天津市蓟县第二中学高三5月模拟数学(文)试题 Word版含

天津市蓟县第二中学2014届高三5
月模拟数学（文）试题
1、设a 是实数，且
1i
1i 2
a ++
+是纯虚数，则a = （ ） A ．
12
B ．1-
C ．3
2
D ．2
2、已知4
{1}1
A x x =>+，{}
B x x a =<，若
∅B A ⊆，则实数a 的取值范围是
( ) A ．1a < B ．1a ≤
C ．13a ≤≤
D ．01a <≤
3、已知等比数列｛a n ｝中a n >0,a 1、a 99 是方程x 2-10x+16=0的两根，则a 20a 50a 80的值为（ ）
（A ）32 （B ）64 （C ）256 （D ）±64
4、已知||1,||2)a b a b a ==+且(与垂直，则b a 与的夹角是（ ） （A ）600 （B ）900 （C ）1350 （D ）1200
5、三视图如下的几何体的体积为 ( )
A ．4
3
B ．1
C ．2
D ．2
3
6、下列四个函数中，既是)2
,0(π
上的增函数，又是以π为最小正周期的偶函数是
( )
(A)|2sin |x y = (B)|sin |x y = (C)|cos |x y =
(D)x y 2cos =
7、设直线l 经过点(2,1)P ，且(0,4)A 、
(4,8)B 两点到直线l 的距离相等，俯视图
左视图
2
1主视图
1
1
（第5题）
B
D
O A C
P 则直线l 的方程是（ ）
A ． 10x y --=
B ． 10x y --=或40x y --=
C ． 30x y +-=
D ． 10x y --=或2x =
8.设01a <<，()a f x log x =，则下列各式中成立的是( ) A ．1
1
()()(2)43
f f f >> B ．1
1
()(2)()4
3f f f >> C ．1
1
()(2)()3
4
f f f >> D ．1
1
(2)()()3
4
f f f >>
9.双曲线122=+y mx 的离心率5=e ，则m 为 ( ) (A)4
1-
(B)4- (C)4
(D)
4
1 10、函数R x x x x f ∈+=,)(3，当2
0πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，
则实数m 的取值范围是（ ）
A ()1,0
B ()0,∞-
C ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∞-21, D ()1,∞-
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上。

11. 如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，
且PB=OB=2,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点， 则CD= .
12. 已知函数()f x 满足(1)f =1 且(1)2()f x f x +=， 则(1)(2)(10)f f f +++…=_______________。

13. 在约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+-≤>012210y x y x 下，目标函数2S x y =+的最大值为
_____________. 14. 右面框图表
示的程序所输出的结果
是
15.已知动点P 在曲线220x y -=上移动，则点()0,1A -与点P 连线中点的轨迹方程
是
16. 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，
a b a =⊕；当a b <时，2b b a =⊕.则函数[]2,2),2()1()(-∈⊕-⋅⊕=x x x x x f 的最大值是
三、解答题：本大题共6小题，共76分。

解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤。

17.（本小题满分12分）
已知,,A B C ∠∠∠是三角形ABC ∆的三个内角，向量(1,3),m =- (cos ,sin )n A A =，且1m n ⋅= （I ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若221sin 23cos sin B
B B
+=--，求tan B 的值。

18．（本小题共12分）
某商场举行抽奖活动，从装有编为0，1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖。

（1）求中三等奖的概率；（2）求中奖的概率。

19. （本小题满分12分）
如图所示，四棱锥P ABCD -中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，PA ABCD ⊥底面， 22,PA AD CD AB M ====为PC 的中点。

（I ）求证：//BM PAD 平面； （Ⅱ）PD ⊥平面ABM ；
（Ⅲ）求三棱锥A PBM -的体积 20．（本题满分12分）
已知函数4)(23-+-=ax x x f
（1）若3
4
)(=
x x f 在处取得极值，求实数a 的值； （2）在（1）的条件下，若关于x 的方程]1,1[)(-=在m x f 上恰有两个不同的
实数根，求实数m 的取值范围；
21. （本小题满分14分）
设数列{}n a 的前n 项和为11,10,910n n n S a a S +==+。

（I ）求证：{lg }n a 是等差数列；
（Ⅱ）设n T 是数列13
(lg )(lg )n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求n T ；
（Ⅲ）求使21
(5)4
n T m m >-对所有的n N *∈恒成立的整数m 的取值集合。

22．(本小题满分14分)
已知椭圆1:22221=+b y a x C 的左、右两个焦点为1F 、2F ，离心率为2
1
，抛物线
px y C 222==与椭圆1C 有公共焦点)0,1(2F 。

(Ⅰ)求椭圆和抛物线的标准方程；
(Ⅱ)设直线l 经过椭圆的左焦点1F ，与抛物线交于不同两点M 、N ，且满足→F 1M =λ→F 1N ，求实数λ的取值范围。

16. 6
三．解答题
17．解：（I ）1
1.3sin cos 1.sin().62
m n A A A π⋅=∴-=∴-=………2分
566A ππ-= ∴A π=(舍) 或66
A ππ-= ∴3A π=…………6分
（Ⅱ）由题知22
12sin cos 3cos sin B B
B B
+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=…8分 cos 0,B ≠ 2tan tan 20B B ∴--=
tan 2B ∴=或tan 1B =-。

………10 分 而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 tan 2B ∴= ………12 分
19．（I ）证明：取PD 的中点E ，连结AE 和EM ，则1
//2
EM CD
又1
//2
AB CD //AB EM ∴
∴四边形ABME 为平行四边形， //BM AE ∴ 又BM ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ， //BM ∴平面PAD …………4分
（Ⅱ）,AD AP E =是PD 中点，AE PD ∴⊥ ,PA AB AD AB ⊥⊥
AB ∴⊥面PAD ， AB PD ∴⊥ PD ∴⊥面ABM …………8分
（Ⅲ）在矩形ABME 内，1
1,22
AB BM AE PE PD =====
1111
2(12)3323
A PBM p ABM ABM V V PE S --∆∴==⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=…………12分
20.解：（1）,23)(2ax x x f +-='
由题意得2,0)34
(=='a f 解得，经检验满足条件。

…………5分
（2）由（1）知x x x f x x x f 43)(,42)(223+-='-+-=则 令4
()0,0,3
f x x x '===
则（舍去）…………7分 当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：
x
－1 (－1,0) 0 （0，1）
1 )(x f ' － 0 + )(x f
－1
↘
－4
↗
－3
∵关于x 的方程]1,1[)(-=在m x f 上恰有两个不同的实数根，
34-≤<-∴m …………12分
21.解：（I ）依题意，21910100a c =+=
故21
10a
a = 当2n ≥时，1910n n a S +=+ 1910n n a S -=+
①-②得：110n n
a
a +=
故{}n a 为等比数列，且1110()n n n a a q n N -*==∈， lg n a n ∴=
1lg lg (1)1a n a a n n +∴-=+-=
即{lg }an 是等差数列…………5分
（Ⅱ）由（I ）知，1113(
)1223(1)n T n n =++∧+⋅⋅+ 111113
3(1)322311
n n n =-+-+∧+-=-
++…………10分 （Ⅲ）3
31
n T n =-+
∴当1n =时，n T 取最小值3
2
依题意有231
(5)24
m m >-
解得16m -<<
故所求整数m 的取值集合为{0，1，2，3，4，5}…………14分 22.
解
：
(
Ⅰ
)
∵
椭
圆
1
C 中，
2
1
,11=
=e c ， ……………………………(1分) ∴
3,222=-==c a b a , ……………………………(2分) ∴
椭
圆
1
C 的标准方程为
13
42
2=+y x 。

……………………………(3分) ∵在抛物线
2
C 中，
12
=p
， ……………………………(4分) ∴抛物线
2
C 的标准方程为：
x y 42=。

………………………(5分)
(Ⅱ)设直线l 的方程为：
1+=kx y ， ……………………………(6分)
1+=kx y
则有 ， x y =2
消去y ，整理得0)42(2222=+-+k x k x k ， ……………………(7分)
∵直线和抛物线有两个交点． ∴0k ,04)42(422≠>--k k
解得：01<<-k 或10<<k 。

……………………………(8分)
设),(),,(2211y x N y x M ， 则
1,24
212
21=-==
+x x k x x ……………………(9分)
∵→F 1M=λ→F 1N ，
∴
)1(111+=+x x λ ………………………(10分)
21y y λ= ∵x y 42=，
∴,44221x x λ=即221x x λ=。