平面向量-2017年高考数学(理)备考学易黄金易错点含解析

专题08 平面向量
2017年高考数学（理）备考学易黄金易错点
1．已知向量错误!＝错误!，错误!＝错误!，则∠ABC等于( ) A．30°B．45°C．60°D．120°
答案A
解析∵｜错误!|＝1，｜错误!|＝1，
cos∠ABC＝错误!＝错误!，∴∠ABC＝30°。

2．已知非零向量m，n满足4|m｜＝3｜n|，cos<m，n>＝错误!。

若n⊥(t m＋n）,则实数t的值为（）A．4B．－4C。

错误!D．－错误!
答案B
3．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E 分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则错误!·错误!的值为（）
A．－错误! B.错误!
C。

错误!D。

错误!
答案B
解析如图所示，错误!＝错误!＋错误!.
又D，E分别为AB,BC的中点，且DE＝2EF，所以错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!
＝3
2错误!＝错误!错误!，
所以错误!＝错误!错误!＋错误!错误!。

又错误!＝错误!－错误!,
则AF，→·错误!＝错误!·（错误!－错误!）
＝错误!错误!·错误!－错误!错误!2＋错误!错误!2－错误!错误!·错误!
＝3
4错误!
2－错误!错误!2－错误!错误!·错误!。

又｜错误!｜＝|错误!｜＝1，∠BAC＝60°，
故错误!·错误!＝错误!－错误!－错误!×1×1×错误!＝错误!.
故选B.
4．如图，在△ABC中，错误!＝错误!错误!,DE∥BC交AC 于E，BC边上的中线AM交DE于N，设错误!＝a，错误!＝b,用a，b表示向量错误!.则错误!等于( )
A。

错误!（a＋b) B.错误!(a＋b)
C。

错误!(a＋b) D。

错误!(a＋b）
答案C
解析因为DE∥BC，所以DN∥BM，
则△AND∽△AMB，所以错误!＝错误!.
因为错误!＝错误!错误!，
所以错误!＝错误!错误!。

因为M为BC的中点，
所以错误!＝错误!(错误!＋错误!）＝错误!(a＋b），
所以错误!＝错误!错误!＝错误!(a＋b）．
故选C。

5．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，错误!＝2错误!，则错误!·错误!等于( )
A．－错误!B．－错误!
C．－错误!D．－错误!
答案B
解析∵错误!＝2错误!,圆O的半径为1,∴｜错误!|＝错误!，∴错误!·错误!＝(错误!＋错误!)·(错误!＋错误!)＝错误!2＋
错误!·（错误!＋错误!）＋错误!·错误!＝（错误!）2＋0－1＝－错误!. 6．在△ABC中,错误!＝（cos32°,cos58°），错误!＝（sin60°sin118°，sin120°sin208°），则△ABC的面积为（）
A。

1
4
B。

错误!
C.错误!D。

错误!
答案B
解析｜错误!｜＝错误!＝错误!＝1，
BC→＝错误!,
所以|错误!｜＝错误!＝错误!.
则错误!·错误!＝cos32°×错误!cos28°－sin32°×错误! sin28°
＝错误!（cos32°cos28°－sin32°sin28°）
＝错误!cos（32°＋28°）＝错误!cos60°＝错误!，
故cos〈错误!,错误!〉＝错误!＝错误!＝错误!。

又〈错误!，错误!〉∈0°，180°］，所以〈错误!，错误!〉＝60°，
故B＝180°－<错误!，错误!〉＝180°－60°＝120°。

故△ABC的面积为
S＝错误!×｜错误!｜×|错误!|sin B
＝错误!×1×错误!×sin120°＝错误!。

故选B.
7．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则错误!·错误!的最小值是_____________________________________________ ________．
答案－错误!
8．已知向量a，b，|a｜＝1，｜b｜＝2。

若对任意单位向量e,均有｜a·e｜＋｜b·e|≤错误!,则a·b的最大值是________．
答案错误!
解析由已知可得:
错误!≥｜a·e|＋｜b·e｜≥｜a·e＋b·e｜＝｜(a＋b)·e｜，
由于上式对任意单位向量e都成立．
∴错误!≥|a＋b｜成立．
∴6≥(a＋b）2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b。

即6≥5＋2a·b,∴a·b≤错误!。

易错起源1、平面向量的线性运算
例1、（1)设0<θ〈错误!,向量a＝（sin2θ，cosθ）,b＝（cosθ，1），若a∥b,则tanθ＝______。

(2)(2016·课标全国乙）设D为△ABC所在平面内一
点，错误!＝3错误!，则（）
A。

错误!＝－错误!错误!＋错误!错误! B.错误!＝错误!错误!－错误!错误! C。

错误!＝错误!错误!＋错误!错误! D.错误!＝错误!错误!－错误!错误!
答案（1）错误!（2)A
【变式探究】(1)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC ＝60°，AD为BC边上的高,O为AD的中点，若
AO，→＝λ错误!＋μ错误!，则λ＋μ等于( ）
A．1 B。

错误!
C.错误!
D.错误!
(2）如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么错误!等于( )
A。

错误!错误!－错误!错误! B。

错误!错误!＋错误!错误!
C.错误!错误!＋错误!错误!D。

错误!错误!－错误!错误!
答案（1)D （2)D
解析(1）∵错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!，
∴2错误!＝错误!＋错误!错误!,
即错误!＝错误!错误!＋错误!错误!。

故λ＋μ＝错误!＋错误!＝错误!.
(2)在△CEF中，有错误!＝错误!＋错误!。

因为点E为DC的中点，所以错误!＝错误!错误!.
因为点F为BC的一个三等分点，所以错误!＝错误!错误!。

所以错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!
＝错误!错误!－错误!错误!，故选D。

【名师点睛】
（1)对于平面向量的线性运算,要先选择一组基底;同时注意共线向量定理的灵活运用．（2）运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．
【锦囊妙计，战胜自我】
1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时,要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时,要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．
易错起源2、平面向量的数量积
例2、（1）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB
＝8,AD＝5，错误!＝3错误!，错误!·错误!＝2，则错误!·错误!的值是________．
（2）若b＝错误!，｜a｜＝2|b｜,且（错误!a＋b)·b＝－2，则向量a,b的夹角为（)
A。

错误! B.错误!
C.错误!
D.错误!
答案（1）22 (2)C
(2)b2＝cos2错误!＋cos2错误!
＝cos2错误!＋sin2错误!＝1，
所以｜b｜＝1，｜a|＝2。

由（错误!a＋b）·b＝－2，可得错误!a·b＋b2＝－2,
故a·b＝－错误!。

故cos〈a，b〉＝错误!＝错误!＝－错误!。

又〈a，b〉∈0，π］，所以〈a，b〉＝错误!,故选C。

【变式探究】（1)已知点A，B，C,D在边长为1的方格点图的位置如图所示，则向量错误!在错误!方向上的投影为( ）
A．－错误!B．－1
C．－错误!D。

错误!
（2）已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，则错误!·错误!的值为________；错误!·错误!的最大值为________．
答案（1)A (2）1 1
解析(1）不妨以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得错误!＝(－2,3），错误!＝（4，2)，所以向量错误!在错误!方向上的投影为错误!＝错误!＝－错误!.故选A。

(2)方法一分别以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系，
则A(0，0），B(1，0），C(1,1)，D(0,1)，设E（t，0），t∈0，1］,则错误!＝(t，－1)，错误!＝(0，－1），所以错误!·错误!
＝（t,－1)·(0,－1）＝1.
因为错误!＝(1,0),所以错误!·错误!＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1,
故错误!·错误!的最大值为1.
方法二由图知，
无论E点在哪个位置，DE→在错误!方向上的投影都是CB ＝1，∴错误!·错误!＝|错误!|·1＝1，
当E运动到B点时,错误!在错误!方向上的投影最大即为DC＝1，
∴(错误!·错误!)max＝｜错误!｜·1＝1.
【名师点睛】
(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义,坐标运算，数量积的几何意义;
（2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．
【锦囊妙计,战胜自我】
1．数量积的定义：a·b＝｜a｜｜b｜cosθ。

2．三个结论
（1）若a＝（x，y)，则|a|＝错误!＝错误!.
（2)若A（x1，y1)，B(x2，y2）,则
｜错误!|＝错误!.
(3）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）,θ为a与b的夹角，
则cos θ＝错误!＝错误!。

易错起源3、平面向量与三角函数
例3、已知函数f （x )＝2cos 2x ＋2错误!sin x cos x （x ∈R)．
（1）当x ∈0,错误!)时，求函数f （x )的单调递增区间；
(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3,f （C ）＝2，若向量m ＝(1，sin A ）与向量n ＝(2，sin B )共线,求a ,b 的值．
解 （1)f (x )＝2cos 2x ＋错误!sin2x ＝cos2x ＋错误!sin2x ＋1＝2sin(2x ＋错误!）＋1,
令－错误!＋2k π≤2x ＋错误!≤错误!＋2k π，k ∈Z，
解得k π－π3
≤x ≤k π＋错误!,k ∈Z， 因为x ∈0，错误!）,
所以f （x )的单调递增区间为0,错误!]．
（2）由f （C )＝2sin(2C ＋错误!）＋1＝2，
得sin （2C ＋错误!)＝错误!，
而C ∈（0，π)，所以2C ＋错误!∈(错误!，错误!),
所以2C ＋错误!＝错误!π，解得C ＝错误!.
因为向量m ＝（1,sin A )与向量n ＝（2，sin B ）共线， 所以错误!＝错误!.
由正弦定理得错误!＝错误!,①
由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 错误!，
即a 2＋b 2－ab ＝9。

②
联立①②，解得a ＝3,b ＝23。

【变式探究】已知平面向量a＝（sin x，cos x)，b＝（sin x,－cos x)，c＝(－cos x,－sin x），x∈R，函数f(x)＝a·(b －c)．
(1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若f错误!＝错误!，求sinα的值．
解（1)因为a＝（sin x，cos x)，b＝（sin x，－cos x），c＝(－cos x，－sin x),
所以b－c＝（sin x＋cos x，sin x－cos x），
f(x)＝a·（b－c）＝sin x（sin x＋cos x)＋cos x（sin x－cos x）．则f（x)＝sin2x＋2sin x cos x－cos2x
＝sin2x－cos2x＝错误!sin错误!.
则当2kπ＋错误!≤2x－错误!≤2kπ＋错误!，k∈Z，
即kπ＋错误!≤x≤kπ＋错误!，k∈Z时，函数f(x)为减函数．所以函数f（x)的单调递减区间是错误!,k∈Z.
（2）由（1）知，f（x)＝2sin错误!，
又f错误!＝错误!，
则错误!sin错误!＝错误!，sin错误!＝错误!。

因为sin2错误!＋cos2错误!＝1，
所以cos错误!＝±错误!.
又sinα＝sin错误!
＝sin错误!cos错误!＋cos错误!sin错误!,
所以当cos错误!＝错误!时，
sinα＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!；
当cos错误!＝－错误!时,sinα＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!。

【名师点睛】
在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系,利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系,就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．
【锦囊妙计，战胜自我】
平面向量作为解决问题的工具,具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题,通过向量运算作为题目条件．
1．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若错误!＝2错误!，错误!＝错误!错误!＋λ错误!，则λ等于（）
A.错误!B。

错误!
C．－错误!D．－错误!
答案A
解析在△ABC中，已知D是AB边上一点，
∵AD，→＝2错误!，错误!＝错误!错误!＋λ错误!，∴错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!－错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!，∴λ＝错误!.
2．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足错误!＝2a，错误!＝2a＋b，则下列结论正确的是( ）A．|b|＝1 B．a⊥b
C．a·b＝1 D．（4a＋b）⊥错误!
答案D
3．在等腰△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝AC＝2，错误!＝2错误!，错误!＝3错误!，则错误!·错误!的值为( )
A．－错误!B．－错误!
C.错误!
D.错误!
答案A
解析由已知得到错误!·错误!＝错误!（错误!＋错误!)·(错误!＋错误!错误!）＝－错误!错误!2＋错误!错误!·错误!＋错误!错误!·错误!＋错误!
2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°,AB＝AC 错误!
＝2，所以错误!·错误!＝－错误!×22＋0＋0＋错误!×22＝－错误!，故选A.
4．已知向量a,b满足（a＋2b)·（a－b）＝－6，且｜a|＝1，｜b|＝2，则a与b的夹角为( )
A.错误!B。

错误!
C.错误!D。

错误!
答案B
解析设a与b的夹角为θ，∵(a＋2b）·（a－b）＝－6，且｜a|＝1,|b|＝2，∴1＋a·b－8＝－6，∴a·b＝1＝|a|｜b|cosθ,∴cosθ＝错误!，
又∵θ∈0，π］,∴θ＝错误!，故选B.
5．已知平面向量a、b(a≠0,a≠b)满足｜a|＝3，且b 与b－a的夹角为30°，则|b|的最大值为( ) A．2B．4C．6D．8
答案C
解析令错误!＝a,错误!＝b，则b－a＝错误!－错误!＝错误!，如图,
∵b与b－a的夹角为30°，∴∠OBA＝30°，
∵｜a｜＝｜错误!|＝3，∴由正弦定理错误!＝错误!得，|b|＝｜错误!｜＝6·sin∠OAB≤6,故选C。

6．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5错误!＝AB→＋3错误!，则△ABM与△ABC的面积比值为
________．
答案错误!
解析设AB的中点为D，
由5错误!＝错误!＋3错误!，得3错误!－3错误!＝2错误!－2错误!，
即3错误!＝2错误!。

如图所示，故C,M，D三点共线，且错误!＝错误!错误!,
也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，
则△ABM与△ABC的面积比值为错误!.
7．设向量错误!＝(5＋cosθ，4＋sinθ），错误!＝(2，0)，则｜错误!｜的取值范围是________．
答案4，6]
解析∵错误!＝错误!－错误!＝(－3－cosθ，－4－sinθ），∴|错误!｜2＝(－3－cosθ）2＋（－4－sinθ）2
＝6cosθ＋8sinθ＋26＝10sin（θ＋φ)＋26，
其中tanφ＝错误!，
∴16≤|错误!｜2≤36，∴4≤｜错误!|≤6。

8．设向量a＝（a1，a2),b＝（b1，b2)，定义一种向量积a⊗b＝（a1b1,a2b2），已知向量m＝（2，错误!)，n＝（错误!，0），点P(x，y)在y＝sin x的图象上运动,Q是函数y＝f(x)图象上的点,且满足错误!＝m⊗错误!＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x）的值域是________．
答案－错误!，错误!]
9．已知函数f （x )＝错误!sin x cos x ＋sin 2x ＋错误!(x ∈R )．
（1）当x ∈错误!时,求函数f (x )的最小值和最大值；
(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,且c ＝3,f （C )＝2，若向量m ＝(1，a ）与向量n ＝(2，b ）共线，求a ，b 的值．
解 (1)∵函数f (x ）＝3sin x cos x ＋sin 2x ＋错误! (x ∈R ），
∴f (x )＝错误!sin2x ＋错误!＋错误!
＝错误!sin2x －错误!cos2x ＋1
＝sin （）2x －π6＋1。

∵－错误!≤x ≤错误!,∴－错误!≤2x －错误!≤错误!，
∴－错误!≤sin 错误!≤1，
∴1－错误!≤sin 错误!＋1≤2,
∴f （x )的最小值是1－错误!，最大值是2。

（2)∵f (C )＝sin 错误!＋1＝2，
∴sin 错误!＝1，∵0<C 〈π，
∴－π
6
<2C－错误!<错误!，
∴2C－错误!＝错误!，解得C＝错误!.
∵向量m＝（1，a)与向量n＝（2，b)共线，
∴b－2a＝0，即b＝2a。

①
由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab cos错误!，
即a2＋b2－ab＝3。

②
由①②得a＝1，b＝2。

10．已知向量a＝（cosα，sinα)，b＝(cos x,sin x)，c ＝(sin x＋2sinα，cos x＋2cosα），其中0〈α〈x〈π。

（1）若α＝错误!,求函数f（x)＝b·c的最小值及相应x的值；
（2)若a与b的夹角为错误!,且a⊥c，求tan2α的值．
解（1)∵b＝(cos x,sin x)，
c＝(sin x＋2sinα，cos x＋2cosα），α＝错误!，
∴f（x）＝b·c
＝cos x sin x＋2cos x sinα＋sin x cos x＋2sin x cosα
＝2sin x cos x＋错误!（sin x＋cos x）．
令t＝sin x＋cos x错误!，
则2sin x cos x＝t2－1，且－1〈t〈错误!.
则y＝t2＋错误!t－1＝错误!2－错误!，－1<t<错误!，
∴t＝－错误!时,y min＝－错误!，此时sin x＋cos x＝－错误!，即错误!sin错误!＝－错误!，
∵错误!〈x〈π,∴错误!<x＋错误!<错误!π，
∴x＋错误!＝错误!π，∴x＝错误!。

∴函数f（x)的最小值为－错误!，相应x的值为错误!。

(2）∵a与b的夹角为错误!，
∴cos π
3
＝错误!＝cosαcos x＋sinαsin x
＝cos（x－α）．
∵0〈α<x〈π，∴0〈x－α〈π，∴x－α＝错误!.∵a⊥c，
∴cosα(sin x＋2sinα）＋sinα(cos x＋2cosα)＝0，∴sin(x＋α）＋2sin2α＝0,
即sin错误!＋2sin2α＝0。

∴错误!sin2α＋错误!cos2α＝0，
∴tan2α＝－错误!。