新初中数学图形的相似经典测试题及答案解析

新初中数学图形的相似经典测试题及答案解析
一、选择题
1．如图，已知在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，AOB V 是直角三角形，90AOB ∠=︒，2OB OA =，点B 在反比例函数2y x =上，若点A 在反比例函数k y x
=上，则k 的值为( )
A ．12
B ．12-
C ．14
D ．14
- 【答案】B
【解析】
【分析】
通过添加辅助线构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质可求得1,2x A x ⎛⎫-
⎪⎝⎭
，然后由点的坐标即可求得答案．
【详解】
解：过点B 作BE x ⊥于点E ，过点A 作AF x ⊥于点F ，如图：
∵点B 在反比例函数2y x =
上 ∴设2,B x x ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
∴OE x =，2BE x
=
∵90AOB ∠=︒ ∴90AOD BOD ∠+∠=︒
∴90BOE AOF ∠+∠=︒
∵BE x ⊥，AF x ⊥
∴90BEO OFA ∠=∠=︒
∴90OAF AOF ∠+∠=︒
∴BOE OAF ∠=∠
∴BOE OAF V V ∽
∵2OB OA = ∴12OF AF OA BE OE BO ===
∴121122OF BE x x =⋅
=⋅=，11222x AF OE x =⋅=⋅= ∴1,2x A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
∵点A 在反比例函数k y x
=上 ∴12x k x
=- ∴12k =-
． 故选：B
【点睛】
本题考查了反比例函数与相似三角形的综合应用，点在函数图象上则点的坐标就满足函数解析式，结合已知条件能根据相似三角形的性质求得点A 的坐标是解决问题的关键．
2．如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转.若∠BOA 的两边分别与函数1y x
=-、2y x =的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 大小的变化趋势为（ ）
A ．逐渐变小
B ．逐渐变大
C ．时大时小
D ．保持不变
【答案】D
【解析】
【分析】
如图，作辅助线；首先证明△BEO ∽△OFA ，，得到BE OE OF AF =；设B 为（a ，1a -），A 为（b ，2
b ），得到OE=-a ，EB=1a
-，OF=b ，AF=2b ，进而得到222a b =，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan ∠OAB=
2为定值，即可解决问题． 【详解】
解：分别过B 和A 作BE ⊥x 轴于点E ，AF ⊥x 轴于点F ，
则△BEO ∽△OFA ，
∴BE OE OF AF
=， 设点B 为（a ，1a -
），A 为（b ，2b ）， 则OE=-a ，EB=1a
-，OF=b ，AF=2b ， 可代入比例式求得222a b =，即222a b
=， 根据勾股定理可得：OB=22221OE EB a a +=+，OA=22224OF AF b b
+=+， ∴tan ∠OAB=2222222212244b a OB a b OA b b b b
++==++=222214()24b b b b ++=2 ∴∠OAB 大小是一个定值，因此∠OAB 的大小保持不变.
故选D
【点睛】
该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．
3．如图，已知////AB CD EF ，:3:5AD AF =，6BC =，CE 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．3
D ．5
【答案】B
【解析】
【分析】 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】
∵AD ：AF=3：5，
∴AD ：DF=3：2，
∵AB ∥CD ∥EF ， ∴AD BC DF CE =，即362CE
=， 解得，CE=4，
故选B ．
【点睛】 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4．如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于E 点，对角线BD 交AG 于F 点．已知FG=2，则线段AE 的长度为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
【答案】D
【解析】 分析：根据正方形的性质可得出AB ∥CD ，进而可得出△ABF ∽△GDF ，根据相似三角形的性
质可得出
AF AB GF GD
==2，结合FG=2可求出AF 、AG 的长度，由CG ∥AB 、AB=2CG 可得出CG 为△EAB 的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE 的长度，此题得解． 详解：∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB=CD ，AB ∥CD ，
∴∠ABF=∠GDF ，∠BAF=∠DGF ，
∴△ABF ∽△GDF ， ∴AF AB GF GD
==2， ∴AF=2GF=4，
∴AG=6． ∵CG ∥AB ，AB=2CG ，
∴CG 为△EAB 的中位线，
∴AE=2AG=12．
故选D ．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF 的长度是解题的关键．
5．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，CD 是AB 边上的中线，作CD 的中垂线与CD 交于点E ，与BC 交于点F ．若CF ＝x ，tanA ＝y ，则x 与y 之间满足（ ）
A ．2244x y +=
B ．2244x y -=
C ．2288x y -=
D ．2288x y
+= 【答案】A
【解析】
【分析】
由直角三角形斜边上的中线性质得出CD ＝
12AB ＝AD ＝4，由等腰三角形的性质得出∠A ＝∠ACD ，得出tan ∠ACD ＝GE CE
＝tan A ＝y ，证明△CEG ∽△FEC ，得出GE CE CE FE =，得出y ＝2FE ，求出y 2＝24FE ，得出24y
＝FE 2，再由勾股定理得出FE 2＝CF 2﹣CE 2＝x 2﹣4，即可得出答案．
【详解】
解：如图所示：
∵在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，CD 是AB 边上的中线，
∴CD ＝
12
AB ＝AD ＝4， ∴∠A ＝∠ACD ，
∵EF 垂直平分CD ，
∴CE ＝12CD ＝2，∠CEF ＝∠CEG ＝90°， ∴tan ∠ACD ＝
GE CE ＝tanA ＝y ， ∵∠ACD+∠FCE ＝∠CFE+∠FCE ＝90°，
∴∠ACD ＝∠FCE ，
∴△CEG ∽△FEC ，
∴GE CE ＝CE FE
， ∴y ＝2FE
， ∴y 2＝
24FE ， ∴24y
＝FE 2， ∵FE 2＝CF 2﹣CE 2＝x 2﹣4，
∴24y
＝x 2﹣4， ∴24y
+4＝x 2， 故选：A ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2，D 是AB 边上一个动点（不与点A 、B 重合），E 是BC 边上一点，且∠CDE ＝30°．设AD ＝x ，BE ＝y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
【分析】 根据题意可得出4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=-然后判断△CDE ∽△CBD ，继而利用相似三角形的性质可得出y 与x 的关系式，结合选项即可得出答案．
【详解】
解：∵∠A ＝60°，AC ＝2，
∴4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=-
在△ACD 中，利用余弦定理可得CD 2＝AC 2+AD 2﹣2AC •AD cos ∠A ＝4+x 2﹣2x ，
故可得242CD x x =-+,
又∵∠CDE ＝∠CBD ＝30°，∠ECD ＝∠DCB （同一个角），
∴△CDE ∽△CBD ，即可得,CE CD CD CB
= 即2
22342,2342y
x x x x --+=-+ 故可得： 23343.633
y x x =-
++ 即呈二次函数关系，且开口朝下． 故选C ．
【点睛】
考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.
7．如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则的值为（ ）
A．1 B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为，则相似比为，的值为．
【详解】
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，
∴S△ADE＝S四边形DBCE，
∴＝，
∴＝＝，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方的逆用等．
8．如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD ＝21：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的是（）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①③
【答案】B
【解析】
【分析】
①正确．只要证明EC=EA=BC，推出∠ACB=90°，再利用三角形中位线定理即可判断．
②错误．想办法证明BF=2OF，推出S△BOC=3S△OCF即可判断．
③正确．设BC=BE=EC=a，求出AC，BD即可判断．
④正确．求出BF ，OF ，DF （用a 表示），通过计算证明即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴CD ∥AB ，OD=OB ，OA=OC ，
∴∠DCB+∠ABC=180°，
∵∠ABC=60°，
∴∠DCB=120°，
∵EC 平分∠DCB ，
∴∠ECB=12
∠DCB=60°， ∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°，
∴△ECB 是等边三角形，
∴EB=BC ，
∵AB=2BC ，
∴EA=EB=EC ，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OC ，EA=EB ，
∴OE ∥BC ，
∴∠AOE=∠ACB=90°，
∴EO ⊥AC ，故①正确，
∵OE ∥BC ，
∴△OEF ∽△BCF ，
∴12OE OF BC FB == ， ∴OF=13
OB ， ∴S △AOD =S △BOC =3S △OCF ，故②错误， 设BC=BE=EC=a ，则AB=2a ，3，223(
72)a a +， ∴7a ，
∴AC ：3a 7217，故③正确，
∵OF=137， ∴7，
∴BF2=7
9
a2，OF•DF=
7
6
a•
777
9
a a
⎛⎫
+=
⎪
⎪
⎝⎭
a2，
∴BF2=OF•DF，故④正确，
故选：B．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．
9．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2︰3，则S△ABC︰S△DEF为( )
A．2∶3 B．4∶9 C．2∶3D．3∶2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以2
24
()
39
ABC
DEF
S
S
==
V
V
．
【详解】
因为△ABC∽△DEF，所以△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方，
所以S△ABC：S△DEF=（
2
3
）2=
4
9
，故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：两个相似三角形面积比等于相似比的平方．
10．如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交于点O，则
AO
DO
=（）．
A．
1
3
B
25
C．
2
3
D．
1
2
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知条件易证△ADE≌△BAF，从而进一步得△AOD∽△EAD．运用相似三角形的性质即可求解．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形
∴AE=BF ，AD=AB ，∠EAD=∠B=90︒
∴△ADE ≌△BAF
∴∠ADE=∠BAF ，∠AED=∠BFA
∵∠DAO+∠FAB=90︒，∠FAB+∠BFA=90︒，
∴∠DAO=∠BFA ，
∴∠DAO=∠AED
∴△AOD ∽△EAD ∴12
AO AE DO AD == 故选：D
【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．
11．如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB=2，CD=3，则GH 长为（ ）
A ．1
B ．1.2
C ．2
D ．2.5 【答案】B
【解析】 【分析】
由AB ∥GH ∥CD 可得：△CGH ∽△CAB 、△BGH ∽△BDC ，进而得：GH CH AB BC
=、GH BH CD BC
=，然后两式相加即可． 【详解】
解：∵AB ∥GH ，∴△CGH ∽△CAB ，∴GH CH AB BC =，即2GH CH BC =①， ∵CD ∥GH ，∴△BGH ∽△BDC ，∴
GH BH CD BC =，即3GH BH BC =②， ①+②，得：
123GH GH CH BH BC BC +=+=，解得：6 1.25
GH ==． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
12．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点M 在CD 的边上，且1DM =，AEM ∆与ADM ∆关于AM 所在直线对称，将ADM ∆按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ABF ∆，连接EF ，则cos EFC ∠的值是 （ ）
A 171365
B 61365
C 71525
D ．617
【答案】A
【解析】
【分析】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，首先证明
AEH EMG V :V ，则有13
EH AE MG EM == ，设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+， 在Rt AEH V 中利用勾股定理求出x 的值，进而可求
,,,EH BN CG EN 的长度，进而可求FN ，再利用勾股定理求出EF 的长度，最后利用cos FN EFC EF
∠=
即可求解． 【详解】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，则
90AHG MGE ∠=∠=︒，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴3,90AD AB ABC C D ==∠=∠=∠=︒ ，
∴四边形AHGD,BHEN,ENCG 都是矩形．
由折叠可得，90,3,1AEM D AE AD DM EM ∠=∠=︒====，
90AEH MEG EMG MEG ∴∠+∠=∠+∠=︒ ，
AEH EMG ∴∠=∠，
AEH EMG ∴V :V ，
13
EH AE MG EM ∴== ． 设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+
在Rt AEH V 中，
222AH EH AE +=Q ，
222(1)(3)3x x ∴++= ， 解得45
x =或1x =-（舍去）， 125EH BN ∴==，65
CG CD DG EN =-== ． 1BF DM ==Q 175FN BF BN ∴=+=
． 在Rt EFN △ 中， 由勾股定理得，2213EF EN FN =+=，
17cos 1365
FN EFC EF ∴∠=
=． 故选：A ．
【点睛】
本题主要考查正方形，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，能够作出辅助线是解题的关键．
13．如图，E 是矩形ABCD 中AD 边的中点，BE 交AC 于点,F ABF V 的面积为2，则四边形CDEF 的面积为（）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】B
【解析】
【分析】
设AEF S x =△，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出4BCF S x =V ，求出x 即可解答．
【详解】
解：∵AD ∥BC ，E 是矩形ABCD 中AD 边的中点，
∴AEF ~CBF V V ，
设AEF S x =△，那么4BCF S x =V ，
∵2ABF S =V ， ∴()1x 2422
x +=
+， 解得：x 1=， ∴325CDEF S x =+=四边形，
故选：B.
【点睛】
此题主要考查相似三角形的相似比与面积比之间的关系，灵活运用关系是解题关键．
14．如图，在ABC V 中，//,,30DE BC AF BC ADE ⊥∠=︒，2,33,DE BC BF ==则DF 的长为（）
A ．4
B ．23
C ．33
D ．3
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用相似三角形的相似比证明点D 是AB 的中点，再解直角三角形求得AB ，最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF ．
【详解】
解：∵//DE BC ，
∴ADE ~ABC V V ，
∵2DE BC =，
∴点D 是AB 的中点，
∵,30AF BC ADE ⊥∠=︒，33BF =，
∴∠B ＝30°，
∴AB 6cos30BF =
=︒
， ∴DF=3，
故选：D ．
【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键．
15．如图，△ABC 中，∠BAC ＝45°，∠ACB ＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△AB 1C 1，当点C 1、B 1、C 三点共线时，旋转角为α，连接BB 1，交AC 于点D ．下列结论：①△AC 1C 为等腰三角形；②△AB 1D ∽△BCD ；③α＝75°；④CA ＝CB 1，其中正确的是（ ）
A ．①③④
B ．①②④
C ．②③④
D ．①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，得到△ABC≌△AB1C1，根据全等三角形的性质得到AC1=AC，于是得到△AC1C为等腰三角形；故①正确；根据等腰三角形的性质得到∠C1=∠ACC1=30°，由三角形的内角和得到∠C1AC=120°，得到∠B1AB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠AB1B=30°=∠ACB，于是得到△AB1D∽△BCD；故②正确；由旋转角α=120°，故③错误；根据旋转的性质得到∠C1AB1=∠BAC=45°，推出∠B1AC=∠AB1C，于是得到CA=CB1；故④正确．
【详解】
解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，
∴△ABC≌△AB1C1，
∴AC1＝AC，
∴△AC1C为等腰三角形；故①正确；
∴AC1＝AC，
∴∠C1＝∠ACC1＝30°，
∴∠C1AC＝120°，
∴∠B1AB＝120°，
∵AB1＝AB，
∴∠AB1B＝30°＝∠ACB，
∵∠ADB1＝∠BDC，
∴△AB1D∽△BCD；故②正确；
∵旋转角为α，
∴α＝120°，故③错误；
∵∠C1AB1＝∠BAC＝45°，
∴∠B1AC＝75°，
∵∠AB1C1＝∠BAC＝105°，
∴∠AB1C＝75°，
∴∠B1AC＝∠AB1C，
∴CA＝CB1；故④正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．
16．已知线段MN＝4cm，P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，那么线段MP的长度等于（）
A．（）cm B．（﹣2）cm C）cm D1）cm 【答案】B
【解析】
【分析】
根据黄金分割的定义进行作答.【详解】
由黄金分割的定义知，
51
2
MP
MN
-
=，又MN=4，所以，MP=25- 2. 所以答案选B.
【点睛】
本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义是本题解题关键.
17．下列图形中，一定相似的是（）
A．两个正方形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个等腰三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法．
【详解】
A、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；
B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
C、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
D、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑．
18．如图，在□ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于点G、H，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD的面积之比为（）
A．7 : 12 B．7 : 24 C．13 : 36 D．13 : 72
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件想办法证明BG=GH=DH，即可解决问题；
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∵DF=CF，BE=CE，
∴
1
2
DH DF
HB AB
==，
1
2
BG BE
DG
AD
==，
∴
1
3
DH BG
BD BD
==，
∴BG=GH=DH，
∴S△ABG=S△AGH=S△ADH，
∴S平行四边形ABCD=6 S△AGH，
∴S△AGH：ABCD
S
平行四边形
=1：6，
∵E、F分别是边BC、CD的中点,
∴
1
2
EF
BD
=,
∴
1
4
EFC
BCDD
S
S
=
V
V
,
∴
1
8
EFC
ABCD
S
S
=
V
四边形
,
∴
117
6824
AGH EFC
ABCD
S S
S
+
=+=
V V
四边形
=7∶24,
故选B.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．
19．如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（）
A．
AD AE
BD EC
=B．
AF DF
AE BE
=C．
AE AF
EC FE
=D．
DE AF
BC FE
=
【答案】D
【解析】
【分析】
由平行线分线段成比例和相似三角形的性质进行判断.
【详解】
∵DE//BC，∴AD AE
BD EC
=，故A正确；
∵DF//BE，∴△ADF∽△ABF, ∴AF DF
AE BE
=，故B正确；
∵DF//BE，∴AD AF
BD FE
=，∵
AD AE
BD EC
=，∴
AE AF
EC FE
=，故C正确；
∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC,∴DE AD
BC AB
=，∵DF//BE，∴
AF AD
AE AB
=，∴
DE AF
BC AE
=，
故D错误.
故选D.
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例性质，相似三角形的性质，由平行线得出比例关系是关键.
20．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边40
DE cm
=，20
EF cm
=，测得边DF离地面的高度 1.5
AC m
=，8
CD m
=，则树高AB是（）
A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米
【答案】D
【解析】
【分析】
利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高AB.
【详解】
解：∵∠DEF=∠BCD-90°∠D=∠D
∴△ADEF∽△DCB
∴BC DC EF DE
=
∴DE=40cm=0.4m，EF-20cm=0.2m，AC-1.5m，CD=8m
∴
8
0.20.4
BC
=解得：BC=4
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米
故答案为：5.5.
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型。