高二秋季物理竞赛班第04讲_静磁场.教师版

高二物理竞赛
第4讲
静磁场
本讲导学
学会应用使用Biot-Savart定律和安培环路定理计算磁场
掌握通电导线在磁场中的运动。

知识点睛
第一部分电流产生磁场
知识点睛
基本磁现象
指南针恐怕是大家最熟悉的对磁现象的应用了. 磁分南北两极,同性相吸异性相斥,两只小磁铁之间的作用与两个电偶极之间的作用如出一辙. 有了这些相同点,自然会设想,磁现象应该是由磁荷产生,如电荷一样,磁荷也分南北(或正负)两类,各磁荷之间的相互作用完全类比于电荷…一切似乎就是这么安排的.但遗憾的是,尽管在感情上我们希望磁单极子存在,甚至在理论上已经证明磁单极子有存在的可能性,人类至今没有可靠证据证明磁单极子的存在.
电流的磁效应、安培定律
在发现电学和磁学现象的很长一段时间之内，人们都将这两个领域分开来研究，直到一些重要的事实不断被发现，人们才认识到电磁之间不可分割的联系.
其中比较重要的实验如奥斯特实验，发现电流可以对磁铁产生作用.如下图所示，当往与指南针接近的导线中通上电流时，指南针会出现偏转.
当然，由牛顿第三定律，你自然会想到，磁铁对通电导线也会产生作用，要观察到的话，理所当然应该固定磁铁，让导体容易动起来. 于是有如下图所示实验.在蹄形磁铁两极之间悬挂一个导体棒，通上电流时，导体棒会受到向外的力而偏离原先位置.
更进一步的实验会发现，同一磁场对一小段电流元Id l⃗（d l⃗的正方向为电流方向）的作用力，正比于电流大小，正比于d l⃗垂直于磁场方向的分量，且作用力的方向垂直于d l⃗和B⃗⃗. 即：
d F
⃗∝Idl ⃗×B ⃗⃗. 取系数为1，即d F
⃗=Idl ⃗×B ⃗⃗ 则上式可视作磁感应强度B
⃗⃗的一个定义式.
毕奥－萨伐尔定律
电流产生的磁场可以由毕奥－萨伐尔定律直接计算。

在载流导线上取电流元l Id
，空间任一点P ，该点的磁感应强度为B d ，l Id 与矢径r
的夹角为 ，实验表明，真空中
2
sin r Idl k
dB
0/4k ，其中720410N A 为真空磁导率。

故
2
0sin 4r
Idl dB
B d
的方向：即r l Id 的方向(右手螺旋法则确定)
写成矢量形式为3
04r
r
l Id B d
注意：用这个定律的时候一定要算一整圈电流积分的定律，不然有可能会得到荒谬的结果。

运动的电荷产生的磁场是类似的
03
4qv r dB r v v
v
磁场无源定理
如果用类似定义电通量的办法定义磁通量，会发现封闭的曲面上磁通量等于0
B dS u v u v
Ò 这是由于并不存在像电荷一样的磁荷。

安培环路定理
在空间中任意做一个闭合回路，回路上的磁场的积分正比于穿过这个面的总电流：
0B dl I u u v v Ñ
比较：静电场里面，等号后面是0。

这个式子经常被用做在对称性的体系求电流产生磁场。

例如无限长螺线管nI B 0
无限长直导线
02I
B r
均匀的线电流密度为 的无限大平板 02
B
常见的几种磁场： 1. 载流长直导线： 120cos cos 4
a I
B 2. 圆形电流轴线：
2
/322
2
02x
R IR B
圆心处：R
I
B 20
3. 载流直螺线管： 120cos cos 2
nI
B
例题精讲
【例1】 在x -y 平面上方是真空，一电流I 沿着z 轴正无穷流向原点，并在原点处均匀地向各个方向发
散到下半平面各个方向。

求空间任意点磁感应强度。

[答案] 上平面02I
B
下平面B
【例2】 给出下图各电流在A 点产生的磁感应强度大小和方向.
1. 2.
[解析]1.两直线贡献为0；2.方向：右手螺旋定则，平行轴线向右 [答案] 1.
μ02π(π−θ)I
r
,垂直纸面向内； 2.
μ0r 2I
2(d 2+r 2)32
【例3】 一个无限大导体平面中有面电流密度为j 的恒定电流. 求距此平面r 处磁感应强度大小和方向.
[解析]对称性+安培环路定理. 请老师说明面电流密度是啥…
[答案]μ0j 2
【例4】 一个半径为R 的无限长圆柱中，沿轴线方向通有电流密度为j 的恒定电流，求产生的磁场分
布.
[解析]对称性+安培环路定理.
[答案]{μ0jr
2,r ≤R μ0jR
2
2r
,r >R
【例5】 两个相互平行的无限长圆柱，半径都为R ，轴线相距d<2R.相互重叠处没有电流，未重叠处分
别沿轴线方向通有电流密度为±j 的恒定电流，求重叠处磁场分布.
[解析]先将两圆柱电流补全，利用上问结论计算
△AO1O2∽△CAD，故B⃗⃗垂直于O1O2连线，为匀强磁场. [答案]
B=μ0jd 2
【例6】根据对称性说明理想无限长通电螺线管外磁场为零.并由此说明内部磁场恒定，求此磁感应强度的大小.（螺线管中电流大小为I，单位长度匝数为n）
[解析]对称性+安培环路.
【例7】有限长通电螺线管在中轴线上某A点产生的磁场.螺线管参数为：电流I、单位长度匝数n，A 点到两边缘与轴线的夹角为θ1和θ2.
[解析]等效. dl长的一小段螺线管产生的磁场为（见例2）
dB=μ0nI
2
a
r2
dl sinθ=
μ0nI
2
a
r2
dl⊥=
μ0nI
2
a
r
dl⊥
r
=
μ0nI
2
sinθ dθ
[答案]
B =
μ0nI
2
(cos θ1−cos θ2) 【例8】 估算基态氢原子中，电子在原子核处产生的磁场。

用氢原子经典半径0r 代表
[解析]牛顿定律：22
2
000
4v e m r r
v
磁场0204qv B r
第二部分 电流在磁场中的受力
知识点睛
安培力
在第一部分中，我们利用通电导线在磁场中的受力，定义了磁感应强度. 这个力叫做安培力，再次写出来：
d F Idl B u v v u v
闭合线圈在均匀磁场中受到的安培力合力一定为0，但合力矩可以非0.如果不是匀强磁场，就只能把各部分电流所受安培力分开计算了。

平面闭合线圈在匀强磁场中的力矩为：
M
⃗⃗⃗=IdS ⃗×B ⃗⃗ 其中S ⃗的方向为垂直于线圈平面，用右手螺旋法则确定其正方向.
例题精讲
【例9】 说明图1中两通电线受安培力相同. 计算图2中矩形总安培力. 以图3中矩形线圈为例，验证
M
⃗⃗⃗=IdS ⃗×B ⃗⃗. 1.
2. 3.
[解析]略
【例10】一根硬铁丝弯成五角星状，重叠处相互绝缘，中间正五边形边长a.磁场从纸面向外，与法向夹角为θ，如图. 通电流I. 求力矩M⃗⃗⃗.
[解析]略
[答案] IS⃗×B⃗⃗，其中S为中间正五边形的面积.
【例11】两个无限大导体平面中分别有面电流密度为±j的恒定电流，无限大导体平面相互平行，相距
a. 求两平面之间磁场分布，并求其中一个平面单位面积上受力.
[解析]注意只考虑外场.
[答案] 单位面积受力：f=μ0j2 2
【例12】一个半径为R的无限长圆柱中，沿轴线方向通有电流密度为j的恒定电流.在圆柱表面包有一薄层导体膜，沿与j相同方向通有强度为I的电流，导体膜与圆柱绝缘，求膜中单位面积受力.
[解析] 安培力分为两部分，内圆柱磁场产生的安培力F1和导体膜产生磁场的安培力F2.
对张角为dθ，纵向长度为dl的一小段薄膜，容易得到
dF1=μ0jR
2
I
dθ
2π
dl
dF2，外场应为μ0I
2πR
的一半，故
dF 2=
μ0I 4πR I dθ
2π
dl 故单位面积受力
f =
μ0jR 2 I 12πR +μ0I 4πR I 12πR =μ0I 4πR （jR +I
2πR
）
【例13】 如图所示，平面∑1与平面∑2相交于直线MN ，两平面之间的夹角为φ＝45º。

周围空间有图
示的匀强磁场B ，其方向与平面∑1平行且与直线MN 垂直。

在平面∑2上有—长方形电阻丝网络，它由7根长度均为l 的不同材料电阻丝连接而成，网络的ab 边与直线MN 平行。

假设电流I 从a 点流人，从d 点流出，试求电流网络abcdef 所受安培力的大小F 。

[解析]先通过电路解出电流分布，abc ，afc 电压相等：
2()ab af af ab I I I I :2:3ab af I I
231;;555
ab af fc I I I I I I
所以总电流矢量$$2;Il Ilx Il y v （不解电路，直接通过电流守恒也能得到这个结果） 所以$
22(
)22
B B z y u v $
$$$22(2)()22
F Il x y B z y u v $
$$22(2)22
F IlB y z x u v $。