东北大学离散数学复习总结（满分版）

东北⼤学离散数学复习总结（满分版）⽅法、知识点总结（知识重点和考题重点）
前三章重点内容（知识重点）：
1、蕴含（条件）“→”的真值
P→Q的真值为假，当且仅当P为真，Q为假。

2、重⾔(永真)蕴涵式证明⽅法
<1>假设前件为真，推出后件也为真。

<2>假设后件为假，推出前件也为假。

易错
3、等价公式和证明中运⽤
4、重要公式
重⾔蕴涵式：P∧Q => P or Q
P or Q => p∨Q
A->B =>(A∧or∨C)->(B∧or∨C)
其他是在此基础上演变
等价公式：幂等律P∧P=P P∨P=P
吸收律P∧(P∨Q)=P P∨(P∧Q)=P
同⼀律P∨F=P P∧T=P
P∨T=T P∧F=F
P <-> Q = (P->Q)∧(Q->P) = (P∧Q)∨(﹁P∧﹁Q)
5、范式的写法（最⽅便就是真值表法）
6、派遣⼈员、课表安排类算法：
第⼀步：列出所有条件，写成符号公式
第⼆步：⽤合取∧连接
第三步：求上⼀步中的析取范式即可
7、逻辑推理的写法
直接推理论证：其中I公式是指重⾔蕴涵式那部分其中E公式是指等价公式部分
条件论证: 形如~ , ~, ~ => R->S
R P(附加条件)
... ...
S T
R->S CP
8、谓词基本内容
注意：任意⽤—> 连接
存在⽤∧连接
量词的否定公式
量词的辖域扩充公式
量词分配公式
其他公式
9、带量词的公式在论域内的展开
10、量词辖域的扩充公式
11、前束范式的写法
给定⼀个带有量词的谓词公式，
1)消去公式中的联接词→和←→(为了便于量词辖域的扩充)；
2)如果量词前有“﹁ ”，则⽤量词否定公式﹁ ”后移。

再⽤摩根定律或求公式的否定公式，将“﹁ ”后移到原⼦谓词公式之前；
3)⽤约束变元的改名规则或⾃由变元的代⼊规则对变元换名(为量词辖域扩充作准备)；
4)⽤量词辖域扩充公式提取量词，使之成为前束范式形式。

简要概括：1、去-> ，<-> 2、移﹁
3、换元
4、量词辖域扩充
12、谓词演算的推理理论
推理规则：P、T、CP、US、ES、EG、UG 的使⽤
ES US 去量词
EG UG 添量词
★谨记：ES要在US之前,很重要
添加量词注意事项：
13、集合的幂集（⽤P表⽰，也常有花P表⽰）
A是集合，由A的所有⼦集构成的集合，称之为A的幂集。

记作P(A)或2的A次⽅
给定有限集合A，如果|A|=n, 则|P(A)|=2的n次⽅
14、求集合的划分数与等价关系数——相同
15、三种重要集合运算
⼀、差运算- (相对补集)
⼆、绝对补集~
三、对称差
前三章重点内容（考题重点）：最常考
内容和⽅法需要看⾃⼰课件，前三章考试内容不多且简单
1、命题符号化（包括第⼀章简单的命题和第⼆章谓词的命题）
2、逻辑推理（命题逻辑和谓词逻辑两种推理，每章书最后部分）
3、主析取范式与主合取范式（命题逻辑和谓词逻辑中的两种范式
写法）
4、真值的判断
后五章重点内容（知识重点）：
1、笛卡尔积
定义:设A、B是集合，由A的元素为第⼀元素，B 的元素为第⼆元素组成序偶的集合，称为A和B 的笛卡尔积，记作A×B 如果A、B都是有限集，且|A|=m, |B|=n，则|AXB |=mn.
2、域的表⽰：
定义域dom（关系的第⼀个元素的范围）
值域Ran（关系的第⼆个元素的范围）
3、空关系、完全关系、A上的恒等关系IA的定义空关系只有点，没有⼀条边。

4、关系的个数
5、对称、反对称、⾃反、反⾃反、传递的判定
6、等价关系、等价类
定义：设R是A上关系,若R是⾃反的、对称的和传递的，则称R是A中的等价关系
等价关系的个数：划分数；
由等价关系图求等价类：
R图中每个独⽴⼦图上的结点，构成⼀个等价类。

不同的等价类个数=独⽴⼦图个数
7、相容关系、相容类
特点：⾃反、对称。

图的简化：⑴不画环；
⑵两条对称边⽤⼀条⽆向直线代替
相容类：设r是集合X上的相容关系，C X,如果对于C中任意两个元素x,y有∈r ,称C是r的⼀个相容类
从简化图找最⼤相容类：
最⼤相容类的意义是——⼀个相容类加多⼀个点就不是相容类了，所以最⼤相容类可以是多个⽽不是唯⼀的“最⼤”的概念，定义类似极⼤线性⽆关组，但元素个数不同
------找最⼤完全多边形。

最⼤完全多边形：含有结点最多的多边形中，每个结点都与其它结点相联结。

通过最⼤相容类求完全覆盖：
完全覆盖就是指所有最⼤相容类构成的集合。

8、关系的分类：
偏序关系定义：R是A上⾃反、反对称和传递的关系，则称R 是A上的偏序关系。

并称是偏序集。

全序关系定义：是偏序集，任何x,y∈A，如果x与y都是可⽐较的，则称≤是全序关系(线序、链)。

9、偏序集Hasse图的画法
1).⽤“。

”表⽰A中元素。

2).如果x≤y,且x≠y，则结点y要画在结点x的上⽅。

3). 如果x≤y,且y盖住x，x与y之间连⼀直线。

4). ⼀般先从最下层结点(全是射出的边与之相连(不考虑环))，逐层向上画，直到最上层结点(全是射⼊的边与之相连)。

(采⽤抓两头，带中间的⽅法)
10、重要元素定义（极⼤⼩元、最⼤⼩元、上下界、最⼤下界与最⼩上界）
11、如何求映射是⼊（单）、满、双射？
第⼀步：分别求出定义域和值域
第⼆步：⽐较就出来了，就那么简单
但是要证明的话：
两者结合得：双射成⽴
12、复合函数中的重要性质（常考）：
f:X→Y, g:Y→Z是两个函数, 则
⑴如果f和g是满射的，则g。

f 也是满射的；
⑵如果f和g是⼊射的，则g。

f 也是⼊射的；
⑶如果f和g是双射的，则g。

f 也是双射的
⑴如果g。

f 是满射的，则g是满射的；
⑵如果g。

f 是⼊射的，则 f 是⼊射的；
⑶如果g。

f 是双射的，则f是⼊射的和g是满射的
13、函数种类个数的求法
14、逆函数（性质）
设f:X→Y是双射的函数，f C:Y X 也是函数, 称之为 f 的逆函数。

设f:X→Y是双射的函数，则有
15、第六章基础知识重点
幂等元、⼳元e、零元0、逆元的概念
同态同构：f(x)满射、并且满⾜
*不是双射就⼀定复合同构的条件：
必须具有⼳元对⼳元、零元对零元......
代数系统（重点）
半群：封闭、可逆独异点：有⼳元
群：可逆交换群：可交换
群的特征：1.消去律 2.⽆零元 3.除⼳元外⽆其他幂等元运算表中：每个元素在每⼀⾏、列必须出现仅出现⼀次！
16、第七章基础知识重点
格：是偏序集，如果任何a,b∈A,使得{a,b}都有最⼤下界和最⼩上界，则称是格
平凡格：所有全序都是格，称之为平凡格。

分配格：（判定定理）
所有链均为分配格。

设是分配格，对任何a,b,c∈A, 如果有a∧b=a∧c 及a∨b=a∨c则必有b=c .
有界格：（判定定理）
有界格定义：如果⼀个格存在全上界1与全下界0，则称此格为有界格。

从格的图形看：全上界1，就是图的最上边元素(只⼀个)。

全下界0，就是图的最下边元素(只⼀个)。

有补格：（判定定理：根据定义看是不是每个中间元素都有补元）
补元：设是个有界格，a∈A, 如果存在b∈A, 使得a∨b=1 a∧b=0 则称a与b互为补元（其中∨是求最⼩上界，∧求最⼤下界）有补格的定义：⼀个有界格中，如果每个元素都有补元，则称之为有补格
布尔格：如果⼀个格既是分配格⼜是有补格，则称之为布尔格。

*重要定理：
在有界分配格中，如果元素有补元，则补元是唯⼀的。

17、格的同构条件（特别）需同时满⾜：
钻⽯定律：
⼀个布尔代数的所有原⼦（直接覆盖最⼩元0的元素）构成的布尔代数⼀定与元代数同构
18、布尔代数表达式和布尔函数
是布尔代数的形式
含有变元x1,x2,…,xn 的布尔表达式记作E(x1,x2,…xn),也可以看成是⼀个函数f:Bn→B, 称之为布尔函数
布尔表达式的范式的写法（很重要，与第⼀第⼆章的⽅法类似）
19、第⼋章图论的重要知识点（好多好多的定义⾃⼰记吧）图的同构：
两个图同构的必要条件:
1.结点个数相等.
2.边数相等.
3.度数相同的结点数相等.
4.对应的结点的度数相等.
图的连通：强连通、单侧连通和弱连通（⼀般不考）
如果任何两个结点间相互可达, 则称G是强连通. 如果任何⼀对结点间, ⾄少有⼀个结点到另⼀个结点可达, 则称G是单侧连通. 如果将G看成⽆向图后(即把有向边看成⽆向边)是连通的,则称G是弱连通
强分图、单侧分图和弱分图
在简单有向图中,具有强连通的最⼤⼦图,称为强分图.
具有单侧连通的最⼤⼦图,称为单侧分图.
具有弱连通的最⼤⼦图,称为弱分图.
图的矩阵表⽰和写法（前两个有点重要）：
⼀、邻接矩阵
每⼀⾏的1：在⽆向图中代表⼀条线
有向图中代表—>出线
列中的1代表<—⼊线
⼆、可达性矩阵
三、完全关系矩阵
图中结点的度与个数、边的关系：
考试需要两则结合
20、欧拉图与H（汉密尔）图（重点）
定义：
在⽆孤⽴结点的图G中,若存在⼀条回路,它经过图中每条边⼀次且仅⼀次,称此回路为欧拉回路. 称此图为欧拉图汉密尔顿回路(H回路):通过G中每个结点恰好⼀次的回路.具有汉密尔顿回路(H回路)的图.
欧拉回路的判定：（充要条件）
⽆向图G具有欧拉路,当且仅当G是连通的,且有零个或两个奇数度的结点.
汉密尔顿图的判定: （只有充分条件）
(充分条件)设G是有n个结点的简单图,若G中每对结点度数之和⼤于等于n,则G有⼀条H回路
欧拉回路的算法（重重重！虽然可能不考）
（记做闭迹交集法）
H回路的算法（重重重！虽然可能不考）
（记做相邻最⼩权法）
21、树中的重要⽅法：
树的结点与边数：边数=结点数-1 e = v-1
m叉有序树转化成⼆叉树的⽅法：
赋权图的最⼩⽣成树的求法（记做相邻最⼩权不回路法）：。