高考数学新人教A版(文科)一轮复习课件：第七篇立体几何与空间向量第5节直线、平面垂直的判定与性质
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又 EF 綊12AB，∴EF 綊 GH. ∴四边形 EFHG 为平行四边形．∴EG∥FH，而 EG⊂平面 EDB， FH⊄平面 EDB，∴FH∥平面 EDB.
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(2)由四边形 ABCD 为正方形，有 AB⊥BC. 又 EF∥AB，∴EF⊥BC.而 EF⊥FB，∴EF⊥平面 BFC， ∴EF⊥FH.∴AB⊥FH.又 BF＝FC， H 为 BC 的中点，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面 ABCD. ∴FH⊥AC.又 FH∥EG，∴AC⊥EG. 又 AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面 EDB.
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(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理
文字语言
图形语言
一条直线与一个平
判定 面内的 两条相交
定理 直线 都垂直，则该
直线与此平面垂直
符号语言
a，b α
a∩b＝O
l⊥a
⇒l⊥
l⊥b
性质 垂直于同一个平面 定理 的两条直线 平行
ab⊥⊥αα⇒a∥b
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2.直线与平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的 射影 所成的 锐角 ，叫做这 条直线和这个平面所成的角．
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2．若平面 α 内有一条直线垂直于平面 β，则α⊥β吗？
提示：垂直．
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3．若 α⊥β，则 α 内任意直线都与 β 垂直吗？ 提示：不一定，平面 α 内只有垂直于交线的直线才与 β 垂直．
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1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 直线 l 与平面 α 内的 任意一条 直线都垂直，就说直线 l 与平面 α 互相 垂直 ．
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A 解析：因为 DD1⊥平面 ABCD，所以 AC⊥DD1，又因为 AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以 AC⊥平面 BDD1B1，因为 OM⊂平面 BDD1B1，所以 OM⊥AC.设正方体的棱长为 2，则 OM＝ 1＋2＝ 3， MN＝ 1＋1＝ 2，
ON＝ 1＋4＝ 5，所以 OM2＋MN2＝ON2，所以 OM⊥MN.故选 A.
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2．如图，在正方体 ABCE－A1B1C1D1 中，点 O，M，N 分别是 线段 BD，DD1，D1C1 的中点，则直线 OM 与 AC，MN 的位置关系是 ()
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(A)与 AC，MN 均垂直 (B)与 AC 垂直，与 MN 不垂直 (C)与 AC 不垂直，与 MN 垂直 (D)与 AC，MN 均不垂直
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(2)三种垂直关系的转化
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考查角度 2：面面垂直性质的应用． 如图，三棱锥 PABC 中，平面 PAC⊥平面 ABC，∠ABC
π ＝ 2 ，点 D，E 在线段 AC 上，且 AD＝DE＝EC＝2，PD＝PC＝4， 点 F 在线段 AB 上，且 EF∥BC.
证明：AB⊥平面 PFE.
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【反思归纳】 (1)面面垂直的证明方法 ①定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角 为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题． ②定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经 过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决． 提醒：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于 另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据．运用时要注 意“平面内的直线”．
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考点一 直线与平面垂直的判定和性质 如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，
AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H 为 BC 的中点．
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(1)求证：FH∥平面 EDB； (2)求证：AC⊥平面 EDB.
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解析：(1)设 AC 与 BD 交于点 G，则 G 为 AC 的中点．连 EG， GH，由于 H 为 BC 的中点，故 GH 綊12AB.
第七篇 立体几何(必修2)
第 5 节 直线、平面垂直的判定与性质
最新考纲 1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和 理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间垂直 关系的简单命题.
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【教材导读】 1．直线 l 与平面 α 内无数条直线垂直，则直线 l⊥α 吗？ 提示：不一定，当这无数条直线相互平行时，l 与 α 不一定垂直．
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4.如图，PA⊥圆 O 所在的平面，AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O 上 的一点，E、F 分别是点 A 在 PB、PC 上的正投影，给出下列结论：
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①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC； ④AE⊥平面 PBC. 其中正确结论的序号是________．
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解析：由题意知 PA⊥平面 ABC，∴PA⊥BC.又 AC⊥BC，PA∩ AC＝A，∴BC⊥平面 PAC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴ AF⊥平面 PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又 AE⊥PB.AE∩AF＝A，∴PB ⊥平面 AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．
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1．设 a，b 是夹角为 30°的异面直线，则满足条件“a α，b
β，且 α⊥β”的平面 α，β( )
(A)不存在
(B)有且只有一对
(C)有且只有两对
(D)有无数对
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D 解析：过直线 a 的平面 α 有无数个，当平面 α 与直线 b 平行 时，两直线的公垂线与 b 确定的平面 β⊥α，当平面 α 与 b 相交时， 过交点作平面 α 的垂线与 b 确定的平面 β⊥α.
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【反思归纳】 面面垂直性质的应用 (1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依 据，运用时要注意“平面内的直线”． (2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于 第三个平面．
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考点三 线面角与二面角的求法 如图，已知三棱锥 P－ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝4，
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【即时训练】 如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，D 是 AC 的中点，S 是△ABC 所在平面外一点，且 SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面 ABC； (2)若 AB＝BC，求证：BD⊥平面 SAC.
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解：(1)因为 SA＝SC，D 是 AC 的中点，所以 SD⊥AC. 在 Rt △ ABC 中 ， AD ＝ BD ， 又 SA ＝ SB ， SD ＝ SD ， 所 以 △ADS≌△BDS.所以 SD⊥BD.又 AC∩BD＝D，所以 SD⊥平面 ABC. (2)因为 AB＝BC，D 为 AC 的中点，所以 BD⊥AC. 由(1)知 SD⊥BD，又 SD∩AC＝D，所以 BD⊥平面 SAC.
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②二面角的平面角：在二面角 αlβ 的棱 l 上任取一点 O，以点 O 为垂足，在半平面 α 和 β 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB，则 射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．
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(2)平面与平面的垂直 ①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角 ，就说这两个平面互相垂直．
答案：①②③
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5．边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，则 AC 的长为________．
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解析：如图所示，取 BD 的中点 O，连接 A′O，CO，则∠A′OC
是二面角
A′BDC
的平面角，即∠A′OC＝90°，又
A′O＝CO＝
2 2 a.
所以 A′C＝ a22＋a22＝a， 即折叠后 AC 的长(A′C)为 a. 答案：a
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如图，∠PAO 就是斜线 AP 与平面 α 所成的角． (2)线面角 θ 的范围 [0，π2 ] ．
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3．二面角、平面与平面垂直 (1)二面角 ①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．这两个半平面叫做二面角 的面．
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如图，记作：二面角 αlβ 或二面角 αABβ 或二面角 PABQ.
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解：(1)在三棱柱 ABC－A1B1C1 中， 因为 AA1⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，所以 AA1⊥BC. 在△ABC 中，因为 AB＝2AC＝2，且∠ABC＝30°， 根据正弦定理，得sin∠ABACB＝sin∠ACABC， 所以 sin∠ACB＝1，因为 0°＜∠ACB＜180°，所以∠ACB＝90 °，即 AC⊥BC. 又 AC∩AA1＝A，所以 BC⊥平面 AA1C1C， 因为 BC⊂平面 A1BC，所以平面 A1BC⊥平面 AA1C1C.
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考点二 平面与平面垂直的判定和性质 考查角度 1：面面垂直的判定．
如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1⊥平面 ABC，AB ＝2AA1＝2AC＝2，∠ABC＝30°.
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(1)求证：平面 A1BC⊥平面 AA1C1C； (2)若点 D 是棱 AC 的中点，点 F 在线段 AC1 上，且 AC1＝3FC1， 求证：平面 B1CF∥平面 A1BD.
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【反思归纳】 (1)证明线线垂直的常用方法 ①利用特殊图形中的垂直关系； ②利用等腰三角形底边中线的性质； ③利用勾股定理的逆定理； ④利用直线与平面垂直的性质．
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(2)证明线面垂直的常用方法 ①利用线面垂直的判定定理； ②利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平 面垂直”； ③利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个 也垂直”； ④利用面面垂直的性质定理．
AB＝20，D 为 AB 的中点，且△PDB 是等边三角形，PA⊥PC.
(1)求证：平面 PAC⊥平面 ABC； (2)求二面角 D－AP－C 的正弦值．
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解析：(1)在 Rt△ACB 中，D 是斜边 AB 的中点，所以 BD＝DA. 因为△PDB 是等边三角形，所以 BD＝DP＝BP，则 BD＝DA＝ DP，因此△APB 为直角三角形，即 PA⊥BP. 又 PA⊥PC，PC∩BP＝P，所以 PA⊥平面 PCB. 因为 BC⊂平面 PCB，所以 PA⊥BC. 又 AC⊥BC，PA∩AC＝A，所以 BC⊥平面 PAC. 因为 BC⊂平面 ABC，所以平面 PAC⊥平面 ABC.
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(2)设 A1D 与 AC1 交于点 E，连接 AB1 交 A1B 于点 G，连接 EG， 如图所示，
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因为 AD∥A1C1，所以∠ADE＝∠C1A1E，∠DAE＝∠A1C1E， 所以△ADE∽△C1A1E，又点 D 是棱 AC 的中点，所以CA1EE＝CA1DA1 ＝12. 因为 AC1＝3FC1，所以 AE＝EF＝FC1，所以 CF∥DE. 因为 CF 平面 A1BD，DE⊂平面 A1BD，所以 CF∥平面 A1BD. 因为点 G 为 AB1 的中点，所以 B1F∥GE. 又 B1F 平面 A1BD，GE⊂平面 A1BD，所以 B1F∥平面 A1BD. 因为 B1F∩CF＝F，所以平面 B1CF∥平面 A1BD.
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②平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一个平面过另一个平 判定
面的 垂线 ，则这两 定理
个平面垂直
符号语言 ll⊥βα⇒α⊥β
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ห้องสมุดไป่ตู้
两个平面互相垂直， 性质 则一个平面内垂直于 定理 交线 的直线垂直于
另一个平面
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α⊥β lβ α∩β＝a l⊥a
⇒l⊥α
【重要结论】 1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这 个平面． 2．若两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 3．若一条直线和两个不重合的平面都垂直，那么这两个平面平 行．
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证明：由 DE＝EC，PD＝PC 知，E 为等腰△PDC 中 DC 边的中 点，故 PE⊥AC.
又平面 PAC⊥平面 ABC，平面 PAC∩平面 ABC＝AC， PE⊂平面 PAC，PE⊥AC，所以 PE⊥平面 ABC， 从而 PE⊥AB.
π 因为∠ABC＝ 2 ，EF∥BC，故 AB⊥EF. 从而 AB 与平面 PFE 内两条相交直线 PE，EF 都垂直， 所以 AB⊥平面 PFE.
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3．如图，AB 是半圆 O 的直径，VA 垂直于半圆 O 所在的平面， 点 C 是圆周上不同于 A，B 的任意一点，M，N 分别为 VA，VC 的中 点，则下列结论正确的是( )
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(A)MN∥AB (B)平面 VAC⊥平面 VBC (C)MN 与 BC 所成的角为 45° (D)OC⊥平面 VAC B 解析：依题意得，BC⊥AC，因为 VA⊥平面 ABC，BC⊂平 面 ABC，所以 VA⊥BC.因为 AC∩VA＝A，所以 BC⊥平面 VAC.因为 BC⊂平面 VBC，所以平面 VAC⊥平面 VBC.故选 B.
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(2)由四边形 ABCD 为正方形，有 AB⊥BC. 又 EF∥AB，∴EF⊥BC.而 EF⊥FB，∴EF⊥平面 BFC， ∴EF⊥FH.∴AB⊥FH.又 BF＝FC， H 为 BC 的中点，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面 ABCD. ∴FH⊥AC.又 FH∥EG，∴AC⊥EG. 又 AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面 EDB.
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(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理
文字语言
图形语言
一条直线与一个平
判定 面内的 两条相交
定理 直线 都垂直，则该
直线与此平面垂直
符号语言
a，b α
a∩b＝O
l⊥a
⇒l⊥
l⊥b
性质 垂直于同一个平面 定理 的两条直线 平行
ab⊥⊥αα⇒a∥b
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2.直线与平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的 射影 所成的 锐角 ，叫做这 条直线和这个平面所成的角．
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2．若平面 α 内有一条直线垂直于平面 β，则α⊥β吗？
提示：垂直．
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3．若 α⊥β，则 α 内任意直线都与 β 垂直吗？ 提示：不一定，平面 α 内只有垂直于交线的直线才与 β 垂直．
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1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 直线 l 与平面 α 内的 任意一条 直线都垂直，就说直线 l 与平面 α 互相 垂直 ．
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A 解析：因为 DD1⊥平面 ABCD，所以 AC⊥DD1，又因为 AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以 AC⊥平面 BDD1B1，因为 OM⊂平面 BDD1B1，所以 OM⊥AC.设正方体的棱长为 2，则 OM＝ 1＋2＝ 3， MN＝ 1＋1＝ 2，
ON＝ 1＋4＝ 5，所以 OM2＋MN2＝ON2，所以 OM⊥MN.故选 A.
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2．如图，在正方体 ABCE－A1B1C1D1 中，点 O，M，N 分别是 线段 BD，DD1，D1C1 的中点，则直线 OM 与 AC，MN 的位置关系是 ()
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(A)与 AC，MN 均垂直 (B)与 AC 垂直，与 MN 不垂直 (C)与 AC 不垂直，与 MN 垂直 (D)与 AC，MN 均不垂直
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(2)三种垂直关系的转化
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考查角度 2：面面垂直性质的应用． 如图，三棱锥 PABC 中，平面 PAC⊥平面 ABC，∠ABC
π ＝ 2 ，点 D，E 在线段 AC 上，且 AD＝DE＝EC＝2，PD＝PC＝4， 点 F 在线段 AB 上，且 EF∥BC.
证明：AB⊥平面 PFE.
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【反思归纳】 (1)面面垂直的证明方法 ①定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角 为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题． ②定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经 过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决． 提醒：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于 另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据．运用时要注 意“平面内的直线”．
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考点一 直线与平面垂直的判定和性质 如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，
AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H 为 BC 的中点．
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(1)求证：FH∥平面 EDB； (2)求证：AC⊥平面 EDB.
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解析：(1)设 AC 与 BD 交于点 G，则 G 为 AC 的中点．连 EG， GH，由于 H 为 BC 的中点，故 GH 綊12AB.
第七篇 立体几何(必修2)
第 5 节 直线、平面垂直的判定与性质
最新考纲 1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和 理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间垂直 关系的简单命题.
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【教材导读】 1．直线 l 与平面 α 内无数条直线垂直，则直线 l⊥α 吗？ 提示：不一定，当这无数条直线相互平行时，l 与 α 不一定垂直．
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4.如图，PA⊥圆 O 所在的平面，AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O 上 的一点，E、F 分别是点 A 在 PB、PC 上的正投影，给出下列结论：
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①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC； ④AE⊥平面 PBC. 其中正确结论的序号是________．
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解析：由题意知 PA⊥平面 ABC，∴PA⊥BC.又 AC⊥BC，PA∩ AC＝A，∴BC⊥平面 PAC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴ AF⊥平面 PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又 AE⊥PB.AE∩AF＝A，∴PB ⊥平面 AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．
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1．设 a，b 是夹角为 30°的异面直线，则满足条件“a α，b
β，且 α⊥β”的平面 α，β( )
(A)不存在
(B)有且只有一对
(C)有且只有两对
(D)有无数对
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D 解析：过直线 a 的平面 α 有无数个，当平面 α 与直线 b 平行 时，两直线的公垂线与 b 确定的平面 β⊥α，当平面 α 与 b 相交时， 过交点作平面 α 的垂线与 b 确定的平面 β⊥α.
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【反思归纳】 面面垂直性质的应用 (1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依 据，运用时要注意“平面内的直线”． (2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于 第三个平面．
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考点三 线面角与二面角的求法 如图，已知三棱锥 P－ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝4，
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【即时训练】 如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，D 是 AC 的中点，S 是△ABC 所在平面外一点，且 SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面 ABC； (2)若 AB＝BC，求证：BD⊥平面 SAC.
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解：(1)因为 SA＝SC，D 是 AC 的中点，所以 SD⊥AC. 在 Rt △ ABC 中 ， AD ＝ BD ， 又 SA ＝ SB ， SD ＝ SD ， 所 以 △ADS≌△BDS.所以 SD⊥BD.又 AC∩BD＝D，所以 SD⊥平面 ABC. (2)因为 AB＝BC，D 为 AC 的中点，所以 BD⊥AC. 由(1)知 SD⊥BD，又 SD∩AC＝D，所以 BD⊥平面 SAC.
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②二面角的平面角：在二面角 αlβ 的棱 l 上任取一点 O，以点 O 为垂足，在半平面 α 和 β 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB，则 射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．
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(2)平面与平面的垂直 ①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角 ，就说这两个平面互相垂直．
答案：①②③
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5．边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，则 AC 的长为________．
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解析：如图所示，取 BD 的中点 O，连接 A′O，CO，则∠A′OC
是二面角
A′BDC
的平面角，即∠A′OC＝90°，又
A′O＝CO＝
2 2 a.
所以 A′C＝ a22＋a22＝a， 即折叠后 AC 的长(A′C)为 a. 答案：a
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如图，∠PAO 就是斜线 AP 与平面 α 所成的角． (2)线面角 θ 的范围 [0，π2 ] ．
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3．二面角、平面与平面垂直 (1)二面角 ①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．这两个半平面叫做二面角 的面．
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如图，记作：二面角 αlβ 或二面角 αABβ 或二面角 PABQ.
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解：(1)在三棱柱 ABC－A1B1C1 中， 因为 AA1⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，所以 AA1⊥BC. 在△ABC 中，因为 AB＝2AC＝2，且∠ABC＝30°， 根据正弦定理，得sin∠ABACB＝sin∠ACABC， 所以 sin∠ACB＝1，因为 0°＜∠ACB＜180°，所以∠ACB＝90 °，即 AC⊥BC. 又 AC∩AA1＝A，所以 BC⊥平面 AA1C1C， 因为 BC⊂平面 A1BC，所以平面 A1BC⊥平面 AA1C1C.
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考点二 平面与平面垂直的判定和性质 考查角度 1：面面垂直的判定．
如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1⊥平面 ABC，AB ＝2AA1＝2AC＝2，∠ABC＝30°.
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(1)求证：平面 A1BC⊥平面 AA1C1C； (2)若点 D 是棱 AC 的中点，点 F 在线段 AC1 上，且 AC1＝3FC1， 求证：平面 B1CF∥平面 A1BD.
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【反思归纳】 (1)证明线线垂直的常用方法 ①利用特殊图形中的垂直关系； ②利用等腰三角形底边中线的性质； ③利用勾股定理的逆定理； ④利用直线与平面垂直的性质．
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(2)证明线面垂直的常用方法 ①利用线面垂直的判定定理； ②利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平 面垂直”； ③利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个 也垂直”； ④利用面面垂直的性质定理．
AB＝20，D 为 AB 的中点，且△PDB 是等边三角形，PA⊥PC.
(1)求证：平面 PAC⊥平面 ABC； (2)求二面角 D－AP－C 的正弦值．
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解析：(1)在 Rt△ACB 中，D 是斜边 AB 的中点，所以 BD＝DA. 因为△PDB 是等边三角形，所以 BD＝DP＝BP，则 BD＝DA＝ DP，因此△APB 为直角三角形，即 PA⊥BP. 又 PA⊥PC，PC∩BP＝P，所以 PA⊥平面 PCB. 因为 BC⊂平面 PCB，所以 PA⊥BC. 又 AC⊥BC，PA∩AC＝A，所以 BC⊥平面 PAC. 因为 BC⊂平面 ABC，所以平面 PAC⊥平面 ABC.
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(2)设 A1D 与 AC1 交于点 E，连接 AB1 交 A1B 于点 G，连接 EG， 如图所示，
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因为 AD∥A1C1，所以∠ADE＝∠C1A1E，∠DAE＝∠A1C1E， 所以△ADE∽△C1A1E，又点 D 是棱 AC 的中点，所以CA1EE＝CA1DA1 ＝12. 因为 AC1＝3FC1，所以 AE＝EF＝FC1，所以 CF∥DE. 因为 CF 平面 A1BD，DE⊂平面 A1BD，所以 CF∥平面 A1BD. 因为点 G 为 AB1 的中点，所以 B1F∥GE. 又 B1F 平面 A1BD，GE⊂平面 A1BD，所以 B1F∥平面 A1BD. 因为 B1F∩CF＝F，所以平面 B1CF∥平面 A1BD.
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②平面与平面垂直的判定定理与性质定理
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图形语言
一个平面过另一个平 判定
面的 垂线 ，则这两 定理
个平面垂直
符号语言 ll⊥βα⇒α⊥β
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两个平面互相垂直， 性质 则一个平面内垂直于 定理 交线 的直线垂直于
另一个平面
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α⊥β lβ α∩β＝a l⊥a
⇒l⊥α
【重要结论】 1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这 个平面． 2．若两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 3．若一条直线和两个不重合的平面都垂直，那么这两个平面平 行．
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证明：由 DE＝EC，PD＝PC 知，E 为等腰△PDC 中 DC 边的中 点，故 PE⊥AC.
又平面 PAC⊥平面 ABC，平面 PAC∩平面 ABC＝AC， PE⊂平面 PAC，PE⊥AC，所以 PE⊥平面 ABC， 从而 PE⊥AB.
π 因为∠ABC＝ 2 ，EF∥BC，故 AB⊥EF. 从而 AB 与平面 PFE 内两条相交直线 PE，EF 都垂直， 所以 AB⊥平面 PFE.
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3．如图，AB 是半圆 O 的直径，VA 垂直于半圆 O 所在的平面， 点 C 是圆周上不同于 A，B 的任意一点，M，N 分别为 VA，VC 的中 点，则下列结论正确的是( )
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(A)MN∥AB (B)平面 VAC⊥平面 VBC (C)MN 与 BC 所成的角为 45° (D)OC⊥平面 VAC B 解析：依题意得，BC⊥AC，因为 VA⊥平面 ABC，BC⊂平 面 ABC，所以 VA⊥BC.因为 AC∩VA＝A，所以 BC⊥平面 VAC.因为 BC⊂平面 VBC，所以平面 VAC⊥平面 VBC.故选 B.