高考数学复习点拨 反证法的应用情境

高考数学复习点拨 反证法的应用情境
反证法不是直接证明命题结论正确，而是通过证明结论反面不正确，来说明结论的正确性．因而如果“结论的反面”比结论本身更具体、更明确、更简单，则适宜用反证法．主要有以下几种类型：
一、正面繁琐或困难时宜用反证法
例1 设函数()f x 的定义域是[01]，，(0)(1)f f =，且对任意的12[01]x x ∈，，，12x x ≠，均有2121()()2f x f x x x -<-，求证：对任意的12[01]x x ∈，，，12x x ≠，均有21()()1f x f x -<． 分析：若用直接法，需分类讨论，于是可考虑使用反证法．
证明：（反证法）假设12[01]x x ∈，，，12x x ≠，使得21()()1f x f x -≥．不妨设12x x >，则21211()()[()(0)][(0)()]f x f x f x f f f x -=-+-≤
21()(0)(0)()f x f f f x -+-≤212112202122222()x x x x x x <-+-=+-=--． 所以12102x x <-<，故由条件可得21211()()2212
f x f x x x -<-<⨯=． 这与假设矛盾，故原命题成立．
点评：当命题“结论反面”比“结论”更明确具体时，可采用反证法．本题的结论的反面只有一种情况，故推翻此种情况就达到证明目的，本题运用了212121()()[()(0)][(0)()]()(0)(0)()f x f x f x f f f x f x f f f x -=-+--+-≤．
二、当命题的结论涉及“至少”“至多”“无限”时，可考虑用反证法
例2 设有八个密封的乒乓球盒子，每个盒子里最多可以放六个球,试证明至少有两个盒子里放的乒乓球的个数相等.
证明：假设八个乒乓球盒子里的乒乓球的个数都不相等,那么每个盒子里放的乒乓球的个数只能是零个、一个、二个、三个、四个、五个、六个、七个.这说明至少有一个盒子里放的乒乓球的个数有七个,这就与题设条件"每个盒子里最多可以放六个乒乓球"相矛盾.故至少有两个盒子里放的乒乓球的个数相等.
三、唯一性命题可考虑用反证法
例3 求证：方程512x =的解是唯一的．
证明：由对数的定义易得，15log 12x =是这个方程的一个解．
假设这个方程的解不是唯一的，它还有解212()x x x x =≠，则2512x =．
1
512x =∵，则21515x x =，即2151x x -=．①
由假设，得210x x -≠，从而：当210x x ->时，有2151x x ->；②
当210x x -<时，有2151x x -<．③
显然，②，③与①都矛盾，这说明假设不成立．所以原方程的解是唯一的.
点评：有关存在性与唯一性命题的证明问题，可考虑用反证法．“存在”就是“至少有一个”，其反面是“一个没有”，“惟一”就是“有且只有一个”，其反面是“至少有两个”．有时问题的结论是以否定形式出现的否定性命题，也可考虑应用反证法.。