：全称命题的否定
解析：00,sin 1x R x ∃∈>
【解析】
试题分析：根据全称命题的定义得
为00,sin 1x R x ∃∈>，故答案为
00,sin 1x R x ∃∈>．
考点：全称命题的否定．
19．①③④【分析】根据正弦定理及三角形的性质可判断（1）；利用均值不等式可判断（2）；利用假命题求参数的范围可判断（3）；利用零点存在性定理可判断（4）【详解】解：对于（1）sinA ＞sinB ⇔
2Rsi 解析：①③④ 【分析】
根据正弦定理，及三角形的性质，可判断（1）；利用均值不等式，可判断（2）；利用假命题求参数的范围，可判断（3）；利用零点存在性定理，可判断（4）. 【详解】
解：对于（1），sin A ＞sin B ⇔2R sin A ＞2R sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B （其中R 为△ABC 外接圆半径），故（1）正确；
对于（2），x 21x +
=--（1﹣x 21x
+-）+1≤﹣2()2
11x x
-⋅
+-1＝﹣22+1，当且仅当x ＝12-时取等号，故（2）错误；
对于（3），若命题“x R ∃∈，使得()2
310ax a x +-+≤”是假命题⇔命题：“∀x ∈R ，使得ax 2+（a ﹣3）x +1＞0”恒成立． ∵a ＝0时，不符合题意，
∴2
0(3)40a a a ⎧⎨=--<⎩
＞∴1a 9<<，故（3）正确； 对于（4），∵()12a f a b c =++=-，∴3a +2b +2c ＝0，∴3
2
c a b =--．
又f （0）＝c ，f （2）＝4a +2b +c ， ∴f （2）＝a ﹣c ．
（i ）当c ＞0时，有f （0）＞0，又∵a ＞0，∴()102
a f =-＜，故函数f （x ）在区间（0，1）内有一个零点，故在区间（0，2）内至少有一个零点．
（ii ）当c ≤0时，f （1）＜0，f （0）＝c ≤0，f （2）＝a ﹣c ＞0，∴函数f （x ）在区间（1，2）内有一零点，故（4）正确. 故正确答案为：①③④ 【点睛】
本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，熟练掌握正弦定理，均值不等式，二次函数的，图象和性质，函数零点存在定理，是解答的关键．
20．1＜＜4【详解】试题分析：根据充分条件的定义将条件转化为不等式恒成立即当时恒成立即恒成立；然后利用二次函数的性质易求其最值为要使得需要满足化简求解得1＜＜4考点：必要条件充分条件与充要条件的判断
解析：1＜a ＜4 【详解】
试题分析：根据充分条件的定义将条件转化为不等式恒成立，即当
时，
恒成立，即
恒成立；然后利用二次函数的性质易求
其最值为，要使得
，需要满足
，化简求
解得1＜a ＜4．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
三、解答题
21．（1）[
)2,3；（2）()1,2． 【分析】
（1）若1a =，化简命题p ，p q ∧为真命题得，p q ，均为真命题，即13
23x x <<⎧⎨≤≤⎩
化简即
可；
（2）q 是p 的充分不必要条件，得2
33a a <⎧⎨>⎩
，化简即可. 【详解】
由题意得，当p 为真命题时：当0a >时，3a x a <<； 当q 为真命题时：23x ≤≤． （1）若1a =，有:13p x <<， 则当p q ∧为真命题，有13
23
x x <<⎧⎨≤≤⎩，得23x ≤<．
所以当1a =，p q ∧为真命题， x 的取值范围是[
)2,3 （2）q 是p 的充分不必要条件，则2
33
a a <⎧⎨
>⎩， 得12a <<．
q 是p 的充分不必要条件，实数a 的取值范围是()1,2
【点睛】
结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；
（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 22．（1）{}|24x x <<；（2）{}|13m m ≤≤ 【分析】
（1）解不等式2043x x <-<即可求解；
（2）设命题p 成立对应集合A ，命题q 成立对应集合B ，由题意可得A 是B 的真子集，利用数轴即可求解. 【详解】
（1）若p 为真命题，则2043x x <-<，即240x ->且243x x -<， 由240x ->得2x >或2x <-， 由243x x -<可得14x -<<， 所以解集为：{}|24x x <<， 故实数x 的取值范围为{}|24x x <<，
（2）由（1）知：p 为真命题，则24x <<，设{}|24A x x =<<，
由(1)(3)0x m x m -+--<可得13m x m -<<+，设{}|13B x m x m =-<<+， 若p 是q 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，
所以1234m m -≤⎧⎨+≥⎩
，解得： 13m ≤≤，
经检验当1m =和3m =时满足A 是B 的真子集，
所以实数m 的取值范围是{}|13m m ≤≤ 【点睛】
结论点睛：从集合的观点判断命题的充分条件和必要条件的规则
（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；
（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．
23．3m ≥
【分析】
通过解不等式化简命题，再由充分不必要条件列不等式组解得即可. 【详解】
由不等式()30x x -<，得03x <<，由不等式23x m -<，得32
m
x +<， ∵命题p 是命题q 的充分不必要条件，
∴
332
m
+≥，即3m ≥. 故实数m 的取值范围为3m ≥. 【点睛】
本题考查解不等式，充分必要条件的定义，属于基础题.
24．（1）p 为真，q 为假，理由见解析；（2）p q ∨为真，p q ∧为假，()p q ∧⌝为真． 【分析】
（1）由22x =有解知命题p 为真命题，2
2sin 1cos 2y x x ==-，在(,)62
ππ
-上先减后
增．即命题q 为假命题；
（2）由p 为真q 为假，结合复合命题的真假可得. 【详解】
（1）易知0x R ∃=，故p 为真． ∵22sin 1cos2y x x ==-，且23x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
,， ∴1cos2y x =-在,62ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上先减后增，故q 为假． （2）∵p 真q 假，
∴p q ∨为真，p q ∧为假，()p q ∧⌝为真． 【点睛】
本题考查了三角函数的单调性及复合命题的真假，属中档题． 25．（1）{|2x x ≤-或5}x >.； （2）(,2)[4,)-∞+∞.
【分析】
（1）当3a =，求得集合2{|M x x =≤-或5}x ，45{|}N x x =≤≤，根据集合的运
算，即可求解；
（2）根据N M ⊆，分类讨论，列出不等式（组），即可求解. 【详解】
（1）当3a =，集合2{|M x x =≤-或5}x ，45{|}N x x =≤≤，
可得{|4U C N x x =<或5}x >， 所以{2U x x M
C N =|≤-或5}x >.
（2）因为N M ⊆，
当N φ=时，可得121a a +>-，解得2a <，此时满足N M ⊆； 当N φ≠时，要使得N M ⊆，则满足121212a a a +≤-⎧⎨-≤-⎩或121
15a a a +≤-⎧⎨+≥⎩
，
解得φ或4a ≥，即4a ≥， 综上可得，实数a 的取值范围(,2)[4,)-∞+∞.
【点睛】
根据集合的运算结果求参数的取值范围的分法：
将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系，若集合中的运算能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
将集合之间的关系转化为解方程（组）或不等式（组）问题求解； 根据求解结果来确定参数的值或取值范围.
26．(]0,3
【分析】
分别求解绝对值不等式和含参一元二次不等式，结合,p q 命题对应x 的取值范围，根据充分不必要条件，求得集合之间的包含关系，再由集合的包含关系，求参数范围即可. 【详解】 因为1123x --
≤，即1
2123
x --≤-≤，整理得：319x -≤-≤，解得[]2,10x ∈-； 因为22210x x m -+-≤，整理得：()2
21,(0)x m m -≤>，解得[]
1,1x m m ∈-+； 又因为p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，故q 是p 的充分不必要条件， 也即集合[]1,1m m -+是集合[]2,10-的真子集. 故12
110m m -≥-⎧⎨
+≤⎩
(不能同时取等号)，解得3m ≤，又因为0m >，
m
∴的取值范围为(]
0,3.
0,3.
故答案为：(]
【点睛】
本题考查由充分不必要条件求参数的范围，涉及绝对值不等式和含参一元二次不等式的求解，以及由集合关系求参数范围的问题，属于中档题.。