第2讲奇穿偶回

第2讲 奇穿偶回
知识提要
定义:已知0x 是连续函数)(x f 的零点,存在实数0>δ,设),(00δδ+-=x x I ，
对于任意
I x ∈,函数)(x f 在区间I 上的函数值均同号(图象位于x 轴同侧),则称函数)(x f 的图像在
零点0x 处呈现“回”的现象,如图2-1所示,若函数)(x f 在区间),(00x x δ-上的函数值异号,则称函数)(x f 的图象在零点0x 处呈现“穿”的现象,如图2-2所示.
情形一:若函数)(x f 为多项式函数,且)()()(1x g x x x f n
⋅-=()(x g 不含因式1x x -),若
n 是偶数(称1x 是函数)(x f 的偶重零点),则函数)(x f 的图象在零点1x 处呈现“回”的线性;若n 是奇数(称1x 是函数)(x f 的奇重零点),则函数)(x f 的图象在零点1x 处呈现“穿”的现象.
情形二:设函数)()()(x g x h x f ⋅=,0x 是函数)(x h 是1n 重零点,是函数)(x g 的2n 重零点.若21n n +是偶数,则函数)(x f 的图象在0x 处呈现“回”的现象,反之则图形在0x 处呈现“穿”的现象.
图例:
①)1()1(2
+-=x x y ①x x x y ln )2)(1(⋅--= ①)1(||-⋅=x x y
零点1处图象“回” 零点1处图象“回” 零点0处图象“回” 零点-1处图象“穿” 零点2处图象“穿”
零点1处图象“穿”
小结：
奇“穿”偶“回”.
例题精讲
【题目1】已知e 为自然对数的底数,设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f k
x ,则 ( )
A .当1=k 时,)(x f 在1=x 处取极小值
B .当1=k 时,)(x f 在1=x 处取极大值
C .当2=k 时,)(x f 在1=x 处取极小值 B .当2=k 时,)(x f 在1=x 处取极大值 解:
当k =1时,)1)(1()(--=x e x f x
,画出草图如图2-6,不符合题意;当2=k 时,
2)1)(1()(--=x e x f x ,画出草图如图2-7,显然)(x f 在1=x 处取到极小值,选C .
【题目2】已知函数x x x f 2sin cos )(=,下列结论错误的是
(
)
A .)(x f y =的图象关于点)0,(π成中心对称
B .)(x f y =的图象关于直线2
π=
x 对称
C .)(x f 的最大值为
2
3
D .)(x f 既是奇函数,又是周期函数
解:因为x x x f 2sin cos 2)(2
=,画出函数图像,如图2-8,则显然)(x f 的最大值为2
3
是错误的,故选C .
注:令t x =sin ,则)1(2)(2t t x f -=,因为062)('2
=-=t x f ,解得33±
=t ,易知当3
3=t 时,9
3
4)(m ax =
x f . 【题目3】设a ,b ∈R ,若0≥x 时恒有2
2
3
4
)1(0-≤++-≤x b ax x x ,则______.=ab 解:设.)1(,,02
233421-=++-==x y b ax x x y y
因为321y y y ≤≤,即函数2y 的图象位于函数1y 和3y 之间,又因为1y 和3y 同时经过(1,0),
所以函数2y 的图象必须经过点)0,1(,即0=+b a ,且在零点1处应该呈现“回”的形态，也就是说零点1应该是函数2y 的偶重零点.
①若1是2y 的2重零点,因为))(1(2
2a x x y +-=所以1是a x +2
的零点,即1-=a ,代回
检验满足条件,所以1-=a . ①若1是2y 的4重零点,则必须有,)1(4
2-=x y 这显然是不可能的. 综上,1,1-=-=b a 所以1-=ab
【题目4】已知函数c bx ax x x f +++=2
3
)(，且3)3()2()1(0≤-=-=-<f f f ，则
（ ） A.3≤c B.63≤<c
C.96≤<c
D.9>c
解:设k x x x x f ++++=)3)(2)(1()(,根据c f =)0(,比较常数
项可知6-=c k
根据“奇穿偶回”可以画出)(x f 的大致图象(如图2-10),只不过这
里曲线穿过的不是x 轴,而是直线y=f(-1)=k,即图象往上作了平移,根据图象360≤-<c ,解得96≤<c ,故选C.
【题目5】设函数f(x)=.,ln )(2
R a x a x ∈- (1)若e x =为)(x f y =的极值点,求实数a;
(2)求实数a 的取值范围,使得对任意的]3,0(e x ∈,恒有2
4)(e x f ≤成立.
解:(1)由题意得)1ln 2)(()(ln )(2)('2x
a
x a x x a x x a x x f -+-=-+
-=
因为e x =是)(x f 的极值点.
所以0)1ln 2)(()('=-+-=e
a e a e e f 所以a=e 或a=3e,经检验,符合题意.
(2)当1≤a 时,可以先画草图,如图2-11所示,易知当10≤<x 时,0≤y ;当e x 31≤<时,
0>y 且单调递增,所以只需要满足24)3(e e f ≤即可,
解之得
)
3ln(23)3ln(23e e
e a e e e +≤≤-
当a>1时,可以先画草图,如图2-12所示,由(1)知函数的极大值点0x 是方程
01ln 2=-
+x
a
x 的根,即:000ln 2x x x a +=
只需要满足:
⎪⎩⎪⎨⎧≤-=≤-=)
2(4)3ln()3()3()
1(4ln )()(2
22
0200e e a e e f e x a x x f
将000ln 2x x x a +=代入(1)得,4ln 42032
0e x x ≤
又1x 0>，且函数x x y 3
2
1ln =在[)+∞,1内单调递增，故e x 10<<，又函数x x x y +=ln 22在()+∞1,内单调递增，可得3e a 1<<，由①得()()
e e
e a e e e 3ln 233ln 23+≤≤-
，所以
()
e a e e
e 33ln 23≤≤-
.
综上，a 的取值范围为()
e a e e
e 33ln 23≤≤-
.
巩固练习
1.若不等式()0ln 12≥-x ax 对任意0>x 恒成立，则a ＝ .
2.设R a ∈，若0>x 时均有()[]()
01112
≥----ax x x a ，则a ＝ .
3.若不等式()()
032
≤-+b x ax 对任意的()+∞∈,0x 恒成立，则（ ）
A.92=ab
B.0,92<=a b a
C.a b 92
= D.0,92
<=a a b
4.已知函数()()()
R b a e e b ax x x f x
∈-++=,,2
，当0>x 时，()0≥x f ，则实数a 的取值
范围为（ ） A.02≤≤-a B.02≤≤-a
C.1-≥a
D.10≤≤a
5.已知实数a 是给定的常数，设函数()()()a x R b e b x a x x f x
=∈+-=,,2
是()x f 的一个极
大值点.
（①）设1x ，2x ，3x 是①()x f 的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到R x ∈4，使得
4321,,,x x x x 的某种排列1i x ，2i x ，3i x ，4i x （其中{}{}4,3,2,1,,,4321=i i i i ）依次成等差数列？
若存在，求所有的b 及相应的4x ；若不存在，说明理由。

第3讲 以值代参
知识提要
与二次函数零点有关的一类问题，比如：“设()b ax x x f ++=2
区间D 上有两个零点，
求b a +3的取值范围”，可以根据条件“区间D 上有两个零点”构造一个关于a ,b 的不等式组，即构造一个可行域，再将b a +3看作目标函数，用线性规划来求解，这是一个通法，但是费时费力，效果不好。

如果我们换一个角度，将b a +3与函数值()b a f ++=393建立联系，用函数值来代替参数式，称之为“以值代参”，再根据韦达定理，用函数零点1x ，2x 来表示参数a ,b ，则问题豁然开朗.
例题精讲
【题目1】设函数()()R b a b ax x x f ∈++=,2
，记M 为()x f y =在[]1,1-上的最大值，
N 为b a +的最大值.
A.若3
1
=
M ，则3=N B.若2
1
=
M ，则3=N C.若2=M ，则3=N
D.若3=M ，则3=N
解：{}()(){}
11,11max ,max ---=-+=+f f b a b a b a
()(){}
111,1max +≤+-≤M f f ，
所以当2=M 时，则3=N .故选C .
【题目2】若()()R b a b ax x x f ∈++=,2
在()1,0内有两个零点，则b a 22
-的取值范围
是 .
解：设函数()x f 在()1,0内的零点为1x ，2x ，
所以()()()212
x x x x b ax x x f --=++=，其中1x ，2x ()1,0∈，
所以()
⎩
⎨
⎧=+-=2121x x b x x a
则()()2,0222
221212
212∈+=-+=-x x x x x x b a .
【题目3】已知函数()()R c b a c bx ax x f ∈++=,,2
，且0≠a .记()c b a M ,,为()x f 在
()1,0上的最大值，则()
c b a M c b a ,,2++的最大值是 .
解：因为()()c b a f c f ++==1,0，所以()()102f f c b a +=++.
由题意知()()c b a M x f ,,≤，故()()c b a M f ,,0≤，()()c b a M f ,,1≤，即
()()()c b a M f c b a M ,,0,,≤≤-，()()()c b a M f c b a M ,,1,,≤≤-，所以
()()()c b a M f f c b a ,,2102≤+=++，
所以
()
2,,2≤++c b a M c
b a .
【题目4】已知R c b ∈,，二次函数()c bx x x f ++=2
在()1,0内与x 轴有两个不同的交点，求()c b c ++12
的取值范围.
解：设()()()212
x x x x c bx x x f --=++=，其中()1,0,21∈x x ，且21x x ≠，从而
()()()()[]()[]⎪⎭
⎫
⎝⎛∈--==++161,01110122112x x x x f f c b c .
【题目5】设函数()()R b a b ax x x f ∈++=,2
.
（1）当14
2
+=a b 时，求函数()x f 在[]1,1-上的最小值()a g 的表达式；
（2）已知函数()x f 在[]1,1-上存在零点，且120≤-≤a b ，求b 的取值范围.
解：（1）当142+=a b 时，()122
+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=a x x f ，其图象的对称轴为直线2a x -=. 当2-≤a 时，()()24
12
++==a a f a g ； 当22≤<-a 时，()12=⎪⎭
⎫
⎝⎛-
=a f a g ； 当2>a 时，()()24
12
+-=-=a a f a g . 综上，()⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧>+-≤<--≤++=.2,24
22,1,2,242
2
a a a a a a a a g
（2）解法一 由()02
=++=b ax x x f 得2
x b ax -=+.
令()()2
,x x h b ax x g -=+=，即直线()x g 与函数()x h 在[]1,1-上有交点，令
()22-=-=g a b m ，则直线()b ax x g +=过()m ,2-点，其中10≤≤m ，且b 的几何意
义是直线在y 轴上的截距.
由图3-1易知，当直线过()1,2-时，与抛物线相切时b 最大为549-；直线过()1,1--时，b 最小为3-.
解法二 设t s ,为方程()0=x f 的解，且11≤≤-t ，则⎩
⎨⎧=-=+,,
b st a t s
由
于
1
20≤-≤a b ，因此
()112
2122≤≤-+-≤
≤+-t t t
s t t . 当10≤≤t 时，22222
2+-≤≤+-t t t st t t ， 由于022322≤+-≤
-t t 和5492
2312-≤+-≤-t t ， 所以5493
2
-≤≤-
b .
当01≤≤-t 时，22222
2+-≤≤+-t t st t t t . 由于02222<+-≤
-t t 和02
232<+-≤-t t t . 所以03<≤-b .
故b 的取值范围是[]
549,3--.
巩固练习
1.设()b ax x x f ++=2
的两个零点为21,x x ，若221≤+x x ，则
A.1≥a
B.1≤b
C.22≥+b a
D.22≤+b a
2.已知R c b a ∈,,，12≤++c bx ax 对任意的1≤x 恒成立，求bc 的最大值.
3.设函数()1322
+-+=a bx ax x f ，当[]4,4-∈x 时，恒有()0≥x f 成立，则b a +5的最
小值为 .
4.已知关于x 的方程()R c b c bx x ∈=++,022
在[]1,1-上有实数根，且340≤+≤c b ，则b
的取值范围是 。

5.已知()()R b a b ax x x f ∈++=,2
在区间[]1,0上有零点，则ab 的最大值是 。

第4讲 对称对偶
知识提要
对称问题在高考试题中经常出现，常见的有中心对称和轴对称两种.图象对称的基础是图象上点与点的对称，因此，抓住对称点之间的数量关系及其内在联系，可将几何对称语言转化为代数坐标、方程语言，达到以简驭繁的效果.
对偶式是数学结构对称的一种表现形式，也是一种有力的解题方法，构造对偶式有时能达到化腐朽为神奇的功效.
例题精讲
【题目1】设函数()()1
sin 12
2
+++=x x
x x f 的最大值为
M ，
最小值为m ，则=+m M . 解：因为()()1
sin 211sin 211sin 122222
+++=+++==+++=x x
x x x x x x x x x f ，
设()1
sin 22++=
x x
x x g ，则()x g 为奇函数，
因为奇函数的图象关于原点对称，所以它的最大值与最小值之和为0， 即
()()0min max =+x g x g
又因为
()()max max 1x g x f +=，()()min min 1x g x f +=
所以
()()2min max =+x f x f .
【题目2】在正项等比数列{}n a 中，n n a a a a S a a a a T ++++=⋅⋅⋅⋅= 321321,，试用S
和T 表示n
a a a Q 1
1121+++= . 解：因为
n a a a a T ⋅⋅⋅⋅= 321 ①
构造对偶式
121a a a a T n n n ⋅⋅⋅⋅=-- ①
由①×①得
()()()()n
n n n n a a a a a a a a T ⋅=⋅⋅⋅=-111212
即
()2
1n n a a T ⋅=.
因为
n
a a a Q 1
1121+++=
①
构造对偶式
1
1111a a a Q n n +++=
- ① 由①和①得
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-11211111112a a a a a a Q n
n n 1
1121211a a a
a a a a a a a a a n n n n n n ⋅+++⋅++⋅+=
--
()()()n n n n a a a a a a a a ⋅++++++=
-11121
n
a a S
12= 即
n
a a S Q 1=
又因为n
n T a a 21=，所以
n
n
T
S
T
S Q 2
2=
=
【题目3】设函数()2
2
1x x x f +=，则
()()()()=++++⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛4321213141f f f f f f f . 解：()1111111112
2222
22=+++=⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪
⎭⎫
⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x x x f x f ， 发现定值：()11=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+x f x f .
那么()()()()4321213141f f f f f f f S ++++⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= ①，
构造对偶式()()()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=4131211234f f f f f f f S ① 由①+①得
()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛=212122213314412f f f f f f f f f S
()()⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
⎪⎭⎫ ⎝⎛++414313f f f f ，
所以72=S ，即27=S . 【题目4】（1）求5
4cos
52cos π
π+的值； （2）若2
0π
θ<
<，且5cos 4sin 3=+θθ，求θtan 的值.
解：（1）设原式A =+=5
4cos 52cos ππ， 其对偶式为B =-5
4cos 52cos π
π，
有
B AB 2
152cos 54cos 2158cos 12154cos 12154cos 52cos 22
-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=ππππππ因为0≠B ，所以2
1
-
=A . （3）构造对偶式y =-θθcos 4sin 3.
则⎩⎨⎧=-=+,cos 4sin 3,5cos 4sin 3y θθθθ解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=,
85cos ,6
5sin y y θθ
再由1cos sin
22
=+θθ得57-=y ，所以4
3tan =θ.
【题目5】设曲线C 的方程是x x y -=3
，将曲线C 沿x 轴、y 轴正方向分别平行移动s t ,个单位长度后得曲线1C . （Ⅰ）写出曲线1C 的方程； （Ⅱ）证明曲线C 与1C 关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛2,2s t 对称. 解：（Ⅰ）曲线1C 的方程为()()s t x t x y +---=3
.
（Ⅱ）在曲线C 上任取一点()111,y x B .设点()222,y x B 是1B 关于点A 的对称点，则有
2
2,222121s
y y t x x =+=+， 所以2121,y s y x t x -=-=.
代入曲线C 的方程得()()23
22x t x t y s ---=-，
即()()s t x t x y +---=23
22，
可知点()222,y x B 在曲线1C 上.
反过来，同样可以证明，在曲线1C 上的点关于点A 的对称点在曲线C 上. 因此，曲线C 与1C 关于点A 对称.
巩固练习
1.设()x f y =是定义在R 上的函数，则函数()1-=x f y 与()x y -=1的图象关于（ ） A.直线0=y 对称
B.直线0=x 对称
C.直线1=y 对称
D.直线1=x 对称
2已知函数()8sin tan 3
-++=c x b ax x f ，且()102=-f ，则()=2f . 3.若函数()x x b x a y cos sin cos +=有最大值2，最小值1-，则是实数=a ，
=b .
4.设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是c b a ,,，且满足c A b B a 5
3
cos cos =
-，求B
A
tan tan 的值.
5.设n a a a a ,,,,321 为互不相等的正整数， 求证：n
n a a a a n 1
3121132223221+
+++≥++++ .
知识提要
形如2222
2,,,2y xy xy x y x xy y x y x +++++的代数式称为“齐次式”，其中2
22,y xy xy x y x ++称
为“齐次分式”.若A ，B 是齐次式，则方程B A =称为“齐次方程”.
处理齐次分式和齐次方程常用的方法有：①等式两边（或分式上下）同除以一个特定的代数式，然后换元解决；①令kx y =，代换解之；①等式两边或分子分母齐次化.
常用的公式很多都是齐次的：①重要不等式：xy y x 222≥+；基本不等式：
xy y x 2≥+；①正弦定理：B
A b a sin sin =
；余弦定理：A b c b a cos 22
22-+=；①勾股定理：222c b a +=；1cos sin 22=+x x （也称隐齐次方程）等等.
例题精讲
【题目1】（1）若5sin 2cos -=+αα，则αtan 等于（ ） A.
2
1
B.2
C.2
1-
D.2-
（2）设y x ,为实数，若142
2
=++xy y x ，则y x +2的最大值为 . 解：（1）解法一（方程组法）
由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+1
sin cos ,5sin 2cos 2
2x ααα解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=,55cos ,5
52sin αα从而2cos sin tan ==ααα.
解法二（化齐次法）
因为5sin 2cos -=+αα，所以()5sin 2cos 2
=+αα，
因为5tan 1tan 4tan 41sin cos sin 4cos sin 4cos 2
22222=+++=+++α
α
ααααααα， 化简得04tan 4tan 2
=+-αα，解得2tan =α. 解法三 （导数法）
令()x x x f sin 2cos +=，易知()x f 的极小值（此处也为最小值）为()αf =-5， 所以()0cos 2sin =+-='αααf ，即ααcos 2sin =，所以2tan =α.
注：（1）用方程组法求解，思路自然，但运算量较大，是典型的”暴力“求解，万不
得已时才可用；化齐次是本题的一个通法，值得体会；导数法可以快速求解，但只是针对特点的题目才可以用，即一边是另一边函数的极值，否则就会出差错. （2）因为α
α
αcos sin tan =
，所以αtan 也可以理解成是一种“齐次式”. 设y x t +=2.
则()5
8
4314314222222
2=++≤+++
=+++=
xy xy xy xy y x xy xy
y x y x t ，
所以y x +2的最大值为
5
102. 注：本题齐次化的方法和题（1）的方法在本质上是一样的，都是巧妙地利用“1”做代表，这种齐次化的方法在三角函数中常用，在一般代数式的齐次化中不常用，请同学们仔细体会这两题的一致性.
【题目2】（1）设对任意实数0,0>>y x .若不等式()y x a xy x 2+≤+恒成立，则实数a 的最小值为（ ）
A.
4
1
5+ B.
4
2
5+ C.
4
3
5+ D.
4
2
6+ （2）函数()()π≤≤-++=
x x
x x
x x f 0sin sin cos sin 2的最大值为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.2
解：（1）若不等式()y x a xy x 2+≤+恒成立，
只需要max
2⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++≥y x xy x a 即可. 因为
()y
x y
k x k y
x y k kx x y x y k kx x y
x xy x 221212121212++⎪⎭⎫
⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤
+⎪
⎭⎫ ⎝⎛⋅+
=
++， 当
221121k k
=+
时，解得226-=k ，则42621+=+k ，选D.
（2）因为需要求函数的最大值，所以要需要考虑⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,
0πx . 因为()x
x x x x x x x x f sin 1sin cos 21sin 2sin 1sin cos sin 2-+⎪
⎭⎫
⎝⎛+=-++=， 若
()()x x x x x x x sin 1sin 1sin 1sin 1cos sin 1cos 2
1
2-≤-+⇔-≤⇔-≤，
此式显然成立，等号当且仅当2
π=
x 时成立.
注：本题实际上给出了一种求齐次式最大值的方法.
【题目3】已知20332
2
=+-y xy x ，求2
2
238y x +的最大值.
解：解法一（配齐次）
()160248244238238222
2222=+-=-++≤+y xy x y x y x y x . 解法二（化齐次） 因为83812323833238202382
2222
22
22
222=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-+≤
+-+=+y y x x y x y xy x y x y x .
所以1602382
2≤+y x .
【题目4】设1e ，2e 为单位向量，非零向量R y x ye xe b ∈+=,,21.若1e ，
2e 的夹角为6
π
，则
b
x 的最大值等于 .
解：解法一 因为44141233222222222
=≤+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x
x x y x xy y x x b x ， 所以
b
x 的最大值等于2.
解法二 设2e OC =，1e OD =，过点A 作OC AB ∥，交OD 于点B ，如图5-1所示，则︒=∠150ABO ，在△OAB
b =，x OB =，设θ=∠OAB ，根据正弦定理，得
2sin 2150sin sin ≤=︒
=
θθ
b
x ，
等号当且仅当︒=90θ时成立.
注：解法一基于余弦定理的齐次性，解法二基于正弦定理的齐次性.
【题目5】已知椭圆()01:22
22>>=+b a b
y a x C ，点
()()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,1,23,1,1,0,1,14321P P P p 中恰有三点在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 不经过点P 1且与椭圆C 相交于A ，B 两点，若直线A P 2与直线B P 2的斜
率之和为1-，证明：直线l 过定点.
解：（1）C 的方程为14
22
=+y x . （2）将坐标原点平移⎩
⎨⎧+'='=,1,
y y x x
从而可设11
='+''y n x m l ，椭圆为()1142
2=+'+'y x ，即02422='+'+'y y x ， 代入直线得到()024
22
='+''+'+'y n x m y y x ， 化齐次得到()018482
=+''+⎪⎭
⎫
⎝⎛''+x y m x y n ，
所以4
88122+-=-=+'n m k k B P A P ，
所以2
1
+
=n m ，所以l '过点()2,2-，即l 过定点()1,2-. 注：（1）通过化齐次大大简化了运算，让人望而生畏的圆锥曲线大题也不是那么可怕了.
（2）其中直线1:='+''y n x m l 的设法比较巧妙，值得体会.
巩固练习
1.已知2
10
cos 2sin ,=+∈αααR ，则α2tan 等于（ ） A.
3
4 B.
4
3
C.3
4-
D.4
3-
2.若()R y x y xy x ∈=-+,722
2
，求2
2
y x +的最小值.
3.设R b a ∈,，且0,3>=+b b a ，则当
b
a a +31
取得最小值时，实数a 的值是 . 4.若对任意的2≥x ，都有()()0≤+++x ax a x a x ，则a 的最大值为 .
5.如图5-2，椭圆()01:22
22>>=+b a b
y b x E 经过点()1,0-A ，
且离心率为
2
2. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）经过点()1,1且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点
P ，Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.
知识提要
对于函数()x f ，我们把使()0=x f 的实数x 叫做函数()x f y =的零点.
1.函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化，能把方程问题合理转化为函数问题进行解决：方程()0=x f 有实数根⇔函数()x f y =的图象与x 轴有交点
⇔函数()x f y =有零点.
2.如果函数()x f y =在闭区间[]b a ,上的图象是连续曲线，并且有()()0<⋅b f a f ，那么函数()x f y =在区间[]b a ,内至少有一个零点.
3.函数()()()x g x f x F -=有零点⇔方程()()()0=-=x g x f x F 有实根⇔方程组
()
()⎩⎨
⎧==x g y x f y 2
1有实数根⇔函数()x f y =1与()x g y =2的图象有交点.
例题精讲
【题目1】设函数()()()()⎩
⎨⎧>-≤-=-,01,
012x x f x x f x ，若方程()a x x f +=有两个不等的实数根，
则实数a 的取值范围为（ ）
A.()0，
∞-
B.[)1,0
C.()1，
∞-
D.[)+∞,0
解：画函数()x f 的图象如图6-1所示，
根据图象，当1=a 时，直线1+=x y 与函数()x f 的图象只有一个交点， 当直线1+=x y 向下平移，则直线1+=x y 与函数()x f 的图象永远有两个交点，
即方程()a x x f +=有两个不等的实数根， 所以1<a ，选C.
注：函数()x f 图象的画法，先画12
-=-x
y 在0≤x 时的图象，然后把函数()x f 在
(]0,1-的图象不地向右平移，得到函数()x f 的图象.。