必修一数学知识点

高一数学必修 1 各章知点
第一章会合与函数观点
一、会合有关观点
1.会合的含
2.会合的中元素的三个特征：
(1)元素确实定性如：世界上最高的山
(2)元素的互异性如：由 HAPPY的字母成的会合
{H,A,P,Y}
(3) 元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一
个会合
3. 会合的表示：{⋯}如：{我校的球} ， { 太平洋 , 大西洋, 印度洋 , 北冰洋 }
(1)用拉丁字母表示会合：A={我校的球
},B={1,2,3,4,5}
(2)会合的表示方法：列法与描绘法。

◆注意：常用数集及其法：
非整数集（即自然数集）作： N
正整数集N* 或 N+整数集Z有理数集Q数集R
1）列法： {a,b,c ⋯⋯}
2）描绘法：将会合中的元素的公共属性描绘出来，写在大
括号内表示会合的方法。

{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3）言描绘法：例：{ 不是直角三角形的三角形}
4） Venn:
4、会合的分：
(1)有限集含有有限个元素的会合
(2) 无穷集
含有无穷个元素的会合
(3) 空集
不含任何元素的会合
例： {x|x2= －5｝
二、会合间的基本关系
1. “包括 ”关系 —子集
注意：
有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分，；（ 2）A 与 B 是
同一会合。

反之 :
会合
A 不包括于会合
B, 或会合
B 不包括会合
A, 记作
A
B
或 B A
2． “ 相等 ” 关系： A=B (5 ≥ 5，且 5≤ 5，则 5=5)
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1}
“ 元素同样则两会合相
等 ”
即： ① 任何一个会合是它自己的子集。

AA
② 真子集 : 假如 AB, 且 A B 那就说会合 A 是会合 B 的真子集，记作
A
B(或 B
A)
③假如 AB, BC , 那么 AC
④假如AB 同时 BA 那么 A=B
3.
不含任何元素的会合叫做空集，记为 Φ
规定 : 空集是任何会合的子集，
空集是任何非空会合的真子集。

◆ 有 n 个元素的会合，含有
2n 个子集， 2n-1 个真子集
三、会合的运算
运算种类 交 集 并 集 补 集
定
义由全部属于 A 且由全部属于会合 A 设 S 是一个会合， A
属于 B 的元素所 或属于会合 B 的 是 S 的一个子集，由
S 中全部不属于 A 的 构成的会合, 叫元素所构成的集
元素构成的会合，叫
做 A,B 的 交合，叫做 A,B 的 做 S 中子集 A 的补集
集．记作 A B 并集．记作：（或余集）
（读作‘A
交 A
B （读作‘ A 并
S
A
B ’），即 A B=B ’），即 A B 记作 ，即
｛ x|x A ， 且 ={x|x A
， 或
CSA=
x B ｝． x B}) ．
韦
S 恩
A
图示
性
质A A=A A A=A(CuA)(CuB)
AΦ=ΦAΦ =A= Cu (A B) A B=B A A B=B A
(CuA)(CuB) A B A A BＡ
= Cu(A B) A B B A B B
A(CuA)=U
A(CuA)=Φ．
例题：
1.以下四组对象，能构成会合的
是（）
A某班全部高个子的学生 B 有名的艺术家 C 全部很大的书 D 倒数等于它自己的实数
2.会合 {a ，b， c } 的真子集共有个
3.若会合 M={y|y=x2-2x+1,x R},N={x|x≥ 0} ，则 M与 N的关系是.
4.设会合 A=，B=，若 A B，则的取值范围是
5.50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31 人，
两种实验都做错得有 4 人，则这两种实验都做对的有人。

6.用描绘法表示图中暗影部分的点（含界限上的点）构成的会合M=.
7. 已知会合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0},若 B∩C≠Φ，A∩ C=Φ，求m的值
二、函数的有关观点
1．函数的观点：设A、B 是非空的数集，假如依照某个确立的对应
关系 f ，使对于会合 A 中的随意一个数x，在会合 B 中都有独一确
定的数 f(x)和它对应，那么就称 f ： A→ B 为从会合 A 到会合 B 的
一个函数．记作：y=f(x)，x∈ A．此中，x叫做自变量，x 的取值
范围 A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的会合 {f(x)| x∈ A }叫做函数的值域．
注意：
1．定义域：能使函数式存心义的实数x 的会合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依照是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3) 对数式的真数一定大于零；
(4)指数、对数式的底一定大于零且不等于1.
(5)假如函数是由一些基本函数经过四则运算联合而成的. 那么，它的定义域是使各部分都存心义的x 的值构成的会合.
(6)指数为零底不可以够等于零，
(7)实质问题中的函数的定义域还要保证明质问题存心义.
◆ 同样函数的判断方法：① 表达式同样（与表示自变量和函
数值的字母没关）；②定义域一致 ( 两点一定同时具备 )
( 见课本 21 页有关例2)
2．值域 :先考虑其定义域
(1)察看法
(2)配方法
(3)代换法
3.函数图象知识概括
(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈ A) 中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P(x，y)的会合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标 (x ， y) 均知足函数关系
y=f(x) ，反过来，以知足 y=f(x) 的每一组有序实数对 x、y 为坐标
的点 (x ，y) ，均在C上.
(2)画法
A、描点法：
B、图象变换法
常用变换方法有三种
1)平移变换
2)伸缩变换
3)对称变换
4．区间的观点
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无量区间
（3）区间的数轴表示．
5．映照
一般地，设A、 B 是两个非空的会合，假如按某一个确立的对应法例 f ，使对于会合 A 中的随意一个元素x，在会合 B 中都有唯一确立的元素y 与之对应，那么就称对应 f ： A B 为从会合 A 到会合 B 的一个映照。

记作“f（对应关系）：A（原象）B （象）”
对于映照 f ： A→ B 来说，则应知足：
(1) 会合A中的每一个元素，在会合B中都有象，而且象是独一的；
(2)会合 A中不一样的元素，在会合 B 中对应的象能够是同一个；
(3)不要求会合 B 中的每一个元素在会合 A中都有原象。

6.分段函数
(1)在定义域的不一样部分上有不一样的分析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值状况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并
集．
增补：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈ A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为 f 、 g 的复合函数。

二．函数的性质
1.函数的单一性 ( 局部性质 )
（ 1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I ，假如对于定义域D 内的随意两个自变量x1， x2 ，当 x1<x2 时，都有I 内的某个区间f(x1)<f(x2)，
那么就说 f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单一增区间 .
假如对于区间时，都有f(x1)
D 上的随意两个自变量的值x1 ， x2，当
＞f(x2)，那么就说f(x) 在这个区间上是减函数
x1<x2
. 区
间 D 称为 y=f(x) 的单一减区间 .
注意：函数的单一性是函数的局部性质；
（ 2）图象的特色
假如函数y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数
y=f(x) 在这一区间上拥有( 严格的 ) 单一性，在单一区间上增函数的
图象从左到右是上涨的，减函数的图象从左到右是降落的.
(3).函数单一区间与单一性的判断方法
(A)定义法：
任取 x1，x2 ∈ D，且 x1<x2 ；
作差 f(x1)－f(x2)；
变形（往常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（指出函数f(x)在给定的区间 D 上的单一性）．
(B)图象法 ( 从图象上看起落 )
(C)复合函数的单一性
复合函数 f [ g(x) ]的单一性与构成它的函数u=g(x) ， y=f(u) 的单一性亲密有关，其规律：“同增异减”
注意：函数的单一区间只好是其定义域的子区间, 不可以把单一性同样的区间和在一同写成其并集.
8．函数的奇偶性（整体性质）
（ 1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的随意一个x，都有f( －x)=f(x) ，那么 f(x)就叫做偶函数．
（ 2）．奇函数
一般地，对于函数 f(x) 的定义域内的随意一个 x，都有 f( － x)= — f(x) ，那么 f(x) 就叫做奇函数．
（ 3）拥有奇偶性的函数的图象的特色
偶函数的图象对于y 轴对称；奇函数的图象对于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的步骤：
第一确立函数的定义域，并判断其能否对于原点对称；
确立 f( －x) 与 f(x) 的关系；
作出相应结论：若f(－ x) = f(x)或f(－ x) － f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－ f(x)或f(－ x) ＋ f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
注意：函数定义域对于原点对称是函数拥有奇偶性的必需条
件．第一看函数的定义域能否对于原点对称，若不对称则函数是非
奇非偶函数 . 若对称， (1) 再依据定义判断; (2)由f(-x)± f(x)=0或 f(x) ／f(-x)= ±1来判断; (3)利用定理，或借助函数的图象判断 .
9、函数的分析表达式
（ 1） . 函数的分析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间
的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法例，二是要求出函数
的定义域 .
（2）求函数的分析式的主要方法有：
1)凑配法
2)待定系数法
3)换元法
4)消参法
10．函数最大（小）值（定义见课本p36 页）
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
利用图象求函数的最大（小）值
利用函数单一性的判断函数的最大（小）值：
假如函数y=f(x)在区间[a，b]上单一递加，在区间递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
假如函数y=f(x)在区间[a，b]上单一递减，在区间递加则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
例题：[b
[b
，
c] ，
c]
上单一
上单一
1.求以下函数的定义域：
⑴⑵
2. 设函数
3. 若函数的定义域为的
定义域为
，则函数
，则函数
的定义域为 _ _
的定义域是
4.函数，若，则=
5.求以下函数的值域：
⑴⑵
(3)(4)
6.已知函数，求函数，的分析式
7.已知函数知足，则=。

8.设是 R 上的奇函数，且当时 ,, 则当时=
在 R 上的分析式为
9.求以下函数的单一区间：
⑴
10. 判断函数
11. 设函数⑵⑶
的单一性并证明你的结论．
判断它的奇偶性而且求证：
第二章基本初等函数
．
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的观点：一般地，假如，那么叫做的次方根，此中>1，且∈*．
◆负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。

当是奇数时，，当是偶数时，
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
，
◆ 0 的正分数指数幂等于0， 0 的负分数指数幂没存心义
3．实数指数幂的运算性质
（ 1）·；
（ 2）；
（ 3）
（二）指数函数及其性质
．
1、指数函数的观点：一般地，函数
数函数，此中x 是自变量，函数的定义域为R．
叫做指
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不可以是负数、零和1．
2、指数函数的图象和性质
a>10<a<1
定义域 R
值域 y＞0
在 R 上单一递增
非奇非偶函数函数图象都过定点（ 0，1）定义域 R
值域 y＞0
在 R 上单一递减
非奇非偶函数函数图象都过定点（ 0，1）
注意：利用函数的单一性，联合图象还能够看出：
（ 1）在 [a ， b] 上，值域是或；
（2）若，则；取遍全部正数当且仅当；
（ 3）对于指数函数，总有；二、对数函数
（一）对数
1．对数的观点：一般地，假如，那么数
叫做以为底的对数，记作：
（—底数，—真数，—对数式）
说明：注意底数的限制，且；
；
注意对数的书写格式．
两个重要对数：
常用对数：以10 为底的对数；
自然对数：以无理数为底的对数的对数．
◆ 指数式与对数式的互化
幂值真数
b
＝N＝
底数
指数对数
（二）对数的运算性质
假如，且，，，那么：
·＋；
－；
．
注意：换底公式
（，且；，且；
）．
利用换底公式推导下边的结论
（ 1）；（ 2）．
（二）对数函数
1、对数函数的观点：函数，且叫做对数函数，此中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：对数函数的定义与指数函数近似，都是形式定义，注意辨
别。

如：，都不是对数函数，而只好称其
为对数型函数．
对数函数对底数的限制：，且．
2、对数函数的性质：
a>10<a<1
定义域 x＞0
值域为 R
在R上递加函数图象
都过定点（1，0）定义域 x＞ 0
值域为 R
在 R上递减
函数图象都过定点（ 1，0）
（三）幂函数
1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函
数，此中为常数．
2、幂函数性质概括．
（ 1）全部的幂函数在（0 ， +∞）都有定义而且图象都过点（1，
1）；
（ 2）时，幂函数的图象经过原点，而且在区间上是
增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当
时，幂函数的图象上凸；
（ 3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一
象限内，当从右侧趋势原点时，图象在轴右方无穷地迫近
轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无穷地迫近轴正半
轴．
例题：
1.已知a>0，a0，函数 y=ax 与 y=loga(-x)的图象只好是()
2.计算：①; ②=；
=;
③=
3. 函数 y=log (2x2-3x+1)的递减区间为
4. 若函数在区间上的最大值是最小值的 3 倍，则
5. 已知，（1）求的定义域（2）求使
第三章函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的观点：对于函数，把使
建立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实
数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

即：方程有实数根函数的图象与轴有交
点函数有零点．
a=
的的取值范围
3、函数零点的求法：
（代数法）求方程的实数根；
（几何法）对于不可以用求根公式的方程，能够将它与函数
的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数．
（ 1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．
2
图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（ 3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．
5.函数的模型
不切合实质
查验。