新课标全国统考区(吉林、河南、黑龙江、内蒙古、山西、云南)高三数学 名校最新试题精选分类汇编9

新课标全国统考区（吉林、河南、黑龙江、内蒙古、山西、云南）2013届最
新高三名校文科数学试题精选分类汇编9：圆锥曲线（2）
一、选择题
1 ．（吉林省吉林市2013届高三三模（期末）试题 数学文 ）中心为)00(，, 一个焦点为)25,0(F 的椭
圆,截直线23-=x y 所得弦中点的横坐标为
2
1
,则该椭圆方程是 （ ）
A ．12527522
2=+y x B ．
125752
2=+y x C ．
175
252
2=+y x D ．175
22522
2=+y x 【答案】C
2 ．（吉林省吉林市2013届高三三模（期末）试题 数学文 ）双曲线1422=-y x 的渐近线为 （ ）
A ．02=±y x
B ．02=±y x
C ．12=±y x
D ．12=±y x
【答案】B
3 ．（河南省六市2013届高三第二次联考数学（文）试题）过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点F
作圆2
2
214x y a +=的切线,切点为E ,直线EF 交双曲线右支于点P,若1
()2
OE OF OP =+,则双曲线的离心率是 （ ）
A B C D ．【答案】A 4 ．（山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第四次四校联考数学（文）试题）已
知21,F F 分别是椭圆)0,0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点,过1F 垂直与x 轴的直线交椭圆于B A ,两
点,若2ABF ∆是锐角三角形,则椭圆离心率的范围是 （ ）
A ．)12,0(-
B ．)12,1(+
C ．)1,12(-
D ．)2
2
,
0( 【答案】C
5 ．（内蒙古包头市包头一中2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题）已知F 是抛物线2
y x =的焦
点,,A B 是该抛物线上的两点.若线段AB 的中点到y 轴的距离为5
4
,则||||AF BF +=
（ ）
A ．2
B ．
52
C ．3
D ．4
【答案】C
6 ．（吉林省集安市第一中学2013届高三下学期半月考数学（文）试题）双曲线22
221x y a b
-=则它的渐近线方程是 （ ）
A ．y =
B ．y x =
C ．2y x =±
D ．12
y x =±
【答案】A
7 ．（吉林省实验中学2013届高三第二次模拟考试数学（文）试题）双曲线)0(12
2≠=-mn n
y m x 的离心率为2,有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合,则mn 的值为 （ ）
A ．
3
8
B ．
8
3 C ．
3
16 D ．
16
3 【答案】D 8 ．（吉林省四校联合体2013届高三第一次诊断性测试数学（文）试题）若点O 和点F 分别为双曲线
,点P 为双曲线右支上的任意一点,则FP OP ⋅的最小值为 （ ）
A ．-6
B ．-2
C ．0
D ．10
【答案】D
9 ．（黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟考试数学（文）试题）已知P 是抛物线x y 42
=上的一个动
点,Q 是圆()()2
2
311x y -+-=上的一个动点,)0,1(N 是一个定点,则PQ PN +的最小值为 （ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D 1
【答案】A
10．（吉林省白山市第一中学2013届高三第二次模拟考试数学（文）试题）过抛物线)0(22
>=p px y 的
焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于 （ ） A ．B 两点,则
|
||
|BF AF 的值等于 （ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2 【答案】C 11．（吉林省集安市第一中学2013届高三下学期半月考数学（文）试题）点P 是双曲线
22
221(0,0)x y a b a b
-=>>左支上的一点,其右焦点为(,0)F c ,若M 为线段FP 的中点, 且M 到坐标原点的距离为
8
c
,则双曲线的离心率e 的取值范围是 （ ）
A ．(]1,8
B ．41,
3⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．45
(,)33
D ．(]2,3
【答案】B 12．（河南省中原名校2012-2013高三下学期第二次联考数学（文）试题）设
（ ）
A ．
B 为双曲线22
22(0,0,0)x y a b a b
λλ-=>>≠同一条渐近线上的两个不同的点,已知向量
m=(1,0),.||6,
3||
AB m
AB m ==,则双曲线的离心率e 等于 （ ）
A ．2
B ．
3
C ．2
D ．2或
3
【答案】D 13．（内蒙古包头市包头一中2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题）若抛物线的焦点坐标为(2,0),
则抛物线的标准方程是 （ ）
A ．x y 42=
B ．y x 42=
C ．x y 82=
D ．y x 82=
【答案】C
14．（河南省中原名校2012-2013高三下学期第二次联考数学（文）试题）已知抛物线C l :y 2
= 2x 的焦点为
F 1,抛物线C 2:y=2x 2
的焦点为F 2,则过F 1且与F 1F 2垂直的直线l 的一般方程式为 （ ） A ．2x- y-l=0 B ．2x+ y-1=0 C ．4x-y-2 =0 D ．4x-3y-2 =0 【答案】C
15．（河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（文）试题）椭圆
22
12516
x y +=的左,在焦点分别是12,F F ,弦AB 过1F ,若
ABF 的面积是5, A,B 两点的坐标分别是(11,X Y ),(22,X Y ),则12||Y Y -的值为
（ ）
A ．
5
3
B ．
103
C ．
203
D 【答案】A
16．（河南省开封市2013届高三第四次模拟数学（文）试题）已知双曲线
12
22
2=-
b
y a
x (a>0,b>0)的右焦点
F(c,0),直线x=c
a 2与其渐近线交于A,B 两点,且△ABF 为钝角三角形,则双曲线离心率的取值范围是
（ ）
A ．(3,+∞)
B ．(1,3)
C ．(1,2)
D ．(2,+∞)
【答案】C
二、填空题
17．（河南省六市2013届高三第二次联考数学（文）试题）已知直线(2)(0)y k x k =->与抛物线28y x
=相交于A 、B 两点,F 为抛物线的焦点,若||2||FA FB =,则k 的值为_______________.
【答案】18．（河南省开封市2013届高三第四次模拟数学（文）试题）已知以F 为焦点的抛物线42=y x 上的两点
A 、
B 满足FB AF 3=,则弦AB 的中点到准线的距离为_________. 【答案】
8
3
19．（河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（文）试题）已知双
曲线c:22
1X y a b
-= (a>.,b>0)的半焦距为c,过左焦点且斜率为1的直线与双曲线C 的左、右支各有
一个交点,若抛物线24y cx =的准线被双曲线截得的线段长大于2
3
be .(e 为双曲线c 的离心率),则e 的取值范同是——
【答案】
三、解答题 20．（吉林省四校联合体2013届高三第一次诊断性测试数学（文）试题）已知椭圆C 的对称中心为原点O,
焦点在x 轴上,左右焦点分别为1F 和2F ,且|1F 2F |=2,
点在该椭圆上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点,若∆A 2F B 求以2F 为圆心且与直线l 相切是圆的方程. 【答案】
21．（云南省2013年第二次高中毕业生复习统一检测数学文试题（word 版） ）已知1F 、2F 分别是椭圆
22
22:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点,点P 在直线2
a x b
=上,线段1PF 的垂直一部分线经过
点2F .直线y kx m =+与椭圆E 交于不同的两点A 、B ,且椭圆E 上存在点M ,使OA OB OM λ+=,其中O 是坐标原点,λ是实数. (1)求λ的取值范围;
(2)当λ=,求△ABO 的面积. 【答案】
22．（山西省山大附中2013届高三4月月考数学（文）试题）已知点是椭圆
E (0>>b a )上一点,1
F 、2F 分别是椭圆E 的左、右焦点,O 是坐标原点,x PF ⊥1轴. (1)求椭圆E 的方程;(2)设A 、B 是椭圆E 上两个动点,PO PB PA λ=+)2,40(≠<<λλ.求证:直线AB 的斜率为定值;
【答案】解:(Ⅰ)∵PF 1⊥x 轴, ∴F 1(-1,0),c =1,F 2(1,0),
|PF 2a =|PF 1|+|PF 2|=4,a =2,b 2
=3,
椭圆E 的方程为(Ⅱ)设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),由 PO PB PA λ=+得
(x 1+1,y 1x 2+1,y 2)=λ(1,- 所以x 1+x 2=λ-20≠,y 1+y 2(2-λ)0≠①
又12432121=+y x ,12432
222=+y x ,
两式相减得3(x 1+x 2)(x 1-x 2)+ 4(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0..② 以①式代入可得AB 的斜率k
;
23．（吉林省集安市第一中学2013届高三下学期半月考数学（文）试题）(本题满分12分)
已知定点(1,0)C -及椭圆2235x y +=,过点C 的动直线与该椭圆相交于,A B 两点 (1)若线段AB 中点的横坐标是1
2
-
,求直线AB 的方程; (2)在x 轴上是否存在点M ,使MA MB ⋅为常数?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)直线斜率不存在时显然不成立,设直线:(1)AB y k x =+,
将:(1)AB y k x =+代入椭圆的方程22
35x y +=, 消去y 整理得
2222
(31)6350k x k x k +++-=, 设
11(,)A x y ,22B(,)x y
则4222122
364(31)(35)0631k k k k x x k ⎧∆=-+->⎪⎨+=-⎪+⎩
因为线段AB 的中点的横坐标为12-
,
解得k =
所以直线AB
的方程为10x +=
(2)假设在x 轴上存在点(,0)M m ,使得MA MB ⋅为常数, (1)当直线AB 与x 轴不垂直时,由(1)知
2
261231
k
k x x ++=-,
2235
1231
k k x x -+⋅=
所以1212()()MA MB x m x m y y ⋅=--+=22221212(1)()()k x x k m x x k m ++-+++
221614
233(31)m m m k +=+--
+,
因为MA MB ⋅是与k 无关的常数,从而有
76140,3m m +==-
,
此时4
,9MA MB ⋅=
24．（河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（文）试题）已知椭
圆1C ,抛物线2C 的焦点均在x 轴上,1C 的中心和2C 的顶点均为原点O,从每条曲线上各取两个点,其坐标分别是(3,一
一2,o),(4,一
2
). (I)求1C ,2C 的标准方程;
(11)是否存在直线L 满足条件:①过2C 的焦点F;②与1C 交与不同的两点M,N 且满足OM ON ⊥?若存在,求出直线方程;若不存在,说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)设抛物线)0(2:2
2
≠=p p x y C ,则有)0(22
≠=x p x
y , 据此验证4个点知(3,32-),(4,-4)在抛物线上,易求x y C 4:2
2= 设1C :)0(:22222>>=+b a b
y a x C ,把点(-2,0),(2,22)代入得: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=1
21214
222b a
a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==142
2b a . ∴1C 方程为142
2=+y x (Ⅱ)当直线l 的斜率不存在时,
直线l 的方程为1x =,直线l
交抛物线于,(1,22
M N -, 0OM ON ⋅≠ 不满足题意
当直线l 斜率存在时,假设存在直线l 过抛物线焦点(1,0)F ,设其方程为(1)y kx =-,与1C 的交点坐
标为),(),,(2211y x N y x M .
由2
214(1)
x y y k x ⎧⎪+=⎨⎪=-⎩消去y 并整理得 2222(14)84(1)0k xk xk +-+-=, 于是 2122814k x x k +=+,2122
4(1)14k x x k
-=+.① 2
12111212
(1)(1)[()1]y y k xk x k x x x x =-⨯-=-++.
即
2222
122
224(1)83(1)141414k k k y y k k k k
-=-+=-+++.② 由O M O N ⊥,即0=⋅ON OM ,得(02
121=+y y x x (*). 将①、②代入(*)式,得222
222
4(1)34
0141414k k k k k k
---==+++,解得2k =±, 所以存在直线l 满足条件,且l 的方程为:220x y --=或220x y +-= 25．（吉林省吉林市2013届高三三模（期末）试题 数学文 ）
已知F 为抛物线)0(22>=p px y 的焦点,抛物线上点)22(p G ，满足3=GF (Ⅰ)求抛物线px y 22=的方程;
(Ⅱ)M 点的坐标为(4,0),过点F 作斜率为1k 的直线与抛物线交于A 、B 两点,A 、B 两点的横坐标均不为4,连结AM 、BM 并延长交抛物线于C 、D 两点,设直线CD 的斜率为2k ,问2
1
k k 是否为定值,若是求出该定值,若不是说明理由.
【答案】解:由题根据抛物线定义32
2=+
=p GF , 所以
2=p ,所以x y 42=为所求
设),(11y x A ,),(22y x B ,),(33y x C ,),(44y x D 则212
221212121144
y y y y y y x x y y k +=--=--=
,同理4
324
y y k += 设AC 所在直线方程为4+=ty x , 联立x y 42=得01642=--ty y 所以1631-=y y ,
同理
1642-=y y 所以
)
(4116-16-4
2
1212
12y y y y y y k +-=+=
设AB 所在直线方程为1+=ty x 联立
x y 42=
得
0442=--ty y 421-=y y
所以
21212121)(41y y y y y y k +=
+-=
所以
42
1
=k k 26．（2013年长春市高中毕业班第四次调研测试文科数学）已知1F 、2F 是椭圆22221x y a b
+=(0)a b >>的左、右焦点,且离心率12e =,点P 为椭圆上的一个动点,12PF F ∆的内切圆面积的最大值为
43
π. (1) 求椭圆的方程;
(2) 若,,,A B C D 是椭圆上不重合的四个点,满足向量1F A 与1
FC 共线,1F B 与1F D 共线,且0AC BD ⋅=,求||||AC BD +的取值范围.
【答案】【命题意图】本小题主要通过对直线与圆锥曲线中椭圆的综合应用的考查,具体涉及到椭圆方
程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识与圆锥曲线的综合知识,提示考生对圆锥曲线的综合题加以重视,本题主要考查考生的推理论证能力,运算求解能力、化归与转化以及数形结合的数学思想. 【试题解析】解:(1)由几何性质可知:当12PF F ∆内切圆面积取最大值时, 即12PF F S ∆取最大值,且12max 1
()22
PF F S c b bc ∆⋅⋅=. 由2
43r ππ=
得r = 又1222PF F C a c ∆=+为定值,12122
PF F PF F r
S C ∆∆=,
综上得
22bc a c =
+; 又由1
2
c e a =
=,可得2a c =,
即b =, 经计算得2c =
,b =4a =,
故椭圆方程为22
11612
x y +=.
(2) ①当直线AC 与BD 中有一条直线垂直于x 轴时,||||6814AC BD +=+=.
②当直线AC 斜率存在但不为0时,设AC 的方程为:(2)y k x =+,由
2
2
(2)11612
y k x x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩消去y 可得2222
(34)1616480k x k x k +++-=,代入弦长公式得:
22
24(1)
||34k AC k
+=+,
同理由22
1(2)1
1612
y x k
x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 可得2222111(34)1616480x x k k k +++-=, 代入弦长公式得:2224(1)||34k BD k +=+,
所以22
22222
168(1)168||||11
(34)(43)121(1)k AC BD k k k k ++==
+++
-
++
令
2
1(0,1)1t k =∈+,则2
4912(12,]4t t -++∈,所以96||||[,14)7
AC BD +∈, 由①②可知,||||AC BD +的取值范围是96
[,14]7
.
27．（云南省玉溪市2013年高中毕业班复习检测数学（文）试题）已知A, B
的左、右顶点,F 为椭圆的右焦点,
AF=3·FB,若椭圆上的点C 在AB 上的射影恰为F,且△ABC 的面积为3. (I)求椭圆的方程;
(II)设P 为直线x =4上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP,BP 分别与椭圆相交于点A,M 和点B,N,证明点B 在以MN 为直径的圆内. 【答案】
28．（吉林省实验中学2013届高三第二次模拟考试数学（文）试题）设椭圆C :2
2
221(0)x y a b a b
+=>> 的左、
右焦点分别为12F F 、,上顶点为A ,在x 轴负半轴上有一点B ,满足112BF F F =,且20AB AF ⋅=.
(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;
(Ⅱ)设D 是过2A B F 、、三点的圆上的点,D
到直线30l x -=：的最大距离等于椭圆长轴的长,求椭圆C 的方程;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,线段MN 的中垂线与x 轴相交于点(,0)P m ,求实数m 的取值范围.
【答案】(Ⅰ)连接1AF ,因为2AF AB ⊥,211F F BF =,所以112AF F F =,
即2a c =,故椭圆的离心率2
1
=e (Ⅱ)由(1)知
,21=a c 得a c 2
1
=于是21(,0)2F a , 3(,0)2a B -,
Rt ABC ∆的外接圆圆心为11(,0)2F a -,半径21
||2
r F B a ==
D 到直线033:=--y x l 的最大距离等于2a ,所以圆心到直线的距离为a ,
所以a a =--2
|321
|,
解得2,1,a c b =∴==
所求椭圆方程为13
42
2=+y x (Ⅲ)由(Ⅱ)知)0,1(2F , l :)1(-=x k y
⎪⎩
⎪⎨⎧=+
-=134)
1(2
2
y x x k y 代入消y 得 01248)43(2222=-+-+k x k x k 因为l 过点2F ,所以0∆>恒成立
设),(11y x M ,),(22y x N 则2
2
21438k k x x +=+,1212
26(2)34k y y k x x k -+=+-=+ MN 中点222
43(,)3434k k
k k
-++ ....... 当0k =时,MN 为长轴,中点为原点,则0m =
当0k ≠时MN 中垂线方程2
22
314()3434k k y x k k k +
=--++. 令0y =,431432
2
2
+=
+=∴k k k m 230k >,2144k +>, 可得4
10<<∴m 综上可知实数m 的取值范围是1
[0,)4
29．（黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟考试数学（文）试题）已知直线01:1=-+y x l 与椭圆
)0(12
2
22>>=+b a b y a x 相交于B A ,两点,M 是线段AB 上的一点,BM AM -=,且点M 在直线
x y l 2
1
:2=
上. (I)求椭圆的离心率;
(II)设椭圆左焦点为1F ,若1AF B ∠为钝角,求椭圆长轴长的取值范围. 【答案】解:设B A ,两点的坐标分别为),().,(2211y x B y x A .
(I)由BM AM -=知M 是AB 的中点,
由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+,
1,0122
22b y a
x y x 得:02)(2222222=-+-+b a a x a x b a , ∴222212b a a x x +=+,222
212122)(b a b x x y y +=++-=+,
∴点M 的坐标为),(2
22
22
2b a b b a a ++ 又点M 在直线2l 上,∴022
22
22
2=+-+b
a b b a a , ∴)(222222c a b a -==,∴2
22c a =,∴2
2=
e (II)由(I)知c b =,方程化为22
34220x x c -+-=
(
)2162410,c c ∆=-->>
∴34
21=+x x ,212223c x x -=,3
1321)(2212121+-
=++-=c x x x x y y 由已知知011<⋅F F ,即0)(),(),(21221212211<++++=+⋅+y y c x x c x x y c x y c x
代入得0342
>--c c ,解得72+>c 或72-<c ,
综上得72+>c
又a = , ∴a 2的取值范围是),14224(+∞+
30．（河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(四) 数学（文）试题（word 版））(本小题满分
12分)
已知椭圆
)0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x 的中心在原点,右顶点为A(2,0),其离心率与双曲
13
22=-x y 的离
心率互为倒数.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过椭圆顶点B(0,b),斜率为k 的直线交椭圆于另一点D,交x 轴于点E,且|BD|,|BE|,|DE|成等比数列,求2k 的值. 【答案】
(Ⅱ)由(Ⅰ)得过点B 的直线为1y kx =+,
由2
2141x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得22(41)80k x kx ++=, 所以2814D k x k =-+,2
2
1414D k y k
-=+, 依题意知0k ≠,且1
2
k ≠±
. 因为,,BD BE DE 成等比数列,所以2
||||||BE BD DE =⋅,又||,||,||BD BE DE 在y 轴上的投影分别为1,,||D D y b y -，它们满足2
(1)D D b y y =-,即(1)1D D y y -=, 显然0D y ＜,
∴210D D y y --=,
解得D y =
或D y =(舍去),
所以22
1414k k -=+
解得2
k =所以当,,BD BE DE 成等比数列时
,2
k =。