多元函数

注：(1) n维空间的记号为 维空间的记号为
Rn ;
(2) n维空间中两点间距离公式 维空间中两点间距离公式
设两点为 P ( x 1 , x 2 , L , x n ), Q( y1 , y 2 , L , y n ),
| PQ |= ( y1 − x1 ) + ( y 2 − x 2 ) + L + ( y n − x n ) .
U ( P0 , δ ) = {P | PP0 |< δ }
δ
•
P0
= ( x, y) | ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ .
{
}
2. n维空间 维空间
为取定的一个自然数， 设 n 为取定的一个自然数，我们称 n 元数组 维空间， ( x1 , x 2 ,L , x n ) 的全体为 n 维空间 ， 而每个 n 元数组 ( x 1 , x 2 , L , x n ) 称为 n 维空间中的一个 个坐标. 点，数 x i 称为该点的第 i 个坐标
x → x0 y→ y → y0
但两者不相等， 但两者不相等，此时也可断言 f ( x , y ) 在点
P0 ( x0 , y0 ) 处极限不存在． 处极限不存在．
(3) 特殊趋向： = x, y = x2 , x = y2 , y = x3等. 特殊趋向： y
7.1.4 多元函数的连续性 1. 多元函数连续性的定义 定义7.1.3 定义7.1.3 设 n 元 函 数 f (P ) 的 定 义 域 为 点 集
的路径而趋于P 如有不同的极限， 的路径而趋于 0，如有不同的极限，则二重极限 不存在。 不存在。 证明：令P沿直线 沿直线y=kx而趋于点 0(0,0),则有 而趋于点P 证明： 沿直线 而趋于点 则有
xy kx2 k lim 2 = 2 = lim 2 2 2 2 x→0 x→0 x + k x x +y 1+ k y=kx→0
x2 y 1 → x x→ 0, 2 2 ≤ 0 x +y 2
sin( x 2 y ) ∴ lim 2 = 0. 2 x →0 x + y y→0
xy 不存在 例2 证明 lim 2 2 x→0 x + y y→0 分析：要证明二重极限不存在，可使P选择不同 分析：要证明二重极限不存在，可使 选择不同
1 = lim = . x →0 xy + 1 + 1 2 y→0
1
7.2
偏导数与全微分
7.2.1 偏导数的概念 7.2.2 偏导数的几何意义 7.2.3 高阶偏导数 7.2.4 全微分
7.2.1 偏导数的概念 1. 偏导数的定义 (1) f (x,y)在点 0(x0,y0)处的偏导数 在点P 在点 处的偏导数
xy lim 2 不存在 2 x→0 x + y y→0
显然，此极限值随 的变化而变化 的变化而变化, 显然，此极限值随k的变化而变化,所以二重极限
例2*.
沿直线y=kx而趋于(0，0)点时， 而趋于( 解：当P沿直线 沿直线 而趋于 ， )点时， x2 y kx3 kx lim 4 = lim 4 = lim 2 =0 x→0 2 x→0 x + k 2 x2 x + y2 x→0 x + k y=kx→0 当P沿曲线 沿曲线y=kx2而趋于 ，0)时, 而趋于(0， 时 沿曲线
x2 y lim 4 是否存在？ 是否存在？ 2 x→0 x + y y→0
x2 y k kx4 lim 4 = 2 = lim x→0 4 2 4 x +y x→0 x + k x 2 1+ k2 y=kx →0
它是与k的取值有关的， 它是与 的取值有关的，所以二重极限 的取值有关的
x2 y lim 4 不存在 2 x→0 x + y y→0
的连续性． 在(0,0)的连续性． 的连续性 解 取 y = kx
xy kx 2 k lim 2 = lim 2 x →0 x + y 2 2 2 = x →0 x + k x y→0 1+ k2 y = kx
其值随k的不同而变化， 极限不存在． 其值随 的不同而变化， 极限不存在． 的不同而变化 故函数在(0,0)处不连续． 处不连续． 故函数在 处不连续
2 2 2
特殊地当n=1，2，3 时，便为数轴、平面、 ， ， 便为数轴、平面、 特殊地当 空间两点间的距离． 空间两点间的距离． 注：n维空间中邻域概念 维空间中邻域概念 邻域： 邻域： U ( P0 , δ ) = P | PP0 |< δ , P ∈ R n
{
}
7.1.2 多元函数的概念 1. 二元函数的定义 是平面上的一个点集， 定义 7.1.1 设D是平面上的一个点集，则称映射 是平面上的一个点集 f:D→R为定义在 上的二元函数， 为定义在D上的二元函数 → 为定义在 上的二元函数，
3.
多元初等函数的连续性
多元初等函数： 多元初等函数：由常数及不同自变量的一元 基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步 骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫 多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域． 是指包含在定义域内的区域或闭区域
则称此极限为函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x 的偏导数，记为 的偏导数，
间断点的判别与一元函数类似。 注: (1) 间断点的判别与一元函数类似。 (2)多元函数不仅有间断点而且有间断线。 多元函数不仅有间断点而且有间断线。 多元函数不仅有间断点而且有间断线 (3)多元连续函数具有一元连续函数相同的性质。 多元连续函数具有一元连续函数相同的性质。 多元连续函数具有一元连续函数相同的性质
x→x0 y→y0 y→y0 x→x0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． 二元函数的极限运算法则与一元函数类似． （4） 二元以上的函数的极限可类似地定义。 ） 二元以上的函数的极限可类似地定义。
2．二元函数极限问题举例2 ． sin( x y ) . 例1 求极限 lim 2 2
x →0 y→0
确定极限不存在的方法： 确定极限不存在的方法： 不存在的方法 （1） 令 P ( x , y ) 沿 y − y0 = k ( x − x0 ) 趋向于 ）
有关， P0 ( x 0 , y0 ) ，若极限值与 k 有关，则可断 言极限不存在； 言极限不存在；
存在， （2） 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x , y ) 存在， ） 找两种不同趋近方式，
一般地， 一般地，求 lim f ( P ) 时，如果 f ( P ) 是初等函
P → P0
的定义域的内点， 数，且 P0 是 f ( P ) 的定义域的内点，则 f ( P ) 在 处连续， 点 P0 处连续，于是 lim f ( P ) = f ( P0 ).
P → P0
xy + 1 − 1 例5 求 lim . x→0 xy y→0 xy + 1 − 1 解 原式 = lim x→0 y → 0 xy ( xy + 1 + 1)
取
= lim ρ (sin 3 θ + cos 3 θ ) = 0
ρ →0
( x , y )→ ( 0 ,Байду номын сангаас0 )
lim
f ( x , y ) = f (0,0),
故函数在(0,0)处连续 处连续. 故函数在 处连续
例4 讨论函数
xy 2 2 , x + y ≠0 2 2 f ( x, y) = x + y 0, x2 + y2 = 0
x +y
解
x2 y sin( x 2 y ) sin( x 2 y ) , lim 2 = lim ⋅ 2 2 2 2 x→0 x →0 x + y x y x +y y→0 y →0 lim
x→0 y →0
其中
u = x2 y sin( x y )
2
x2 y
sin u = 1, lim u→ 0 u
2. 二元函数 二元函数z=f(x,y) 的图形
二元函数的图形通常是一张曲面. 二元函数的图形通常是一张曲面
7.1.3 多元函数的极限
设 函 数 z = f ( x, y) 的 定 义 域 为 是其聚点， D, P0 ( x 0 , y 0 )是其聚点， 如果对于任意给定的正 数 ε ， 总存在正数 δ ， 使得对于适合不等式 0 <| PP0 |= ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 < δ 的 一 切 成立， 点，都有| f ( x , y ) − A |< ε 成立，则称 A 为函数 时的极限， z = f ( x , y ) 当 x → x 0 ， y → y 0 时的极限， 记为 lim f ( x , y ) = A （或 f ( x , y ) → A ( ρ → 0)这里 ρ =| PP0 |）.
x3 + y3 , ( x , y ) ≠ (0,0) 2 2 例3 讨论函数 f ( x , y ) = x + y 0, ( x , y ) = (0,0) 处的连续性． 在(0,0)处的连续性． 处的连续性
解
x = ρ cosθ , y = ρ sin θ 3 3 x +y lim f ( x , y ) = lim 2 x →0 x→0 x + y 2 y→0 y →0
定义 7.2.1 设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内有定义， 某一邻域内有定义， 当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增 量 ∆x 时，相应地函数有增量 f ( x 0 + ∆x , y0 ) − f ( x 0 , y0 ) ，
f ( x 0 + ∆x , y0 ) − f ( x 0 , y0 ) (1)存在 存在， 如果 lim (1)存在， ∆x → 0 ∆x
D, P0 是其聚点且 P0 ∈ D ，如果 lim f ( P ) = f ( P0 )
P → P0
则称 n元函数 f (P ) 在点 P0 处连续. 处连续.
的定义域的聚点， 设 P0 是函数 f (P ) 的定义域的聚点 ，如果 f (P ) 处不连续， 的间断点. 在点 P0 处不连续，则称 P0 是函数 f (P ) 的间断点
2. 闭区域上连续函数的性质 （1）最大值和最小值定理 ） 在有界闭区域D上的多元连续函数， 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上 至少取得它的最大值和最小值各一次． 至少取得它的最大值和最小值各一次． （2）介值定理 ） 在有界闭区域D上的多元连续函数， 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果 上取得两个不同的函数值，则它在D 在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取 得介于这两值之间的任何值至少一次． 得介于这两值之间的任何值至少一次．
第7章 多元函数微分学及其应用 章
7.1 7.2 7.3 7.4 多元函数的概念 偏导数与全微分 多元复合函数求导法 隐函数求导法
7.5 多元函数微分学的几何应用 7.6 方向导数与梯度 7.7 多元函数的极值及其求法
7.1 多元函数的概念 7.1.1 平面点集的有关概念 1. 邻域
设 P0 ( x 0 , y 0 ) 是 xoy 平面上的一个点，δ 是某 平面上的一个点， 一正数， 一正数，与点 P0 ( x 0 , y 0 ) 距离小于 δ 的点 P ( x , y ) 的全体， 邻域， 的全体，称为点 P0 的δ 邻域，记为U ( P0 , δ ) ，
记为 z = f ( x , y ), ( x , y ) ∈ D , 或 z = f ( P ), P ∈ D
类似地可定义三元及三元以上函数． 类似地可定义三元及三元以上函数．
元函数统称为多元函数. 当 n ≥ 2 时， n 元函数统称为多元函数
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念. 因变量等概念
x → x0 y → y0
1. 定义 定义7.1.2 定义
注：
的方式是任意的； （1）定义中 P→P0 的方式是任意的；
lim （2）二元函数的极限也叫二重极限 x → x f ( x , y );
0 y → y0
不同。 与二次极限lim lim f ( x, y)及lim lim f ( x, y)不同。